2021届高三上学期第二次月考数学(文)试题版含答案
山东省威海市乳山一中2021届高三上学期第二次自主练习数学(文)试卷 Word版含解析
2022-2021学年山东省威海市乳山一中高三（上）其次次自主练习数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．设U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则下列结论中正确的是（）A．A⊆B B．A∩B={2}C．A∪B={1，2，3，4，5} D．A∩∁U B={1}2．（若a=0.53，b=30.5，c=log30.5，则a，b，c，的大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞b＞a3．下列命题中，假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∃x∈R，sinx=C．∀x∈R，x2﹣x+1＞0 D．∃x∈R，lgx=24．f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=（）A．log2x B ．C ．D．2x﹣26．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时，f（x）=|x|，则y=f（x）与y=log7x 的交点的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．78．若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣4，+∞）D．[﹣4，+∞）9．曲线y=e x在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A ．e2B．2e2C．e2D ．e210．设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a） C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）二、填空题：（本大题5小题，每小题5分，共25分）11．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）是幂函数，且在区间（0，+∞）上为减函数，则实数m 的值为．12．= ．13．函数f（x）=x3+3ax2+3[（a+2）x+1]既有极大值又有微小值，则a的取值范围是．14．已知函数f（x）=若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为．15．定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，下面是关于函数f（x）的推断：①f（x）的图象关于点P（，0）对称；②f（x）的图象关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（2）=f（0）．其中正确的推断有．（把你认为正确的推断都填上）三、解答题：（本大题共6题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x|x＜a}．（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；（2）若全集U={x|x≤4}，a=﹣1，求∁U A及A∩（∁U B）．17．已知a∈R，设命题p：函数f（x）=a x是R上的单调递减函数；命题q：函数g（x）=lg（2ax2+2ax+1）的定义域为R．若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．18．已知函数（1）争辩函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数，求a的取值范围．19．已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）推断f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．20．有两个投资项目A，B，依据市场调查与猜测，A项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙．（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A，B两个投资项目的利润表示为投资B={x|x＜a}（万元）的函数关系式；（2）现将x（0≤x≤10）万元投资A项目，10﹣x万元投资B项目．h（x）表示投资A项目所得利润与投资B 项目所得利润之和．求h（x）的最大值，并指出x为何值时，h（x）取得最大值．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．四、附加题22．已知函数f（x）=x3﹣x﹣．（Ⅰ）推断的单调性；（Ⅱ）求函数y=f（x）的零点的个数；（Ⅲ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围．2022-2021学年山东省威海市乳山一中高三（上）其次次自主练习数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．设U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则下列结论中正确的是（）A．A⊆B B．A∩B={2}C．A∪B={1，2，3，4，5} D．A∩∁U B={1}考点：补集及其运算；交集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合的补集，看出两个集合的公共元素，做出两个集合的交集，得到结果．解答：解：∵∁U B={1，5}，A={1，2，3}，∴A∩∁U B={1}故选D．点评：本题考查两个集合之间的运算，是一个基础题，本题解题的关键是先写出集合的补集，在求两个集合的交集．2．（若a=0.53，b=30.5，c=log30.5，则a，b，c，的大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得到．解答：解：∵0＜a=0.53＜1，b=30.5＞1，c=log30.5＜0，∴b＞a＞c．故选：A．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．3．下列命题中，假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∃x∈R，sinx=C．∀x∈R，x2﹣x+1＞0 D．∃x∈R，lgx=2考点：特称命题；全称命题；命题的真假推断与应用．专题：简易规律．分析： 1．先理解特称命题与全称命题及存在量词与全称量词的含义，再进行推断．2．用符号“∀x”表示“对任意x”，用符号“∃x”表示“存在x”．含有全称量词的命题就称为全称命题，含有存在量词的命题称为特称命题．解答：解：由指数函数y=2x的图象与性质易知，∀x∈R，2x﹣1＞0，故选项A为真命题．由正弦函数y=sinx的有界性知，﹣1≤sinx≤1，所以不存在x∈R，使得sinx=成立，故选项B为假命题．由x2﹣x+1=≥＞0知，∀x∈R，x2﹣x+1＞0，故选项C为真命题．由lgx=2知，x=102=100，即存在x=100，使lgx=2，故选项D为真命题．综上知，答案为B．点评： 1．像“全部”、“任意”、“每一个”等量词，常用符号“∀”表示；“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词，常用符号“∃”表示．全称命题的一般形式为：∀x∈M，p（x）；特称命题的一般形式为：∃x0∈M，p（x0）．2．推断全称命题为真，需由条件推出结论，留意应满足条件的任意性；推断全称命题为假，只需依据条件举出一个反例即可．推断特称命题为真，只需依据条件举出一个正例即可；推断特称命题为假，需由条件推出冲突才行．4．f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：依据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果．解答：解：依据函数的实根存在定理得到f（1）•f（2）＜0．故选B．点评：本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．5．若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=（）A．log2x B ．C ．D．2x﹣2考点：反函数．专题：计算题．分析：求出y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数即y=f（x），将已知点代入y=f（x），求出a，即确定出f（x）．解答：解：函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数是f（x）=log a x，又f（2）=1，即log a2=1，所以，a=2，故f（x）=log2x，故选A．点评：本题考查指数函数与对数函数互为反函数、考查利用待定系数法求函数的解析式．6．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观看其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．解答：解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选：D．点评：本题主要考查函数的图象，娴熟把握函数的求导与函数单调性的关系，是解答的关键．7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时，f（x）=|x|，则y=f（x）与y=log7x 的交点的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：函数的周期性；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：先依据函数的周期性画出函数f（x）的图象，再画出对数函数y=log7x 的图象，数形结合即可得交点个数．解答：解：∵f（﹣x+2）=f（﹣x），可得 f（x+2）=f（x），即函数f（x）为以2为周期的周期函数，又∵x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|，∴函数f（x）的图象如图，函数y=log7x的图象如图，数形结合可得交点共有6个．故选：C．点评：本题考查了数形结合的思想方法，函数周期性及对数函数图象的性质，解题时要精确推理，认真画图，属于中档题．8．若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣4，+∞）D．[﹣4，+∞）考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由复合函数为增函数，且外函数为增函数，则只需内函数在区间[2，+∞）上单调递增且其最小值大于0，由此列不等式组求解a的范围．解答：解：令t=x2+ax﹣a﹣1，∵函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，又外层函数y=lgt为定义域内的增函数，∴需要内层函数t=x2+ax﹣a﹣1在区间[2，+∞）上单调递增，且其最小值大于0，即，解得：a＞﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．故选：A．点评：本题考查了复合函数的单调性，关键是留意真数大于0，是中档题．9．曲线y=e x在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A ．e2B．2e2C．e2D ．e2考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最终求出切线的方程，从而问题解决．解答：解析：依题意得y′=e x，因此曲线y=e x在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y﹣e2=e2（x﹣2），当x=0时，y=﹣e2即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S=×e2×1=．故选D．点评：本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数争辩曲线上某点切线方程等基础学问，考查运算求解力量．属于基础题．10．设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a） C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）考点：导数的运算．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数，设F（x）=f（x）﹣g（x），由于函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可导，并且F′（x）＜0，得到函数的单调性，利用单调性得到F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），得到选项．解答：解：设F（x）=f（x）﹣g（x），由于函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可导，并且F′（x）＜0，所以F（x）在[a，b]上是减函数，所以F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）；故选B．点评：本题考查了函数的单调性，关键构造函数，利用求导推断函数的单调性．二、填空题：（本大题5小题，每小题5分，共25分）11．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）是幂函数，且在区间（0，+∞）上为减函数，则实数m 的值为 2 ．考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：依据幂函数的定义，令幂的系数为1，列出方程求出m的值，将m的值代入f（x），推断出f（x）的单调性，选出符和题意的m的值．解答：解：f（x）=（m2﹣m﹣1）xm2﹣2m﹣3是幂函数∴m2﹣m﹣1=1解得m=2或m=﹣1当m=2时，f（x）=x﹣3在x∈（0，+∞）上是减函数，满足题意．当m=﹣1时，f（x）=x0在x∈（0，+∞）上不是减函数，不满足题意．故答案为：2．点评：解决幂函数有关的问题，常利用幂函数的定义：形如y=xα（α为常数）的为幂函数；幂函数的单调性与指数符号的关系．是基础题．12．= ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质把要求的式子化为 lg，进一步运算求得结果．解答：解：∵=lg﹣lg+lg=lg﹣lg2=lg﹣2lg2=lg=lg=lg=lg10=，故答案为：．点评：本题主要考查对数的运算性质的应用，属于基础题．13．函数f（x）=x3+3ax2+3[（a+2）x+1]既有极大值又有微小值，则a的取值范围是{a|a＜﹣1或a＞2} ．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析：由已知得f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），由题意知△=36a2﹣36（a+2）＞0，由此能求出a的取值范围．解答：解：∵f（x）=x3+3ax2+3[（a+2）x+1]，∴f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），由题意知△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}．点评：本题考查函数的极大值和微小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，留意导数性质的合理运用．14．已知函数f（x）=若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为2＜a≤3 ．考点：函数单调性的性质．专题：常规题型．分析：让两段均为增函数且两段的端点值须满足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值即可解答：解：∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增∴须⇒2＜a≤3，故答案为：2＜a≤3点评：分段函数在定义域内递增，须每一段递增，且前一段的最大值小于或等于后一段的最小值．15．定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，下面是关于函数f（x）的推断：①f（x）的图象关于点P（，0）对称；②f（x）的图象关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（2）=f（0）．其中正确的推断有①、②、④．（把你认为正确的推断都填上）考点：奇偶函数图象的对称性．专题：规律型；函数的性质及应用．分析：由f（﹣x）=f（x），f（x+1）=﹣f（x）可得f（1+x）=﹣f（﹣x），则可求f（x）图象关于点对称；f（x）图象关于y轴（x=0）对称，可得x=1也是图象的一条对称轴，故可推断①②；由f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上是减函数；由f（x+1）=﹣f（x）可得f（2+x）=﹣f（x+1）=f（x），故f（2）=f（0）．解答：解：由f（x）为偶函数可得f（﹣x）=f（x），由f（x+1）=﹣f（x）可得f（1+x）=﹣f（﹣x），则f （x）图象关于点对称，即①正确；f（x）图象关于y轴（x=0）对称，故x=1也是图象的一条对称轴，故②正确；由f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上是减函数，即③错；由f（x+1）=﹣f（x）可得f（2+x）=﹣f（x+1）=f（x），∴f（2）=f（0），即④正确故答案为：①②④点评：本题考查函数的对称性，函数的单调性，函数奇偶性的应用，考查同学分析问题解决问题的力量，是基础题．三、解答题：（本大题共6题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x|x＜a}．（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；（2）若全集U={x|x≤4}，a=﹣1，求∁U A及A∩（∁U B）．考点：函数的定义域及其求法；交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：（1）首先求出集合A，依据A⊆B，利用子集的概念，考虑集合端点值列式求得a的范围；（2）直接运用补集及交集的概念进行求解．解答：解：（1）要使函数f（x）=有意义，则，解得：﹣2＜x≤3．所以，A={x|﹣2＜x≤3}．又由于B={x|x＜a}，要使A⊆B，则a＞3．（2）由于U={x|x≤4}，A={x|﹣2＜x≤3}，所以C U A={x|x≤﹣2或3＜x≤4}．又由于a=﹣1，所以B={x|x＜﹣1}．所以C U B={﹣1≤x≤4}，所以，A∩（C U B）=A={x|﹣2＜x≤3}∩{﹣1≤x≤4}={x|﹣1≤x≤3}．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了交集和补集的混合运算，求解集合的运算时，利用数轴分析能起到事半功倍的效果，此题是基础题．17．已知a∈R，设命题p：函数f（x）=a x是R上的单调递减函数；命题q：函数g（x）=lg（2ax2+2ax+1）的定义域为R．若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用；简易规律．分析：本题考查的学问点是复合命题的真假判定，解决的方法是先推断组成复合命题的简洁命题的真假，再依据真值表进行推断．命题p为真命题时，指数函数f（x）=a x的底数0＜a＜1，命题q为真命题时，对数函数g（x）=lg（2ax2+2ax+1）的真数2ax2+2ax+1＞0在R上恒成立，求得0≤a＜2．p∨q是真命题，p∧q是假命题，所以p，q一真一假，分类争辩即可．解答：解：当命题p为真命题时，由于函数f（x）=a x是R上的单调递减函数，所以0＜a＜1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当命题q为真命题时，由于函数g（x）=lg（2ax2+2ax+1）的定义域为R所以2ax2+2ax+1＞0在R上恒成立当a=0时，1＞0在R上恒成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）当所以，当命题q为真命题时，0≤a＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由于p∨q是真命题，p∧q是假命题，所以p，q一真一假当﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）综上所述a的取值范围是1≤a＜2或a=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：解题关键是由p∨q是真命题，p∧q是假命题，得p，q一真一假18．已知函数（1）争辩函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数，求a的取值范围．