理论力学竞赛辅导全

FR FR2x FR2y FR2z 0
FRx Fx FRy Fy FRz Fz
空 FRx Fx 0
间
力
FRy
Fy 0
系
FRz
Fz
0
有三个独立的平衡方程
z
?
x y
问题6：三根轴必须垂直吗？
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三、刚体系与结构的平衡
•静 定 问 题 ( statically determinate problem): 未知量的数目= 独立平衡方程的数目
•静不定问题 ( statically indeterminate problem): 未知量的数目> 独立平衡方程的数目
注： 静不定的物理含义是系统存在有多余约束
静不定结构中，不一定是所有约束力均不能唯一确定
问题7：系统如图所示，已知滑块与地面之间的静/动摩擦因数 和几何尺寸，该系统处于平衡。试分析该系统的静定性。
BUAA
问题10: 图示系统具有什 么类型的约束？试确定系 统的自由度和广义坐标。
RA
B r
图 1 齿轮机构
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约束的分类
o
yA sin t
A
x
l
y 图2B
A
B O
图 3 圆盘放置在光滑地面上 16
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虚位移与理想约束
•虚位移: 在给定瞬时，质点或质点系为 约束容许 的 任何 微
II
B
A I
选择题28: 长方体I面上的A点作用 一该平面内的汇交力系，II面上的B 点也作用有一该面内的汇交力系，则 该力系最多有几个独立的平衡方程？ A:2个 B:3个 C:4个 D:5个
F
C
L 23
BUAA
静力学的思考题与例题
A 思考题19：确定图示结构
D
中哪个二力杆受拉以及铰
链B的约束力FB的方向。
B
F
不计构件自重
L
(2)L
LC
A
D
A
D
B
L
L
(1)
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F LC
B
L
(3)L
F
LC
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BUAA
静力学的思考题与例题
思考题20：重为W的均质正方体用球铰链约束，其上作用有两 个大小相等的力偶（如图所示），该正方体能否平衡？
BUAA
力学竞赛辅导
•静力学(几何静力学和分析静力学） •运动学（点的运动学、刚体的运动学） •动力学1（质点动力学、质点系动力学） •动力学2（碰撞、动静法） •综合应用（静力学和动力学的综合应用）
BUAA
主要参考书
• 朱照宣等编《理论力学》北京大学出版社 • 刘延柱等编《理论力学》高等教育出版社 • 贾书惠等编《理论力学辅导》清华出版社 • 谢传锋主编《理论力学自我检测》北航出版社 • 高云峰等编《力学小问题及全国大学生力学竞赛试题》清
小位移。r
rA A rA
rA A rA
900 O
rB B rB
O
rB B rB
虚 1、不同瞬时或位置，虚位移不同
位 移 特
2、必须满足约束条件 3、是无限小的，不是有限位移
[rA ]AB [rB ]AB
点 4、虚位移不只有一个或一组 {rA,rB} {rA,rB}
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•等效力系(equivalent force system): 对同一刚体产生相同作用效果的力系. Fn
F3
{F1, F2 ,, Fn} {P1, P2 ,, Pm} F1
F2
{F1, F2 ,, Fn} {FR}
Pm
P2 •合力(resultant force) ：与某力系等效的力
P1
FR 称为该力系的合力，Fi（i=1,2,…n)称为合力的分力
B A
地面光滑
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虚位移原理
虚位移原理：具有双面、完整、 定常、理想约束的静止的 质点系， 在给定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所 有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。
思考题13：判断在图示位置系统是否 有可能平衡．（F，M 均不为零）
C
CF
AM
B
A F
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F1
II I
C:合力、 D:力螺旋
F2
选择题5: 若作用在立方体上的力系由作用在I面和II面上的两
个平面任意力系构成，该力系简化的最简结果可能是:
A:平衡力系、B:力偶、C:合力、D:力螺旋
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BUAA 二、空间任意力系的平衡条件
空间任意力系简化 {F1, F2,, Fn} {FR, MO}
M l1 0 M l2 0
l2
M l3 0
l4
M l4 0 M l5 0
M l6 0
Mo 0
？ FR 0
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静力学的思考题与例题
选择题27: 长方体I面上的A点作用一 该平面内的汇交力系，II面上的B点也 作用有一该面内的汇交力系，则该力 系最多有几个独立的平衡方程？ A:2个 B:3个 C:4个 D:5个
质点系在势力场中平衡及其稳定性分析的基本步骤：
1、给出系统的势能函数；2、确定系统的平衡位置
3、讨论平衡位置的稳定性
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BUAA
平衡位置的稳定性
竞赛题14: 不倒翁如图所示,其下半部为一半径为R的半圆球, 不倒翁的重心位于C点,且AC=h,若不倒翁在图示位置是稳 定的,其稳定性与下面哪些量有关.
