对面积的曲面积分习题解析
对面积的曲面积分
（3）将曲面方程 z z( x, y) 及
dS
1
z
2 x
(
x,
y
)
z 2y
(
x,
y
)d
xd
y
代入 f ( x, y, z)dS 中即可。 一投、二代、三换
（4）若 是 xoy 面上的一个闭区域 D 时，则
z 0, zx zy 0, f ( x, y, z)dS f ( x, y,0)dxdy
解 xdS xdS xdS
1
2 xdS
（3）在 3 上，
3
x2 y2 1, 0 z x 2,
显然 3 关于 xoz 面对称，
xoz
被积函数关于 y 为偶函数，
31
所以 xdS 2 xdS, 31 为位于 xoz 面右边的半片
3
31
即 31 : y 1 x2 , 1 x 1, 0 z x 2,
| x yz | dS 4 xy( x2 y2 ) 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
Dxy
2
40
d
01
2
cos
sin
2
1 4 2d
2
20
sin
2
d
01
5
1 4 2d
125 5 1. 420
例 2 计算| xyz | dS ,
其中 为抛物面 z x2 y2（0 z 1 ）.
所以有 x2dS 8 x2dS
1
0
y
1 : z 4 x2 y2 , Dx1y {( x, y)| x2 y2 4, x 0, y 0} x
若 的密度是均匀的，即 ( x, y, z) 常数
则 M = 的面积 ，而
对面积的曲面积分(8)
Dxy
1 1 x
30dx 0 xy(1 x y)dy
3. 120
0
y
x
例3 计算 xyzdS , 其中是三坐标面及 x y z 1
z
所围四面体的边界曲面 . 解 1 2 3 4.
1 1 2
xyz dS xyz dS xyz dS
o
1y
1
2
xyz dS xyz dS
(x, y, z) dS
0
y
x
二、对面积的曲面积分的定义
定义 设f ( x, y, z)在光滑曲面上有界
(1)分割：S1, S2 , , Sn
(2)取点：(i ,i , i ) Si
n
(3)作和： f (i ,i , i )Si
i 1
n
(4)求极限：lim 0 i1
f (i ,i , i )Si
y2
h
0
y
2
d
0
a2h2 ad 0 a2 2
2a ln a
h
x
例5 求 dS
z : x2 y2 z2 a2 , z h部分，0 h a
解2 y a2 x2 z2
yx
x a2 x2 z2
yz
z a2 x2 z2
1
y
2 x
yz2
a a2 x2 z2
dS
D yz
3、 设 为球面 x 2 y 2 z 2 a 2 在 xoy 平面的上方
部分,则 ( x 2 y 2 z 2 )ds ____________；
4、 3zds _____,其中 为抛物面 z 2 ( x 2 y 2 ) 在 xoy面上方的部分；
5、 ( x 2 y 2 )ds ______, 其 中 为 锥 面 z x2 y2 及平面 z 1所围成的区域的整个边
(第六部分)曲面积分习题解答
第十章 曲线积分与曲面积分(第六部分)曲面积分习题解答一、对面积的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑++dS y x z )342(，其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限中的部分． 分析 因为∑：1432=++z y x ，可恒等变形为∑：y x z 3424--=，又因被积函数y x z 342++与∑形式相同，故可利用曲面方程来简化被积函数，即将4342=++y x z 代入，从而简化计算。
解 平面∑方程的为)321(4yx z --=（如图）， ∑在xoy 面上的投影区域xy D ：0,0,132≥≥≤+y x yx ；34,2-=∂∂-=∂∂y z x z ，面积元素 dxdy dxdy y z x z dS 361122=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= 从而 ⎰⎰⎰⎰⋅=++∑xyD dxdy dS y x z 3614)342( 61432213614=⋅⋅⋅=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x |)|(，其中∑为1||||||=++z y x .解 由对称性可知，=⎰⎰∑xdS ，由轮换对称性和代入技巧知，⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑=++=dS dS z y x dS y 31|)||||(|31||，再由曲面积分的几何意义知，34238=⋅=⎰⎰∑dS ，所以，334|)|(=+⎰⎰∑dS y x.y二、对坐标的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑dydz x 2．其中∑为球面2222R z y x =++在第一卦限部分的上侧。
分析 由于∑不是封闭曲面，且只是对坐标z y ,的曲面积分，故直接计算即可。
解 因∑：222z y R x --=取前侧，且∑在yoz 面上的投影区域为0 ,0 , :222≥≥≤+z y R z y D yz .于是得 ⎰⎰∑dydz x 2dydz z y R yzD ⎰⎰--=)(222⎰⎰⋅-θ=πRrdr r R d 02220 )( 402228141212R r r R Rπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑++=ydzdx xdydz zdxdy I ．其中∑是柱面122=+y x 被平面0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧。
练习题4第一类曲面积分
第九章练习题4：对面积的曲面积分 王克金基本概念 1.第一类曲面积分dS ∑⎰⎰= ；答案：∑的面积2.设曲面∑为：2222x y z a ++=，则222()x y z dS ∑++=⎰⎰ ； 答案：44a π 解222222()44x y z d S a d S a a aππ∑∑++==⋅=⎰⎰⎰⎰对称性1. 设∑：2222x y z a ++=．则2z dS ∑⎰⎰ = ；443a π 答案：443a π 解 积分曲面关于三个坐标面对称，故222z dS x dS y dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2221()3x y z dS ∑=++⎰⎰ =443a π 2. 设∑是球面2222x y z R ++=在第一卦限部分，2x dS ∑⎰⎰=_______ 答案：46R π解 由()22222213x dS y dS z dS x y z dS ∑∑∑∑===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ =224114386R R R ππ⋅⋅= 3.设∑为球面2222R z y x =++，则22()84x y dS ∑+⎰⎰=（ ）C （A ）24R π （B ）545R π（C ）24R π （D ）R π4答案：（C ）解 由于积分曲面关于三个坐标面对称，且满足轮换，故有2222224114()4333x dS x y z dS R R R ππ∑∑=++=⋅=⎰⎰⎰⎰，所求利用上述结论，为238x dS ∑⎰⎰，故选C 。