考点：函数奇偶性的推断；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：（1）先推断函数的定义域关于原点对称，再利用奇偶函数的定义，留意对参数进行争辩；（2）函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数，可转化为导函数大于等于0在x∈[3，+∞）上恒成立，从而可解．解答：解：（1）函数的定义域关于原点对称，①当a=0时，函数为偶函数；②当a≠0时，函数非奇非偶．（2）∵函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数∴在x∈[3，+∞）上恒成立∴∴点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，考查恒成立问题，关键是把握定义，利用导数解决恒成立问题．19．已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）推断f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（0）=0，解得b的值，再依据f （）=﹣，解得a的值，从而求得f（x）的解析式．（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，求得f（x1）﹣f（x2）=＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，可得函数f（x）在（﹣1，1）上是减函数．（3）由不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，可得f（t﹣1）＜f（﹣t），可得，由此求得t的范围解答：解：（1）由奇函数的性质可得f（0）=0，解得b=0，∴f（x）=．再依据f （）===﹣，解得a=﹣1，∴f（x）=．（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，∵f（x1）﹣f（x2）=﹣==，而由题设可得 x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0，∴＞0，故 f（x1）﹣f（x2）＞0，故函数f（x）在（﹣1，1）上是减函数．（3）由不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，可得f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），∴，解得＜t＜1，故t 的范围为（，1）．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题．20．有两个投资项目A，B，依据市场调查与猜测，A项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙．（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A，B两个投资项目的利润表示为投资B={x|x＜a}（万元）的函数关系式；（2）现将x（0≤x≤10）万元投资A项目，10﹣x万元投资B项目．h（x）表示投资A项目所得利润与投资B 项目所得利润之和．求h（x）的最大值，并指出x为何值时，h（x）取得最大值．考点：函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意，设，代入求出参数值即可，（2）化简，利用换元法可得y=．从而求最值．解答：解：（1）设投资为x万元，A项目的利润为f（x）万元，B项目的利润为g（x）万元．由题设．由图知．又∵，∴．从而．（2）令=．当，答：当A项目投入3.75万元，B项目投入6.25万元时，最大利润为万元．点评：本题考查了同学将实际问题转化为数学问题的力量及换元法与配方法求函数的最值，属于中档题．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．考点：函数单调性的性质．专题：分类争辩；转化思想．分析：（1）由函数f（x）在[1，2]上是减函数得在[1，2]上恒成立，即有h（x）=2x2+ax﹣1≤0成立求解．（2）先假设存在实数a ，求导得=，a在系数位置对它进行争辩，结合x∈（0，e]分当a≤0时，当时，当时三种状况进行．解答：解：（1）在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，得（6分）（2）假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，=（7分）当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），∴g（x）无最小值．当时，g（x ）在上单调递减，在上单调递增∴，a=e2，满足条件．（11分）当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），∴f（x）无最小值．（13分）综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．（14分）点评：本题主要考查转化化归、分类争辩等思想的应用，函数若为单调函数，则转化为不等式恒成立问题，解决时往往又转化求函数最值问题．四、附加题22．已知函数f（x）=x3﹣x ﹣．（Ⅰ）推断的单调性；（Ⅱ）求函数y=f（x）的零点的个数；（Ⅲ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）化简，并求导数，留意定义域：（0，+∞），求出单调区间；（Ⅱ）运用零点存在定理说明在（1，2）内有零点，再说明f（x）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）对g（x）化简，并求出导数，整理合并，再设出h（x）=x2﹣（2+a）x+1，说明h（x）=0的两个根，有一个在（0，）内，另一个大于e，由于h（0）=1，通过h （）＞0解出a即可．解答：解：（Ⅰ）设φ（x）==x2﹣1﹣（x＞0），则φ'（x）=2x+＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）∵φ（1）=﹣1＜0，φ（2）=3﹣＞0，且φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）在（1，2）内有零点，又f（x）=x3﹣x ﹣=x•φ（x），明显x=0为f（x）的一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）g（x）=+lnx=lnx+，则g'（x）==，设h（x）=x2﹣（2+a）x+1，则h（x）=0有两个不同的根x1，x2，且有一根在（0，）内，不妨设0＜x1＜，由于x1x2=1，即x2＞e，由于h（0）=1，故只需h （）＜0即可，即﹣（2+a ）+1＜0，解得a＞e+﹣2，∴实数a的取值范围是（e+﹣2，+∞）．点评：本题主要考查导数在函数中的综合运用：求单调区间，求极值，同时考查零点存在定理和二次方程实根的分布，是一道综合题．。
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第二次月考数学(文科)试题
2020年石嘴山市三中11月月考数学试卷（文科）答案和解析【答案】1. A2. A3. A4. C5. C6. C7. D8. D9. A10. B11. B12. D13.14.15.16司长生批 13. (−2,2) 14. {2(n =1)2n−1(n ≥2)15. 2cos x 16. 1：√3：217董红香批17（10分） 解：(1)由a ⃗ ⊥b ⃗ 得，2x +3−x 2=0，即(x −3)(x +1)=0， 解得x =3或x =−1；(2)由a ⃗ //b ⃗ ，则2x 2+3x +x =0， 即2x 2+4x =0，得x =0或x =−2． 当x =0时，a ⃗ =(1,0),b ⃗ =(3,0)， ∴a ⃗ −b ⃗ =(−2,0)， 此时|a ⃗ −b ⃗ |=2；当x =−2时，a ⃗ =(1,−2),b ⃗ =(−1,2)， 则a ⃗ −b ⃗ =(2,−4)．故|a ⃗ −b ⃗ |=√22+(−4)2=2√5．18董红香批18. （12） 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2=10，a 4−a 3=2，可得a 1+a 1+d =10，d =2， 解得a 1=4，d =2，可得a n =4+2(n −1)=2n +2； (2)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 2=a 3，b 3=a 7，可得b 1q =8，b 1q 2=16， 解得b 1=4，q =2， 则数列{b n }的前n 项和为S n =4(1−2n )1−2=2n+2−4．19(12分 ) .寇 西宁批 解：(Ⅰ)因为△ABC 的外接圆直径为200√573m.由正弦定理BCsin∠CAB =200√573，即200sin∠CAB=200√573，所以sin∠CAB =3√57，cos∠CAB =4√3√57，在△ABC 中，sin∠B =sin(∠CAB +∠ACB)=sin∠CABcos∠ACB +cos∠CABsin∠ACB =√57⋅12+√3√57⋅√32=2√57，由正弦定理可得ACsin∠B =BCsin∠CAB ，所以AC =sin∠Bsin∠CAB ⋅BC =152√573√57⋅200=500m所以AC 的值是500m ；(Ⅱ)由题意可得AD =BC =200，cos∠AED =cos60°=12，在△ADE 中，由余弦定理可得AD 2=AE 2+ED 2−2AE ⋅ED ⋅cos∠AED =(AE +ED)2−3AE ⋅ED ， 所以(AE +ED)2−AD 2=3AE ⋅ED ≤3⋅(AE+ED 2)2， 所以14(AE +ED)2≤AD 2=2002， 所以可得：AE +DE ≤400，所以△ADE 的最大周长为：AD +AE +DE =200+400=600m ．20.（12分） 寇 西宁批 解：(1)∵f(x)在x =2处有极值，∴f′(2)=0．∵f′(x)=3x 2+2ax ，∴3×4+4a =0，∴a =−3． 经检验a =−3时x =2是f(x)的一个极值点， 故a =−3；(2)由(1)知a =−3，∴f(x)=x 3−3x 2+2，f′(x)=3x 2−6x ．令f′(x)=0，得x 1=0，x 2=2.当x 变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：从上表可知f(x)在区间[−1,3]上的最大值是2，最小值是−2．21.（12分） 司长生批 解：(Ⅰ)当0<x <70时，y =100x −(12x 2+40x −400=−12x 2+60x −400)，当x ≥70时，y =100x −(101x +6400x−2060)−400=1660−(x +6400x).∴y ={−12x 2+60x −400,0<x <70且x ∈N1660−(x +6400x ),x ≥70且x ∈N； (Ⅱ)当0<x <70时，y =−12x 2+60x −400=−12(x −60)2+1400， 当x =60时，y 取最大值1400万元； 当x ≥70时，y =1660−(x +6400x )≤1660−2√x ⋅6400x=1500，当且仅当x =6400x，即x =80时y 取最大值1500．综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大约利润为1500万元．22.（12分）司长生批 解：(I)f′(x)=cosx −sinx −a ，当a =1时，f′(x)=cosx −sinx −1=−√2sin(x −π4)−1，令f′(x)>0可得sin(x −π4)<−√22可得x ∈[−π4,0),令f′(x)<0可得sin(x −π4)>−√22可得x ∈(0,π2],故f(x)在[−π4,0)上单调递增，在(0,π2)上单调递减， 故f(x)max =f(0)=1， ∵f(−π4)=π4，f(π2)=1−π2<π4， ∴f(x)min =f(π2)=1−π2， (II)f(−π)=aπ−1≤1，故a ≤2π，f′(x)=−√2sin(x−π4)−a，∵−π≤x≤0，∴−5π4≤x−π4≤−π4，∴−1≤sin(x−π4)≤√22，−1≤−√2sin(x−π4)≤√2，(i)a≤−1时，f′(x)≥0，f(x)在[−π,0]上单调递增，f(x)<f(0)=1恒成立，(ii)−1<a≤2π时，当−π≤x≤−π4时，f′(x)单调递增，当−π4≤x≤0时，f′(x)单调递减，∴f′(π)=−1−a<0，f′(−π4)=√2−a>0，f′(0)=1−a>0，∴存在a∈(−π,−π4)，使得f′(a)=0，所以当−π≤x<a时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当a<x≤0时，f′(x)>0，函数单调递增，又因为f(−π)=aπ−1≤1，f(0)=1≤1，∴f(x)≤1，∴a≤2π【解析】1. 解：∵集合A={−1,0，4}，集合B={x|x2−2x−3≤0,x∈N}={−1,0，1，2，3}，图中阴影部分表示的集合是A∩(C U B)={4}故选A由已知中的韦恩图，我们可得图中阴影部分表示的集合是A∩(C U B)，根据已知中的集合A，B，可得答案．本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，其中分析出图中阴影部分表示的集合是A∩(C U B)，是解答本题的关键．2. 解：根据题意，△ABC满足“勾三股四弦五”，其中股AB=4，则△ABC为Rt△，且cosC=35，△ABD满足勾股定理，则△ABD为Rt△，且∠ADB=90°，则有∠DAB=∠C，又由<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=∠DAB ， 则cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=cos∠DAB =cosC =35， 故选：A ．根据题意，可得△ABC 中cosC =35，由相似三角形的性质可得∠DAB =∠C ，而<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=∠DAB ，即可得答案．本题考查向量夹角的计算，注意向量夹角的定义，属于基础题．3. 【分析】由已知展开两角差的正切求得tanα，再由万能公式求得cos2α的值． 本题考查三角函数的化简求值，考查了万能公式的应用，是基础题． 【解答】解：由tan(α−π4)=−13，得tanα−tanπ41+tanαtanπ4=−13，即tanα−11+tanα=−13，解得tanα=12，∴cos2α=1−tan 2α1+tan 2α=1−141+14=35．故选：A ．4. 解：由已知得f′(x)=a x , g′(x)=12√x ，设切点横坐标为t ，∴{alnt =√t a t=12√t ，解得t =e 2,a =e 2． 故选：C ．根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于基础题．5. 【分析】本题考查向量数量积及向量垂直的充要条件，同时考查正弦定理及两角和与差的三角函数，根据向量垂直，可得√3cosA −sinA =0，分析可得A ，再根据正弦定理可得，sinAcosB +sinBcosA =sin 2C ，进而可得sinC =sin 2C ，可得C ，再根据三角形内角和定理可得B ，进而可得答案．【解答】解：根据题意，m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，可得m⃗⃗⃗ ·n⃗=0，即√3cosA−sinA=0，即，又0<A<π，∴A=π3，因为acosB+bcosA=csinC，正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=sin2C，即sin(A+B)=sinC=sin2C，又0<C<π，∴sinC=1，C=π2，故选C.6. 解：向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，|a⃗|=1，|b⃗ |=2，由b⃗ ⊥(2a⃗−λb⃗ )知，b⃗ ⋅(2a⃗−λb⃗ )=0，2b⃗ ⋅a⃗−λb⃗ 2=0，2×2×1×cos60°−λ⋅22=0，解得λ=12．故选：C．根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出λ的值．本题考查了平面向量的数量积与垂直的应用问题，是基础题．7. 解：函数f(x)=12(√3sin2|x|−cos2|x|)=sin(2|x|−π6)，定义域为R，f(−x)=sin(2|−x|−π6)=sin(2|x|−π6)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称，f(x)=sin(2x−π6)，x≥0令2x−π6=π2，解得x=π3，所以x=π3时f(x)最大，故选：D．由三角函数的化简可得函数的解析式，再由函数的奇偶性可得函数f(x)是偶函数，再由x≥0的函数的最大值时的x值可选出结果．本题考查求函数的解析式即函数奇偶性的性质，属于中档题．8. 解：设12x−1=t，则x=2t+2，∴f(t)=4t+7，∴f(m)=4m+7=6，解得m=−14．故选：D．本题考查函数的解析式，属于基础题．设12x−1=t，求出f(t)=4t+7，进而得到f(m)=4m+7，由此能够求出m．9. 解：由题意可得a22=a1a4，∴(a1+2)2=a1(a1+6)，解得a1=2，故选：A．由题意可得a1的方程，解方程可得．本题考查等差数列和等比数列的性质，属基础题．10. 解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为3=22−1，最小正方形的边长为2，第2代“勾股树”中，正方形的个数为3+4=7=23−1，最小正方形的边长为(√2)2，第3代“勾股树”中，正方形的个数为15=24−1，最小正方形的边长为(2)3，以此类推，第n代“勾股树”中，正方形的个数为2n+1−1，最小正方形的边长为(√2)n，若“勾股树”上共得到8191个正方形，则2n+1−1=8191，解得n=12，此时最小正方形的边长为(√2)12=164．故选：B．第1代“勾股树”中，正方形的个数为3=22−1，最小正方形的边长为√2，第2代“勾股树”中，正方形的个数为7=23−1，最小正方形的边长为(√2)2，第3代“勾股树”中，正方形的个数为15=24−1，最小正方形的边长为(√2)3，以此类推，第n代“勾股树”中，正方形的个数为2n+1−1，最小正方形的边长为(√2)n，根据已知可求得n值，即可求解．本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．11. 解：∵函数y=2sin(2x−π3)(A>0,ω>0)的图象为C，故函数的最小正周期为2π2=π，故A错误；令x=π6，求得f(x)=0，可得图象C关于点(π6,0)对称，故B正确；图象C向右平移π2个单位后，得到y=2sin(2x−π−π3)=−2sin(2x−π3)的图象，显然，所得图象不关于原点对称，故C错误；当x∈区间(−π12,π2)，2x−π3∈(−π2,2π3)，函数f(x)在区间(−π12,π2)上没有单调性，故D错误，故选：B．由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．12. 解：由题设可得：当n=2k−1(k∈N∗)时，有a2k=[cos(2k−1)π]⋅a2k−1+22k−1，即：a2k−1+a2k=22k−1(k∈N∗)，∴(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a39+a40)=21+23+25+⋯+239=2(1−420)1−4=2(420−1)3．故选：D．由题设条件推出相邻项之间的关系式，即可得到结果．本题主要考查由数列的递推式求数列的和，属于基础题．13. 解：∵a⃗,b⃗ 的夹角是180°∴a⃗,b⃗ 共线，∴设b⃗ =(λ,−λ)，∵|b⃗ |=2√2，∴√λ2+(−λ)2=2√2，∴λ=±2，∵a⃗,b⃗ 的夹角是180°∴λ<0 ∴b ⃗ =(−2,2)故答案为：(−2,2)根据两个向量的夹角是180°，得到两个向量共线且方向相反，设出要求的向量，根据之金额各向量的模长做出向量的坐标，把不合题意的舍去．本题考查向量的数量积的坐标表示，是一个基础题，解题时注意向量的设法，这是本题要考查的一个方面，注意把不合题意的舍去．14. 解：由log 2S n =n ，得S n =2n ．当n =1时，a 1=S 1=2，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n −2n−1=2n−1， n =1时不成立． ∴a n ={2(n =1)2n−1(n ≥2)．故答案为{2(n =1)2n−1(n ≥2)．由对数式变形得到数列{a n }的前n 项和S n ，分类讨论求解其通项a n ．本题考查阿勒数列的概念及简单表示法，考查了由数列前n 项和求通项，关键是注意分类讨论，是基础题．15. 解：将函数y =cos2x 的图象向右平移π4个单位，得到函数y =cos(2x −π2)=sin2x =2sinxcosx的图象又因为得到函数y =f(x)⋅sinx ，则f(x)=2cosx ， 故答案为：2cos x ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．16. 解：∵三个内角度数之比∠A ：∠B ：∠C =1：2：3，∠A +∠B +∠C =180°，∴∠A =30°，∠B =60°，∠C =90°，∴a ：b ：c =sin30°：sin60°：sin90°=12：√32：1=1：√3：2．故答案为：1：√3：2．由三个内角度数之比，求得三角形的内角，再利用正弦定理，即可求得结论． 本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．17. 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量共线，垂直的充要条件．(1)利用两个向量互相垂直，可以求出x 的值； (2)由两个向量的互相平行先求出x 的值，再求模长．18. (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的通项公式，解方程可得公差和首项，进而得到所求通项公式；(2)设等比数列{b n }的公比为q ，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19. (Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理可得sin∠CAB =√57，cos∠CAB =√3√57，再由三角形的内角和π，可得sin∠B =sin(∠CAB +∠ACB)的值，由正弦定理可得AC 的值；(Ⅱ)由余弦定理和均值不等式可得DE +AE 的最大值，进而可得三角形的周长的最大值． 本题考查三角形的正余弦定理及均值不等式，属于中档题．20. (1)由x =−2是f(x)的一个极值点，得f′(2)=0，解出可得；(2)由(1)可求f(x)，f′(x)，令f′(x)=0，得x 1=0，x 2=2.当x 变化时f′(x)，f(x)的变化情况列成表格，由极值、端点处函数值可得函数的最值；本题考查利用导数研究函数的极值、最值，属中档题，正确理解导数与函数的关系是解题关键．21. (Ⅰ)直接由已知分类写出分段函数解析式；(Ⅱ)当0<x <70时，利用配方法求最值，当x ≥70时，利用基本不等式求最值，取两段函数最大值的最大者得结论．本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法及基本不等式求最值，是中档题．22. (I)把a =1代入，然后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的最值；(II)由已知不等式恒成立转化为求解函数的最值，结合导数对a 进行分类讨论，然后结合导数与单调性关系及函数性质可求．本题主要考查了利用导数求解函数的最值，及由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用．。