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约束的分类
R
o
纯滚动
y
x y
y
v
x
x
s
o
约束方程: s R s R
tan
y x
•完整约束: 约束方程中不含速度项的约束
•非完整约束: 约束方程中含有速度项(不可积)的约束
•广义坐标: 确定系统位置的独立参数。 •自由度: 广义坐标的数目
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Fx Fy
0 0
Fz
0
A：三个轴正交； B：三轴不共面； C：三轴相交不共面； D：三轴的单位向量不相关
问题24：空间汇交力系的平衡方程能否用取矩式给出?
问题25：给出空间汇交力系的平衡方程的三矩式：
z
F1
FR
F2
o
y
x Fn
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M l1 0 M l2 0
M l3 0
n
Fi • ri 0
i 1
M B
F
F
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平衡位置的稳定性
设质点系的势能函数为：V V (q1, q2,, qk )
质点系在势力场中的平衡充分必要条件是：
V 0,( j 1,, k) q j
质点系势能函数取得 极值是平衡的充分条件
定理：质点系在势力场中的平衡位置是稳定的充分必要 条件是系统在平衡位置的势能为极小值。
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力螺旋
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一、基本概念与基本原理和定理
• 判断力系简化的最简结果的基本步骤：
– 计算力系的主矢 – 计算力系向某一点简化的主矩 – 分析主矢与主矩的几何关系
主要采用定性分析的方法
选择题１: 空间平行力系简化的最简结果可能是: A:平衡力系、B:力偶、C:合力、D:力螺旋
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FR 0, MO 0
平衡
n
n
FR Fi ' Fi
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
i1
i1
n
n
MO Mi ri Fi
MO ( MOx )2 ( MOy )2 ( MOz )2
i1
i1
空间任意力系的平衡条件：
FR
0
Fx 0
Fy 0
MO
虚位移与理想约束
思考题11: 杆匀角速度转动,确定图示瞬时质点的虚位移
r y 对于定常约束,实位移是虚位移之一
n
x
FNi • ri 0
i 1
• 理想约束: 质点系中所有约束力在任何虚位移上所作
虚功之和为零的约束。
思考题12：若两物体之间 有摩擦，系统是否一定不 是理想约束。
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BUAA 一、基本概念与基本原理和定理
•平衡力系(force system in equilibrium): 对刚体不产生任何作用效果的力系
{F1, F2 ,, Fn} {0} 平衡力系也称为零力系
注意：刚体的平衡和力系的平衡是两个概念，
二力平衡原理：作用于刚体上的两个力为平衡力系的充分必 要条件是：此二力等值、反向、共线
R
F
Mr o
F
s
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x
lM
y
约束的分类
x
l
M
y
xA A xA sin t
x
y
M
x2 y2 Байду номын сангаас2
x2 y2 l2
(x sin t)2 y2 l2
•双面约束:约束方程为等式的约束 •单面约束:约束方程为不等式的约束
•定常约束:约束方程中不显含时间t 的约束
•非定常约束:约束方程中显含时间t 的约束
M1 B
I
M B
I
II M2 A
F A
问题22：该 系统是否是 静定结构？
思考题21：重为W的均质正方体用球铰链约束，其上作用有一 个力和一个力偶（如图所示），求平衡时力与力偶的关系。设 正方体的棱长为L。
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BUAA
静力学的思考题与例题
问题23：空间汇交力系的平衡方程独立的充分必要条件：
A
O RC
mg
1. 不倒翁的质量m 2. 半圆球的半径R 3. 重力加速度g 4. 重心的位置h
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BUAA
静力学的思考题与例题
