北师大版高中数学必修五课件章末归纳整合3

专题二 一元二次不等式的解法与三个“二次”之 间的关系
一元二次方程、二次函数、一元二次不等式这三部分内容 是高中数学中应用最广泛的知识点，也是初高中数学的衔 接点．这三个二次式之间无论是在知识上还是在方法上都 是相互关联、相互依存的．在解决有关问题时，相互转 化，则可化难为易、化繁为简，现举例说明如下．
规律方法 此题凑成了等号成立的条件，但要注意保证取等号的 一致性．求函数 f(x)＝x＋kx(x＞0，k＞0)的最值时，可以考虑先利 用基本不等式求，如果等号取不到，再利用函数的单调性(f(x)＝x ＋kx(k＞0)在(－∞，－ k]，[ k，＋∞)上为增函数，在[－ k，0)， (0， k]上为减函数)去求．
即 x＝ 2－1 时，f(x)取最小值．此时，f(x)min＝2 2－1. (2)当 0＜a＜1 时，f(x)＝x＋1＋x＋a 1－1 若 x＋1＋x＋a 1≥2 a， 则当且仅当 x＋1＝x＋a 1时取等号， 此时 x＝ a－1＜0(不合题意)， 因此，上式等号取不到．f(x)在[0，＋∞)单调递增， ∴f(x)min＝f(0)＝a.
规律方法 利用基本不等式 ab≤a＋2 b(a＞0，b＞0)即 a＋b≥ 2 ab(a＞0，b＞0)，求 a＋b 的最小值时，必须注意三个条件： 一是 a，b 均为正数；二是 ab 为常数；三是等号必须取到， 三者缺一不可．
【例5】设函数 f(x)＝x＋x＋a 1，x∈[0，＋∞)．
(1)当 a＝2 时，求函数 f(x) 的最小值； (2)当 0＜a＜1 时，求函数 f(x)的最小值．
【例3】 解关于 x 的不等式 x2－a＋1ax＋1＞0(a∈R，且 a≠0)．
解 原 不 等 式 可 变 形 为 (x－ a)·x－1a ＞ 0 ，易 求 得 方 程 (x－
a)·x－1a＝0 的两个解分别为 x1＝a 和 x2＝1a，所以
(1)当 a＞1a，即 a∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，原不等式的解集为
规律方法 根据问题所给的可行域的情况，一个目标函数 的最值可能有一个或多个，也可能没有．如果目标函数存 在一个最优解，则最优解通常在可行域的顶点处取得；如 果目标函数存在多个最优解，则最优解一般在可行域的边 界上．
ຫໍສະໝຸດ Baidu 命题趋势
1．高考中，对不等式关系的考查，主要放在不等式的性质 上．题型多为选择或填空题，属容易题．单独命题的情况 偶有出现，但更多综合考查，将不等式的性质与充要条件 结合起来，这种命题方式及难度，一般不会改变．
解 设分别生产 A、B 两种产品 x 吨、y 吨，利润为 z 万元，则
3x＋10y≤300， 9x＋4y≤360， 4x＋5y≤200， x≥0，y≥0，
z＝7x＋12y作出可行域，如图阴 影所示． 当直线7x＋12y＝0向右上方平 行移动时，经过M(20,24)时z取 最大值．∴该企业生产A、B两 种产品分别为20吨和24吨时， 才能获得最大利润．
法二 比较 7＋ 10与 3＋ 14两数的大小，
就相当于比较 7－ 3与 14－ 10两数的大小，即 7－ 3
＝
4 7＋
， 3
14－
10＝
4 14＋
，而 10
4 7＋
＞ 3
4 14＋
， 10
所以 7－ 3＞ 14－ 10，即 7＋ 10＞ 3＋ 14.
规律方法 上述这种先平方后比较大小，然后再利用开方 回到原数的方法不能不说是聪明之举，可谓是辗转比较两 数大小的一种妙法．然而，此题如果要是能想到分子有理 化的技巧，其实求解会更加简单．
规律方法 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点 的横坐标就是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的 实数根．这样，就可以使二次函数的图像、性质与一元二 次方程的根、判别式相互转化．
专题三 含参数的不等式的解法
对含有参数的不等式的求解，需要根据问题的实际情况对 字母的取值进行分类讨论．含参数的一元二次不等式可以 从下面三个方面考虑分类讨论： (1)二次项系数为正、负、零； (2)判别式Δ的符号； (3)两根的大小．
【例某6】企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动 力、煤和电耗如下表：
产品品种 劳动力(个) 煤(吨) 电(千瓦)
A产品
3
9
4
B产品
10
4
5
已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利 润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个， 煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产 A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？ [审题指导]
【例4】 已知 x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，求2x＋5y的最小值． [思路探索]由lgx＋lgy＝1知，xy为定值，直接利用基本不 等式求解． 解 ∵lg x＋lg y＝1，
∴xy＝10，∴2x＋5y≥2 1x0y＝2， 当且仅当2x＝5y，即 x＝2，y＝5 时，等号成立， 故2x＋5y的最小值为 2.
【例设2】关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a＞0)有两个实根 x1，x2，求证：x1＜－1且x2＜－1.
证明 令 f(x)＝ax2＋x＋1(a＞0)，
由 Δ＝1－4a≥0，得 0＜2a≤12，∴－21a≤－2＜－1，
∴抛物线 f(x)的对称轴 x＝－21a在直线 x＝－1 的左侧，
∴函数f(x)的图像与x轴交点中左侧的一个在直线x＝－1的 左侧．又f(－1)＝a－1＋1＝a＞0， ∴交点中右侧的那个也在直线x＝－1的左侧． 而函数f(x)与x轴交点的横坐标分别为方程ax2＋x＋1＝0的 两根x1，x2，∴x1＜－1，且x2＜－1.
[思路探索](1)将原函数变形，利用基本不等式求解． (2)利用函数的单调性求解． 解 (1)把 a＝2 代入 f(x)＝x＋x＋a 1，
得 f(x)＝x＋x＋2 1＝(x＋1)＋x＋2 1－1，
∵x∈[0，＋∞)，∴x＋1＞0，x＋2 1＞0，
∴x＋1＋x＋2 1≥2 2.当且仅当 x＋1＝x＋2 1，
xx＜1a或x＞a
；