平面1. 设∑是yoz 平面上的圆域221y z +≤，则()222d xy z S ∑++⎰⎰等于（ ）D（A ）0 （B ）π （C ）4π （D ）2π 答案：（D ）解 在∑上，0x =，被积函数化为22y z +，原积分化为二重积分为()222Dy z dydz π+=⎰⎰，选D2.若∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分,则4(2)3z x y dS ∑++=⎰⎰解 ∑在xoy 的投影为03(1):202xy x y D x ⎧≤≤-⎪⎨⎪≤≤⎩,=4(2)43xyD z x y dS ∑++==⎰⎰⎰⎰.3.设∑为平面1234x y z ++=在第一卦限内的部分，则423z x y dS ∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰=（ ）D (A) 23(1)204xdx dy -⎰⎰。
对面积的曲面积分
0 时，若极限 lim 0
i 1
f (i
，i
， i )Si
存在，且与曲面
的
分法及点 (i ，i ，i ) 的取法无关，
1.1 对面积的曲面积分的概念与性质
则称此极限为函数 f (x ，y ，z) 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记
作 f (x ，y ，z)dS ，即 Σ
n
Σ
坐标面所围成四面体的表面，如图所示．
解 设 1 ， 2 ，3 ， 4 分别表示 在平面 x 0 ， y 0 ， z 0 ， x y z 1上 的部分．在 1 ， 2 ，3 上，因为被积函数为零，即 xyz 0 ，所以
xyzdS xyzdS xyzdS 0．
1
2
3
4 在 xOy 面上的投影为 Dxy {(x ，y) | 0 x 1，0 y 1 x} ．
的．后面我们总假定曲面是光滑或分片光滑的．
1.1 对面积的曲面积分的概念与性质
性质 1 设 是光滑曲面， f (x ，y ，z) ，g(x ，y ，z) 在 上连续， k1 ，k2 为常数，则
[k1 f (x ，y ，z) k2g(x ，y ，z)]dS k1 f (x ，y ，z)dS k2 g(x ，y ，z)dS ．
1.1 对面积的曲面积分的概念与性质
考虑一非均匀曲面型构件 ，设该曲面上任一点处的面密度为连续函数 (x ，y) ．把曲面 任意分割成 n 个小曲面 Si (i 1，2， ，n) ， Si 既表示第 i 个小
曲面，也表示该小曲面的面积，并记 m1 iaxn{Si 的直径 } ．若在第 i 个小曲面上任取一
点 (i ，i ，i ) ，则第 i 个小曲面的质量为 Mi (i ，i ， i )Si ，
对面积的曲面积分
证明：因为 在曲面上对面积的积分存在，所以不论把曲面 怎样分割，积分和总保持不变，因此在分割曲面 时，可以永远把 和 的边界曲线作为分割线，从而保证 整个位于 上，于是 上的积分和等于 上的积分和加上 上的积分和，即
令各小块的直径的最大值趋向于0，去极限得到：
3.当 时 面内的一个闭区域 时，曲面积分 和二重积分有什么关系。
（2）利用积分曲面 的方程化简被积函数．
例3计算曲面积分 ，其中 是平面 被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分.
解法一 . 在 平面上的投影是三角形，记为 .
.
解法二 .
【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里，因为积分曲面是一个三角形，最后用到了三角形的面积公式.
例4计算 , 为立体 的边界.
解：当 时 面内的一个闭区域 时， 在 上的投影区域即为 ， 上的 恒为 ，并且 ，所以 ，即曲面积分与二重积分相等。
4.计算曲面积分 ，其中 为抛物面 在 面上方的部分， 分别如下：
（2） ;（3） ．
解（2） = ，其中 为 在 面上的投影区域，即
.
于是
= .
（3）
= .
5. 计算 ，其中 是：
．
【注】定义中的“ ”是面积元素，因此， ．
2.性质
①关于曲面具有可加性，若 ，且 与 没有公共的内点，则
；
②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面 的面积 ，即
．
3.对面积的曲面积分的计算
设曲面 由 给出， 在 面上的投影区域为 ，函数 在 上具有连续偏导数，被积函数 在 上连续，则
．
同样地
，
解以球心为原点，铅锤直径为 轴建立直角坐标系，则球面方程为 ，且任意点 处的密度为 ．
高数 对面积的曲面积分讲解
如 : z z( x, y) ，则
dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
“三投影”认清 在 二重积分是在区域上
xoy 平面上的投影区域 Dxy 进行的。
Dxy ，
10
2)如果曲面方程为 x x( y, z), ( y, z) Dyz
或 y y( x, z), ( x, z) Dxz
21
例5 设 : x2 y2 z2 a2
z 1
计算 I f ( x, y, z)dS
解 锥面 z x2 y2 与上半球面 z
x o Dx y y
a2 x2 y2 的
交线为
设 1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dx y ( x, y)
1
x x2
y2
2
y x2
y2
2
O
dxdy
a
2a x
2dxdy
I ( xy y x2 y2 x x2 y2 ) 2dxdy
Dxy
20
y
0 2 x x2 y2dxdy
Dxy
2a cos
2
两片, 则计算较繁。 解 取曲面面积元素
则
I
0H
2
R2
R dz z2
2 arctan H
R
H
z dz
o
y
x
28
例11 求椭圆柱面
位于xoy面上方及平面
z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S 。
高数 对面积的曲面积分讲解
4 xd S 4 x d S
x xd S d S
25
例8 求半径为R 的均匀半球壳 的重心。
解 设 的方程为 利用对称性可知重心的坐标 x y 0 ,而
用球面坐标系
z Rcos
d S R2 sin d d
R3
2
3
0
5 4cos2 t dcos t
z oz y
L ds x
29
内容小结
1. 定义:
n
lim
0
i 1
f
(
i
,i
,
i
)
Si
2. 计算: 设 :z z( x, y),( x, y) Dx y , 则
Dx y f ( x, y, z( x, y) )
1
1
x x2
y2
2
y x2
y2
2
O
dxdy
a
2a x
2dxdy
I ( xy y x2 y2 x x2 y2 ) 2dxdy
Dxy
20
y
0 2 x x2 y2dxdy
Dxy
2a cos
2
18
例3 计算
其中是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解 设 1, 2 , 3, 4分别表示 在平面 1
上的部分, 则 o
原式
=
1
2
3
4
x
yz
dS
§10.4对面积的曲面积分
∑ f (ξ i ,ηi , ζ i )∆Si ,
n
∫∫Σ f ( x , y , z )dS = lim ∑ f (ξ i ,ηi , ζ i )∆Si . λ →0
i =1
n
其中f(x, y, z)叫作被积函数 Σ 叫作积分曲面 叫作被积函数 积分曲面. 其中 叫作被积函数, 叫作积分曲面 其物理意义是面密度为f(x, y, z)的曲面Σ 的质量 其物理意义是面密度为 的曲面 的质量.