题15：在下列图示结构中，构件AC上作用有一已知力偶（构 件自重不计），试确定铰链A处约束力的方向。
AB AC, AC AB
思考题16：上述结构中，哪个结构中A点的约束力最大？
0
MOx(F ) 0
MOy(F ) 0
M x(F) 0 M y (F ) 0,
Fz 0
MOz(F ) 0
M z(F) 0
注：正交条件是充分的，不是必要的。
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BUAA
空间汇交力系的平衡条件
空间汇交力系平衡条件的讨论
FR FRxi FRy j FRzk 0
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BUAA
四、虚位移原理
•元功: W F •vdt F •dr
等效力系作功定理: 若作用于刚体上的力系等效
即: {F1, F2,, Fn} {P1,, Pm} {FR , Mo}
n
m
则 W (Fi ) W (Pj ) W (FR ) W (MO )
i1
j 1
问题9: 如何求纯滚动圆盘轮心移动S距离时, 力F 所作的功。
若刚体上只有两点受力且不计质量，则该刚体称为二力构件 或二力杆。作用力方向沿两点连线、大小相等、方向相反。
三力平衡定理: 作用于刚体上的三个力若为平衡力系，则这 三个力共面；或汇交于一点，或平行。
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BUAA 一、基本概念与基本原理和定理
定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后，作用效应不变。
思考题17：在下列图示结构中，构件AC上的D点作用有一已 知力（构件自重不计），回答上述问题。
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BUAA
静力学的思考题与例题
思考题18：下面哪些系统是可以保持平衡的结构？
A
D
A
D
B
L
L
A
(1)
F C
L
D
B
L
A
L (2)
F C
L
D
B
L
(3)L
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F C
L
B
L
(4)L
滑块视为质点
A
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m1g
m2 g
BF
m3 g
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三、刚体系与结构的平衡
思考题8：确定图示桁
A (1)
D
架结构的静定性。
O
E
BC
A
D
(2)
A
D
(3)
O
BC
EO
E BC
思考题8+：在图1的桁架上的4个节点（A、B、C、D）中的 一个节点上作用一个力，使得桁架中没有零力杆。
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华大学出版社
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力学竞赛辅导
第一讲 静力学
• 静力学的基本概念与方法 • 平衡方程 • 虚位移原理 • 例题、思考题、问题（35个）
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BUAA 一、基本概念与基本原理和定理
•力系(force system): 作用在物体上的一组力 {F1, F2 ,, Fn}
作用于刚体上力的三要素:大小、方向、作用线
空间任意力系 {F1, F2,, Fn} {FR, MO} 简化结果
1、 FR 0, MO 0
平衡
2、FR 0, MO 0
合力
3、FR 0, MO 0
合力偶
4、FR 0, MO 0
(1) FR 0, MO 0, FRMO
? 合力
(2) FR 0, MO 0, FRMO
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BUAA 一、基本概念与基本原理和定理
选择题２: 力偶系和一个力构成的力系简化的最简结果可能是: A:平衡力系、B:力偶、C:合力、D:力螺旋
选择题３: 两个平面汇交力系构成的平面力系简化的最简 结果可能是: A:平衡力系、B:力偶、C:合力、D:力螺旋
选择题４: 图中的两个力构成的力
系简化的最简结果可能是: A:平衡力系、B:力偶、
确定三根轴的位置
26
BUAA
静力学的思考题与例题
思考题26：长正方体上作用有一空间任意力系，对 其中的六个轴取矩方程均成立，该力系是否是平衡 力系。
MO
l3 FR
l5
MO
l3 FR
o
l6 l2
l6 o
l1
l4
l1
{F1, F2 ,, Fn} {FR , Mo}
平衡条件：FR 0 Mo 0
l5