第10章 动量定理
理论力学-动量定理
注意到物理学中，质点系质心位矢 公式对时间的一阶导数： mi ri rC i m mi vi vC i m 式中，rC为质点系质心的位矢； vC为质心的速度；m为质点 系的总质量。据此，质点系的动量可改写为：
p mv C
动量定理与动量守恒
质点系的动量
p mv C
动量定理应用举例
例题2
解：1、选择包括外、 壳、定子、转子的电 动机作为研究对象。
m1g m2g
2、系统所受的外力： 定子所受重力m1g;
Fx
M Fy
转子所受重力m2g; 底座所受约束力 Fx、Fy、M。
动量定理应用举例
例题2
3、各刚体质心的加速度 aC1＝ aO1=0 ; aC2＝ aO2＝eω2 (向心加速度) 4、应用质心运动定理
Fx m2e 2cos t
Fy m1g m2 g m2e 2sint
动量定理应用举例
5、关于计算结果的分析
例题2
Fx m2e 2cos t Fy m1g m2 g m2e 2sint
* 动约束力与轴承动反力
Fxd m2 e 2 cost
p2 p1 C1
这就是质点系动量守恒定律(theorem of the conservation of momentum of a system of particles)。 式中 C1 为常矢量，由运动的初始条件决定。
动量定理与动量守恒
质点系动量守恒定律
实际应用质点系的动量定理时，常采用投影式：
第10章 动量定理
几个有意义的实际问题
动量定理与动量守恒 质心运动定理 应用举例 结论与讨论 参考性例题
第10章 动量定理 (1)
1．质点系动量的变化与内力无关。应用动量定理时，必须明确研究对象，分清外力与 内力，只需将外力表示在受力图上。
2．应用动量定理可解决质点系动力学的两类问题，即已知力求运动的问题和已知运动
求力的问题。一般用动量定理求未知约束力。
当外力系的主矢量为零时，系统的动量守恒，即
Fi(e) 0 ， K ki mivCi =常矢量
A0B A0B0 B0B 3A0B0
（b）
4
由于炸裂前后，水平方向的运动为匀速运动，水平方向运动的距离正比于水平速度，即
A0B0 : A0B v : v1
（c）
将式（b）代入式（c）得
同理
v2 v
v : v1 1: 3 v1 3v
m1 m2 v 3m1v m2v
所以解得
m1 m2
Q g
(b
a
l
)
FP g
Q g
1 2
mA (vr2
vB2
2vrvB
cos )
1 2
mBvB2
得
1 2
mA
(vr2
vB22vr vB Nhomakorabeacos
)
1 2
mB vB2
0
mA gsr
sin
（c）
将式（d）代入上式并化简可得
1
2
vB2
mA
mB
mA mA
mB cos2
mA
cos2
mA
gsr
sin
将式（d）对
t
求导，且
d sr dt
应用质点系动量定理一般可解决质点系动力学的两类问题。一类是已知质点系的运动， 这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，求作用在质点系上外力系中的
第10章 动量定理
d (i ) (e) dt (mi vi ) Fi Fi
(e) dP Fi dt
( Fi
i
0)
质点系的动量定理
质点系动量对时间的导数等于作用在质 点系上所有外力的矢量和。
1.微分形式 d P
( e) Fi dt d I i (e )
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力 元冲量的矢量和。 2.积分形式
动力学普遍定理概述
对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n 个微分方程， 联立求解即可。
实际上存在两个问题：
1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。
2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动,仅需要研究质点系整体的运动情况。
从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方 法, 而首先要讨论的是动力学普遍定理：
t1 t1 t1
t2
t2
t2
3．合力的冲量： 等于各分力冲量的矢量和．
I FR dt Fi dt Fi dt I i
t1 t1 t1
t2
t2
t2
冲量的单位： Ns kgm/s2 s kgm/s 与动量单位同．
