2021届海南省儋州市第一中学高三上学期第二次月考数学试题

【最新】海南省儋州市第一中学高三上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}|0A x x =<，{}2,1,0,1,2B =--，那么()U A B ⋂等于( )A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0-- 2．关于命题“当[]1,2m ∈时，方程220x x m -+=没有实数解”，下列说法正确的是 （ )A ．是全称量词命题，假命题B ．是全称量词命题，真命题C ．是存在量词命题，假命题D ．是存在量词命题，真命题 3．设,a b 为非零向量，则“//a b ”是“,a b 方向相同”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点（ ） A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度 C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度 5．已知(2,3)a =，(,1)b m m =-，(,3)c m =，若//a b ，则b c ⋅=（ ） A ．-5 B ．5 C ．1 D ．-16．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()2,1，则cos2θ=（ ）A ．45- B ．35 C ．35 D ．457．已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<8．复数z 满足(1)|1|z i i -=+，则复数z 的实部与虚部之和为（ ）AB ．C ．1D ．0 9．已知函数21()44f x x x=-，则 ()f x 的大致图象是( ) A ． B ．C ．D ．10．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B =,且2b ac =，则a c b+的值为( )A ．2BCD ．411．设'()f x 是函数()f x 的导函数，若'()0f x >，且1212,()x x R x x ∀∈≠，1212()()22x x f x f x f +⎛⎫+< ⎪⎝⎭，则下列选项中不一定正确的一项是（ ） A ．(2)()()f f e f π<<B ．'()'()'(2)f f e f π<<C ．(2)'(2)'(3)(3)f f f f <-<D ．'(3)(3)(2)'(2)f f f f <-<12．已知函数()()()3x x x e ax e f x a g x x e ，-=-=，若方程()()f x g x =有4个不同的实数解，则实数a 的取值范围是A ．(),e -∞B ．()(),33,e ⋃+∞C ．()(),0,e -∞⋃+∞D ．(),e +∞二、填空题13．已知i 是虚数单位，复数21i z i =-，则在复平面上复数z 对应的点坐标______. 14．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地，去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子原高一丈(1丈10=尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为__________尺．15．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．16．已知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有以下结论： ①()f x 的图象关于直线y 轴对称②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭④()f x 的最大值为12 则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0a C c A b B ++=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆，求ABC ∆的周长. 18．在正项等比数列{n a }中，11a =且3542,,3a a a 成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列{n b }满足n nn b a =，求数列{n b }的前n 项和n S ． 19．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域 （2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m的最大值20．如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ADC ︒∠=，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点，AB CE =.（1）求证：//DE 平面ACF ；（2）求异面直线EO 与AF 所成角的余弦值；（3）求AF 与平面EBD 所成角的正弦值.21．为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[]25,55（百元）内）且月工资收入在[)45,50（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．22．已知函数2()(1)ln f x x ax a x =-+-（I ）若2a ≥-讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a >，且对于函数()f x 的图象上两点()()()()()11122212,,P x f x P x f x x x <，存在()012,x x x ∈，使得函数()f x 的图象在0x x =处的切线12//l PP .求证：1202x x x +<.参考答案1．A【分析】先求出U A ,再求交集得解.【详解】由题得[)=0,U A +∞，所以()U A B ⋂={}0,1,2. 故选A【点睛】本题主要考查补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．A【分析】对[]1,2m ∈的理解是m 取遍区间[]1,2的所有实数，当1m =时方程有解，从而判断原命题为假命题.【详解】原命题的含义是“对于任意[]1,2m ∈，方程2x 2x m 0-+=都没有实数解”，但当1m =时，方程有实数解1x =，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A.