2021届广东省六校联盟高三第一学期第二次联考数学试题【解析版】
2021届广东省六校联盟高三第一学期第二次联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}21B x x =-<≤，则A B 等于（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,2【答案】C【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】{}1,0,1,2A =-，{}21B x x =-<≤，{}1,0,1A B ∴=-.故选：C.2．已知命题p ：131,28x x -∀≥≤，则命题p ⌝为（ ）A ．13001,28x x -∃≥>B ．10031,28x x -∀≥>C ．13001,28x x -∃<≤D ．10031,28x x -∀<≤【答案】A【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．【详解】命题p ：131,28x x -∀≥≤的否定p ⌝为：13001,28x x -∃≥>故选：A3．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 5sin a C A =,22()16a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（ ） A ．3B 3C ．12D ．2【答案】D【分析】由已知利用正弦定理可求得ac ,进而可求得2226a c b +-=代入“三斜求积”公式即可求得结果.【详解】2sin 5sin a C A =，25a c a =，5ac =,因为22()16a c b +=+，所以，2221626a c b ac +-=-=，从而ABC 22165242⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选:D.【点睛】本题考查正弦定理以及新定义的理解,考查分析问题的能力和计算求解能力,难度较易.4．已设,a b 都是正数，则“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由33a b log log ＜和333a b ＞＞分别求出a ，b 的关系，然后利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法得答案． 【详解】由33a b log log ＜，得01b a ＜＜＜或01a b ＜＜＜或1a b ＞＞， 由333a b ＞＞，得1a b ＞＞，∴“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题主要考查了必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了不等式的性质，属于中档题．5．实数,,x y k 满足2230{10,x y x y z x y x k+-≥-+≥=+≤，若z 的最大值为13，则k 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】试题分析：画出可行域（如图阴影部分所示）和曲线，观察图形，知直线过直线和的交点时，解得，故选B.考点:线性规划. 【易错点晴】线性规划问题是数学考试中常见题．其题型大概有如下两种：一、已知线性约束条件，求目标函数的最优解．这种题的难度较小；二、已知线性约束条件中含有参数，并且知道最优解，求参数的值．本题属于第二种，难度要大，解决的方法如下：先作出不含参数的平面区域和目标函数取最优解时的直线，再根据含参数的不等式利用斜率相等或截距相同来解决问题.6．若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)(1)f x f x +=-对所有x ∈R 恒成立，则下列函数值一定正确的是（ ） A ．(1)0f = B ．(2)1f =C ．(2020)0f =D ．(2021)1f =【答案】C【分析】由已知条件知()f x 的周期为4，且(2)(2020)0f f ==，而(2021)(1)f f =函数值不确定，即可知正确选项.【详解】(1)(1)f x f x +=-对所有x ∈R 恒成立，又()f x 是定义在R 上的奇函数，知：()()f x f x -=-且(0)0f =，∴(2)()()f x f x f x +=-=-，即(4)()f x f x +=，则()f x 的周期为4，∴(2)(20)(0)0f f f =+=-=，(2020)(45050)(0)0f f f =⨯+==，故B 错误，C 正确；而(2021)(45051)(1)f f f =⨯+=不能确定其函数值. 故选：C.7．在ABC 中，2AB AC AD +=，20AE DE +=，若EB xAB y AC =+，则（ ） A ．2y x = B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-【答案】D【分析】画出图形，将,AB AC 作为基底向量，将EB 向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解【详解】如图，由题可知，点D 为BC 的中点，点E 为AD 上靠近D 的三等分点，()()111121326233EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-， 21,,233x y x y ∴==-∴=-故选：D【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题8．三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上.棱锥P ABC -的各棱长为：2PA =，3,4,13,5,25PB PC AB BC AC =====则球O 的表面积为（ ） A ．28π B ．29πC ．30πD ．31π【答案】B【分析】由各棱长结合勾股定理知P ABC -为直三棱锥，有PA ⊥面PBC ，进而求出Rt PBC 的外接圆半径r ，由外接球半径R 与r 、PA 的几何关系即可求出R ，最后求外接球表面积即可.【详解】由题意知：222PB PC BC +=，222PA PC AC +=，222PA PB AB +=， ∴,,PA PB PC 两两垂直，即P ABC -为直三棱锥， ∴若Rt PBC 的外接圆半径为r ，则522BC r ==，又PA ⊥面PBC ，∴外接球心O 到PA 的距离为52r =，故外接球半径2229()2PA R r =+=， ∴外接球表面积2429S R ππ==. 故选：B.【点睛】关键点点睛：由棱长推出P ABC -为直三棱锥，有PA ⊥面PBC ，根据其外接球半径R 与Rt PBC 外接圆半径r 、PA 的几何关系求出R ，进而求球的表面积.二、多选题9．下列四个命题中，正确的有（ ） A ．函数3sin(2)3y x π=+的图象可由y ＝3sin 2x 的图象向左平移3π个单位长度得到 B ．sin 2xy e=的最小正周期等于π，且在(0,)2π上是增函数（e 是自然对数的底数）C ．直线x ＝8π是函数5sin(2)4y x π=+图象的一条对称轴 D ．函数tan y x =,2x k x k k Z πππ⎧⎫≤<+∈⎨⎬⎩⎭【答案】CD【分析】利用图像的平移判断选项A ；利用周期的定义判断选项B ；利用整体代入的思想判断选项C ；利用正切函数的定义域判断选项D. 【详解】将y ＝3sin 2x 的图象向左平移3π个单位长度得到y ＝23sin[2()]3sin(2)33x x ππ+=+，故A 错误；令()sin2xf x e =，∴()()sin2sin2x x f x ee ππ++==，故()sin2x f x e =的周期为π，且在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故B 错误； 由52,42x k k Z πππ+=+∈， 得3,28k x k Z ππ=-∈， 当1k =时，x ＝8π是其对称轴，故C 正确；由tan 0x ≥得,()2k x k k Z πππ≤<+∈，故D 正确.故选：CD.10．设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么（ ） A ．a ＋b 有最小值2＋22 B ．a ＋b 有最大值2＋22 C ．ab 有最小值3＋22 D ．ab 有最大值1＋2【答案】AC【分析】由基本不等式得ab ＝1＋(a ＋b )≤2()2a b +，ab －1＝a ＋b ≥2ab ，又a ＋b >2、ab >1，应用一元二次不等式的解法，即可求a ＋b 、ab 的最值. 【详解】ab ＝1＋(a ＋b )≤2()2a b +(当且仅当a ＝b >1时取等号)，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0且a ＋b >2，解得a ＋b ≥2＋22，∴a ＋b 有最小值2＋22，知A 正确，B 错误；由ab －(a ＋b )＝1，得ab －1＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b >1时取等号)，即ab －2ab －1≥0且ab >1，解得12ab ≥+，即ab ≥3＋22， ∴ab 有最小值3＋22，知C 正确，D 错误. 故选：AC.11．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则下列命题正确的有（ ）A ．直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角为定值B ．三棱锥D －BPC 1的体积为定值 C ．异面直线C 1P 和CB 1所成的角为定值D ．直线CD 和平面BPC 1平行 【答案】BCD【分析】直接利用正方体的性质，几何体的体积公式, 线面平行的判定和性质，异面直线的夹角，逐项判断即可.【详解】选项A ，由线面所成角的定义，令BC 1与B 1C 的交点为O ，可得∠CPO 即为直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角，当P 移动时∠CPO 是变化的，故A 错误. 选项B ，三棱锥D －BPC 1的体积等于三棱锥P －DBC 1的体积，而△DBC 1大小一定，∵P ∈AD 1，而AD 1//平面BDC 1∴点A 到平面DBC 1的距离即为点P 到该平面的距离 ∴三棱锥D －BPC 1的体积为定值，故B 正确；选项C ，∵在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动， ∴CB 1⊥平面ABC 1D 1，∵C 1P ⊂平面ABC 1D 1，∴CB 1⊥C 1P ，故这两个异面直线所成的角为定值90°，故C 正确；选项D ，直线CD 和平面ABC 1D 1平行，∴直线CD 和平面BPC 1平行，故D 正确. 故选：BCD.12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是A ．20192g =B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =， 所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-，所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。
安徽省马鞍山市2021届高三第二次教学质量监测(二模)文科数学试题(word含答案)
马鞍山市2021年高三第二次教学质量监测文科数学试题本试卷4页，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U=R,集合A={x|x2≤x},B={-1,0,1,2},则（C U A)∩B=A.{2}B.{1,2}C.{-1,2}D.{-1,0,1,2}2.已知复数z满足iz=z+2i,则复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.相传在17世纪末期，莱布尼兹在太极八卦图的启示下，发明了二进制的记数方法．他发现，如果把太极八卦图中“连续的长划”（阳爻：）看作是1,把“间断的短划”（阴爻：）看作是0,那么，用八卦就可以表示出从0到7这八个整数．后来，他又作了进一步的研究，最终发明了二进制的记数方法。
下表给出了部分八卦符号与二进制数的对应关系：请根据上表判断，兑卦对应的八卦符号为4.函数f(x)=xcosx-1x在(－π,π)上的图象大致为5.已知变量x,y满足约束条件10,30,310.x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数z=2x-3y的最小值为A. -7B.-4C.-1D.16. 5.已知sin(3π-α3，则cos(3π＋2α)的值为 A. 23 B. 13 C.- 13 D.- 237.某同学计划暑期去旅游，现有A,B,C,D,E,F 共6个景点可供选择，若每个景点被选中的可能性相等，则他从中选择4个景点且A 被选中的概率是 A.15 B. 16 C. 35 D. 258. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, 0≤φ≤π)的部分图象如图所示．则函数f(x)的图象可由函数 y=sinx 的图象经过下列哪种变换得到A.向左平移3π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）B.向左平移6π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）D.向左平移3π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）9.已知双曲线C: 2224x y b+＝1(b>0),以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是A.(1,3213) C.( 32, 131310.3,底面半径为1,O 为底面圆心，OA,OB 为底面半径，且∠AOB=2,3πM 是母线PA 的中点。
长安区一中2021届高三上学期第二次月考数学(文)试题及答案
长安一中2020～2021学年度第一学期第二次质量检测高三年级 数学（文科）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间100分钟．2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．3.选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，则()U C A B =（ ）A.{}1-B.{}1,2-C.{}12x x -<< D.{}12x x -≤≤2．设p ∶10||2x <-，q ∶260x x +-<，则p 是q 的 ( ) A 充要条件. B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3. 圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为（ ）A.2B.2C.21+D. 21-4.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.24π+B.28π+C.44π+D.48π+ 5.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像 ( )A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位 6. 从某商场十月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录（单位：万元），用茎叶图表示如图，则由此估计该商场该月份销售总额约为（ ）A. 240万元B. 540万元C. 720万元D. 900万元7. 函数)(x f y =满足 (2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，2()1f x x =-，则()f x 在[0,2020]上零点值的个数为（ ） A.1009 B.1010 C.2019 D.2020 8. 函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是( )2006419832109. 数列{}n a 满足)(11,211++∈-+==N n a a a a nnn ，则2021321...a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为( ) A. 2 B. -6 C. 3 D. 110.B A ,是过抛物线y x 42=的焦点的动弦，直线21,l l 是抛物线两条分别切于B A ,的切线，则21,l l 的交点的纵坐标为（ ）A.1-B. 4-C. 14-D. 116- 11. 已知中 ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高， 以下结论: ① ；② 为锐角三角形；③ ；④其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 412.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，若函数)(x f 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22b a +的最小值为( )A ．54 B ．57 C ．59 D ．511第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
南开大学附中高三数学上学期第二次月考试题含解析
A。 （0，2）B. （0，2]C. （2，+∞）D. [2，+∞）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意， 是函数 的一个零点，故问题转化为当 时， 与 图象必有一个交点,再根据导数研究 性质，数形结合求解即可得答案。
【详解】解:根据题意,函数 恰有两个零点
三､解答题
16. 已知函数
(1)求f(x）的最小正周期;
(2）若将f（x)的图象向左平移 个单位，得到函数g（x)的图象，求函数g(x)在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1） (2)
【解析】
【分析】
（1）利用倍角公式及诱导公式化简，然后由周期公式求周期；
(2）由三角函数的图象平移得到函数 的解析式，结合 的范围求得函数 在区间 上的最大值和最小值．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，由正弦定理角化边，得到三边的关系，进而利用余弦定理求解；
（2）由正弦定理求得 ,并根据边的大小关系判定 为锐角,然后利用倍角公式和两角和的正弦公式计算.
【详解】解：(1）∵ ,
由正弦定理得, .
化简得， .
由余弦定理得, 。
又 ，
∴ .Байду номын сангаас
（2）由（1)知， ，
又 ， ，
【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值,考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.