§10-2
动量定理
一．质点的动量定理 dv ma m F dt
船：速度小，质量大。
2.质点系的动量： 质点系中所有各质点的动量的矢量和。
P mi vi
由
rC
mi ri M
两边求导
m v
i
i
M vC
P mi vi MvC
即：质点系的质量与其质心速度的乘积就等于 质点系的动量。
求刚体的动量
动量定理
I 0 Fdt
□ 动量定理
☆ 质点动量定理 ☆ 质点系动量定理 ☆ 质心运动定理 ☆ 应用举例
☆ 质点动量定理
dp d(m v) F dt dt
质点的动量定理 —— 质点的动量对时间的一 阶导数，等于作用在质点上的力
d(mv) Fdt
——动量定理微分形式
t
mv mv0 Fdt I ——动量定理积分形式
3、应用质心运动定理确定约束力
mi aCiy FRey
m1 0 m2 e 2sint Fy i m1g m2 g Fy m1g m2 g m2e 2sint
4、分析电动机跳起的条件；当偏心转子质心O2运动到最上方时， t / 2
Fy m1g m2 g m2e 2
m1 0 m2 e 2sint Fy m1g m2 g
i Fx m2e 2cost
Fy m1g m2 g m2e 2sint
＊ 动约束力与轴承动反力
Fxd m2e 2cost Fyd m2e 2sint
＊约束力何时取最大值与最小值
☆ 质点系动量定理＊ 动量定理
对于质点系
dp dt
FRe
或
d( dt
i
mivi ) FRe
质点系的动量主矢对时间的一阶
导数，等于作用在这一质点系上的
外力主矢 —— 质点系动量定理
(theorem of the momentum of a system of
particles) (微分形式) 。
例题1
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB ＝l；滑块A和B的质量均为m，曲 柄OC和连杆AB的质量忽略不计；
第10章 动量定理
第10章 动量定理物理中已讲述质点及质点系的动量定理，本章重点在质心运动定理。
同动能定理，先介绍动量与冲量的概念及求法。
10.1 动量提问下述问题。
一、 质点的动量v m，矢量。
二、 质点系的动量C v M v m K=∑= 表征质系随质心平动强度的量。
问题：某瞬时圆轮轮心速度为O v，圆轮沿直线平动、纯滚动和又滚又滑时的动量是否相等？若沿曲线运动呢？10.2 力和力系的冲量提问下述问题。
一、 力的冲量力在时间上的累积效应。
1. 常力t F S =问题：图中G 和T有冲量吗？2. 任意力元冲量：t F S=d冲量：⎰=21d t t t F S二、 力系的冲量⎰=∑=21d t t i tR S S故力系的冲量等于主矢的冲量三、 内力的冲量 恒为零。
10.3 动量定理一、 质点的动量定理牛顿第二定律：F a m=→ F tv m=d )(d 或S v m d )(d = 微分形式→ S v m v m=-12 积分形式 二、 质点系的动量定理任一质点：)()(d )(d i i e i i i F F tv m+= 求和，内力之和为零（或内力冲量和为零）：)(d d e F tK∑= 微分形式 )(12e S K K∑=- 积分形式例1（自编）图示系统。
均质滚子A 、滑轮B 重量和半径均为Q 和r ，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为α，重量为G ，重物重量P 。
求地面给三角块的反力。
分析：欲求反力，需用动量定理：上式左端实际包含各物体质心加速度，而用动能定理可求。
解：I. 求加速度。
（前面已求）II. 求反力。
研究整体，画受力图如图。
系统动量：αcos ΣC x x v gQmv K -== αsin ΣC y y v gQv g P mv K -== 由动量定理：)(Σd d e xX tK = X a g Q C =-αcosαcos C a gQX -= )(Σd d e F tK=有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）)(Σd d e y Y tK =G Q P Y a gQa g P C ---=-2sin α αsin 2C a gQa g P G Q P Y -+++= 将g QP PQ a a C 2sin +-==α代入上面式，得：可见，动量定理只建立了系统一部分动力学关系，只能求反力；而反力偶需要由动量矩定理来求。
