高中奥林匹克数学竞赛 映射与函数1

第二讲 映射与函数

[知识要点]

1．映射有关概念

2．函数定义，定义域、值域 [能力训练]

1． 合B A ,的并集{}321,,a a a B A =⋃，当B A ≠时，),(B A 与),(A B 视为不同的对，则这样的),(B A 对的个数为（ ）（1993年全国高中数学联赛试题） （A ） 8 （B ） 9 （C ）26 （D ）27

[解法一]：若{}321,,a a a A =，则满足题意的B 有：{}{}{}{}{}{}{};

,,;,;,;,;;;;321323121321a a a a a a a a a a a a B φ=即这时的配对个数有：8)(3323130333=+++C C C C C ；仿此，若{}21,a a A =（或{}{}3231,,,a a a a ），满足题意的B 的个数，即配对个数有：12)(2

2120223

=++C C C C ；于是，全部配对个数有：2716128=+++。 [解法二]：B A =且P B A =⋃的情形只有1个配对：P B P A ==,，而B A ≠的配对个数必是偶数，所以全部配对个数为奇数。又粗略计数后知，配对个数不少于16，故选（D ）。

[评注]：两种解法反映的是一种数学思想：配对思想。解法一是分类讨论；解法二是估算法。 2． 设A ={4321,,,a a a a }，},,,,{54321b b b b b B =

（1）写出一个f ：A →B ，使得f 为单射，并求所有A 到B 的单射的个数。 （2）写出一个f ：A →B ，使得f 不是单射，并求所有这些映射的个数。 （3）A 到B 的映射能否是满射？

解：（1）作映射f ：A →B ，使得4,3,2,1 ,)(==i b a f i i

则此映射即为A 到B 的一个单射，这种单射的个数为1204

5=P 。

（2）作映射f ：A →B ，可以先求A 到B 的映射的个数：分四步确定4321,,,a a a a 的象，每步都有5种可能，因此所求映射的个数为4

5个，因此满足条件的映射的个数为4

5－4

5P =505。 （3） 不能。由于A 中的每一个元素恰与B 中的一个元素对应，|A |=4，|B |=5， 所以B 中至少有一个元素在A 中找不到与它对应的元素，因此A 到B 的满射不存在。 说明：一般地，若A 到B 有一个单射，则|A |≤|B |，若A 到B 有一个满射， 则|A |≥|B |,若A 到B 有一个一一映射,则|A |=|B |

思考：在上述问题中,如何求从A 到B 的子集上的一一映射的个数?

B 中的4个元素的子集共有45

C 个，从A 到B 的每4个元素的子集上的一一映射各有44P 个，所求的映射的

个数是4

5C 4

4P =120个。

3． 若函数)(log 23a ax x y -+=的值域为R ，则实数a 的取值范围是________________。（94年第5届“希

望杯”全国数学邀请赛）

[解法一]：根据函数值域定义，对于任意实数y ，关于x 的方程y a ax x =-+)(log 23即032=--+y a ax x 恒有解，因此0344)3(422≥⋅++=++=∆y y a a a a ——（*） 恒成立，034>⋅y ∴（*）式成立的充要条件是042≥+a a ，解得4-≤a 或0≥a 。

[解法二]：根据对数函数和二次函数的性质，)()(2

R x a ax x x u ∈-+=的最小值不在于0，即04

2

≤--a a 解

得4-≤a 或0≥a 。

[评注]：解法一运用转化思想把对数函数转化为指数形式（关于x 的二次方程）获得解答；解法二运用对数函数和二次函数的性质获得思路。

4． 对实数x ，求函数48148)(22----=x x x x x f 的最大值。（96年美国中学数学竞赛题） [解法一]：)(x f 的定义域为[6，8]，22)4(168)(--=-=x x x x u ，当6=x 时，12max =u ；

22)7(14814)(---=---=x x x x v ，当6=x 时，0max =v ，从而当6=x 时)(x f 有最大值3212=。 [解法二]：)(x f 定义域为[6，8]，令28)(x x x u -=，4814)(2--=x x x v ，x v u 64822-=-。126480],8,6[≤-≤∴∈x x ， 12022≤-≤∴v u (1)

。v u y -= ，v y u +=∴代入（1）得：1222≤+vy y ，易知0≥y ，0)7(12≥--=x v ……（1）12222≤+≤∴vy y y ，32≤∴y ，当6=x 时

（1）、（2）同时取等号。故)(x f 有最大值3212=。

[解法三]：)(x f 的定义域为[6，8]，6

86)6(8)(-+-=

---=x x x x x x x f ，x -8 ，

6

1-+x x 在

[6，8]上是减函数，从而当6=x 时)(x f 有最大值3212=。

评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若)()()(x v x u x f +=，)(),(x v x u 同时在0x x =处取得最大值，则)(x f 在0x x =处取得最大值；解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点“若)(x f 在闭区间[a,b ]上为单调函数，则)(x f 在端点处取得最值”。

5． 设集合1|{x M =≤x ≤9, x ∈N},},,,|),,,{(M d c b a d c b a P ∈=.定义M 到Z 的映射f ：

（cd ab d c b a -→),,,。若y x v u ,,,都是M 中的元素，且满足f ：（y x v u ,,, ）→39，（),,,v x y u →66。求y x v u ,,,的值。 解：由题意得

39=-xy uv （1） 66=-xv uy （2） （1）+（2），（2）－（1）得