λ → 0 i =1
= ∫∫D f [ x, y, z( x, y)] 1 + z′2 + z′2dxdy. x y
xy
这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式. 这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式
按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式: 按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式 (1) 若曲面Σ 为: z=z(x, y), 则 ∫∫Σ f ( x , y , z )dS
xy
= ∫∫D f [ x , y , z ( x , y )] 1 + z′x2 + z′y2 dxdy .
(2) 若曲面Σ 为: y=y(z, x), 则 ∫∫Σ f ( x , y , z )dS
xz
= ∫∫D f [ x , y( x , z ), z ] 1 + y′x2 + y′ 2 dxdz . z
= 4 ∫0 dθ ∫0 r 2 cos t sin t ⋅ r 2 1 + 4r 2 rdr (用极坐标计算 用极坐标计算) 用极坐标计算
2
π
1
位于对称坐标面一侧的部分. 其中Σ1是Σ 位于对称坐标面一侧的部分
1 + 4r 2 dr = 4 ∫0 cos t sin tdt ∫ 1 1 5 令 u=1+4r2. = 4 ⋅ ∫0 r 1 + 4r 2 dr 2 125 5 − 1 1 5 u−1 2 . ) du = = ∫1 u( 420 4 4 对面积的曲面积分有完全类似与三重积分的 注: 对面积的曲面积分有完全类似与三重积分的 对称性. 对称性 对称于xoy(或yoz, 或zox)坐标面 坐标面, 设Σ 对称于 或 坐标面 是奇函数, 关于z 若f(x, y, z)关于 (或x,或 y)是奇函数 则 关于 或 或 是奇函数 ∫∫Σ f ( x , y , z )dS = 0. 关于z 是偶函数, 若f(x, y, z)关于 (或x, 或 y)是偶函数 则 关于 或 是偶函数 ∫∫Σ f ( x , y , z )dS = 2∫∫Σ f ( x , y , z )dS .
高等数学 第四节 对面积的曲面积分
第十一章 第四节
8
轮换对称性 如果积分曲面 Σ 的方程中某两个变量对调其方程 不变， 则将被积函数的这两个变量对调积分值不 变，例如：Σ 中 x 与 y 对调 Σ 不变
f ( x , y , z)dS f ( y , x , z)dS
Σ
Σ
注意：利用曲面方程化简曲面积分
曲面积分和曲线积分一样，积分区域是由积分变
一卦限中的部分，则有( C )。
( 2000 考研 )
第十一章 第四节
15
例6 设 : x2 y2 z2 a2
计算 I f ( x , y , z)dS 。
Σ
z
a
Σ1 a
2
O Dxy
xa
ay Σ2
第十一章 第四节
16
例7
计算 I =
dS x2 y2 z2
其中 Σ 是介于平面
之间的圆柱面
量的等式给出的，因而可以将 Σ 的方程直接代入
被积表达式。
第十一章 第四节
9
例1 计算曲面积分 I x2dS ， Σ 为
Σ
x2 y2 a2 介于 z 0 与 z k 之间的部分。
z k
O y
x
第十一章 第四节
10
具体步骤： 1 根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲 面表示为显函数，同时确定相应的坐标面上的投 影区域； 2 根据曲面方程求得相应的面积元素 dS ； 3 将曲面方程的表达式和面积元素 dS 代入被积 表达式而得到相应投影区域上的二重积分； 4 计算转化后的二重积分。
第十一章 第四节
6
若曲面为：y y( x , z) , ( x , z) Dxz 往 zOx 平面投影
则 f ( x , y , z)dS f [x , y( x , z) , z] 1 yx2 yz2dxdz
12-1 对面积的曲面积分
例 12.1.1 设曲面 : x y z 1，则 (x | y |)dS
．
解 由于曲面 关于 yOz 平面对称，且 x 关于 x 为奇函数，因此 x dS =0．
又曲面 : x y z 1分别关于平面 y x 、x z 和 z y 对称，对面
积的曲面积分的轮换对称性，有
式 (12.1.1) 、 (12.1.2) 或 (12.1.3) 中之一进行计算．
15-12
例 12.1.2 设 {(x, y, z) x y z 1, x 0, y 0, z 0} ， 计 算 曲 面 积 分
解 y2dS:．z 1 x y ， (x, y) Dxy ，其中 Dxy 为
2
f (x, y, z)dS, 如果f (x, y, z)在 上关于z为偶函数.
1
⑵ 如果 关于 yOz 平面对称， 1 为 在 yOz 平面前侧的部分曲面，则
0,
如果f (x, y, z)在 上关于x为奇函数,
f
(x,
y, z)dS
2
f (x, y, z)dS, 如果f (x, y, z)在 上关于x为偶函数.