10第十章动量定理
设 FN FN FN
FN 为静约束力
FN 为附加动约束力
qV r(vb va ) G Fa Fb FN FN
G Fa Fb FN 0
Fa a a1
得附加动反力为
FN qV r(vb va )
va a a1
FN
G
b b1
m1
l 2
m1
3l 2
2m1 m2
2m2l
cos w t
y
w
A
2(m1 m2 ) l coswt
2m1 m2
Oj
x
yC
2m1
l 2
2m1 m2
sin
wt
m1 2m1
m2
l sin
wt
B
消去t 得轨迹方程
[
xC
]2 [
yC
]2 1
2(m1 m2 )l /(2m1 m2 ) m1l /(2m1 m2 )
则 px 为恒量
例 质量为m1的机车，以速度v1撞接质量为m2的静止车厢。 不计轨道摩擦。试求撞接后这一列车的速度。
解: 取机车和车厢为质点系。 由于撞接过程中，水平方向没有外力作用，故有
Px＝常量
撞接前 px1 m1v1 0 撞接后 px2 (m1 m2 )v
故有 m1v1 (m1 m2 )v
§10－2 动量定理
1、质点的动量定理 质点动力学基本方程：
ma mdv F dt
将m放入微分号内，得 d(mv) F dt
称为微分形式的质点动量定理，即质点动量对时间的导数 等于作用于质点上的所有力的合力矢。
10第十章-动量定理
(e)
dIi
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量 和。
积分形式
p 2 p 1
(e)
Ii
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上
的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
16
第16页，共37页。
投影形式：
dp x
dt
X (e)
dp y
dt
Y (e)
间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力 作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效 应。
1．常力 F ：
I F (t2 t1)
2．变力 F：（包括大小和方向的变化）
元冲量： dI Fdt
冲量：
I
t2
Fdt
t1
11
第11页，共37页。
§10-2 动量定理
一．质点的动量定理
0 co st，当sin t 1时， 有：cost 0，故＝0。
0时，v最大，
得：vmax
mB l 0
mA mB
20
第20页，共37页。
[例10-2 P248]
流体流过弯管时， 在截面A和B处的平均流速分别为
v1,v2 (m/s), 求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体 不可压缩，流量Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。
由质点系动量定理；得
dp dt
p
lim
t 0
t
Q(v2
v1) W
P1
P2
R
21
第21页，共37页。
dp dt
p
lim
t 0 t
Q(v2
理论力学 第六版部分习题答案 第十章
上式代入式（4）得
FN = 4mB g − mB
10-6 如图 11-10a 所示，质量为 m 的滑块 A，可以在水平光滑槽中运动，具有刚性系 数为 k 的弹簧 1 端与滑块相连接，另 1 端固定。杆 AB 长度为 l，质量忽略不计，A 端与滑 块 A 铰接，B 端装有质量 m1，在铅直平面内可绕点 A 旋转。设在力偶 M 作用下转动角速度 ω 为常数。求滑块 A 的运动微分方程。
F = 1 068 N = 1.068 kN 10-3* 如图 11-3a 所示浮动起重机举起质量 m1=2 000 kg 的重物。设起重机质量 m2=20 000 kg，杆长 OA=8 m；开始时杆与铅直位置成 60°角，水的阻力和杆重均略去不计。当起 重杆 OA 转到与铅直位置成 30°角时，求起重机的位移。
vC = 2vC1 = lω
代入式(1)，得
149
p=
lω (5m1 + 4m2 ) （方向如图 11-7b 所示） 2
A
p
vC
C
vC1
ω
O
ωt
C1
B
(a) 图 11-7
(b)
10-5
质量为 m1 的平台 AB，放于水平面上，平台与水平面间的动滑动摩擦因数为 f。
质量为 m2 的小车 D，由绞车拖动，相对于平台的运动规律为 s = 不计绞车的质量，求平台的加速度。