13。 已知a>0,b>0且a+b=1，则 的最小值是___________。
【答案】9
【解析】
【分析】
先利用平方差公式和 得出 ，再去括号、通分得出 ，根据 和基本不等式可求出 的最大值,即 的最小值．
(安徽皖智1号卷)全国高三数学上学期月考试卷(二)文(含解析)
（安徽皖智1号卷）全国2023届高三数学上学期月考试卷（二）文（含解析）第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只 有一项为哪一项符合题目要求的．1．设集合U ={-2，-1，0，1，2，3，4}，A={一1，0}，B={0，1，2，3，4}，那么=( )A.{-2,1}B.{-2}C.{-2,0}D.{0,1,2,3,4}2．以下命题中，真命题是( )A ．存在x<0，使得2x>1B ．对任意x ∈R ，x 2 -x+l>0C ． “x>l ”是“x>2”的充分不必要条件D ．“P 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的必要而不充分条件3. 已知向量|a |=2,| b |=l ，且a 与b 的夹角为争那么a 与a +2b 的夹角为( )A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π 4．已知倾斜角为θ的直线，与直线x-3y+l=0垂直，那么2223sin -cos θθ=( ) A ．103 B ．一103 C ．1013 D ．一1013 5．设a=0.520152,log 2016,sin1830b c -︒==，那么a ，b ，c 的大小关系是( )A. a>b>cB. a >c> bC. b> c > aD. b > a > c6．函数2cos 22y x x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象是（ ）7．假设向量m= (-1，4)与n=(2，t)的夹角为钝角，那么函数f (t)=t 2—2t+1的值域是 ( )A ．()1,8181,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. [0,81) (81,+∞)D. [0,+∞)8．在△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b, c ，假设3,a b c b a =，3， 那么tanA=( )AB ．1 C．3D.9．在边长为2的正三角形ABC 中，2,3BC BD CA CE AD BE ==⋅=，则A ．1B ．-1C ．3D ．-310已知12()2cos ,,()2,()0,12f x x x R f x f x πω⎛⎫=+∈== ⎪⎝⎭又且|x 1-x 2|的最小值 是53π，那么正数ω的值为( ) A ．310 B ．35 C ．103 D ．5311．假设对∀x ，y 满足x> y>m>0，都有yInx<xlny 恒成立，那么m 的取值范围是( ) A. (0,e) B.(0,e] C. [e,e 2] D.[e, +∞)12．定义在R 上的奇函数f (x)满足f (x+1)=f （一x ），当x ∈(0，1)时， 1211log ||,22()10, 2x x f x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，那么f (x)在区间[1，32]内是( ) A ．增函数且f （x ）>0 B ．增函数且f (x)<oC ．减函数且f (x)>0D ．减函数且f （x ）<0第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．函数1()tan 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为 。
宁夏银川一中2021届高三上学期第二次月考语文试题含答案
银川一中2021届高三年级第二次月考语文试卷命题教师：注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
从文学的角度观照传统节日，并不牵强。
传统节日作为民族历史文化遗存，在漫长的岁月传承中，一些原初的价值与功能或有所丢失，或发生变异，节日仪式中的功利作用悄悄向审美作用转移，例如本来是象征驱除侵害人类生活的力量与因素的仪式，在反复举行之后，就变得别有意味了。
端午节就是例子。
为避萌动的邪气，需沐浴兰草汤、采药、置菖艾、戴香包等方式防五毒、送瘟神。
延习既久，这些处理人与自然关系的活动，具备了功利和美感的双重作用。
可见，在审美这一人类需求的层面，传统节日与文学有相通之处，因为所有的节日都带有娱乐性，能给人带来精神的愉悦。
清明节扫墓祭拜，是追念自家先人与逝者，祈求保佑的虔诚表达；中元节送河灯，活着的人希望那些无所归依的魂灵也被善待。
这些在固定时间里反复进行的活动，跟文学里对生者与死者、此岸与彼岸关系的思考，如出一辙。
有些节日，由人类对自然的崇拜演化为对生活愿望的象征性表达，比如七夕节。
七夕节由“天河”两岸的牛郎织女星座而来，反映了人类对天象的崇拜。
根据这一天象，产生了牛郎织女鹊桥相会的凄美爱情故事。
这个节日的诞生，可以说与文学生产同时进行。
传统节日通过人的行为方式流传下来的。
但这些节日能够作为民族文化的物化形式得以保存并成为中国人精神里不可剔除的部分，更依赖文学书写所创造的艺术形象和语言篇章。
从古代开始，对传统节日的吟咏和描写，产生了大量的诗词歌赋，乃至只要提到某个节日，人们就会立即联想到某一首诗词或某一篇文章。
传统节日由民俗风习向审美对象转化，文学起了主要作用。
可以说，历代有关传统节日的文学作品，装点了传统节日，强化了民族的集体记忆，牢牢绾结起中华儿女的民族情感和文化认同。
2021届山东省济宁市高三二模数学试题(解析版)
2021届山东省济宁市高三二模数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}2A x x =≥，(){}2log 11B x x =-<，则()UA B =（ ） A ．(),2-∞ B ．(],2-∞C ．()1,2D ．()1,3【答案】C【分析】解出集合B ，利用补集和交集的定义可求得集合()UA B ⋂.【详解】由()2log 11x -<，可得012x <-<，解得13x <<，则()1,3B =， 因为{}2A x x =≥，U =R ，则(),2UA =-∞，因此，()()1,2U AB =.故选：C.2．已知()2i z i -⋅=，i 为虚数单位，则z =（ ）A ．B ．1C ．2D 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z . 【详解】()2i z i -⋅=，所以，()()()22112222555i i i i z i i i i +-====-+--+，因此，z ==. 故选：A.3．“直线m 垂直平面α内的无数条直线”是“m α⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必安条件【答案】B【分析】根据线面垂直的定义和性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】因为当直线m 垂直平面α内的所有直线时，才能得到m α⊥， 所以由直线m 垂直平面α内的无数条直线不一定能推出m α⊥， 但是由m α⊥一定能推出直线m 垂直平面α内的无数条直线， 所以直线m 垂直平面α内的无数条直线是m α⊥的必要不充分条件，故选：B4．已知随机变量X 服从正态分布()21,N σ，若()00.2P X ≤=，则()2P X <=（ ） A ．0.2 B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】D【分析】根据正态分布的性质进行求解即可.【详解】因为()00.2P X ≤=，所以()()21010.20.8P X P X <=-<=-=， 故选：D5．已知椭圆22:143x y C +=，过点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线交椭圆C 于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ） A ．3220x y --= B ．3240x y +-= C ．3450x y +-= D ．3410x y --=【答案】B【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用点差法可求得直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，由中点坐标公式可得121212122x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以121221x x y y +=⎧⎨+=⎩， 因为22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得22221212043x x y y --+=，即2212221234y y x x -=--， 即121212121324ABy y y y k x x x x +-⋅==-+-，所以，32AB k =-， 因此，直线AB 的方程为()13122y x -=--，即3240x y +-=. 故选：B.【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解. 6．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知点()3,1M-和点()0,1N ．若点P 在MON ∠的角平分线上，且4OP =，则OP MN ⋅=（ ）A ．2-B ．6-C ．2D ．6【答案】A【分析】根据平面几何知识求出xOP ∠，进而得到点P 的坐标，再根据平面向量数量积的坐标表示即可解出．【详解】如图所示：因为3tan xOM ∠=，所以30xOM ∠=，即有60NOP ∠=，30xOP ∠=， 所以点P 的坐标为()23,2，即OP =()23,2，又()3,2MN =- 因此(233222OP MN ⋅=-+⨯=-． 故选：A ．7．已知函数()12ln ,112ln ,01x x f x x x -+>⎧=⎨-<≤⎩，若()()f a f b =，则a b +的最小值是（ ）A ．2eB ．eC ．1e +D ．2e【答案】C【分析】先由()()f a f b =得到ab e =，把a b +转化为ea b a a+=+，利用函数单调性求出最小值.【详解】函数()12ln ,112ln ,01x x f x x x -+>⎧=⎨-<≤⎩的图像如图所示，作出y t =交()y f x =两点，其横坐标分别为a 、b ，不妨设01a b <≤<.由()()f a f b =可得：12ln 12ln a b -=-+，解得：ab e =， 所以e a b a a+=+ 记()()01eg a a a a=+<≤， 任取1201a a <<≤，则()()()()12121212121212==1e e e e e g a g a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
宁夏银川一中2021届高三数学第二次月考试题 文(1)
银川一中2021届高三年级第二次月考数 学 试 卷（文）【试卷综评】突出考查数学骨干知识 ,偏重于中学数学学科的基础知识和大体技术的考查；偏重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.【题文】1．设集合212{|10},{|log }A x xB x y x =-<==，那么A∩B 等于（ ）A ．{|1}x x >B ．{|01}x x <<C ． {|1}x x <D ．{|01}x x <≤ 【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】B 解析：由A 中不等式变形得：（x+1）（x ﹣1）＜0，解得：﹣1＜x ＜1，即A={x|﹣1＜x ＜1}，由B 中y=，取得0＜x≤1，即B={x|0＜x≤1}，那么A∩B={x|0＜x ＜1}．应选：B ．【思路点拨】求出A 中不等式的解集确信出A ，求出B 中x 的范围确信出B ，求出A 与B 的交集即可． 【题文】2．已知复数 z 知足(13)1i z i +=+，那么||z =（ ）A ．22B ．21C ．2D ． 2【知识点】复数求模．L4 【答案解析】A 解析：∵，∴=，因此|z|=应选A ．【思路点拨】第一依照所给的等式表示出z ，是一个复数除法的形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母同时进行乘法运算，取得最简形式．【题文】3．在△ABC 中，“3sin 2A >”是“3πA >”的（ ）A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判定；正弦函数的单调性．A2 C3【答案解析】A 解析：在△ABC 中，∴0＜A ＜π，∵sinA ＞，∴＜A ＜，∴sinA ＞”⇒“∠A ＞”，反之那么不能，∴，“sinA＞”是“∠A ＞”的充分没必要要条件，故A 正确．【思路点拨】在△ABC 中，0＜A ＜π，利用三角函数的单调性来进行判定，然后再由然后依照必要条件、充分条件和充要条件的概念进行判定求解．【题文】4．O 是ABC ∆所在平面内的一点，且知足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，那么ABC ∆的形状必然为（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．斜三角形【知识点】三角形的形状判定．C8 【答案解析】C 解析：∵= = ==0，∴，∴△ABC 为等腰三角形．应选C【思路点拨】利用向量的运算法那么将等式中的向量 用三角形的各边对应的向量表示，取得边的关系，得出三角形的形状．【题文】5．设向量b a ,b a +=10b a -=6，那么=⋅b a （ ）A ．5B ．3C ．2D ．1【知识点】平面向量数量积的运算．F3 【答案解析】D 解析：∵|+|=，|﹣|=，∴|+|2=10，|﹣|2=6，展开得2+2+2•=10， 2+2﹣2•=6，两式相减得4•=4，∴•=1；应选D ．【思路点拨】利用向量的平方等于向量的模的平方，将已知的两个等式平方相减，解得数量积．【题文】6．函数2sin 2xy x =-的图象大致是（ ）【知识点】函数的图象．B8【答案解析】C 解析：当x=0时，y=0﹣2sin0=0故函数图象过原点， 可排除A 又∵y'=，故函数的单调区间呈周期性转变分析四个答案，只有C 知足要求，应选C 【思路点拨】依照函数的解析式，咱们依照概念在R 上的奇函数图象必要原点能够排除A ，再求出其导函数，依照函数的单调区间呈周期性转变，分析四个答案，即可找到知足条件的结论．【题文】7．假设角α的终边在直线y ＝2x 上，那么ααααcos 2sin cos sin 2+-的值为( )A ．0 B. 34 C ．1 D. 54【知识点】同角三角函数大体关系的运用；三角函数线．C1 C2 【答案解析】B 解析：∵角α的终边在直线y=2x 上，∴tanα=2，∴==，应选：B ．【思路点拨】依题意，tanα=2，将所求的关系式中的“弦”化“切”即可求得答案．【题文】8．ABC ∆的内角A B C 、、的对边别离是a b c 、、,假设2B A =,1a =,3b =,那么c = （ ） A ．23 B ．2C ．2D ．1【知识点】正弦定理；二倍角的正弦．C6 C8 【答案解析】B 解析：∵B=2A ，a=1，b=，∴由正弦定理=得：===，∴cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA ，即1=3+c2﹣3c ，解得：c=2或c=1（经查验不合题意，舍去），那么c=2．应选B【思路点拨】利用正弦定理列出关系式，将B=2A ，a ，b 的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosA 的值，再由a ，b 及cosA 的值，利用余弦定理即可求出c 的值．【题文】9．假设f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，那么b 的取值范围是（ ）A.[-1，+∞）B.（-1，+∞）C.（-∞，-1]D.（-∞，-1） 【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12 【答案解析】C 解析：由题意可知，在x ∈（﹣1，+∞）上恒成立，即b ＜x （x+2）在x ∈（﹣1，+∞）上恒成立，由于y=x （x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y （﹣1）=﹣1，因此b≤﹣1，应选C 【思路点拨】先对函数进行求导，依照导函数小于0时原函数单调递减即可取得答案．【题文】10．函数()()x x x f 21ln -+=的零点所在的大致区间是（ ）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【知识点】函数的零点与方程根的关系．B9【答案解析】B 解析：∵f （1）=ln （1+1）﹣2=ln2﹣2＜0， 而f （2）=ln3﹣1＞lne ﹣1=0，∴函数f （x ）=ln （x+1）﹣的零点所在区间是 （1，2），应选B ．【思路点拨】函数f （x ）=ln （x+1）﹣的零点所在区间需知足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反． 【题文】11．)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 部份图象如图, 若2||AB BC AB =⋅,ω等于（ ）A ．12πB ．4πC ．3πD ．6π【知识点】由y=Asin （ωx+φ）的部份图象确信其解析式；平面向量数量积的运算．C4 F3 【答案解析】D 解析：由，得||•||•cos（π﹣∠ABC）=，即||•（﹣cos∠ABC）=， 由图知||=2||，因此cos∠ABC=﹣，即得∠ABC=120°，过B 作BD⊥x 轴于点D ，那么BD=，在△ABD 中∠ABD=60°，BD=，易求得AD=3，因此周期T=3×4=12，因此ω==．应选D ． 【思路点拨】由，可求得∠ABC=120°，再由函数最大值为，通过解三角形可求得周期，由此即可求得ω值．【题文】12．函数()x f 是R 上的偶函数，在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan,75cos,72sinπππf c f b f a ，那么（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b << 【知识点】偶函数；不等式比较大小．B4 E1 【答案解析】D 解析：，因为，又由函数在区间[0，+∞）上是增函数，因此，因此b ＜a ＜c ，应选A【思路点拨】通过奇偶性将自变量调整到同一单调区间内，依照单调性比较a 、b 、c 的大小． 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部份．第13题～第21题为必考题，每一个试题考生都必需做答．第22题～第24题为选考题，考生依照要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.【题文】13．设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，那么((2))f f 的值为 .【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．B1 B10【答案解析】2 解析：由题意，自变量为2，故内层函数f （2）=log3（22﹣1）=1＜2， 故有f （1）=2×e1﹣1=2，即f （f （2））=f （1）=2×e1﹣1=2，故答案为 2【思路点拨】此题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的，故求解此题应先求内层的f （2），再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解进程中应注意自变量的范围选择相应的解析式求值．【题文】14．若sin cos 2θθ+=，那么tan 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ___________. 【知识点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的大体关系．C5 C2【答案解析】-2-3 解析：∵，平方可得sin2θ=1，=1，∴=1，tanθ=1．∴===，故答案为．【思路点拨】把条件平方可得sin2θ=1，变形为 =1，解出tanθ代入=可求出结果．【题文】15．设奇函数()x f 的概念域为R ，且周期为5，假设()1f ＜—1，(),log 42a f =那么实数a 的取值范围是 .【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性；对数的运算性质．B4 B7【答案解析】-2-3 解析：依照题意，由f （x ）为奇函数，可得f （1）=﹣f （﹣1）， 又由f （1）＜﹣1，那么﹣f （﹣1）＜﹣1，那么f （﹣1）＞1，又由f （x ）周期为5，那么f （﹣1）=f （4）=log2a ，那么有log2a ＞1，解可得a ＞2；故答案为a ＞2．【思路点拨】关键函数是奇函数，结合f （1）＜﹣1，分析可得f （﹣1）＞1，又由f （x ）周期为5，那么f （﹣1）=f （4）=log2a ，联立可得log2a ＞1，解可得答案． 【题文】16．以下命题:①若||||||a b a b ⋅=⋅,那么a ∥b ;②a =(-1,1)在b =(3,4)方向上的投影为15;③若△ABC 中,a=5,b =8,c =7,那么BC ·CA =20;④假设非零向量a 、b 知足||||a b b +=,那么|2||2|b a b >+. 所有真命题的标号是______________.【知识点】向量的投影；向量的共线定理；平面向量数量积的性质及其运算律；平面向量数量积的运算．F2 F3 【答案解析】①② 解析：关于选项A ，依照，那么cosθ=±1，θ=0°或180°，那么∥，故正确；关于选项B ，依照投影的概念可得，在 方向上的投影为||cos ＜，＞==，故正确；关于选项C ，由余弦定理可知cosC=，=5×8×cos（π﹣C ）=﹣20，故不正确；关于选项D ，|+|=，不正确； 故答案为：①② 【思路点拨】选项A 依照，那么cosθ=±1，θ=0°或180°，那么∥可得结论；选项B 依照投影的概念，应用公式 在 方向上的投影为||cos ＜，＞=求解；选项C 由余弦定理可知cosC=，=5×8×cos（π﹣C ）=﹣20，可知真假；关于选项D ，显然不正确．三、解答题： 解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤. 【题文】17、（本小题12分）已知向量⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,sin x m ，()02cos 3,cos 3>⎪⎭⎫⎝⎛=A x A x A n ，函数()f x m n =⋅的最大值为6. （1）求A ；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原先的12倍，纵坐标不变，取得函数()y g x =的图象.求()g x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上的值域. 【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．菁优网版权所有C4 C7 F3【答案解析】（1）A ＝6（2）[]633-，解析：（1）()x f ＝n m ⋅＝3x x cos Asin +A2cos2x...... 2分＝A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 212sin 23＝Asin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ........4分，因为A>0，由题意知，A ＝6...........6分由(1)()x f ＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx .将函数()x f y =的图象向左平移π12个单位后取得y ＝6sin⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+6122ππx ＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将取得图象上各点横坐标缩短为原先的12倍，纵坐标不变，取得y ＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+34πx 的图象。