【点睛】判断命题是特称命题还是全称命题，要注意补上省略词，同时注意判断命题为假命题时，只要能举出反例即可.3．B【分析】根据向量的共线的充要条件，即可作出判定，得到答案．【详解】因为,a b 为非零向量，所以//a b 时，,a b 方向相同或相反，因此“//a b ”是“,a b 方向相同”的必要而不充分条件.故选B ．【点睛】本题主要考查了充要条件和必要条件的判断，以及向量共线的充要条件，属基础题.其中解答中熟记利用向量共线的充要条件是解答的关键，着重考查了推理与判断能力．4．B【解析】【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】将3sin y x =的图象上的所有点的横坐标缩短12倍（纵坐标不变），可得y ＝3sin2x 的图象； 再向上平行移动1个单位长度，可得函数3sin 21y x =+的图象，故选B ．【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，熟记变换规律是关键，属于基础题．5．A【分析】通过平行可得m 得值，再通过数量积运算可得结果.【详解】由于//a b ，故()21=3m m -，解得2m =-，于是(2,3)b =--，(2,3)c =-，所以495b c ⋅=-=-.故选A.【点睛】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.6．C【分析】 利用三角函数定义即可求得：cosθ=sin θ=，再利用余弦的二倍角公式得解. 【详解】因为角θ的终边过点()2,1，所以1tan 2y x θ==点()2,1到原点的距离r ==所以cos x r θ==，sin y r θ==所以22413cos2cossin 555θθθ=-=-= 故选C【点睛】 本题主要考查了三角函数定义及余弦的二倍角公式，考查计算能力，属于较易题． 7．C【分析】分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系.【详解】 因为3011()()133a <<=，103331>=，1133log 3log 10<=， 所以01,1,0a b c <<><，∴c a b <<，故选C.【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多情况下都会和1作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用.8．D【解析】 由()11z i i -=+得：1=)112i z i i i +==+--，所以22z i =-，故选D ． 9．B【分析】 利用特殊值12x =、14x =、1x =-，排除错误选项. 【详解】 当12x =时，211()11124()4()22f ==--，排除A ，当14x =时，21141()()114324()4()44f f ==-<-，排除D ， 当1x =-时，11(1)0448f -==>+，排除C ， 故选B.【点睛】从函数解析式结合选项，发现零点、单调性、奇偶性、过特殊点等性质，是求解函数图象问题的常见方法.10．A【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =，因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =，解得3B π=， 由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-，即()224b a c =+，解得2a c b+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.11．C【分析】原式等价于()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可画出大致图像，得到A 正确；由图像的变化趋势以及导函数的几何意义得到B 正确；由割线的斜率的定义得到D 正确，进而得到答案. 【详解】因为()'0f x >，所以()f x 在R 上单调递增.()1212,x x R x x ∀∈≠，恒有()()121222x x f x f x f +⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()y f x =的图象是向上凸起的，如图所示.所以()()()2f f e f π<<，故A 项正确；因为()'f x 反映了函数()f x 图象上各点处的切线的斜率，由图象可知，随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()'''2f f e f π<<，故B 项正确； 因为()()()()323232f f f f --=-，表示点()()2,2A f 与()()3,3B f 连线的斜率， 由图可知()()'3'2AB f k f <<，故D 正确； C 项无法推出，例如：令()ln f x x =，()'ln f x x =，所以()()()''123ln 226f f f -==<== 所以C 错误 故答案为C.【点睛】这个题目考查了函数的凹凸性，以及导函数的几何意义，导函数的单调性能体现原函数的变化快慢，以及图像的凹凸性. 12．B 【分析】由()()f x g x =得到3(1)x x e ax a x e -=-，令xe tx=可得3(1)a t a t -=-，整理得 ()()30t t a --=．然后根据导数可得0x e t x =<或xe t e x=≥，故所求问题转化为方程()()30t t a --=有两个大于e 的不等实根，画出函数exy x=的图象后可得结果．【详解】由()()f x g x =得到3(1)x x e axa x e-=-，令xe tx=，则得3(1)a t a t -=-，整理得()()30t t a --=． 由()xe t x x=得，当0x <时，()0t x <；当0x >时，2(1)()x e x t x x'-=，()t x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以当0x >时()(1)t x t e ≥=．所以函数()t x 的值域为(,0)[,)e -∞⋃+∞．画出函数()xe t x x=的图象如下图所示．由题意可得“方程()()f x g x =有4个不同的实数解”等价于“方程()()30t t a --=有两个大于e 的不等实根”，由于3xe t x==有两个不等实根，所以只需方程xe t a x==有两个不同于上述方程的实根，结合图象可得a e >且3a ≠，所以实数a 的取值范围是()(),33,e ⋃+∞． 故选B ． 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 13．(1,1). 【分析】先化复数代数形式，再根据共轭复数定义以及复数几何意义求结果. 