1 1 y2
0
综上可得
zdS 0 π π 2π ．
15-15
积分或第一型曲面积分，记为 f (x, y, z)dS ，即
n
f (x, y, z)dS lim 0 i1
f (i ,i , i )Si ．
15-5
（续定义）
n
f (x, y, z)dS lim 0 i1
f (i ,i , i )Si ，
其中 f (x, y, z) 称为被积函数， 称为积分曲面，dS 称曲面面积元素．
上连续，则
f (x, y, z)dS f (x, y, z(x, y)) 1 zx2(x, y) zy2(x, y)dxdy ． (12.1.1)
(整理)曲面积分精解6
第一节 第一类曲面积分内容要点一、 第一类曲面积分的概念与性质定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ∆(i S ∆同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ∆上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积),,2,1(),,(n i S f i i i i =∆⋅ζηξ并作和,),,(1∑=∆⋅ni i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在,则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为∑⎰⎰=→∑∆=ni i i i i S f dS z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ (4.2) 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法.),(),(1)],(,,[),,(22⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f (4.3)例题选讲例 1 计算曲面积分,⎰⎰∑z dS其中∑是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部.解 ∑的方程为.222y x a z --=∑在xOy 面上的投影区域:xy D {}.),(2222h a y x y x -≤+又,122222yx a a z z y x --=++利用极坐标故有⎰⎰⎰⎰-=∑xy D r a adxdy z dS 22 220202222r a rdr d a r a ardrd ha Dxy-=-=⎰⎰⎰⎰-θθπ22022)(212h a r a In a -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=π.2h aaIn π=例2（E01）计算,)(⎰⎰∑++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所截得的部分.解 积分曲面∑-=,5:y z 其投影域},25),({22≤+=y x y x Dxy,2)1(011222dxdy dxdy dxdy z z dS y x =-++=++=故⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=-++=++∑xyxyD D dxdy x dxdy y y x dS z y x )5(2)5(2)(.2125)cos 5(2520πθθπ=+=⎰⎰rdr r d例3（E02）计算,⎰⎰∑xyzdS 其中∑是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围四面体的整个边界曲面.解 如图(见系统演示)，.2341xyzdS xyzdS ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑注意到在321,,∑∑∑上，被积函数,0),,(==xyz z y x f 故上式右端前三项积分等于零. 在4∑上，,1y x z --=所以,3)1()1(112222=-+-+=++y x z z从而⎰⎰⎰⎰∑∑=4xyzdS xyzdS ⎰⎰--=xyD dxdy y x xy ,)1(3其中xy D 是4∑在xOy 面上的投影区域.=⎰⎰∑xyzdS ⎰⎰---=xdy y x y xdx 1010)1(3dx y y x x x-⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10103232)1(3dx x x ⎰-⋅=1036)1(3.1203)33(634312=-+-=⎰dx x x x x 例4计算,dS xyz ⎰⎰∑其中∑为抛物面).10(22≤≤+=z y x z解 根据抛物面22y x z +=对称性,及函数||xyz 关于yOz xOz 、坐标面对称,有dxdy y x y x xy xyzdS dS xyz xy D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+++=∑=∑2222)2()2(1)(441⎰⎰⎰⎰+=+⋅=20125122220412sin 241sin cos 4ππdr r r tdt rdr r rt t r dt.420151254141512-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰du u u 例 5 计算,⎰⎰∑xdS 其中∑是圆柱面,122=+y x 平面2+=x z 及0=z 所围成的空间立体的表面.解，＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑+∑∑321∑∑12，在xOy 面上得投影域.1:22≤+y x D xy于是⎰⎰⎰⎰∑==1,0xyD xdxdy xdS ⎰⎰⎰⎰∑=+=2,011xyD dxdy xxdS将)1:,(313223∑∑∑-±=x y 投影到zOx 面上，得投影域.10,11:+≤≤≤≤-x y x D xydxdz y y xxdS xdS xdS zxD z x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=∑+∑=∑221232313,12112211222π=-=-+=⎰⎰⎰⎰+-x D dz x xdxdz x x x xz所以.00ππ=++=∑⎰⎰xdS例6（E03）计算,)(222⎰⎰∑++dS z y x∑为内接于球面2222a z y x =++的八面体a z y x =++||||||表面.解 被积函数222),,(z y x z y x f ++=关于三个坐标面和原点均对称.积分曲面∑也具有对称性,故原积分⎰⎰⎰⎰∑∑=1,8其中),0,,(:1>=++∑z y x a z y x 1∑在xOy 面上的投影为,0:a x D xy ≤≤,0x a y -≤≤而,y x a z --=所以.3122dxdy dxdy z z dS y x =++=dS z y x dS z y x ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++1)(8)(222222dxdy y x a y xxy D 3])([8222⎰⎰--++=dy y x a y x dxxa a⎰⎰---++=022203])([8.324a =例7（E04）求球面2222a z y x =++含在圆柱体ax y x =+22内部的那部分面积. 解 由对称性知，所求曲面面积A 是第一卦限上面积1A 的4倍.1A 的投影区域),0,(:22≥≤+y x ax y x D xy曲面方程,222y x a z --=故,122222yx a a z z y x --=++所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=--=++=20cos 022222224414πθθa D D yxra rdr d a yx a adxdy dxdy z z A xyxy.42)1(sin 422202a a d a-=-=⎰πθθπ例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km). 解 取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z 轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面∑是上半球面倍半顶角为α的圆锥面所截得的部分.∑的方程为,222y x R z --=它在xOy 面上的投影区域.sin :2222αR y x D xy ≤+于是通讯卫星的覆盖面积为).cos 1(22απ-=R A将h R R +=αcos 代入上式得 .21222h R h R h R R R A +⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为%.5.4242≈R Aπ 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔32π角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.课堂练习1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dS z y x f ),,(与二重积分有什么关系?2.计算⎰⎰∑+dS y x )(22, 其中∑为锥面)(3222y x z +=被平面0=z 和3=z 所截得的部分..3. 求半径为a 的球的表面积.第二节 第二类曲面积分内容要点一、有向曲面：双侧曲面 单侧曲面在科学幻想故事“一列名叫麦比乌斯的地铁”②中，故事情节围绕一列从波士顿地铁系统中神秘消逝的第86号列车而展开. 这个地铁系统前一天才举行通车仪式, 但是现在第86号却消失了, 什么痕迹也没有留下.事实上, 很多人都报告说他们听到了列车在它们的正上方或正下方飞驰的声音, 但是谁也没有真正地看到过它. 当确定这列火车为止的所有努力都失败之后, 哈佛的数学家罗杰.图佩罗给交通中心打电话, 并且提出了一个惊人的理论:这个地铁系统非常复杂, 以至于它可能变成了一个单面典面(麦比乌斯带)的一部分, 而那列在当时丢失的火车可能正在这条带子的“另一个”面上跑它的正常路线. 