棱柱 B 接触水平面时系统质心坐标
a b ⎤ ⎡ m A (l − ) + m B ⎢l − (a − )⎥ 3 3 ⎦ 3(m A + m B )l − a(m A + 3m B ) + m B b ⎣ ′ = = xC m A + mB 3(m A + m B )
10第十章动量定理
C
A
vC
mg
dp x dt FOx dp y F mg Oy dt
FOx ml ( sin 2 cos ) 2 FOy mg ml ( cos sin )
第十章 动量定理
第十章 动量定理
第四节 动量定理的应用
例10-1 求质点系的动量。
【解】 vA v,
p A mv A
vB 0
M R
C
v
M
R
B
pB 0 pC Mv
A
θ
vA
m
p
px Mv cos p y mv Mv sin
2 x 2 y
p p
t2点的动量在某一时间间隔内的改变等于
作用于该质点的力在同一时间内的冲量。
第十章 动量定理
第二节 动量定理
二、质点系的动量定理
e ( i ) d mi vi Fi Fi dt
n n d mi vi F (e) i Fi (i ) dt i 1 i 1 i 1 n
对于质量不变的质点系，上式可写为：
n dvC m Fi ( e ) dt i 1
这就是质心运动定理：
质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系所受 外力的矢量和。
第十章 动量定理
n maC Fi ( e ) i 1
第三节 质心运动定理
在直角坐标轴上的投影式为：
ma Cx X , maCy Yi , maCz Z
第十章 动量定理
第二节 动量定理
(e) dp Fi dt
理论力学课件 质心运动定理,,第十章动量矩定理
质心守恒
支承面的法向反力的最小值求得为
2
221min )(ω
e m g m m F y −+=若，则。
因此如电动机无螺栓固定，它将会跳起来。
e
m g
m m 221)(+>ω0min <N F
9.2 质心运动定理
夯体滑动而不跳起的条
件怎样建立？
问题1——运动员质心做什么运动？问题2——运动员手脚运动、肌肉收缩、关节运动是否影响质心运动？抛物线内力不影响质心运动！
跨越式翻滚式背越式
跨越式：人体质心大约在腹部，杆在双腿的下方，质心约在杆上方30cm 翻滚式：人体质心
大约在腹部，杆在
身体的下方，人体
基本上与杆平行，
质心约在杆上方
10cm
背越式：人体质心
不在身体上，可在
背部下方10cm，质
心从杆下方过杆。
1.8m-0.3m=1.5m 1.8m-0.1m=1.7m 1.8m+0.1m=1.9m
第10章动量矩定理
问题：应用动量定理和质心运动定理只能分析出其质心加速度，如何分析猫的转体？
跳水动量矩守恒
跳水运动员为什
么在空中可实现空翻
和转体的转变？
M
A。
理论力学参考答案 第十章
·115·第10章 动量定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1．内力虽不能改变质点系的动量，但可以改变质点系中各质点的动量。
( √ ) 2．内力虽不影响质点系质心的运动，但质点系内各质点的运动，却与内力有关。
( √ ) 3．质点系的动量守恒时，质点系内各质点的动量不一定保持不变。
( √ ) 4．若质点系所受的外力的主矢等于零，则其质心坐标保持不变。
( × ) 5．若质点系所受的外力的主矢等于零，则其质心运动的速度保持不变。
( √ ) 二、填空题1．质点的质量与其在某瞬时的速度乘积，称为质点在该瞬时的动量。
2．力与作用时间的乘积，称为力的冲量。
3．质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。
4．质点系的动量随时间的变化规律只与系统所受的外力有关，而与系统的内力无关。
5．质点系动量守恒的条件是质点系所受外力的主矢等于零，质点系在x 轴方向动量守恒的条件是质点系所受外力沿x 轴方向投影的代数和等于零。
6．若质点系所受外力的矢量和等于零，则质点系的动量和质心速度保持不变。
三、选择题1．如图10.12所示的均质圆盘质量为m ，半径为R ，初始角速度为0ω，不计阻力，若不再施加主动力，问轮子以后的运动状态是( C )运动。
(A) 减速(B) 加速(C) 匀速 (D) 不能确定2．如图10.13所示的均质圆盘质量为m ，半径为R ，可绕O 轴转动，某瞬时圆盘的角速度为ω，则此时圆盘的动量大小是( A )。