(2)当 a＝1a，即 a＝±1 时，
①若 a＝1，则原不等式的解集为{x|x≠1}；
②若 a＝－1，则原不等式的解集为{x|x≠－1}；
(3)当 a＜1a，即 a∈(－∞，－1)∪(0,1)时，原不等式的解集为
xx＜a或x＞1a

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专题五 简单的线性规划问题
近年来线性规划的一些基本运算问题成为出题的热点，该部分 知识大多都属于基础题目，属于中低档题目．线性规划的应用题也 是高考的热点，关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面 积、距离、参数取值的问题经常出现，①“可行域”由不等式和方 程共同确定(为线段或射线)，②“约束条件”由二次方程的“区间 根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，如： xy－－ba(斜率)， x－a2＋y－b2(距离)等．
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规律方法 当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常
数，且与之对应的一元二次方程一定有两解，但不知道两
个解的大小时，需要对解的大小进行讨论．
专题四 运用基本不等式求最值，把握三个条件
(1)在所求最值的代数式中，各变量均应是正数(如不是， 则需进行变号转换)； (2)各变量的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定 值，如不是，则要进行拆项或分解，务必使不等式一边的 和或积为常数； (3)各变量有相等的可能，即相等时，变量有实数解，且 在定义域内，如无，则需拆项、分解以使其满足上述条件 或改用其他方法．
2．基本不等式高考命题，重点考查的是基本不等式，单纯对 基本不等式的命题，主要出现在选择或填空题中，重点用 于求函数的最值，一般难度不大，但如果考查基本不等式 的变形，难度会大幅度提升．上述命题方式，近几年，不 会有大的变化．
3．高考命题中，对不等式及不等式组的解法的考查，若选 择、填空题出现，则或对不等式直接求解，或经常地与集 合运算、充要条件相结合，难度都不大．若在解答题中出 现，一般会与参数有关，或对参数分类讨论，或求参数范 围，难度上以中档题为主，今后几年高考若对本节知识进 行命题，则在方式、方法上不会有太大出入．
4．线性规划问题在命题时多以选择、填空题形式出现，题型 以容易题、中档题为主．考查：(1)求给定可行域的最优解 (包括最大、最小值及最优整数解)；(2)求给定可行域的面 积；(3)给出可行域的最优解，求目标函数中参数的范围．
近几年绝大多数试卷考查了上述内容(1)部分试卷考查了 (2)(3)．估计本节内容以稳定为主，今后几年仍然会这样 考． 5．对综合问题的考查，多与集合、函数、数列有联系．三种 题型均可出现．一旦命题，将略有难度，尤其要注意，不 等式的知识在实际问题上的应用．
高中数学课件
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章末归纳整合
专题一 不等式的基本性质与应用
不等式的性质是本章内容的理论基础，是不等式的证明和 解不等式的主要依据，比较两个实数或代数式的大小常常 用作差法，对差式进行变形并判断差的符号．
【例1】 比较 7＋ 10与 3＋ 14两数的大小．
[思路探索] 由于 7＞ 3，但 10＜ 14，所以此题不便直接 比较 7＋ 10与 3＋ 14两数的大小．因此，同学们一般都是 根据不等式性质利用比较法来求解的． 解 法一 ∵( 7＋ 10)2＝17＋2 70， ( 3＋ 14)2＝17＋2 42，而 70＞ 42， ∴17＋2 70＞17＋2 42，即( 7＋ 10)2＞( 3＋ 14)2 ∴ 7＋ 10＞ 3＋ 14.