面对极度惊愕的市政官员, 他耐心地解释了这种系统的拓扑奇异性. 在经过一段时间——确切地说是十星期之后——这列丢失的列车又重新出现了，它的乘客都安然无恙，只是有一点累.二、第二类曲面积分的概念与性质定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(z y x 处的单位法向量,cos cos cos k j i nγβα++= 又设k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A),,(),,(),,(),,(++=其中函数R Q P ,,在∑上有界, 则函数γβαc o s c o s c o s R Q P n v ++=⋅则∑上的第一类曲面积分⎰⎰∑⋅dS n v.)cos cos cos (⎰⎰∑++=dS R Q P γβα (5.5)称为函数),,(z y x A在有向曲面∑上的第二类曲面积分.三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面∑：),(y x z z =，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为xy D , 则.⎰⎰⎰⎰±=∑yzD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(. (5.9)上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定.例题选讲第二类曲面积分的计算法例1 (E01) 计算曲面积分,222⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 其中∑是长方体}0,0,0|),,{(c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω的整个表面的外侧.解 如图(见系统演示), 把有向曲面∑分成六部分.除43,∑∑外，其余四片曲面在yOz 面上的投影值为零,因此⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=34222dydz x dydz x dydz x .0222bc a dydz dydz a yzyzD D ⎰⎰⎰⎰=-=类似地可得,22ac b dzdx y ⎰⎰∑=.22ab c dxdy z =⎰⎰∑于是所求曲面积分为.)(abc c b a ++例2 (E02) 计算,⎰⎰∑xyzdxdy 其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分.解 把∑分成1∑和2∑两部分,1:2211y x z --=∑,1:2222y x z ---=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdydxdy y x xy dxdy y x xy xyxyD D )1(12222------=⎰⎰⎰⎰dxdy y x xyxyD ⎰⎰--=2212利用极坐标.1521sin 222=-=⎰⎰θθrdrd r r xyD 例3 (E03) 计算,)(2⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z 其中∑是旋转抛物面2/)(22y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间的部分的下侧.解.cos cos )(dS cos )()(222dxdy x z x z dydz x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=+=+γαα 在曲面∑上，有.11c o s c o s x x z x -=-=-=γα ⎰⎰⎰⎰∑--+=-+∑dxdy z x x z zdxdy dydz x z ]))([()(22dxdy y x x x y x xy D ⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)(21)()(412222.821cos )(212020222222πθθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰⎰rdr r r d dxdy y x x xy D 课堂练习1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dxdy z y x f ),,(与二重积分有什么关系?2.计算曲面积分,⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑为平面,0=x ,0=y 1=++z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.第三节 高斯公式 通量与散度内容要点一、高斯公式定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P (6.1)这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为.)cos cos cos (⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y Q x P γβα二、通量与散度一般地，设有向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A),,(),,(),,(),,(++=,其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，n 是曲面∑的单位法向量. 则沿曲面∑的第二类曲面积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑++=⋅=⋅=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d n A S d A称为向量场A通过曲面∑流向指定侧的通量. 而zR y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂ 称为向量场A 的散度，记为A div，即zRy Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂= . (6.5)例题选讲利用高斯公式计算例1（E01）计算曲面积分,)()(⎰⎰∑-+-xdydz z y dxdy y x 其中∑为柱面122=+y x 及平面3,0==z z 所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧（图10-6-2）.解 ,)(x z y P -=,0=Q ,y x R -=,z y x P -=∂∂,0=∂∂y Q ,0=∂∂zR利用高斯公式，得 原式=⎰⎰⎰Ω-dxdydz z y )(（利用柱面坐标）⎰⎰⎰Ω-=dz rdrd z r θθ)sin (rdz z r dr d ⎰⎰⎰-=10320)sin (θθπ.29π-=例2（E02）计算,)()(22⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z其中∑为旋转抛物面221y x z --=在10≤≤z 部分的外侧.解 作辅助平面∑=1,0:z 则平面∑1与曲面∑围成空间有界闭区域,Ω由高斯公式得⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z)()(22⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-+---+-=11)()()()(2222dxdy z x dzdx y z dxdy z x dzdx y z ⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω---=1)()2(2dxdy z x dv⎰⎰⎰⎰⎰--=-xyD r d x rdz dr d σθπ22011022.434cos 0)1(42012212πππθθππ-=+-=⋅--=⎰⎰⎰rdr r d dr r r例3（E03）计算,)cos cos cos (222⎰⎰∑++dS z y x γβα 其中∑为锥面222z y x =+)0(h z ≤≤, γβαcos ,cos ,cos 为此曲面外法线向量的方向余弦.解 补充平面),(:2221h y x h z ≤+=∑取1∑的上侧，则1∑+∑构成封闭曲面， 设其所围成空间区域为.Ω 于是⎰⎰∑+∑++1)cos cos cos (222dS z y x γβα ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x )(2⎰⎰⎰+++=h y x D dz z y x dxdy xy22)(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=--==+ππθ200422222.21)()(222h D D h yx h rdr r h d dxdy y x h zdz dxdy xyxy而⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑===++11,)cos cos cos (422222xyD h dxdy hdxdy z dS z y xπγβα故.2121)c o s c o s c o s (444222h h h dS z y x πππγβα-=-=++⎰⎰∑例4（E04）证明: 若∑为包围有界域Ω的光滑曲面, 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∆dV z v z u y v y u x v x u dS n uvudV v 其中nu∂∂为函数u 沿曲面∑的外法线方向的方向导数，u ,v 在Ω上具有一阶和二阶连续偏导数，符号222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.