宁夏银川一中2021届高三上学期第二次月考数学(文)试题+Word版含答案
银川一中2021届高三年级第二次月考文 科 数 学命题人：注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}{}312,log 1A x x B x x =-≤≤=≤，则AB =A ．{}02x x <≤B ．{}12x x -≤≤C ．{}12x x ≤≤D ．{}03x x <≤ 2．如果42ππα<<，那么下列不等式成立的是A ．sin cos tan ααα<<B ．tan sin cos ααα<<C ．cos sin tan ααα<<D ．cos tan sin ααα<<3．如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABC D 的顶点D 被阴影遮住，则 AB →·A D →＝A ．10B ．11C ．12D ．13 4．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝ A ．725 B ．15C ．－15D ．－7255．如图所示的曲线图是 2020年1月25日至 2020年2月12日陕 西省及西安市新冠 肺炎累计确诊病例 的曲线图，则下列 判断错误的是A ．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B ．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C ．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D ．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率6．正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，6AB =，2BD =，则AB AD ⋅= A ．12B ．18C ．24D ．307．1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：sin 、tan 、sec （正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：cos 、cot 、csc （余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中1sec cos θθ=，1csc sin θθ=.若(0,)a π∈，且322csc sec αα+=，则tan α= A ．513B ．1213C ．0D ．125-8．设f (x )＝lg(21－x ＋a )是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数9．将函数f （x ）=sin x 的图象向右平移4π个单位长度后得到函数y =g （x ）的图象， 则函数y =f （x ）•g （x ）的最大值为 A ．422+ B ．422- C ．1 D ．21 10．△ABC 中三个内角为A ，B ，C ，若关于x 的方程x 2－x cos A cos B －cos 2C2＝0有一根为1，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形11．函数f (x )是偶函数，对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝1f （x ）；当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1) 12．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos ,4,cos a c Cb b B-== 则ABC ∆的面积的最大值为A ．3B ．3C ．2D 3二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知扇形AOB 面积为π34，圆心角AOB 为︒120，则该扇形的半径为_________. 14．若)1,1(-=a ，2b =，且()-⊥a b a ，则a 与b 的夹角是_______________. 15．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，π0,0,2A >><ωϕ 的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________. 16．对于任意实数12,x x ，当120x x e <<<时，有122121ln ln x x x x ax ax ->-恒成立， 则实数a 的取值范围为___________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
江西省临川第一中学暨临川一中实验学校2021届高三上学期第二次月考数学(文)试题
临川一中暨临川一中实验学校2021届高三第二次月考试题文科数学命题人：马萍审题人：尧秋元时间;120分钟满分：150分钟一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2，3}，则A ∩B=（）A ．{0}B ．{1}C ．{1，2，3}D ．{0，1，2，3}2．复数z 满足(2i)2i z -=，则z =A．24-+55i B．24+55i C．42-+55i D．42+55i 3．已知向量312a b m =（－，），=（，），m ∈R ，则“32-=m ”是“//a a b （＋）”的（）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．充要条件4．对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知{1,3}M =，{1,3,5,7,9}N =，若从集合M ，N 中各任取一个数x ，y ，则3log ()xy 为整数的概率为（）A ．15B ．25C ．35D ．455．等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若=-=1110172,68a a s 则（）A．2B．3C．4D．66．已知一组数据1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的平均数是3，方差是14，那么另一组数132x -、232x -、332x -、432x -、532x -的平均数，方差分别是（）A ．13,4B ．33,4C ．57,4D ．7,947．某程序框图如图所示，若输出的247S =，则判断框内为（）A ．7?k >B ．6?k >C ．5?k >D ．4?k >8．函数()2log xf x =的大致图象是（）A．B ．C ．D．9．函数sin y x x =+的图象向右平移6π个单位长度得到函数()f x 的图象，则下列说法不正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期2πB ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．函数()f x 的图象关于5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 在511,66ππ⎡⎤⎢⎣⎦上递增10．若x 、y 满足约束条件1215y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最大值为（）A ．2B ．3C ．11D ．1311．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的离心率e =（）AB ．2CD ．3212．已知()f x 是定义在R 上的单调函数，满足()1x f f x e ⎡⎤⎣⎦-=，且()()f a f b e >>.若10log log 3a b b a +=，则a 与b 的关系为（）A ．3a b =B ．3b a =C ．2b a =D ．2a b =二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．若曲线22ln y ax x =-在点(1,2)a 处的切线平行于x 轴，则a =．14．已知圆.0142222=-+-+y x y x C 为：截直线02:=+-y ax l 所得的弦长为152，则实数=a __________．15．已知ABC ∆的三个顶点在以O为球心的球面上，且1,3AB BC AC ===，三棱锥O ABC -的体积为23，则球O 的表面积为__________.16．设数列{}n a 的前n 项和为12++=n n s n ，).(,cos *∈⋅=N n n a b n n π则数列{}n b 的前2021项和为__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17~21为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.17．在ABC ∠中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin C c B =-.（1）求B ；（2）若b =AD 为BC 边上的中线，当ABC 的面积取得最大值时，求AD 的长.18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点.（1）求证：1//B E 平面ACF ；（2）求三棱锥1B ACF -的体积.19．H 大学就业指导中心对该校毕业生就业情况进行跟踪调查，发现不同的学历对就业专业是否为毕业所学专业有影响，就业指导中心从2018届的毕业生中，抽取了本科和研究生毕业生各50名，得到下表中的数据.就业专业毕业学历就业为所学专业就业非所学专业本科3020研究生455（1）根据表中的数据，能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为就业专业是否为毕业所学专业与毕业生学历有关；（2）为了进一步分析和了解本科毕业生就业的问题，按分层抽样的原则从本科毕业生中抽取一个容量为5的样本，要从5人中任取2人参加座谈，求被选取的2人中至少有1人就业非毕业所学专业的概率.附：()()()()22(ad bc)n K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++2(K k)P ≥0.10.050.0250.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87920．焦点在x 轴上的椭圆C ：22221x y a b +=经过点(，椭圆C 的离心率为2．1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上任意点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点M 为2OF 的中点（O 为坐标原点），过M 且平行于OP 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在实数λ，使得2||||||OP MA MB λ=⋅；若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．21．已知函数()22x f x e mx x =--（e 为自然对数的底数）.（1）若0m =，讨论()f x 的单调性；（2）若[)0,x ∈+∞时，()12e f x >-恒成立，求m 的取值范围.请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的的一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．在平面直角坐标系中，曲线2212:C x y -=，曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线．．6πθ=与曲线1C ，2C 分别交于A 、B 两点（异于极点O ），定点(3,0)M ，求MAB ∆的面积23．已知函数()|1|f x x =-.（1）求不等式()32||f x x ≥-的解集；（2）若函数()()|3|g x f x x =++的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证：224a b b a+≥。
2021届北京市丰台区高三二模数学试题(解析版)
a2
a
因为双曲线 x2 y2 1(a 0) 的渐近线与圆 x2 y2 4 y 3 0 相切， a2
3
所以 2a 1，化简得 3a2 1，解得 a 3 或 a 3 （舍去），
1 a2
3
3
故选：C
8．将函数 y log2 (2x 2) 的图象向下平移 1 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，
【答案】C
【分析】求出圆的圆心和半径，由于圆与渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离等于半
径，列方程可求出 a 的值
【详解】解：由 x2 y2 4 y 3 0 ，得 x2 ( y 2)2 1，所以圆心为 (0, 2) ，半径为
1，
双曲线 x2 y2 1(a 0) 的渐近线方程为 y x ，
3
3
根据条件 △AFC 与VBDA 全等，所以 AF BD 1
在△ABD 中， AD 3, BD 1
AB2 AD2 BD2 2 AD BD cos BDA
32
12
2
1
3
1 2
13
所以 AB 13
故答案为： 13
15．函数
f (x) 是定义域为 R 的奇函数，满足
f
2
x
f
D 中，若 a / / , a / / ， , 可能相交也可能平行，则错误．
故选：B
6．“ a 1”是“直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的（ ）
2
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直得到 a R ，再利用充分必要
湖南师大附中2020-2021学年高三上学期10月第二次月考数学试题
大联考湖南师大附中2021届高三月考试卷（二）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分150分．得分：______________第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2{2,},60A x x x Z B x x x =∈=--<，则A B ⋂=（ ）A ．{2,1,0,1,2,3}--B ．{2,1,0,1,2}--C ．{1,0,1,2}-D ．{2,1,0,1}--2．若(1)1z i i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．i -D ．i3．已知2sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．234．刘徽（约公元225—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2︒的近似值为（ ）A ．90π B ．180π C ．270π D ．360π 5．()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．36．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹（一根根同样长短和粗细的小棍子）来进行运算．算筹的摆放有纵式、横式两种（如图所示）．当表示一个多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹应表示为（ ）A ．B ．C ．D ．7．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“5a <”是“3a <”的必要条件其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，120APD ︒∠=，AB PA ==2PD =，则该四棱锥P ABCD -外接球的体积为（ ）A ．323πB ．3C ．D ．36π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，考生成绩都分布在[70,150]内，并作出了如下频数分布统计表，规定考试成绩在[120,150]内为优秀，则下列说法正确的有（ ）A ．计算得10,7x y ==B ．估计甲校优秀率为25%，乙校优秀率为40%C ．估计甲校和乙校众数均为120D ．估计乙校的数学平均成绩比甲校高10．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 在3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 B ．函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 的图象向右平移512π个单位后关于直线56x π=成轴对称 D ．若圆半径为512π，则函数()f x 的解析式为()sin 263f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 11．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE ．以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A 的平面截正方体所得的截面面积最大为212．如图，过点(2,0)P 作两条直线2x =和:2(0)l x my m =+>分别交抛物线22y x =于,A B 和,C D（其中,A C 位于x 轴上方），直线,AC BD 交于点Q ．则下列说法正确的是（ ）A ．,C D 两点的纵坐标之积为4-B ．点Q 在定直线2x =-上C ．点P 与抛物线上各点的连线中，PA 最短D ．无论CD 旋转到什么位置，始终有CQP BQP ∠=∠第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图所示，在平面直角坐标系中，(2,3)CD =-，则点D 的坐标为_________．14．已知函数2ln ()x f x ax x=-，若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =_____．15．过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于,A B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ，则双曲线的离心率为__________．16．已知函数(1),1,()ln , 1.x x e x f x x x x⎧-⎪=⎨>⎪⎩其中e 为自然对数的底数．若函数()()g x f x kx =-有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在①22()3a b c ab +=+，②sin cos a A a C =-，③(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-⋅=，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，c =_____．（1）求C ∠；（2）求ABC 周长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）如图1，在ABC中，34AB ABC π==∠=，D 为AC 的中点，将ABD 沿BD 折起，得到如图2所示的三棱锥P BCD -，二面角P BD C --为直二面角．（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）设E 为PC 的中点，3CF FB =，求二面角C DE F --的余弦值．19．（本小题满分12分）已知各项均为整数的数列{}n a 满足371,4a a =-=，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．20．（本小题满分12分）设函数()cos xf x ae x =+，其中a R ∈．（1）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（2）若()f x 在区间[0,]π内有两个不同的零点，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）现有4个人去参加某项娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．22．（本小题满分12分）已知点P 是圆22:(2)32Q x y ++=上任意一点，定点(2,0)R ，线段PR 的垂直平分线l 与半径PQ 相交于M 点，P 在圆周上运动时，设点M 的运动轨迹为Γ．（1）求点M 的轨迹Γ的方程；（2）若点N 在双曲线22142x y -=（顶点除外）上运动，过点N ，R 的直线与曲线Γ相交于,A B ，过点,N Q 的直线与曲线相Γ交于,C D ，试探究||||AB CD +是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由．炎德·英才大联考湖南师大附中2021届高三月考试卷（二）数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C2．C 【解析】因为21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-，所以选C ． 4．A 【解析】将一个单位圆等分成180个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为2︒，因为这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积，所以118011sin 290sin 22π︒︒⨯⨯⨯⨯=≈，所以sin 290π︒≈，所以选A ．5．D 【解析】第一个因式取2x ，第二个因式取21x 得：1451(1)5C ⨯-=，第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=-，展开式的常数项是5(2)3+-=．6．C 【解析】由算筹的定义，得，所以8771用算筹应表示，故选C ． 7．B 【解析】①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；错误，当0c =时不成立；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；成立；③“a b >”是“22a b >”的充分条件，错误，当2,3a b =-=-时，不成立；④“5a <”是“3a <”的必要条件，成立，选B ．8．B 【解析】取AD 的中点E ，连接,PE PAD 中，120,2APD PA PD ︒∠===∴1PE =，AD =，设ABCD 的中心为O '，球心为O ，则122O B BD '==，设O 到平面ABCD 的距离为d ，则2222222(2)R d d =+=+-，∴1,d R ==P ABCD -的外接球的体积为343R π=．