(A) 0P = (B) P m R =ω (C) 2P m R =ω(D) 2P m R /=ω图10.12 图10.133．均质等腰直角三角板，开始时直立于光滑的水平面上，如图10.14所示。
给它一个微小扰动让其无初速度倒下，问其重心的运动轨迹是( C )。
(A) 椭圆 (B) 水平直线 (C) 铅垂直线(D) 抛物线ABC图10.14·116·4．质点系的质心位置保持不变的必要与充分条件是( D )。
10第十章动量定理
mv 2 y mv1 y I y Fy dt
t1
t2
mv 2 z mv1z I z Fz dt
t1
t2
若 F 0 ，则 m v 常矢量，质点作惯性运动
若 Fx 0 ，则 mvx 常量， 质点沿 x 轴的运动是惯性运动。
16
二．质点系的动量定理
(i ) (e) 1）、质点系的内力与外力F , F
internal external
外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。
内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零， 即：
(i ) Fi 0
。
17
O
Foy
例：已知A、B物体质量 m A 、 mB ，以及轮
x
l vC 2 p OA
l p mv C m , 2
将动量投影到x、y 轴上：
p x mv Cx
l l m cos , p y mv Cy m sin , 2 2
8
例：已知匀质杆 OA l , 质量为 m ,以 转动。求：杆的动量。
y
9
〔例１〕曲柄OA以匀 转动，设OA=AB=l ,OA及AB都是匀质杆, 杆与 滑块B的质量均为m。 y 求：当 = 45º 时系统的动量。 C2 解: 曲柄OA： m1 m , C1
xC1 0.5l cos, yC1 0.5l sin , cos , C1 0.5l sin , y C1 0.5l x yC 2 0.5l sin 杆AB：m2 m, xC 2 1.5l cos ,
理论力学第10章
第 第10 10章 动量定理和 动量定理和动量矩定理动量矩定理第 第10 10章 动量定理和动量矩定理 □ 动量定理、动量矩定理 □ 质心运动定理 □ 讨论□ 质点系相对质心的动量矩定理□动量定理和动量矩定理的应用□ 动量、动量矩动量、动量矩★ 质点动量质点动量 质点的动量质点的动量 (momentum) —— 质点的 质量与质点速度的乘积，称为质点的动量质量与质点速度的乘积，称为质点的动量 = vp m = 动量具有矢量的全部特征，所以动量 是矢量，而且是定位矢量。
是矢量，而且是定位矢量。
所有质点动量的矢量和，称为 所有质点动量的矢量和，称为质点系的动 量 量，又称为 ，又称为动量系的主矢量 动量系的主矢量，简称为 ，简称为动量主矢 动量主矢。
= ii im v p å = ★ 质点系动量质点系动量 质点系运动时，系统中的所有质点在每一瞬时都具有各自的动量矢。
质点系中所有质点动量矢的集合，称为 的动量矢。
质点系中所有质点动量矢的集合，称为动量系。
动量系。
= ) , , , ( 2 2 1 1 nn m m m v v v p × × × = 根据质点系质心的位矢公式根据质点系质心的位矢公式 iii Cmm i i i C å = rr iii Cmm i i i C å = vv Cm v p =★ 冲量冲量 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量，用I 表示即 I = F t若作用力F 为变量，在微小时间间隔d t 内，F 的冲量称为元冲量。
即 d I = F d t力F 在作用时间t 内的冲量是矢量积分ò = ttd F I★ 质点动量矩 ★ 质点系动量矩□ 动量矩动量矩( v r v M mm O ´ = ) ( 质点对于点 质点对于点OO 的位矢与质点 动量叉乘，所得到的矢量称为 质点对于点 质点对于点O O 的动量矩。
第10章动量定理
冲量的单位： Ns kgm/s 2 s kgm/s
3
§10-2 动量定理
1．质点的动量定理
由
d
(mv)
F
dd(tmv)
Fdt
动量定理的微分形式
即：质点动量的增量等于作用在质点上的元冲量。
对m上v 式积m分v0，时间0t由Fd0t到t，速I 度由动v量0变定为理v，的得积分形式
即：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于
dri dt