证 因为=∂∂n u γβαcos cos cos z u y u xu∂∂+∂∂+∂∂n u ⋅∇=，其中}cos ,cos ,{cos γβα=n 是∑在点),,(z y x 处 的外法线的方向余弦，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑⋅∇=⋅∇=∂∂dS n u v dS n u v dS nuv)[()(dS z u v y u v x u v ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=γβαcos cos cos dv z u v z y u v y x u v x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=.dv z v z u y v y u x v x u udv v ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎝⎛⎪⎭⎫∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∆=将上式右端移至左端即得所要证明的等式.通量与散度例5（E05）求向量场k z j y i x r++=的流量(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.解 设21,S S 及S 分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量 Q ⎰⎰+⋅=S S d r⎰⎰⎰=Vdv r div⎰⎰⎰=Vdv 3.3h π=(1)穿过底面向上的流量 1Q ⎰⎰+⋅=S S d r⎰⎰=≤+=hz z y x zdxdy 222⎰⎰≤+=222z y x hdxdy .3h π=(2)穿过侧表面向外的流量2Q 1Q Q -=.0=课堂练习1.利用高斯公式计算,)()()(222⎰⎰+-+-+-S dxdy xy z dzdx xz y dydz yz x其中+S 为球2222)()()(R c z b y a x =-+-+-面的外侧.第四节 斯托克斯公式 环流量与旋度斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系.分布图示★ 斯托克斯公式★ 例1 ★ 例2★ 例3★ 空间曲线积分与路径无关的条件 ★ 三元函数的全微分求积 ★ 环流量与旋度★ 例4 ★ 例5★ 例6★ 斯托克斯公式的向量形式 ★ 向量微分算子 ★ 内容小结 ★课堂练习★ 习题11-7★返回内容要点一、斯托克斯公式定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑.⎰++=LRdz Qdy Pdx (7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx RQ P zy x dxdy dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成.c o s c o s c o s ⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx dS RQPzy x γβα二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度 设向量场,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A++= 则沿场A中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分⎰++=ΓCRdz Qdy Pdx称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,称为向量场A 的旋度，记为A rot，即.k y P x Q j x R z P i z Q y R A rot ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=旋度也可以写成如下便于记忆的形式：RQPz y x k j i A rot ∂∂∂∂∂∂=.四、向量微分算子：,k zj y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇例题选讲利用斯托克斯公式计算例1（E01）计算曲线积分,⎰Γ++ydz xdy zdx 其中Γ是平面1=++z y x 被三坐标面所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解 按斯托克斯公式，有,⎰⎰⎰∑++=++Γdxdy dzdx dydz ydz xdy zdx由于∑的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知:,3⎰⎰⎰⎰=∑++xyD d dxdy dzdx dydz σ所以.23=++⎰Γydz xdy zdx例 2 计算曲线积分,)()()(222222dz y x dy x z dx z y -+-+-⎰Γ其中Γ是平面2/3=++z y x 截立方体：,10≤≤x ,10≤≤y 10≤≤z 的表面所得的接痕，从x 轴的正向看法，取逆时针方向.解 取∑为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量,3}3,1,1{=n即,31cos cos cos ===λβα原式dS y x x y z y z y x z⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222313131⎰⎰∑++-=dS z y x )(34.293322334-=-=∑⋅-=⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dS例3（E02）计算,)()()(222222⎰Γ+++++dz y x dy z x dx z y 式中Γ是).0,0(2,222222><<=+=++z R r rx y x Rx z y x此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面Rx z y x 2222=++上的最小区域保持在左方.解 由斯托克斯公式，有 原式⎰⎰∑-+-+-=dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(2γβαdS R z y x R y x z R x z y ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=)()(1)( ⎰⎰∑-=dS y z )(2(利用对称性)⎰⎰⎰⎰∑=∑=dS R zdS γcos ..2222R rd R Rdxdy rxy x πσ==∑=⎰⎰⎰⎰≤+例4 求矢量场k z j xy i x A 222+-=在点()2,1,10M 处的散度及旋度.解 A div z A y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=z x x 2)2(2+-+=.2z =故0M A div .4=A rot k y A x A j x A z A i z A y A x y z x x z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂= k y j i)02()00()00(--+-+-= .2k y -=故0M Arot .2k -=例5（E03）设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ； div(grad u )；rot(grad u ). 解 g r a d u⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=z u y u x u ,,}.6,4,2{yz xy xy -= div(gradu)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂-∂+∂∂+∂∂=z yz y xy x xy )6()4()2(y x y 642-+=).(4y x -=rot(gradu).,,222222⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂=x y u y x u z x u x z u y z u z y u 因为22232yz xy y x u -+=有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故rot(gradu).0=注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A=grad u 为势量场或保守场，而u 称为场A的势函数.例6（E04）设一刚体以等角速度k j i z y xωωωω++=绕定轴L 旋转，求刚体内任意一点M 的线速度v的旋度.解 取定轴l 为z 轴，点M 的内径rOM =,k z j y i x ++=则点M 的线速度v r⨯=ωzyx kji z yx ωωω =,)()()(k x y j z x i y z y x x z z yωωωωωω-+-+-= 于是v rot xy z x y z z y x kj i y x x z z y ωωωωωω---∂∂∂∂∂∂=)(2k j i z y x ωωω++=.2ω =即速度场v 的旋等于角速度ω的 2 倍.课堂练习1. 计算,)()()(222⎰-+-+-AmBdz xy z dy xz y dx yz x 其中AmB 是螺线πϕϕϕ2,sin ,cos h z a y a x ===从)0,0,(a A 到),0,(h a B 的一段曲线. 2. 物体以一定的角速度ω依逆时针方向绕Oz 轴旋转, 求速度v 和加速度w在空间点),,(z y x M 和已知时刻t 的散度和旋度.。
9.4 对面积的曲面积分
n
λ → 0 时, 这和的极限 lim ∑ f (ξ i ,ηi , ζ i )ΔSi 总存在,那么 λ →0
称此极限值为 f ( x, y, z ) 在曲面 Σ 上对面积的曲面积分
i =1
（或第一类曲面积分）, 记为 ∫∫ f ( x , y , z )dS ,即
Σ
2009年7月27日星期一
2 故 1 + z x + z 2 是曲面法线与 z 轴夹角的余弦 y
的倒数.
