工程数学离线作业 (1)

浙江大学远程教育学院

《工程数学》课程作业

姓名： 杜小勇 学 号： 715100202040

年级： 15秋 学习中心： 西溪直属

————————————————————————————— 《复变函数与积分变换》

第一章

1.1计算下列各式：

（2）（a-b i ）3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3=a3-3ab2+i(b3-3a2b)

（3）i (i 1)(i 2)

--解 i 1.2证明下列关于共轭复数的运算性质：

（1）1212()z z z z ±=±

（2）1212()z z z z =

（3）11222

()(0)z

z z z z =≠ 1.4将直线方程ax+by+c=0(a 2+b 2≠0)写成复数形式.[提示：记x+i y=z.]

1.5将圆周a(x 2+y 2)+bx+cy+d =0(a ≠0)写成复数形式(即用z 与z 来表示，其中z=x+iy ).

1.6求下列复数的模与辐角主值：

（1

i

1.8将下列各复数写成三角表示式：

1.10解方程：z 3+1=0.

1.11指出下列不等式所确定的区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？

（1）2<|z|<3

（3）4π

（5）Re z 2<1

（7）|arg z |<3

π

第二章

2.2下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？

（1）f(z)=z z 2

（2）f(z)=x 2+iy 2

2.3确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数：

（1）211z - 2.9由下列条件求解析函数f(z)=u+i v .

（1）u(x-y)(x 2+4xy+y 2)

（3）u=2(x-1)y, f (0)=-i

（4）u=e x (x cos y - y sin y),f (0)=0

2.13试解方程：

（1）e z

i

2.14求下列各式的值：

（1）cos i

（3）(1-i)1+i

第三章

3.1计算积分120[()]d i x y ix z +-+⎰.积分路径为（1）自原点至1+i 的直线段；

（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i ；（3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至1+i.

3.2计算积分d ||c

z z z ⎰ 的值，其中C 为（1）|z|=2；（2）|z|=4. 3.6计算21d c z z z

-⎰ ，其中为圆周|z|=2 3.8计算下列积分值：

（1）0sin xi

⎰z d z

（3）0(32)d i z e z z +⎰

3.10计算下列积分：

（1）|2|1d 2z z e z z -=-⎰

（2）2||221d 1z z z z z =-+-⎰ （4）||d (1)(1)n

z r z r z =≠-⎰ 3.11计算I=d (21)(2)c

z z z z +-⎰ ，其中C 是（1）|z |=1；（2）|z -2|=1；（3）|z -1|=12；（4）|z |=3.

3.13计算下列积分：

（2）||22

sin d ()2

z z z z π=-⎰

（3）123cos d C C C z z z -=+⎰ ，其中C 1：|z |=2，C 2：|z |=3.

第四章

4.2下列级数是否收敛？是否绝对收敛？

（1）11i (

)2n n n

∞=+∑ （2）1i !n n n ∞

=∑

4.4试确定下列幂级数的收敛半径：

（1）11

n n nz ∞-=∑

（2）2

11(1)n n n z n ∞=+∑

4.5将下列各函数展开为z 的幂级数，并指出其收敛区域：

（1）

311z + （3）22

1(1)z + （5）sin 2 z

4.7求下列函数在指定点z 0处的泰勒展式：

（1）2

1z ，z 0=1 （2）sin z ，z 0=1

4.8将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数：

（1）21(1)

z z z +- ，0<|z |<1,1<|z |<+∞ （3）2225(2)(1)

z z z z -+-+ ，1<|z |<2 （4）cos

i 1z

- ，0<|z -1|<+∞ 4.9将f(z)=2132z z -+ 在z =1处展开为洛朗级数.

第五章

5.3下列各函数有哪些奇点？各属何类型（如是极点，指出它的阶数）：

（1）

221(4)z z z -+ ；（2）3sin z z ；（3）1sin cos z z + ； （4）21(1)

z z e - ；（5）ln(1)z z + ；（6）111z e z -- . 5.5如果f(z)与g(z)是以z 0为零点的两个不恒为零的解析函数，则

00()()lim lim ()()z z z z f z f z g z g z →→'=' （或两端均为∞）. [提示：将()()

f z

g z 写成0()()()m n z z z z ϕψ--的形式，再讨论.] 5.7求出下列函数在孤立奇点处的留数：

（1）1z e z

- （2）722(2)(1)

z z z -+ （5）

1sin z z

（6）sh ch z z 5.8利用留数计算下列积分：