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．ABD 【解析】对于A ，甲校抽取1200110602200⨯=人，乙校抽取1000110502200⨯=人，故10x =，7y =；故A 正确；对于B ，估计甲校优秀率为1525%60=，乙校优秀率为2040%50=．故B 正确；对于D ，甲校平均成绩109.5，乙校平均成绩114.6，故D 正确． 10．BD 【解析】由图易得点C 的横坐标为3π，所以()f x 的周期T π=，所以2ω=，又06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，因此()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，若圆半径为512π，则2A =，∴6A =，函数()f x 的解折式为()sin 263f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选BD ． 11．AC 【解析】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，1//MN A B ，从而平面1//B MN 面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ．取F 为MN 的中点，因为1B MN 是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=1tan 302︒<=，所以B 错误；平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11111tan B C B FC C F ∠==C正确；截面面积可以为2D 错误．故选AC ．12．AB 【解析】设点()()1122,,,C x y D x y ，将直线l 的方程2x my =+代入抛物线方程22y x =得：2240y my --=．则124y y =-．故A 正确；由题得(2,2),(2,2)A B -，直线AC 的方程为122(2)2y x y -=-+，直线BD 的方程为222(2)2y x y +=--，消去y 得()12121224y y y y x y y -+=-+，将124y y =-代入上式得2x =-，故点Q 在直线2x =-上，故B 正确；计算可得C 错误；因为PA PB =，但QA QB ≠，所以D 错误．故选AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(4,1) 【解析】设点D 的坐标为(,)x y ，则(2,4)(2,3)CD OD OC x y =-=--=-，即22,43,x y -=⎧⎨-=-⎩解得4,1x y ==． 14．12- 【解析】函数2ln ()x f x ax x =-的导数为21ln ()2x f x ax x '-=-，可得曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线的斜率为12k a =-，由切线与直线210x y -+=平行，可得122a -=，解得12a =-． 15．1+ 【解析】过双出线22221(0,0)y x a b a b-=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于,A B 两点，则22||b AB a=，以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ，可得：22b c a =，∴2220c a ac --=，可得2210e e --=，解得11e e =+=-（舍去）．故答案为：1+．16．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】令()(1)(1)x g x x e x =-，则()x g x xe '=，所以当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,1)x ∈时，()0g x '>，于是函数()g x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,1)上单调递增，当x →-∞时，()0,(0)1,(1)0g x g g →=-=．令ln ()(1)x h x x x =>，则21ln ()x h x x'-=，所以当(1,)x e ∈时，()0h x '>；当(,)x e ∈+∞时，()0h x '<，于是函数()h x 在区间(1,)e 上单调递增，在区间(,)e +∞上单调递减，(1)0h =，1()h e e=，当x →+∞时，()0h x →．函数()()g x f x kx =-有3个不同的零点，等价于方程()f x kx =有3个解，即函数()f x 的图象与直线y kx =有3个交点，作出函数()f x 与直线y kx =的大致图象，如下图所示．当直线y kx =与函数()h x 相切时，设切点坐标为000ln ,x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据导数的几何意义可得：00200ln 01ln 0x x k x x --==-，解得：01,2k x e==()f x 的图象与直线y kx =有3个交点，数形结合可知k 的取值范国为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）选①，把22()3a b c ab +=+整理得，222a b c ab +-=，由余弦定理有2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，∴3C π= 5分选②,∵sin cos a A a C =-,由正弦定理得：sin sin sin cos A C A A C =-,∵sin 0A ≠cos 1C C -=， 即1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又0C π<<， ∴5666C πππ-<-<，故66C ππ-=，即3C π=； 5分 选③，∵(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=， 由正弦定理得：2(2)(2)2a b a b a b c -+-=， 即222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==， ∵0C π<<，∴3C π=； 5分（2）由（1）可知，3C π=，在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=， 即223a b ab +-=，∴223()()334a b a b ab ++-=，∴23a b +，当且仅当a b =时取等号，∴33a b c ++，即ABC 周长的最大值为 10分18．【解析】（1）证明：在ABC 中，2222cos 20AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=，∴AC =，∵D 为AC中点，∴CD =又∵1()2BD BA BC =+，∴()2221214BD BA BA BC BC =+⋅+=，∴1BD =， ∴222,BD BC CD BC BD +=⊥． ∵二面角P BD C --为直二面角，∴平面BCD ⊥平面PBD ，∴BC ⊥平面PBD ．又∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ． 5分（2）以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，过点B 且垂直于平面BCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可求得(0,0,0),(2,0,0)B C ，(0,1,0),(0,2,2)D P ，因为E 为PC 的中点，3CF FB =，所以(1,1,1)E ，1,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴1(2,1,0),(1,0,1),,1,02CD DE DF ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =，平面FDE 的法向量为()222,,n x y z =，则0,0,CD m DE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(1,2,1)m =-， 0,0,DF n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴cos,3m n〈〉==，所以二面角C DE F--的余弦值为3．12分19．【解析】（1）设前6项的公差为d，则5363212,313a a d d a a d d=+=-+=+=-+，∵567,,a a a成等比数列，∴22657(31)4(21)a a a d d=⋅⇒-=-，解得：51,9d d==（舍），∴6n时，3(3)4na a n d n=+-=-，∴561,2a a==，则2q=，∴6n>时，6562n nna a q--=⋅=，∴54,6,2, 6.n nn nan--⎧=⎨>⎩（或54,5,2, 5.n nn nan--⎧=⎨>⎩或54, 5.2, 5.n nn nan--<⎧=⎨⎩）6分（2）由（1）可得：{}:3,2,1,0,1,2,4,8,na---则当1m=时，1231236a a a a a a++=-=，当2m=时，2342342342343,0,a a a a a a a a a a a a++=-=++≠，当3m=时，345345a a a a a a++==，当4m=时，4564564564563,0,a a a a a a a a a a a a++==++≠，当5m时，假设存在m，使得1212m m m m m ma a a a a a++++++=，则有53122(124)2m m--++=即：53122772272m m m---⋅=⇒=，∵5m，∴273m -，∴2732287m-=>，从而2772m-=无解，∴5m时，不存在这样的m，使得1212m m m m m ma a a a a a++++++=，综上所述：1m=或3m=．12分20．【解析】（1）()sinxf x e x'=-，由0x>，得1,sin[1,1]xe x>∈-，则()sin 0xf x e x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数． 故()(0)2f x f >=，即()2f x >． 4分（2）由()cos 0xf x ae x =+=，得cos x xa e=-． 设函数cos (),[0,]xxh x x e π=-∈， 则sin cos ()xx xh x e'+=． 令()0h x '=，得34x π=． 则30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3()0,,4h x x ππ'⎛⎤>∈ ⎥⎝⎦时，()0h x '<， 所以()h x 在30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调逼增，在3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调减．又因为343(0)1,(),42h h e h e ππππ--⎛⎫=-==⎪⎝⎭，所以当34,2a e e ππ--⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程cos x xa e =-在区间[0,]π内有两个不同解，即所求实数a 的取值范围为34,2e e ππ--⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 12分 21．【解析】（1）依题意可得：参加甲游戏的概率为12163P ==， 参加乙游戏的概率为24263P ==， 设事件i A 为“有i 个人参加甲游戏”，∴()441233iii i P A C -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()222241283327P A C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 4分（2）设事件B 为“甲游戏人数大于乙游戏人数”， ∴34B A A =⋃，∴()()()34343434441211()3339P B P A A P A P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋃=+=⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 8分 （3）ξ可取的值为0，2，4，∴()22224128(0)3327P P A C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()33131344121240(2)333381P P A P A C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()440404442117(4)3381P P A P A C C ξ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴8401714802427818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． 12分 22．【解析】（1）依题意：||||MP MR =， 1分且||||||||||4||MR MQ MQ MP PQ RQ +=+==>=， 2分由椭圆定义知点M 的轨迹为以R ，Q 为焦点，长轴长为，焦距为4的椭圆，即：2,2a c b ===， 3分故22:184x y Γ+=． 4分 （2）设()00,N x y ，则220001,242x y x -=≠±， ∴直线,NR NQ 的斜率都存在，分别设为12,k k ，则2020001222000021222442x y y y k k x x x x -=⋅===+---， 6分 将直线NR 的方程1(2)y k x =-代入22184x y +=得()2222111218880k x k x k +-+-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则221112122211888,2121k k x x x x k k -+==++， 8分∴21211||21k AB k +==+， 9分 同理可得22221||21k CD k +=+， 10分()222221121122221211211312111142||||12121212112k k k k k AB CD k k k k k ⎛⎫++⎪⎫+++⎪∴+=+=+==⎪++++⎪⎭+ ⎪⎝⎭． 12分。
北京市海淀区2021届高三二模数学试题(解析版)
2021北京海淀高三二模数学一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边经过点()3,4-，则cos θ=（ ） A.45B.35C.35D. 45-【答案】C 【解析】【分析】根据余弦函数的定义进行求解即可.【详解】设点()3,4P -，因为5OP ==，所以33cos 55θ-==-. 故选：C.2. 设a R ∈，若()()213i a i i +-=--，则a =（ ） A. 1- B. 2- C. 1 D. 2【答案】A 【解析】【分析】利用复数的乘法和复数相等可得出关于实数a 的等式，即可解得实数a 的值. 【详解】()()()()221213i a i a a i i +-=++-=--，所以，21123a a +=-⎧⎨-=-⎩，解得1a =-. 故选：A.3. 已知 1.50.31.50.3,log 0.3, 1.5a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. a c b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】【分析】根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.【详解】由条件可知，()1.50.30,1a =∈， 1.5log 0.30b =<，0.31.51>，所以b a c <<. 故选：B4. 已知F 为抛物线24y x =的焦点，()00,P x y 是该抛物线上的一点.若2PF >，则（ ）A. ()00,1x ∈B. 0(1,)x ∈+∞C. 02,( )y ∈+∞D. 0,2() y ∈-∞【答案】B 【解析】【分析】根据焦半径公式，直接求0x 的范围. 【详解】由条件可知12p=，根据焦半径公式012PF x =+>，解得：01x >. 故选：B5. 向量a ，b ，c 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若e 为与c 同方向的单位向量，则()a b e +⋅（ ）A. 1.5B. 2C. -4.5D. -3【答案】D 【解析】【分析】首先建系，确定向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知()1,1a =-，()2,1b =--，()1,0e =， 则()3,0a b +=-，所以()3a b e +⋅=-.故选：D6. 已知实数x ，y 满足2246120x y x y ++-+=，则x 的最大值是（ ）A. 3B. 2C. -1D. -3【答案】C 【解析】【分析】首先确定圆的圆心和半径，再确定x 的最大值.【详解】方程变形为()()22231x y ++-=，圆心()2,3-，半径1r =，则x 的最大值是211-+=-.故选：C7. 已知指数函数()xf x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（ ） A.32B.23C.3 D.3【答案】D 【解析】【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数a 的等式，进而可求得实数a 的值.【详解】由题意可得()3xg x a =，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，得到函数()23x f x a-=，又因为()xf x a =，所以，23x x a a -=，整理可得23a =，因为0a >且1a ≠，解得3a =故选：D.8. 已知正方体1111ABCD A B C D -（如图1），点P 在侧面11CDD C 内（包括边界）.若三棱锥1B ABP -的俯视图为等腰直角三角形（如图2），则此三棱锥的左视图不可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由俯视图可知，点P 在棱1DD 上运动，对点P 的位置进行分析，可得出合适的选项. 【详解】由俯视图可知，点P 在棱1DD 上运动.对于A 选项，若点P 与点D 重合，则三棱锥1B ABP -的左视图如A 选项所示； 对于B 选项，若点P 与点1D 重合，则三棱锥1B ABP -的左视图如B 选项所示； 对于C 选项，若点P 为线段1DD 的中点，则三棱锥1B ABP -的左视图如C 选项所示； 对于D 选项，当点P 在棱1DD 上运动时，左视图中右边的一条边与底边垂直， 且右边的一条边的边长与正方体的棱长相等，左视图不可能如D 选项所示. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查几何体左视图，解题的关键就是对动点的位置进行分析，结合左视图的形成来进行判断.9. 已知实数,.+2,k k Z αβαβπ=∈“”是“()sin +sin sin αβαβ=+”的（ ）A .充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性. 【详解】当+2,k k Z αβπ=∈时，()sin +0αβ=，且sin sin sin sin(2)sin sin 0k αβααπαα+=+-+=-=，充分性成立； 当()sin +sin sin αβαβ=+时，未必有+2,k k Z αβπ=∈，例如,0απβ==时，此时()sin +sin sin 0αβαβ=+=，但不满足+2,k k Z αβπ=∈. 所以实数,.+2,k k Z αβαβπ=∈“”是“()sin +sin sin αβαβ=+”的充分而不必要条件.故选：A.10. 已知函数()22,,x ax x af x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 无数【答案】B 【解析】【分析】分0a =、0a >、0a <三种情况讨论，作出函数()f x 的图象，根据已知条件可得出关于实数a 的等式与不等式，进而可求得实数a 的取值.【详解】当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，作出函数()f x 的图象如下图所示：由图可知，当02k <<时，关于x 的方程()f x k =有且只有一个实根，不合乎题意；当0a >时，()22,,,x ax x a f x x a a x a x a x a ⎧-+≥⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞-上单调递减，在(),a a -上单调递增，在(),a +∞上单调递增，由题意可得22222a a a a -+==，解得1a =；若0a <，则()22,,x ax x af x x a x a ⎧-+≥=⎨--<⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞单调递减，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 由题意可得2222280a a aa ⎧-+=-⎨∆=-≥⎩，此时a 无解. 综上所述，1a =. 故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知数列{}n a 满足112,20(,2,)1n n a a a n +=-==，则{}n a 的前6项和为___________. 【答案】126 【解析】【分析】利用等比数列的定义，结合等比数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】因为1120,20n n a a a +-==≠，所以10,2n n na a a +≠=， 因此数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以{}n a 的前6项和为662(12)12612S -==-.故答案为：126.12. 已知()12nx +的展开式的二项式系数之和为16，则n =___________；各项系数之和为___________.(用数字作答)【答案】 (1). 4 (2). 81 【解析】【分析】根据二项式系数和的公式216n =，求解；再根据赋值法求各项系数之和. 【详解】展开式中的二项式系数的和是216n =，所以4n =， 令1x =，()41281+=，即各项系数和为81. 故答案为：4；8113. 在ABC 中，23,7,3a b B π==∠=，则ABC 的面积为___________.【解析】【分析】运用余弦定理求出c ，最后根据三角形面积公式进行求解即可. 【详解】由余弦定理可知：222212cos 49923()52b ac ac B c c c =+-⇒=+-⨯⋅-⇒=或8c =-（舍去），所以ABC 的面积为：11sin 3522ac B ⋅=⨯⨯⨯=14. 已知双曲线2222:1x y M a b-=的左焦点为F 1，A ，B 为双曲线M 上的两点，O 为坐标原点若四边形1F ABO 为菱形，则双曲线M 的离心率为___________.1 【解析】【分析】利用双曲线的对称性，连结1BF ，2BF ，根据图形分析可得12BF F △是直角三角形，且260BF O ∠=，在结合双曲线的定义，即可得到双曲线的离心率.