【详解】 因为22(1)1112i i i z i z i i --===-∴=+-，对应点坐标为(1,1). 【点睛】本题考查复数除法运算，共轭复数定义以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．4.55 【分析】根据题意画出图形，列出等式关系，联立即可求解. 【详解】如图，已知100AB AC +=（尺），3BC =（尺），2229AB AC BC -== ， ∴()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -=，因此100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得5,45455AB AC =⎧⎨=⎩， 故折断后的竹干高为4,55尺.故答案为4,55.【点睛】本题属于解三角形中的简单题型，主要考察解三角形的实际应用问题，关键在于读懂题意，根据题设做出图形. 15．530x y +-=.【分析】先利用导数求切线的斜率，再写出切线方程. 【详解】因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.故答案为y ＝－5x ＋3. 【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和函数的求导，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=- 16．②④ 【分析】根据三角函数性质，逐一判断选项得到答案. 【详解】3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,,222()sin cos 13sin 2,,222x x f x x x x x ππππ⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎡⎤⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩根据图像知：①()f x 的图象关于直线y 轴对称，错误 ②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，正确 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭，错误 ④()f x 的最大值为12，正确 故答案为②④ 【点睛】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用. 17．（Ⅰ）23B π=；（Ⅱ）5 【分析】（Ⅰ）由由正弦定理得()sin 2sin cos 0A C B B ++=，进而得到sin 2sin cos 0B B B +=，求得1cos 2B =-，即可求解； （Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理，求得5b =，再由余弦定理得2225a c ac =++，利用三角形的面积公式，求得3ac =，进而求得a c +的值，得出三角形的周长. 【详解】（Ⅰ）由题意，因为cos cos 2cos 0a C c A b B ++=， 由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B B ++=， 即()sin 2sin cos 0A C B B ++=，由A C B π+=-，得sin 2sin cos 0B B B +=， 又由(0,)B π∈，则sin 0B >， 所以12cos 0B +=，解得1cos 2B =-， 又因为(0,)B π∈，所以23B π=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知23B π=，且外接圆的半径为3，2=，解得5b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，可得2225a c ac =++， 因为ABC ∆1sin 2ac B ==，解得3ac =， 所以()()2222253a c ac a c ac a c =++=+-=+-，解得：a c += 所以ABC ∆的周长5L a c b =++=. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 18．（1）12n n a ；（2）1242n n n S -+=-. 【分析】（1）根据已知条件11a =且3542,,3a a a 可解得公比，再代入通项公式即可得到； （2）利用错位相减法可求得n S . 【详解】（1）设正项等比数列{a n }的公比为q (0)q >，∵53412231a a a a =+⎧⎨=⎩∴42311112231a a a a q q q ⎧=+⎨=⎩，所以22320q q --= ∴q ＝2，12q =-(舍去) 所以1112n n n a a q --==；（2）∵12n n n n n b a -==， ∴01211232222n n n S -++++=，① 121112122222n n n n nS --=++++，② ①﹣②得211111122222n n n n S -=++++-＝112112n --=12212222n n n nn +⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， ∴1242n n n S-+=-. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的求法，考查了等差中项，考查了利用错位相减法求和，本题属于基础题.19．（1）1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）265- 【分析】（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值. 【详解】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时sin t 2⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以值域为1,02⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩，解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m ≤-，则m 的最大值为265-. 【点睛】本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 20．