d dt
mi ri
令 m mi
rC
mi ri m
为质心
则
p
d
dt
mi ri
d dt (mrC )
mvC
结论：质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积
二．冲量
力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力 在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。
I
t2
Fdt
t1
质点系动量守恒定律
§10-2 质心运动定理
1．质心
rC
m i m
ri
mmi
xC
m ix m
i
,
yC
mi m
y
i
,
zC
m iz m
i
2.质心运动定理
由
d dt
(mvC
)
n
i 1
F (e) i
得
m dvC dt
n
F (e) i
i 1
n
或
maC
F (e) i
i 1
称为质心运动定理，即：质点系的质量与质心加速度的乘
则
vC
常矢量
若
F (e) x
0
第10章 动量定理
§10.2 动量定理 3. 质点系的动量定理
Fi (i ) 0 (i ) M ( F 内力性质： O i )0 (i ) F i dt 0
设任一质点质量mi，速度vi，所受外力Fi (e) ，其他质点对其作用 的内力为Fi (i ) 。 据质点的动量定理，有
第10章 动量定理 动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理。
动量定理建立了质点（系）的动量与作用于其上的力或力的冲量之间的关系。 §10.1 动量与冲量
1. 动量 1）质点的动量
mv：质点的质量与速度的乘积。
是矢量，方向与速度一致。 单位：kgm/s 2）质点系的动量：质点系内各质点动量的矢量和。
题相同；
4)如果外力主矢为零，且初始时质点系静止，则质心坐标保持不变，分
别列出两个时刻质心的坐标，令其相等，即可求得所求质点的位移。
量 2）质点系的动量：
p mi vi mvC
例2： 均质滚轮，质量m，轮心速度 则动量为 mvC
vC
例3： 均质轮，绕中心C转动，无论角速度和质 量有多大，由于其质心不动，因而其动量 总是0
§10.1 动量与冲量 2. 冲量 力在一段时间内的累积效应。 等于力与其作用时间的乘积。 矢量。 单位Ns 常力的冲量 I Ft ，方向与力的方向一致。
d d p mi r (mrC ) mvC dt dt
结论：质点系的动量等于总质量与质心速度的乘积。
§10.1 动量与冲量 1. 动量 2）质点系的动量：
p mi vi mvC
例1： 均质细杆，长l质量m，在平面内绕O点转 动，角速度ω。则 细杆质心的速度 vC l / 2 细杆的动量大小为 mvC ml / 2 方向与 vC 相同。
第十章 动量定理
N = m3 g cosθ
R YO = (m1 + m2 + m3 )g − m3 g cos θ + m3 g a sin θ − m2 a r
2
a X O = m3 R cosθ + m3 g cosθ sin θ r
电动机的外壳固定在水平基础上， 定子质量为 m1 ，转子质量为 m2 。设定子的质 心位于转轴的中心 O1 ，但由于制造误差，转 子的质心O2 到O1 的距离为e 。已知转子匀速 转动，角速度为 ω 。求基础的支座反力。
F = q ρ (v2 − v1 )
Fx = q ρ (v2 cos θ − (−v1 )) Fx = q ρ (v1 + v2 cos θ )
例 已知：P(平台)、Q（小车）、Vr，（铰车C重 量不计，平台与地面光滑接触），静止开始。 求：平台速度 解：1、研究对象： 平台、绞车、小车、绳系统 2、受力图： 受力特征： A N Q Vr P B
aC C FS mg C FN
（1）因没有摩擦，所以水平方向的外力为零。因此，由质心 运动定理可知，质心在铅垂线上做直线运动。 （2）因为有足够大的 摩擦，所以半圆柱做纯滚动。圆心（选 做基点）的运动为水平直线运动，质心相对基点做往复摆动， 因此，其运动轨迹为曲线（实际上是一种称为内摆线的曲 线）。
mi (vi+ − vi− ) = I i mi (vi+ − vi− ) = I i
Δ(∑ mi vi ) = ∑ I ie + ∑ I ii ΔQ = S e
例 以速度v飞行的炮弹在空气中炸 为质量相等的两块,第一块弹片的 速度与初始运动方向成α角,其速 度大小为2v,求第二块弹片的速度.