【详解】如图，设双曲线的右焦点2F ，连结1BF ，2BF ，四边形1F ABO 是菱形，1212BO F F ∴=，12BF BF ∴⊥， 并且根据对称性可知2OBF △是菱形，260BF O ∴∠=，13BF c ∴=，根据双曲线定义可知，122BF BF a -=，即32c c a -=，即3131c a ==+-31【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：222111c b e a ab c ==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.15. 普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”(Lookandsaysequence )，该数列的后一项由前一项的外观产生.以(),09i i N i ∈≤≤为首项的“外观数列”记作i A ，其中1A 为1、11、21、1211、111221、，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，，按照相同的规则可得其它i A ，例如3A 为3、13、1113、3113、132113、.给出下列四个结论：①若i A 的第n 项记作n a ，j A 的第n 项记作n b ，其中29i j ≤<≤，则n N *∀∈,n n a b i j -=-； ②1A 中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字3； ③1A 的每一项中均不含数字4；④对于2k ≥，1i ≠，i A 的第k 项的首位数字与1A 的第2k +项的首位数字相同. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①③④ 【解析】【分析】列出i A 、j A 的前四项，观察规律，可判断①的正误；利用反证法可判断②的正误；利用②中的结论可判断③的正误；根据i A 和1A 各项首位数字出现的周期性可判断④的正误. 【详解】对于①，1a i =，21a i =，3111a i =，4311a i =，，n a i =，1b j =，21b j =，3111b j =，4311b j =，，n b j =，由递推可知，随着n 的增大，n a 和n b 每一项除了最后一位不同外，其余各数位都相同， 所以，n n a b i j -=-，①正确；对于②，若1A 中存在一项，该项中连续三个位置上的数字均为3，即333n a =， 由题中定义可知，1n a -中必有连续三个位置上的数字均为3，即1333n a -=，.以此类推可知，1a 中必有连续三个位置上的数字均为3，这与11a =矛盾，②错误；对于③，由②可知，1A 的每一项不会出现某连续三个数位上都是3，故1A 中每一项只会出现1、2、3，③正确；对于④，对于2k ≥，1i ≠，有1a i =，21a i =，3111a i =，4311a i =，513211a i =，6111312211a i =，，由上可知，记数列{}n a 的首位数字构成数列{}n c ，则数列{}n c 为：i 、1、1、3、1、1、3、，且当2k ≥时，3k k c c +=；记1A 的第k 项记为k b ，则11b =，211b =，321b =，41211b =，5111221b =，6312211b =，713112221b =，81113213211b =，，记数列{}n b 的首位数字构成数列{}n d ，则数列{}n d 为：1、1、2、1、1、3、1、1、3、，且当4k ≥时，3k k d d +=.由上可知，24c d =，35c d =，46c d =，，所以，当2k ≥时，2k k c d +=，④正确. 故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义，解题时要紧扣“外观数列”的定义，充分利用数列的规律、数列的周期性等基本性质来解决问题.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16. 如图，在三棱锥P ABC -中，,,65,,BC AC BC PC AC BC PA PC D E ⊥⊥====，分别是AC ，PC 的中点.（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）求二面角A DE B --的余弦值 【答案】（1）见解析；（2）2929. 【解析】【分析】（1）连接PD ，由BC ⊥平面PAC ，得BC ⊥PD ，结合PD AC ⊥可证得PD ⊥平面ABC ，进而得证；（2）以点D 为原点，,DA DP 为,y z 轴，过点D 作与CB 平行的方向为x 轴建立空间直角坐标系，由平面的法向量计算求解即可.【详解】（1）连接PD ，因为PA PC =，D 为AC 的中点，所以PD AC ⊥， 又,BC AC BC PC ⊥⊥，,AC PC 为平面PAC 的两条相交直线， 所以BC ⊥平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，所以BC ⊥PD ，,BC AC 为平面ABC 的两条相交直线，所以PD ⊥平面ABC ，又PD ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ；（2）以点D 为原点，,DA DP 为,y z 轴，过点D 作与CB 平行的方向为x 轴建立空间直角坐标系.所以3 (0,0,0),(2,1,0),(0,0,4),(0,3,0),(0,,2)2DB PC E---，设平面BDE的法向量为(,,)n x y z=，3(2,1,0),(0,,2)2DB DE=-=-则203202n DB x yn DE y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，不妨令1x=，则32,2y z==，3(1,2,)2n=，平面ADE的法向量为(1,0,0)m=，所以二面角A DE B--的余弦值为1229||||||299144m nm n⋅==⋅++17. 已知函数()()sin0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）直接写出ω的值；（2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数()f x在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.条件①：直线712xπ=为函数()y f x=的图象的一条对称轴；条件②：,03π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()y f x=的图象的一个对称中心【答案】（1）2ω=；（2）条件选择见解析，()f x 在区间124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为1.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的最小正周期，由此可求得ω的值；（2）根据所选条件求得ϕ的表达式，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，再由()0f =求得A 的值，由,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出23x π+的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得()f x 的最小值.【详解】（1）由图象可知，函数()f x 的最小正周期T 满足22T π=，T π∴=，则22T πω==；（2）选择条件①：因为直线712x π=为函数()y f x =的图象的一条对称轴， 所以，()7322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即()23k k Z πϕπ=+∈，22ππϕ-<<，3πϕ∴=，则()0sin3f A A π===，2A ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52636x πππ≤+≤，所以当236x ππ+=或56π时，即当12x π=-或4π时，函数()f x 取得最小值，即()min 1f x =； 选择条件②：因为,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心， 则()223k k Z πϕππ⨯+=+∈，解得()23k k Z πϕπ=+∈，22ππϕ-<<，3πϕ∴=，则()0sin32f A A π===，2A ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52636x πππ≤+≤， 所以当236x ππ+=或56π时，即当12x π=-或4π时，函数()f x 取得最小值，即()min 1f x =. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上最值的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式； 第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.18. 为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩(单位：分)用茎叶图记录如下：（1）从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；（2）从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；（3）为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生､10名女生作为冬奥宜传志愿者.记这10名男生竞赛成绩的平均数为1μ，这10名女生竞赛成绩的平均数为2μ，能否认为12＞，说明理由.【答案】（1）13；（2）96245；（3）不能认为12＞，理由见详解.【解析】【分析】（1）根据古典概型概率计算公式进行求解即可；（2）根据题意结合古典概型计算公式分类讨论进行求解即可；（3）根据平均数的运算公式，结合特例法进行判断即可.【详解】（1）根据茎叶图可知：男生共有15名，其中竞赛成绩在90分以上的共有5人，所以估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率为：51 153=；（2）当2名男生都在90分以上，2女生都在90以下，则此时概率为：2251222151544735 C CC C⋅=；当2名男生都在90分以上，2女生有一个90以下，则此时概率为：211512322151524735 C C CC C⋅⋅=；当2名男生有一个在90分以上，2女生都在90以下，则此时概率为：11210512221515220735 C C CC C⋅=,所以估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率：442422096735735735245++=； （3）不能认为12＞，理由如下：如果选出10名男生的成绩没有超过90分以上的， 这时16068757879818486878878.610μ+++++++++==，如是选出10名女生成绩是前10名的， 这时29898958686787876767684.710μ+++++++++==，显然12μμ<，故不能认为12＞.19. 椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左､右焦点分别为12,,F F E 是椭圆C 上一点，且12122, 4.F F EF EF =+= （1）求椭圆C 的方程；（2）M ，N 是y 轴上的两个动点(点M 与点E 位于x 轴的两侧)，190MF N MEN ∠=∠=，直线EM 交x 轴于点P ，求EP PM的值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】【分析】（1）根据椭圆定义直接求解即可；（2）设出(0,)(0)M m m >，根据直角的性质求出N 点坐标、E 点的纵坐标，进而求出点P 坐标，最后利用两点间距离公式进行求解即可.【详解】（1）因为12122,4F F EF EF =+=，所以22222,241,2,3,c a c a b a c ==⇒===-=∴椭圆方程为22143x y +=；（2）因为M ，N 是y 轴上的两个动点，所以不妨设(0,)(0)M m m >，(0,)N n ，因为点M 与点E 位于x 轴的两侧，所以设000(,)(0)E x y y <,所以2200143x y +=，由（1）知1c =，所以1(1,0)F -， 因为190MF N ∠=，所以1111111F M F N m n k k n m⋅=-⇒⋅=-⇒=-， 因为90MEN ∠=，所以220000001111()10EM ENy m y m k k x y y m x x m---⋅=-⇒⋅=-⇒++--=--， 而2200143x y +=，所以20013()90y y m m +--=，解得03y m =-或03y m =， 因为00y <，0m >，所以03y m =-， 因此04EM mk x =-，所以直线EM 的直线方程为： 04m y x m x =-+，令0y =，得04x x =，即0(,0)4x P ，3EP PM ===. 【点睛】关键点睛：根据直角得到N 点坐标、E 点的纵坐标是解题的关键. 20. 已知函数()ln .f x x a x =-（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间；（3）若关于x 的方程ln =0x a x -有两个不相等的实数根，记较小的实数根为0x ，求证：()01a x a -＞ 【答案】（1）(1)y a x a =-+；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解； （2）由()af x x x'-=，分0a ≤和0a >两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间； （3）由（2）可得()ln 0f a a a a =-<，得a e >，进而得0x a <，只需证得01ax a -＞即可，通过构造()1ln g x x x =--，可证得.【详解】（1）()ln f x x a x =-，()11f =，()1af x x'=-，()11f a '=-， 所以在点()()1,1f 处的切线方程为1(1)(1)y a x -=--， 整理得：(1)y a x a =-+， （2）函数()ln f x x a x =-定义域(0,)+∞，()1a x a f x x x'-=-= 当0a ≤时，()0f x '≥，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得x a =， 此时在(0,)a 上()0f x '<，()f x 单调递减， 在(,)a +∞上()0f x '>，()f x 单调递增， 综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（3）由（2）可知，当0a ≤时显然不成立， 所以0a >时，()ln 0f a a a a =-<，解得a e >， 因为0x 为较小的实根，所以0x a <， 要证()01a x a -＞，只需证01ax a -＞， 下面证明()ln 0111a a a f a a a a =->---， 令()1ln g x x x =--，则11()1x g x x x-'=-=， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()(1)0g x g ≥=，所以1x ≠时，1ln 0x x -->， 因为(1,)11a e a e ∈--，所以()(1ln )0111a a af a a a a =-->---， 从而()f x 在(,)1a a a -单调递减，且()01af a >-， 所以01ax a -＞，所以()01a x a -＞. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明01ax a -＞即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明()01af a >-，利用构造函数的方法即可. 21. 已知有限集X ，Y ，定义集合{}|,x Y X Y x x X -=∈∉且，X 表示集合X 中的元素个数. （1）若{}{}1,2,3,4,3,4,5X Y ==，求集合X Y -和Y X -，以及()()X Y Y X -⋃-的值； （2）给定正整数n ，集合{}1,2,,n S =，对于实数集的非空有限子集A ，B ，定义集合{}=|,,C x x a b a A b B =+∈∈①求证：1A S B S S C -+-+-≥；②求()()()()()()||A S S A B S S B C S S C -⋃-+-⋃-+-⋃-的最小值.【答案】（1）X －Y ＝{1,2}，Y －X ＝{5}，|(X －Y )∪(Y ∪X )|＝3；（2）①见解析；② 1.n + 【解析】【分析】（1）直接根据定义求解即可；（2）①分若A ∪B 中含有一个不在S 中的元素和A S ⊆，且B S ⊆，两种情况讨论即可，当A S ⊆，且B S ⊆时，可通过1C ∉得证；②结合①知()()()()()()A S S A B S S B C S S C -⋃-+-⋃-+-⋃-1S A S B C S ≥-+-+-+，讨论若A S ⋂=∅，或B S ⋂=∅，得S A S B n -+-≥，若A S ⋂≠∅，且B S ⋂≠∅，设{}12,,,s A S a a a ⋂=，{}12,,,t B S b b b ⋂=，可证得()()()()()()A S S A B S S B C S S C -⋃-+-⋃-+-⋃-的最小值是 1.n +【详解】（1）根据定义直接得X －Y ＝{1,2}，Y －X ＝{5}，|(X －Y )∪(Y ∪X )|＝3. （2）①显然0X ≥.若A ∪B 中含有一个不在S 中的元素，则1A S B S -+-≥，即1A S B S S C -+-+-≥.若A S ⊆，且B S ⊆，则0A S B S -=-= 此时A 中最小的元素1a ≥，B 中最小的元素1b ≥， 所以C 中最小的元素2a b +≥. 所以1C ∉.因为{}1,2,,n S =，所以1S C -≥，即1A S B S S C -+-+-≥. 综上，1A S B S S C -+-+-≥. ②由①知1A S B S S C -+-+-≥.所以()()()()()()A S S A B S S B C S S C -⋃-+-⋃-+-⋃-A S S AB S S BC S S C =-+-+-+-+-+- 1.S A S B C S ≥-+-+-+若A S ⋂=∅，或B S ⋂=∅，则.S A S B n -+-≥ 若A S ⋂≠∅，且B S ⋂≠∅，设{}12,,,s A S a a a ⋂=，{}12,,,t B S b b b ⋂=且121s a a a n ≤<<≤，121t b b b n ≤<<≤，则S A n s -=-，.B S n t -=- 若s t n +>，因为11121232t t t s t a b a b a b a b a b a b ≤+<+<<+<+<+<+，所以1112123,,,,,,,t t t s t a b a b a b a b a b a b ++++++这1s t +-个数一定在集中C 中，且均不等于1.所以2().S A S B C S n s t s t n n -+-+-≥--++-= 所以()()()()()()A S S A B S S B C S S C -⋃-+-⋃-+-⋃-1 1.S A S B C S n ≥-+-+-+≥+当A B S ==，{}2,3,,2C n =时，()()()()()() 1.A S S A B S S B C S S C n -⋃-+-⋃-+-⋃-=+所以()()()()()()A S S A B S S B C S S C -⋃-+-⋃-+-⋃-的最小值是 1.n + 【点睛】关键点点睛：本题的第三问较难，解题的关键是由①得()()()()()()A S S AB S S BC S S C -⋃-+-⋃-+-⋃-1S A S B C S ≥-+-+-+，进而进行分情况讨论可得解.。
重庆南开中学2021届高三数学10月月考试题 文（含解析）(1)
重庆南开中学2021届高三10月月考数学（文）试题（解析版）本试卷是高三文科试卷，以基础知识和大体技术为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重骨干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、导数、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一.选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．【题文】1．已知A ，B 为两个集合，假设命题:p x A ∀∈，都有2x B ∈，则 A.:p x A ⌝∃∈，使得2x B ∈ B.:p x A ⌝∃∉，使得2x B ∈ C.:p x A ⌝∃∈，使得2x B ∉D.:p x A ⌝∃∉，使得2x B ∉【知识点】命题及其关系A2【答案解析】C 假设命题:p x A ∀∈，都有2x B ∈,那么:p x A ⌝∃∈，使得2x B ∉， 应选C 。
【思路点拨】依照命题的关系确信非P 。
【题文】2. 已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，那么a 与b A.垂直B.不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案解析】A 因为a b ⋅=（-5）⨯6+6⨯5=0，因此a b ⊥，应选A 。
【思路点拨】依照向量的数量积为0，因此a b ⊥。
【题文】3.设集合{}2|20M x x x =--<,{}|2,N y y x x M ==∈,则集合()R C MN =A.()2,4-B.()1,2-C.(][),12,-∞-+∞D.()(),24,-∞-+∞【知识点】集合及其运算A1【答案解析】C 由题意得M={x 12x -<<},N={x 24x -<<}那么M N ⋂=M, 因此()R C MN =(][),12,-∞-+∞应选C.【思路点拨】先求出M ,N 再求 M N ⋂再求出结果。
2021-2022年高三上学期数学文科第二次月考试卷及答案
2021-2022年高三上学期数学文科第二次月考试卷及答案命题郑勇审题李希胜注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：锥体的体积公式：（是锥体的底面积，是锥体的高）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．2．复数的值是（）A．1 B．C．D．3．已知向量，，若向量，则（）A．2 B．C．8 D．4．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如右图）。
由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为（）A．20 B．25 C．30 D．35 0.0200.0100.005频率/组距身高5．设是等差数列，且，则这个数列的前5项和（ ） A ．10B ．15C ．20D ．256．右图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体， 则该组合体的侧视图的面积为（ ） A ． B ． C ． D ． 7．函数()2sin()cos()1,44f x x x x R ππ=-+-∈是（ ） A ．最小正周期为的奇函数 B ．最小正周期为的奇函数 C ．最小正周期为的偶函数 D ．最小正周期为的偶函数 8．设平面区域是由双曲线的两条渐近线和抛物线的准线所围成的 三角形（含边界与内部）．若点，则目标函数的最大值为（ ） A ．B.C ．D ．9．“成等差数列”是“”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．规定记号“”表示一种运算，即),(2为正实数b a b a ab b a ++=⊗，若，则=（ ） A ． B ．1 C ． 或1 D ．2第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.） （一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都 必须作答。