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12
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2. Σ : x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ( z ≥ 0 ), Σ1为Σ 在第 一卦限中的部分, 则有( C ).
( A) ( B) (C ) ( D)
∫∫Σ xdS = 4∫∫Σ ∫∫Σ zdS = 4∫∫Σ
则
∫∫ f ( x, y, z )dS
Σ
= ∫∫ f [ x( y, z ), y, z ] 1 + x′ + x′ dydz. y z
2 2 Dyz
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6
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1 例 1 计算曲面积分 ∫∫ dS ,其中 z Σ
Σ 是 单 位 球 面 x2 + y 2 + z 2 = 1 被 平面 z = h （ 0 < h < 1 ）所截得的 顶部（如右图）.
Σ1 Σ2 Σ3
在 Σ 4 上, z = 1 − x − y ,
1 + z x 2 ( x, y ) + z y 2 ( x, y ) = 1 + (−1) 2 + (−1) 2 = 3 ,
对面积的曲面积分习题(2)
1 2
O
3
x
2 3 4
y
xyzdS xyzdS xyzdS 0 0 0 xyzdS xyzdS
0 y 1 x 4 : z 1 x y , D xy : 0 x 1
dS 1 z x z y d 3dxdy
2 2
1
y
1
xyzdS xyzdS xy1 x y
3dxdy
O
6
3 xdx
0
1
4 1 x
0
y1 x y dy
D xy
3 120
1
x
dS , 其中 是介于平面 z 0 , z h 例3.计算 I 2 2 2 z x y z 2 2 2 之间的圆柱面 x y R . h 2 : x R2 y2 . 解 1 : x R 2 y 2 , y 2 1 1 2 , D yz : R y R ,0 z h.
1 2
2
4.计算方法—投影法 对面积的曲面积分
f x, y, z dS
若 : z zx , y
（1）将Σ投影到xOy平面，投影区域为 D xy
z z dxdy （2）求 dS 1 x y
2 2
2 2 x dS y dS .
1 2 2 2 2 所以 I 1 dS x dS y dS x y 2 2
1 2 1 1 2 3 2 R dS R dS R 2Rh R h 2 2 2
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15 15
曲面上任一点的坐标满足曲面方程
（6） x2 dS ，其中 Σ 为球面 x2 y2 z2 a2 (a 0) ；
答案： 4 a4 3
解 析： 本 题中 Σ 为 球 面 x2 y2 z2 a2 (a 0) ， 在 xOy 面 的投影 区域 为
Dx y {(x, y) | x2 y2 a2} . 可将球面方程化为 : z a2 x2 y2 . 如图 9 所示，球面 : x2 y2 z2 a2 对称地
答案： a(a2 h2 )
解析： 本题中 Σ 为 球面 z a2 x2 y2
上 z h (0 h a) 的部分，如图 4 所示.
此时 z
x
， z
y
，
x a2 x2 y2 y a2 x2 y2
图4
Σ 在 xOy 面上的投影区域为 Dx y {(x, y) | x2 y2 a2 h2 }，
其中，
2 cos2 d
1
，
0
22
a 3
d 1 a
3
d
0 a2 2
a 0 1 ( )2
a
参照上册课本第 163 页例 4.3.16 结论
2 cosn xd x 2 sinn xd x
0
0
n 1 n 3
n n 1
n2 n3
n n 2
3 1 (n为偶数)
42 2
.
4 2 1 (n为奇数)
图 11
根据曲面积分的性质可知 dS S ，即此曲面积分等于积分曲面的面积. 本题中的旋
转抛物面 z 2 (x2 y2 ) 在 xOy 面上方四个卦限里是对称的，因此，只需求出第一卦限里
的面积，再乘以 4.
记
D1
{(, )
（以下各题解析仅供参考，大家还可想想其他方法.）
1、计算下列对面积的曲面积分：
（1） (x2 y2 )dS ，其中 Σ 为锥面 z x2 y2 及平面 z=1 所围成的区域的整个边界
曲面.
这个符号表示积分曲面是封闭的
答案： 1 2 2
解析： 本题考查以下知识点——
曲面上任一点的坐标满足曲面方程
根据对面积的曲面积分的计算公式，可将原积分化为二重积分计算——
(x y z) dS
对面积的曲面积分可理解为曲面薄片的质量， 其中被积函数 f(x,y,z)可理解为曲面薄片上任一 点( x , y , z ) 处的面密度，而曲面上任一点( x , y , z ) 的
坐标满足曲面方程 ：z a2 x2 y2 .