1 mv1 2
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第10章 动量定理
10-1 设A 、B 两质点的质量分别为m A ，、m B ，它们在某瞬时的速度大小分别为v A 、v B ，则以下问题是否正确？
(A)当v A ＝v B ，且m A ＝m B 时，该两质点的动量必定相等。
(B)当v A ＝v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量也可能相等。
(C)当v A ≠v B ，且m A ＝m B 时，该两质点的动量有可能相等。
(D)当v A ≠v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量必不相等。
答：（C ）。
10-2 以下说法正确吗？
（1）如果外力对物体不做功，则该力便不能改变物体的动量。
（2）变力的冲量为零时．则变力F 必为零。
（3）质点系的质心位置保持不变的条件是作用于质点系的所有外力主矢恒为零及质心的初速度为零。
答：（1）× （2）× （3）√。
10-3 试求图中各质点系的动量。
各物体均为均质体。
答：(a)
⎪
⎭⎫ ⎝⎛++=3212m m m r K ω（←）， (b) v )(21m m K += （←），
(c) K =0，
(d) v )2(1m m K +=（→），
(e) )(21m m r K -=ω（↑）， (f) v m K x 2=（←），
v
m K y 1=（↓），
v m m K 2
221+=。
题10-3图
10-4质量分别为m A＝12 kg, m B＝10 kg的物块A和B，用一轻杆倚放在铅直墙面和水平地板上，如图示。
在物块A上作用一常力F＝250N，使它从静止开始向右运动，假设经过1s后，物块A移动了1m，速度υA＝4.15m/s。
一切摩擦均可忽略，试求作用在墙面和地面的冲量。
答：S x = 200 ⋅2 N⋅s（→），S y = 246 ⋅7 N⋅s（↓）。
题10-4图题10-5图
10-5垂直与薄板、处于自由流动的水流，被薄板截分为两部分：一部分流量Q1＝7L/s，另一部分偏离一角α。
忽略水重和摩擦，试确定角α和水对薄板的压力，假设水柱速度υ1＝υ2＝υ＝28m/s，总流量Q＝21L/s。
答：α= 30︒，F N = 249N。
10-6扫雪车（俯视如图示）以4.5m/s的速度行驶在水平路上，每分钟把50吨雪扫至路旁，若雪受推后相对于铲雪刀AB以2.5m/s的速度离开，试求轮胎与道路间的侧向力F R 和驱动扫雪车工作时的牵引力F T。
答：F R =1975 N，F T = 30377 N。
题10-6图
题10-7图
10-7 水从d ＝150mm 直径的消防龙头以υB ＝10m/s 的速度流出。
已知水的密度ρ＝1Mg/m 3，A 处的静水压力为50kPa ，求底座A 处的水平反力、垂直反力和反力偶。
答：F Ax = 1767.1 N （←），F Ay = 2564.3 N （↓），M A = 883.6 N ⋅m 逆时针。
10-8 求图示水柱对涡轮固定叶片的压力的水平分力。
已知：水的流量为Q m 3／s ，密度为ρkg ／m 3；水冲击叶片的速度为1v m ／s ，方向沿水平向左；水流出叶片的速度为2v m ／s ，与水平成α角。
答：N )cos (21N αρv v Q F x +=。
题10-8图
题10-9图
10-9 如图所示，水力采煤是利用水枪在高压下喷射的强力水流采煤。
已知水枪水柱直径为30mm ，水速为56m ／s ，求给煤层的动水压力。
答：F R x = 2.216 kN 。
10-10 一火箭铅直向上发射，当它达到飞行的最大高度时，炸成三个等质量的碎片，经观测，其中一块碎片铅直落至地面，历时t 1，另两块碎片则历时t 2落至地面。
求发生爆炸的最大高度H 。
答：
121
2212221