（1）证明见详解；（2（3【分析】（1）连接OF ，可得OF 为BDE的中位线，OF ∥DE ，可得证明；（2）连接C 点与AD 中点为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴建立空间直角坐标系，可得EO ，AF 的值，可得异面直线EO 与AF 所成角的余弦值；（3）可得平面EBD 的一个法向量为n ，可得AF 与平面EBD 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）如图，连接OF ，因为底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，可得O 点为BD 的中点，又F 为BE 的中点，所以OF 为BDE的中位线，可得OF ∥DE,又OF ACF ∈,DE 不在平面ACF 内， 可得//DE 平面ACF ；（2）如图连接C 点与AD 中点位x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴建立空间直角坐标系， 设菱形ABCD 的边长为2，可得CE=2， 可得E(0，0，2)，O(2,12可得：31(,2)22EO =-,()AF =-,设异面直线EO 与AF 所成角为θ， 可得cos ==20EO AF EO AFθ⋅==⎛，（3）可得 D (3,-1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),可得n 0(DB ⋅=,(0,2,2)BE =,设平面EBD 的一个法向量为n ， 可得n 0DB ⋅=，n 0BE ⋅=,可得n的值可为，由(1)AF =-- 可得AF 与平面EBD 所成角的正弦值为n nAF AF⋅=5==. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行，及向量法求异面直线所成的角及向量法求直线与平面所成的角，综合性大，难度较大.21．（Ⅰ）0.02m =，0.025n =；（Ⅱ）不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据频数计算出月工资收入在[)45,50（百元）内的频率，利用频率总和为1和频率分布直方图估计中位数的方法可构造出关于,m n 的方程组，解方程组求得结果；（Ⅱ）根据题意得到列联表，从而计算出2 5.7610.828K =<，从而得到结论. 【详解】 （Ⅰ）月工资收入在[)45,50（百元）内的人数为15∴月工资收入在[)45,50（百元）内的频率为：150.15100=； 由频率分布直方图得：()0.02240.0150.151m n +++⨯+= 化简得：20.07m n +=……①由中位数可得：()0.025********.5m n ⨯+⨯+⨯-= 化简得：540.2m n +=……② 由①②解得：0.02m =，0.025n = （Ⅱ）根据题意得到列联表：()2210019193131 5.7610.82850505050K ⨯⨯-⨯∴==<⨯⨯⨯∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关 【点睛】本题考查频率分布直方图中的频率和中位数的计算、独立性检验解决实际问题，考查基础运算能力，属于常规题型. 22．(1)见解析(2)见证明 【分析】(1)对函数()f x 求导，分别讨论0a ≥，20a -<<以及2a =-，即可得出结果；(2)根据题意，由导数几何意义得到()()()()1122110122122ln2R P x a f x f x x f x k x x a x x x x -===+-+++'-，将证明1202x xx +<转化为证明()2121122ln x x x x x x ->+即可，再令21x t x =，设()()21ln 1t g t t t -=-+ (1)t >，用导数方法判断出()g t 的单调性，进而可得出结论成立. 【详解】（1）解：易得，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()1221x x a a f x x a x x-+=-+='-， 令()0f x '=，得1x =或2ax =-. ①当0a ≥时，01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.此时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞. ②当20a -<<时，12ax -<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 02ax <<-或1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 此时，()f x 的减区间为,12a ⎛⎫-⎪⎝⎭，增区间为0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞.③当2a =-时，0x >时，()()2210x f x x-'=>，函数()f x 单调递增；此时，()f x 的减区间为()0,+∞.综上，当0a ≥时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞： 当20a -<<时，()f x 的减区间为,12a ⎛⎫-⎪⎝⎭，增区间为0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.()1,+∞；当2a =-时，()f x 增区间为()0,+∞.（2）证明：由题意及导数的几何意义，得()()()1121021R P f x f x f x k x x =='--()()22222111211ln 1ln x ax a x x ax a x x x ⎡⎤⎡⎤-+---+-⎣⎦⎣⎦=-()211222ln2x a x x x a x x =+-+++由（1）中()f x '得()121212222x x a f x x a x x +⎛⎫=+-+-⎪+⎭'⎝. 易知，导函数()()21af x x a x=-+-' (0)a >在()0,+∞上为增函数， 所以，要证1202x x x +<，只要证()1202x x f x f +⎛⎫< ⎪⎝'⎭'， 即212112ln2x a x a x x x x <--+，即证()2121122ln x x x x x x ->+. 因为210x x >>，不妨令21x t x =，则()()21ln 1t g t t t -=-+ (1)t >. 所以()()()()222114011t g t t t t t -=-=+'>+ (1)t >， 所以()g t 在()1,t ∈+∞上为增函数， 所以()()10g t g >=，即()21ln 01t t t -->+，所以()21ln 1t t t ->+，即ln 211t t t >-+， 即()2121122lnx x x x x x ->+. 故有1202x x x +<（得证）. 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性以及函数极值等即可，属于常考题型.。