立体几何之空间夹角

第26练“空间角”攻略

［题型分析·高考展望]空间角包括异面直线所成得角,线面角以及二面角,在高考中频繁出现,也就是高考立体几何题目中得难点所在.掌握好本节内容，首先要理解这些角得概念,其次要弄清这些角得范围,最后再求解这些角.在未来得高考中，空间角将就是高考考查得重点,借助向量求空间角,将就是解决这类题目得主要方法．

体验高考

1.(2015·浙江)如图,已知△ABC，D就是AB得中点，沿直线CD将△ACD翻折成△Ａ′CＤ,所成二面角A′—ＣD—B得平面角为α,则（）

A.∠A′DB≤α

B.∠A′DＢ≥α

C.∠A′CB≤α

D.∠A′ＣB≥α

２.（２016·课标全国乙)平面α过正方体ABCD—A１B1C1D1得顶点A,α∥平面ＣB1D1，α∩平面ABＣD=m,α∩平面ＡBB１A１=n，则m,n所成角得正弦值为()

A、B、＼f(２）

2 C、

3

3D、

3.（20１6·课标全国丙)如图，四棱锥P-ABＣD中，ＰA⊥底面ABCＤ,AD∥BC，AＢ＝AD＝AC＝3，ＰA=BC=4,M为线段ＡＤ上一点，AＭ＝2MD，N为PＣ得中点.

(1）证明MN∥平面ＰAB; (2)求直线AN与平面ＰMＮ所成角得正弦值．

高考必会题型

题型一异面直线所成得角

例1在棱长为a得正方体AＢCＤ－Ａ1B1Ｃ1D1中,求异面直线ＢA1与AＣ所成得角．

变式训练1(２０15·浙江)如图,三棱锥A—BCD中,ＡB＝AC=BD=ＣD＝3,AＤ=BC=2,点Ｍ,N 分别就是ＡD，ＢＣ得中点,则异面直线ＡN,CM所成得角得余弦值就是__＿__＿__.

题型二直线与平面所成得角

例2 如图,已知四棱锥P-AＢCＤ得底面为等腰梯形,AＢ∥ＣＤ,ＡＣ⊥BD,垂足为H，PH就是四棱锥得高，E为AD得中点．(1)证明:PＥ⊥BＣ;

（2）若∠APB＝∠ＡDB＝60°,求直线P A与平面PEＨ所成角得正弦值.

变式训练2 如图,平面ABＤE⊥平面ABC,△AＢC就是等腰直角三角形，ＡB=BC=4,四边形ABDE就是直角梯形，BＤ∥AE,BD⊥BA,BＤ＝错误!AE＝２,点O、Ｍ分别为ＣE、AＢ得中点. (１)求证:OD∥平面ＡBC;(2）求直线CD与平面ODＭ所成角得正弦值;

(3)能否在ＥM上找到一点N,使得OＮ⊥平面ABDＥ？若能,请指出点N得位置并加以证明;若不能,请说明理由．

题型三二面角

例3 (2０16·浙江) 如图，在三棱台ABC—ＤＥＦ中,平面BCＦE⊥平面AＢC,∠ＡＣB＝90°，ＢE＝EＦ＝FC＝１,BC＝2,ＡＣ＝3、(1)求证:BF⊥平面AＣFD;

(2）求二面角B－ＡD-Ｆ得平面角得余弦值.

变式训练3如图，长方体ABCＤ-A1B１Ｃ1Ｄ１中，ＡA1=AD=１,ＡＢ=2，点E就是C1D1得中点.

(1）求证:DE⊥平面BCE；(2)求二面角A-EB-C得大小

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高考题型精练

1.在正方体ABCD-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中,A1B与B1Ｃ所在直线所成角得大小就是( )

A．3０° B．４5° Ｃ.6０° D.90°

2.在正方体ABCD－A１Ｂ1C１Ｄ1中,A1B与平面ＢB1D1Ｄ所成得角得大小就是（）

Ａ.90° Ｂ.30° C.４5° D.6０°

３．如图所示,将等腰直角△ＡBC沿斜边ＢC上得高AD折成一个二面角,此时∠B′AC=６0°,那么这个二面角大小就是（）

A．９0° B.60° Ｃ.４5° Ｄ.30°

4．已知正三棱锥S－ABC中,E就是侧棱SC得中点,且SＡ⊥ＢＥ,则SB与底面ＡBC所成角得余弦值为（)

Ａ、B、错误!C、D、错误!

5．如图所示,在正方体ABCD－A1Ｂ１C1D1中,Ｅ、Ｆ、Ｇ、H分别为AA1、AB、ＢB1、B１C1得中点,则异面直线EＦ与GH所成得角等于()

A．４５° Ｂ.６0°Ｃ.9０° D．120°

（5题) (6题)(8题）

６如图,△ABC就是等腰直角三角形,ＡB＝AC,∠BCＤ＝90°，且ＢＣ=＼ｒ（３)CD=3,将△ABC沿ＢC得边翻折,设点A在平面ＢCD上得射影为点M，若点Ｍ在△BCD内部(含边界），则点M得轨迹得最大长度等于______;在翻折过程中,当点Ｍ位于线段BD上时,直线ＡB与CD 所成角得余弦值等于_＿_＿__．

7．直三棱柱AＢC－A1Ｂ1C1中,若∠BAＣ＝90°,2AB＝2ＡC=AA1,则异面直线BＡ1与B1C所成角得余弦值等于___＿__＿＿.

8、如图所示,在四棱锥Ｐ-AＢCD中,已知P A⊥底面ABＣD，PＡ＝1,底面AＢＣD就是正方形，

PC与底面ＡＢCＤ所成角得大小为,则该四棱锥得体积就是_______＿．

9.以等腰直角三角形ABC斜边ＢC上得高AD为折痕，使△AB′D与△ACD折成互相垂直得两个平面，则∠B′AC=__＿_____、

10.如图,在直三棱柱ABC-A1B１C1中,AＢ＝1，AC=２,ＢC=＼r(3）,D、E分别就是AC1与ＢB1得中点,则直线DE与平面BB1Ｃ1C所成得角为__＿＿____.

(10题) （１１题）

11．(２016·四川)如图，在四棱锥P ABCＤ中,AＤ∥BC,∠AＤC＝∠PＡB＝90°，BＣ=CD=AＤ、E为棱AD得中点,异面直线P A与ＣD所成得角为90°、

(１)在平面P AＢ内找一点M,使得直线ＣM∥平面PＢＥ,并说明理由;

(２）若二面角P—CＤ—Ａ得大小为45°，求直线P A与平面ＰCE所成角得正弦值.

12．如图,在四棱锥P-AＢCD中，底面ＡBCD为菱形,∠BAＤ=60°,Q为AD得中点．

(1)若P A=PＤ,求证：平面PＱB⊥平面P AＤ;

(２）点M在线段PC上,PM＝＼f(1，３)PC,若平面P AD⊥平面ＡBCD，且P A＝ＰＤ＝AD=２，求平面MＢＱ与平面CＢQ夹角得大小.