离心率及范围计算

1．已知椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ， 2F ，过2F 的直线与椭

圆交于A ，B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）

A. 63-

B. 23-

C. 52-

D.

2

2

【答案】A

2．椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为

12B B ，右顶点为A ，直线1AB 与21B F 交于点D .若1123AB B D =，则C 的离心率等于__________．

【答案】

14

3．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上的一点，

若，

，则双曲线的离心率是__________．

【答案】

4．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右两个焦点分别为12,F F ，以线段

12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若

122MF MF b -=，该双曲线的离心率为e ，则2e =（ ）

A. 2

B.

212 C. 322+51+ 【答案】D

5．已知F 1,F 2是椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，且，

线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( ) A. B.

C.

D.

【解析】由题意设

与四边形

的面积之比为

与

的面

积

之

比

为

又

，即

将

和

代入椭圆方程得

即 解得 故选 C

6．若12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点， O 为坐标原点，点P

在双曲线的左支上，点M 在双曲线的右准线上，且满足1

FO PM =， 11OF OM OP OF OM λ⎛⎫ ⎪=+

⎪⎝⎭

(0)λ>，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3

【解析】由1

FO PM =得四边形1F OMP 为平行四边形,由11OF OM OP OF OM λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭

得OP

为1

FOM ∠ 角平分线,因此四边形1F OMP 为菱形，所以()

2

222222222,p P b c a a b a

x c y c c c c c +⎛⎫=-+=-=-=

⎪⎝⎭

，因此

422

22222

142b c a c a e c a c

+-=⇒=⇒= ，选C. 7．已知,A B 分别为椭圆

22

2

19x y b +=（03b <<）的左、右顶点，

,P Q 是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，若点A

到直线

y =的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）

A.

12 B. 4 C. 1

3

D. 2

【解析】设()00,P x y ，则()00,Q x y -， 0000,33y y m n x x -==-+， 2

0209

y mn x =--，又()22

2

00

9,99

b b y x mn ∴=--∴=

，点

A

到y =的距离

为

1

d

==

=，解得263,83c b c e ====，故选B. 8．过双曲线22221x y a b -=（0a >， 0b >）的右焦点(),0F c 作圆222

x y a +=的

切线，切点为M .直线FM 交抛物线24y cx =-于点

N ，若2OF ON OM +=

（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）

1

【答案】B

9．已知椭圆Γ： 22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为()3,0F ，上、下顶点分别为

A ，

B ，直线AF 交Γ于另一点M ，若直线BM 交x 轴于点()12,0N ，则Γ的

离心率是__________．

【答案】

1

2

10．已知点A 是抛物线2

4x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点， P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以,A B 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________．

1

11．设双曲线22

221(0,0)x y C a b a b

-=>>：的左右焦点分别为12,,F F 若在曲线C 的右支

上存在点P ,使得12PF F ∆的内切圆半径为a ,圆心记为M ，又12PF F ∆的重心为G ，满足12MG F F ,则双曲线C 的离心率为（ ）．

2【解析】由//MG x 轴得： G M y y a ==， 33p G y y a ==，所以

()121211

23222

PF F S c a PF PF c a ∆=

⋅⋅=⋅++⋅，

又

122PF PF a

-=，由

122,2PF c a PF c a =+=-，

由()()2

2

2

2

12p p PF x c PF c x -+=--，得： 2p x a =，

因此()2,3P a a ，代入椭圆方程得： 222249132a a b a e a b -=⇒=⇒==.

12．已知12,F F 分别是双曲线22

22:1x y C a b

-=的左、右焦点，若点2F 关于直线