（5） (x y yz z x)dS ，其中 Σ 为锥面 z
答案： 64 2 15
x2 y2 被柱面 x2 y2 2 x 所截得的部分；
解析： 本题中 Σ 为 锥面 z x2 y2 被柱面 x2 y2 2 x 所截得的部分，如图 7 所示. 此时 z x ， z y ， x x2 y2 y x2 y2
y
d 0 ；
a2 x2 y2
再根据二重积分的性质，有 1d (a2 h2 ) . Dx y
综上所述，原积分 (x y z)dS 0 0 a (a2 h2 ) a (a2 h2 ) .
曲面上任一点的坐标满足曲面方程
（4） (2x y 2x2 x z)dS ，其中 Σ 为平面 2x 2y z 6 在第一卦限中的部分；
4 2 4 2 1 53
64 . 15
偶函数
参照上册课本第 163 页例 4.3.16 结论
n 1 n 3
2 0
cosn
xd x
n n 1
n2 n3
n n 2
3 1 (n为偶数)
42 2
.
4 2 1 (n为奇数)
53
综上所述，原积分 (x y y z z x)dS 0 0 2 64 64 2 .
(x y a2 x2 y2 ) 1 (
x
)2 (
y
)2 d
Dx y
a2 x2 y2
a2 x2 y2
(x y a2 x2 y2 ) 1
x2
y2
d
Dx y
a2 x2 y2 a2 x2 y2
(x y a2 x2 y2 )
a
d
Dx y
a2 x2 y2
下面来求 x Dx y
x2
y2
d
，记 Dx y
{(, ) | 2
,0 2
2 cos
} ，有
x x2 y2 d
Dx y
2 cos
2
d
0
( cos ) d
2
2 2
(cos
4 4
2 cos 0
)
d
2
(cos
4
cos4
)
d
2
4
2
cos5
d
2
4 2 2 cos5 d 0
解析： 本题中 Σ 为 锥面 z x2 y2 介于 z=1 和 z=2 的部分，如图 2 所示.
此时 z x ， z y ， x x2 y2 y x2 y2
Σ 在 xOy 面上的投影区域为 Dx y {(x, y) |1 x2 y2 4} （图 3），
根据对面积的曲面积分的计算公式， 可将原积分化为二重积分计算——
答案： 27 4
解析： 本题中 Σ 为 平面 z 6 2x 2y
在第一卦限中的部分，如图 5 所示.
此时 z 2 ， z 2 ，Σ 在 xOy 面上
x
y
图5
的投影区域为 Dx y {(x, y) | 0 x 3, 0 y 3 x}（图 6）.
根据对面积的曲面积分的计算公式， 可将原积分化为二重积分计算——
Σ 在 xOy 面上的投影区域为 Dx y {(x, y) | x2 y2 2x}，
如图 8 所示.
图7
图8
根据对面积的曲面积分的计算公式，可将原积分化为二重积分计算——
(x y y z z x)dS
(x y y x2 y2 x2 y2 x) 1 ( x )2 ( y )2 d
Dx y
x2 y2
x2 y2
2 ( x y d y x2 y2 d x x2 y2 d ) ，
Dx y
Dx y
Dx y
由于 Dx y {(x, y) | x2 y2 2x}关于 x 轴对称，因此， x y d 0 （记 f (x, y) x y , Dx y 奇函数
则 f (x, y) x(y) f (x, y) ）， y x2 y2 d 0 . Dx y 奇函数
2
Dx y
Dx y
2
d
0
1 2 d 2 4
0
4
1 0
2
1 4
2
；
综上所述， (x2 y2 )dS (x2 y2 )dS (x2 y2 )dS 2 1 .
1
2
22
曲面上任一点的坐标满足曲面方程
（2） 1 dS ，其中 Σ 为锥面 z x2 y2 介于 z=1 和 z=2 的部分； z 答案： 2 2
a2 x2 y2
8 x2
D1
1
a2
x2 x2
y2
a2
y2 x2
y2
d
8 x2
a
d 8a
x2
d ，
D1
a2 x2 y2
D1 a2 x2 y2
图 10
8a
2 d
a 2 cos2 d 8a (
2 cos2 d ) (
a
3
d) ，
0
0 a2 2
0
0 a2 2
面方程 ：z x2 y2 .
用极坐标计算比较简便，记 Dx y {(, ) | 0 2 ,1 2 } ，有
2
1
d
2
2
d
2 1 dDx y x2源自 y2012
2
2 (0 d ) (1 d) 2 2 (2 1) 2 2 .
图3
曲面上任一点的坐标满足曲面方程
（3） (x y z)dS ，其中 Σ 为球面 x2 y2 z2 a2 (a 0) 上 z h (0 h a) 的部分；
分布在八个卦限中，而本题中的被积函数 f (x, y, z) x2
对于自变量 (x, y, z) 来说是偶函数.
（ f ( x, y, z) ( x)2 x2 ）
图9
因此，利用对称性计算比较简便.只要计算第一卦限部分球面
1 : z a2 x2 y2 (x 0, y 0) （图 10）上的曲面积分，再乘以 8.
曲面上的面积元素
面积元素根据下册第 110 页曲面面积公式
曲面上任一点( x , y , z ) 处的面密度
曲面上任一点( x , y , z ) 坐标 满足曲面方程 z=z(x,y)
本题中的积分曲面 Σ 由锥面 1 : z x2 y2 及
平面 2 : z 1构成，如图 1 所示. 要分别计算 Σ1 和 Σ2 上的积分，再求和. 图1
0
0
2 2 4 4
1 0
2 2 1 4
2 ； 2
再来算 2
:
z
1上的积分，此时
z x
0，
z y
0
，Σ2
在
xOy
面上的投影区域也是
Dx y {(x, y) | x2 y 2 1}，根据对面积的曲面积分的计算公式，可将原积分化为二重积分
计算——
(x2 y2 )dS (x2 y2 ) 1 02 02 d (x2 y2 )d
1
Dx y
x2 y2
x2 y2
(x2 y2 ) 1 x2 y2 d
Dx y
x2 y2 x2 y2
2 (x2 y2 ) d ， Dx y