t t t t t gt H ++=。
题10-10图
题10-11图
10-11 质量为100kg 的车在光滑的直线轨道上以1m/s 的速度匀速运动。
今有一质量为50kg 的人从高处跳到车上，其速度为2m/s ，与水平面成60︒角，如图示。
随后此人又从车上向后跳下，他跳离车子后相对车子的速度为1m/s ，方向与水平成30︒角，求人跳离车子后的车速。
答：v = 1.29 m/s 。
题10-12图
题10-13图
10-12 图示凸轮机构中，凸轮以匀角速度ω绕定轴O 转动。
重为P 的滑杆I 借助于右端弹簧的推压而始终顶在凸轮上，当凸轮转动时，滑杆作往复运动。
设凸轮为一均质圆盘，重为Q ，半径为r ，偏心距为e 。
求在任一瞬时，机座螺钉总的附加动反力的主矢。
答：t e g Q P F x ωωcos 2R +-= t
e g Q
F y ωωsin 2R -=。
10-13 重物M 1和M 2各重P 1和P 2，分别系在两条绳子上，如图示。
此两绳又分别绕在半径为r 1和r 2的塔轮上。
已知P 1 r 1>P 2 r 2，重物受重力作用而运动，且塔轮重为Q ，对转轴的回转半径为ρ，中心在转轴上。
求轴承O 的反力。
答：F Ox = 0
22221122
221121)(r P r P Q r P r P Q P P F Oy ++--
++=ρ。
10-14 均质圆盘，质量为m ，半径为r ，可绕通过边缘O 点且垂直于盘面的水平轴转动。
设圆盘从最高位置无初速地开始绕轴O 转动，试求当圆盘中心和轴的连线经过水平面
的瞬时，轴承
O的总反力的大小。
答：17
R
=
O
F mg/3。
题10-14图题10-15图
10-15平板D放置在光滑水平面上，板上装有一曲柄、滑杆、套筒机构，十字套筒C 保证滑杆AB为平移。
已知曲柄OA是一根长为r、质量为m的均质杆，以匀角速度ω绕O 轴转动。
滑杆AB的质量为4m，套筒C的质量为2m，机构其余部分的质量为20m，试求：（1）平板D的水平规律x(t)；（2）平板对水平面的压力F N(t)；（3）平板开始跳动时的角速度ωCr。
答：（1）6/)
cos
1(
)(t
r
t
xω
-
=，
（2）t
mr
mg
t
Fω
ωsin
5.6
27
)(2
N
-
=，
（3）r
g
Cr
13
/
54
=
ω。
10-16长为l的细杆，一端固连一重为P的小球A，另一端用铰链与滑块B的中心相连。
滑块重为Q，放在光滑水平面上。
如不计细杆质量，试求细杆于水平位置由静止进入运动后，到达铅直位置时，滑块B在水平面上运动的距离以及获得的速度。
答：Q
P
Pl
x B
+
=
∆
，Q
P
g l
Q
Q
P
v B
+
=
2。
10-17在图示曲柄滑杆机构中，曲柄以等角速度ω绕O轴转。
开始时，曲柄OA水平向右。
已知：曲柄的质量为m1，滑块A的质量为m2，滑杆的质量为m3，曲柄的质心在OA
题10-16图题10-17图
的中点，OA ＝l; 滑杆的质心在点C ，而
2l
BC =。
求：（1）机构质量中心的运动方程；（2）
作用在点O 的最大水平力。
答：t
l m m m m m m m m m l m x C ωcos )(222)(23213
213213+++++++=
t
l m m m m m y C ωsin )(223212
1+++=。
10-18 机车以速度v =72km ／h 沿直线轨道行驶，如图所示。
平行杆ABC 质量为200kg ，其质量可视为沿长度均匀分布。
曲柄长r =0.3m ，质量不计。
车轮半径R=1m ，车轮只滚动而不滑动。
求：车轮施加于铁轨的动压力的最大值。
答：F Nmax = 24 kN 。
题10-18图
题10-19图
10-19 匀质杆AB 长2l ，B 端放置在光滑水平面上。
杆在图示位置自由倒下，试求A 点的轨迹方程。
答：1
4)cos (2
2
2
2
0=+
-l
y l
l x A
A α。