2021届湖南省常德市一中高三上学期第二次月考数学试题
常德市一中2021届高三年级第二次月考数学试题本试卷满分150分 考试时间：120分钟一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合{lg(1)}A xy x ==+∣，{2}B x x =<，则A B =（ ）A ．(1,2)-B ．(0,2)C ．(2,0)-D ．(2,1)--2．若复数z 满足(23)13i z +=，则复平面内表示z 的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．已知1sin 64πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．1516 B ．1516-C ．78D ．78-5．函数4||ln ||()x x f x x=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．6．向量1,13a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(cos ,sin )b αα=，α为第三象限角，且a b ∥，则2021cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．D 7．南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”（ ）A ．439B ．778C ．776D ．5818．函数()(21)xf x e x ax a =--+，(1)a <，若存在唯一整数0x 使得()00f x <，则a 的范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．已知下列四个条件，能推出11a b<成立的有（ ） A ．0b a >>B ．0a b >>C ． 0a b >>D ．0a b >>10．已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的可能取值是（ ） A ．14B ．12 C ．34D ．5411．已知函数312,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(,]x m ∈-∞，()f x 的取值范围为[]16,-+∞，则m 取下列哪些值时符合题意（ ） A ．2-B ．4C ．6D ．1012．若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象和直线y x =无交点，现有下列结论：①方程[()]f f x x =一定没有实数根；②若0a >，则不等式[]()f f x x >对一切实数x 都成立； ③若0a <，则必存在实数0x ，使()00f f x x >⎡⎤⎣⎦；④函数2()(0)g x ax bx c a =-+≠的图象与直线y x =-一定没有交点． 其中，正确的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题（共12小题，每小题5．0分，共60分）13．命题“x ∀∈R ，|2||4|3x x -+->”的否定是_________．14．化简413322338124a a ba b ⎛-÷-= ⎝+_________．15．已知,(0,)αβπ∈，且1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-=_________．16．已知()x f x xe =，方程2[()]()10()f x tf x t ++=∈R 有四个实根，则t 的范围为_________． 三、解答题（共6题，共70分）17．集合{}25A x x =-≤≤∣，集合{}121B x m x m =+≤≤-∣． （1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围；（2）当R x ∈时，没有元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围． 18．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足24n n S a n -=-． （1）证明：{}2n S n -+为等比数列； （2）求数列{}n S 的前n 项和n T ．19．已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y x g =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值．20．常德某店铺在网上直播专卖某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y （千克）与销售价格x （元/千克，15x <≤）满足：当13x <≤时，2(3)1by a x x =-+-（a ，b 为常数）；当35x <≤时，70490y x =-+．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． （1）求a ，b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润()f x最大．（x 精确到0.01元/千克）21．如图，在ABC △中，30B ∠=︒，AC =D 是边AB 上一点．（1）求ABC △面积的最大值；（2）若2CD =，ACD △的面积为4，ACD ∠为锐角，求AD 的长． 22．已知函数2()ln f x a x x =+（a 为实常数）（1）当4a =-时，求函数()f x 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值； （2）当[]1,x e ∈时，讨论方程()0f x =的根的个数；（3）若0a >，且对任意的12,[1,]x x e ∈，都有()()121211f x f x x x -≤-，求实数a 的取值范围． 常德市一中2021届高三数学月考答案选择题ADBDADBD ABD BCD ABC ABD 填空题0x ∃∈R ，使得00243x x -+-≤A34π-21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭7．【解析】设第十等人得金1a 斤，第九等人得金2a 斤，以此类推，第一等人得金10a 斤，则数列{}n a 构成等差数列， 设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得1234891034a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩，即114633244a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得778d =， ∴每一等人比下一等人多得778斤金． 8．【解析】设()(21)xg x e x =-，y ax a =-由题知存在唯一的整数0x ，使得()0g x 在直线y ax a =-的下方， 因为()(21)xg x e x '=+，所以当12x <-时，()0g x '<； 当12x >-时，()0g x '>，所以当12x =-时，12min [()]2g x e -=-．当0x =时，(0)1g =-，(1)0g e =>， 直线()1y a x =-恒过()1,0且斜率为a ， 故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得312a e≤<，故选D ． 12．【解析】因为函数()f x 的图象与直线y x =没有交点，所以()(0)f x x a >>或()(0)f x x a <<恒成立． 因为[()]()f f x f x x >>或[()]()f f x f x x <<恒成立， 所以[()]f f x 没有实数根，故①正确；若0a >，则不等式[()]()f f x f x x >>对一切实数x 都成立，故②正确； 若0a <，则不等式[()]f f x x <对一切实数x 都成立， 所以不存在实数0x ，使()00f f x x >⎡⎤⎣⎦，故③错误； 由函数()()g x f x =-与()f x 的图象关于y 轴对称， 所以()g x 和直线y x =-也一定没有交点． 故④正确，答案为①②④．二、填空题16．【解析】,0(),0x xxxe x f x xe xe x ⎧≥==⎨-<⎩，易知()f x 在[)0,+∞上是增函数． 当(,0)x ∈-∞时，()xf x xe =-，()(1)x f x e x '=-+，故()f x 在(),1-∞-上是增函数； 在()1,0-上是减函数．作其图象如下，且1(1)f e-=， 故若方程2[()]()10()f x tf x t ++=∈R 有四个实数根， 则方程210()x tx t ++=∈R 有两个不同的实根， 且110,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，故200101110t e e ++>++<⎧⎪⎨⎪⎩，解得21,e t e ⎛⎫+∈-∞- ⎪⎝⎭．三、解答题 17．【答案】（1）当121m m +>-，即2m <时，B =∅满足B A ⊆；当121m m +≤-，即2m ≥时，要使B A ⊆成立，则12215m m +≥-⎧⎨-≤⎩，解得23m ≤≤．综上所述，当3m ≤时，有B A ⊆．（2）因为x ∈R ，且{}25A x x =-≤≤∣，{}121B x m x m =+≤≤-∣，又没有元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，则①若B =∅，即121m m +>-，得2m <时满足条件； ②若B ≠∅，则要满足条件12115m m m +≤-+>⎧⎨⎩，解得4m >，或121212m m m +≤--≤-⎧⎨⎩，解无解．综上所述，实数m 的取值范围为2m <或4m >．18．（1）证明因为1(2)n n n a S S n -=-≥，所以()124(2)n n n S S S n n ---=-≥， 则124(2)n n S S n n -=-+≥，所以[]122(1)2(2)n n S n S n n --+=--+≥， 又由题意知1123a a -=-， 所以13a =，则1124S -+=，所以{}2n S n -+是首项为4，公比为2等比数列． （2）解由（1）知122n n S n +-+=，所以122n n S n +=+-，于是()231222(12)2n n T n n +=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-()32412(1)23821222n n n n n n n +-++--=+-=-． 19．解：（1）)2()2sin cos 2sin 1f x x x x ωωω=-sin 2x xωω=2sin 23x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由最小正周期为π，得1ω=， 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，整理得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位， 得2sin 21y x =+的图象；所以()2sin 21g x x =+．令()0g x =， 得712x k ππ=+或11()12x k k Z ππ=+∈， 所以在[0,]π上恰好有两个零点，若()y g x =在[0,]b 上有10个零点， 则b 不小于第10个零点的横坐标即可． 所以b 的最小值为115941212πππ+=． 20．【答案】（1）因为2x =时，700y =；3x =时，150y =，所以1502700ba b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得400a =，300b =．每日的销售量2300400(3)(13)170490(35)x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩， （2）由（1）知，①当13x <≤时，每日销售利润2300()400(3)(1)1f x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥-⎣⎦2400(3)(1)300x x =--+()324007159300(13)x x x x =-+-+<≤．由()2()40031415f x x x '=-+， 令()0f x '=，得53x =或3x =， 且当51,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当5,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减． 所以，53x =是函数()f x 在(]1,3的唯一极大值点， 532400300700327f ⎛⎫=⨯+> ⎪⎝⎭；②当35x <≤时，每日销售利润()2()(70490)(1)7087f x x x x x =-+⋅-=--+，()f x 在4x =处有最大值，且5(4)6303f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭．综上，销售价格51.673x =≈元/千克时，每日利润最大．21．解析：（1）∵在ABC △中，30B ∠=︒，AC =D 是边AB 上一点，由余弦定理，得222202cos AC AB BC AB BC B ==+-⋅∠22(2AB BC BC AB BC =+⋅≥-⋅．∴40AB BC ⋅≤=+，∴1sin 102ABC S AB BC B =⋅∠≤+△∴ABC △面积的最大值为10+ （2）设ACD θ∠=，在ACD △中，∵2CD =，ACD △的面积为4，ACD ∠为锐角，∴12ACD S AC =△．1sin 2sin 42CD θθ=⨯=，∴sin 5θ=，cos 5θ=，由余弦定理，得2222cos 20416AD AC CD AC CD θ=+-⋅=+-=， ∴4AD =22．【答案】解：（1）当4a =-时，2()4ln f x x x =-+，函数的定义域为(0,)+∞．42(()2x x f x x x x+'=-+=．当x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在⎡⎣上为减函数，在)e 上为增函数．2(1)4ln111f =-+=，22()4ln 4f e e e e =-+=-，所以函数()f x 在[]1,e 上的最大值为24e -，相应的x 值为e ．（2）由2()ln f x a x x =+，得22()2a x af x x x x+'=+=．若0a ≥，则在[]1,e 上()f x '，函数2()ln f x a x x =+在[]1,e 上为增函数， 由()110f =>知，方程()0f x =的根的个数是0；若0a <，由()0f x '=，得x =x =1≤，即20a -≤<，2()ln f x a x x =+在[]1,e 上为增函数， 由(1)10f =>知，方程()0f x =的根的数是0；e ≥，即22a e ≤-， 2()lnf x a x x =+在[]1,e 上为减函数，又(1)1f =，222()ln 0f e a e e e a e =+=+≤-<， 所以方程()0f x =在[]1,e 上有1个实数根；若1<222e a -<<-，()f x 在⎡⎢⎣上为减函数，在e ⎤⎥⎦上为增函数，又(1)10f =>，2()f e e a =+．min ()ln ln 122222a a a a a f x f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 当2ae -<，即22e a -<<-时，0f >，方程()0f x =在[]1,e 上的根的个数是0； 当2a e =-时，方程()0f x =在[]1,e 上的根的个数是1；当22e a e -≤<-时，0f <，2()0f e a e =+≥， 方程()0f x =在[]1,e 上的根的个数是2； 当222e a e -<<-时，0f <，2()0f e a e =+<， 方程()0f x =上的根的个数是1．（3）若0a >，由（2）知，函数2()ln f x a x x =+在[]1,e 上为增函数，不妨设12x x <，则()()121211f x f x x x -≤-， 即为()()212111f x f x x x +<+， 由此说明函数1()()G x f x x =+在[]1,e 上单调递减， 所以21()20a G x x x x'=+-≤， 对[1,]x e ∈恒成立，即212a x x≤-+对[1,]x e ∈恒成立， 而212x x -+在[]1,e 上单调递减，所以212a e e ≤-+． 所以，满足0a >，且对任意的12,[1,]x x e ∈，都有()()121211f x f x x x -≤-成立的实数a 的取值范围不存在．。
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12．在 中，角 所对的边分别为 ，若
则 的面积的最大值为
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知扇形 面积为 ，圆心角 为 ，则该扇形的半径为_________.
14．若 ， ，且 ，则 与 的夹角是_______________.
C．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例
D．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率
6．正三角形 中， 是线段 上的点， ， ，则
A． B． C． D．
7．1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号： 、 、 （正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号： 、 、 （余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中 ， .若 ，且 ，则
A． B． C．1D．
10．△ABC中三个内角为A，B，C，若关于x的方程x2－xcosAcosB－cos2 ＝0有一根
为1，则△ABC一定是()
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
11．函数f(x)是偶函数，对于任意的x∈R，都有f(x＋2)＝ ；当x∈[0，2]时，
f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为
2021届高三第二次月考数学(文科)参考答案
一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
D
D
D
A
D
D
B
C
A
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.214． .15. 16．a≤0
三、解答题
17.由条件得cosα＝ ，(1分)
A．10B．11C．12D．13
4．若cos ＝ ，则 ＝
A． B．
C．－ D．－
5．如图所示的曲线图是
2020年1月25日至
2020年2月12日陕
西省及西安市新冠
肺炎累计确诊病例
的曲线图，则下列
判断错误的是
A．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了
B．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势
15．已知函数 ，
的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________.
16．对于任意实数 ，当 时，
有 恒成立，
则实数 的取值范围为___________.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）设点 ，若直线l与曲线C交于A、B两点，且 ，求实数m的值.
23．[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1 |．
（1）若f（a）<2，求a的取值范围；
（2）当x∈[a，a+k]时，函数f（x）的值域为[1，3]，求k 的值．
(一)必考题：共60分)
17．（本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边做两个锐角 ，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为
（1）求 的值；
（2）求 的值．
18．（本题满分12分）
某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产 万件，需另投入流动成本 万元，当年产量小于 万件时， （万元）；当年产量不小于7万件时， （万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边且f(c)＝1，c＝1，ab＝2 ，a>b，求a，b的值.
20．（本小题满分12分）
已知函数 （ ， 为常数），点 的横坐标为0，曲线 明：当 时， ．
21．(本小题满分12分)
已知函数 ．
判断 在定义域上的单调性；
若 在 上的最小值为2，求a的值．
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
已知曲线C的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是 (t为参数)．
（12分）
18．解：（1）产品售价为 元，则万件产品销售收入为 万元. (2分)
依题意得，当 时， ，(4分)
当 时， ，
；(6分)
（2）当 时， ，
2021届高三年级第二次月考
文科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合 ，则
A． B． C． D．
2．如果 ，那么下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
3．如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD
的顶点D被阴影遮住，则 · ＝
cosβ＝ .（2分）∵α，β为锐角，
∴sinα＝ ＝ ，（3分）
sinβ＝ ＝ .（4分）
因此tanα＝ ＝7，tanβ＝ ＝ .（5分）
(1) tan(α＋β)＝ ＝ ＝－3.（6分）
(2)∵tan2β＝ ＝ ＝ ，（8分）
∴tan(α＋2β)＝ ＝ ＝－1.（10分）
∵α，β为锐角，∴0<α＋2β< ，（11分）
（1）写出年利润 （万年）关于年产量 （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取 ）.
19.（本小题满分12分）
已知向量a＝(2sinx， cosx)，b＝(－sinx，2sinx)，函数f(x)＝a·b.
A． B． C．0D．
8．设f(x)＝lg( ＋a)是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数是
A．(－∞，＋∞)上的减函数B．(－∞，＋∞)上的增函数
C．(－1,1)上的减函数D．(－1,1)上的增函数
9．将函数f（x）=sinx的图象向右平移 个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，
则函数y=f（x）•g（x）的最大值为