对面积的曲面积分习题解析

答案： 27 4
解析： 本题中 Σ 为 平面 z 6 2x 2y
在第一卦限中的部分，如图 5 所示.
此时 z 2 ， z 2 ，Σ 在 xOy 面上
x
y
图5
的投影区域为 Dx y {(x, y) | 0 x 3, 0 y 3 x}（图 6）.
根据对面积的曲面积分的计算公式， 可将原积分化为二重积分计算——
4 2 4 2 1 53
64 . 15
偶函数
参照上册课本第 163 页例 4.3.16 结论
n 1 n 3
2 0
cosn
xd x
n n 1
n2 n3
n n 2
3 1 (n为偶数)
42 2
.
4 2 1 (n为奇数)
53
综上所述，原积分 (x y y z z x)dS 0 0 2 64 64 2 .
53
令 sint
a
1
2
a3 sin3 t
d(a sin t)
a 0 1 sin2 t
a3
2
sin3
t
cos
t
dt
0 cos t
a3
2 sin3 td t
a3 2 1
2 a3，
0
33
因此，原积分 8a (
2 cos2 d ) (
a
3
d) 8a 2 a3 4 a4 .
先来算 1 : z
x2 y2 上的积分，此时 z x
x ，z x2 y2 y
y ，Σ1 在 xOy x2 y2
面上的投影区域为 Dx y {(x, y) | x2 y2 1} ，根据对面积的曲面积分的计算公式，可将
原积分化为二重积分计算——
(x2 y2 )dS (x2 y2 ) 1 ( x )2 ( y )2 d
（以下各题解析仅供参考，大家还可想想其他方法.）
1、计算下列对面积的曲面积分：
（1） (x2 y2 )dS ，其中 Σ 为锥面 z x2 y2 及平面 z=1 所围成的区域的整个边界
曲面.
这个符号表示积分曲面是封闭的
答案： 1 2 2
解析： 本题考查以下知识点——
曲面上任一点的坐标满足曲面方程
图 11
根据曲面积分的性质可知 dS S ，即此曲面积分等于积分曲面的面积. 本题中的旋
转抛物面 z 2 (x2 y2 ) 在 xOy 面上方四个卦限里是对称的，因此，只需求出第一卦限里
的面积，再乘以 4.
记
D1
{(, )
下面来求 x Dx y
x2
y2
d
，记 Dx y
{(, ) | 2
,0 2
2 cos
} ，有
x x2 y2 d
Dx y
2 cos
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2
d
0
( cos ) d
2
2 2
(cos
4 4
2 cos 0
)
d
2
(cos
4
cos4
)
d
2
4
2
cos5
d
2
4 2 2 cos5 d 0
a
x
d a
y
d a 1d ，
Dx y a2 x2 y2
Dx y a2 x2 y2
Dx y
由于 Dx y {(x, y) | x2 y2 a2 h2 }关于 y 轴对称，因此， Dx y
x
d 0 ；
a2 x2 y2
又由于 Dx y {(x, y) | x2 y2 a2 h2 }关于 x 轴对称，因此， Dx y
面方程 ：z x2 y2 .
用极坐标计算比较简便，记 Dx y {(, ) | 0 2 ,1 2 } ，有
2
1
d
2
2
d
2 1 d
Dx y x2 y2
0
1
2
2
2 (0 d ) (1 d) 2 2 (2 1) 2 2 .
图3
曲面上任一点的坐标满足曲面方程
（3） (x y z)dS ，其中 Σ 为球面 x2 y2 z2 a2 (a 0) 上 z h (0 h a) 的部分；
Dx y
x2 y2
x2 y2
2 ( x y d y x2 y2 d x x2 y2 d ) ，
Dx y
Dx y
Dx y
由于 Dx y {(x, y) | x2 y2 2x}关于 x 轴对称，因此， x y d 0 （记 f (x, y) x y , Dx y 奇函数
则 f (x, y) x(y) f (x, y) ）， y x2 y2 d 0 . Dx y 奇函数
0
0 a2 2
43 3
（7） dS ，其中 Σ 为旋转抛物面 z 2 (x2 y2 ) 在 xOy 面上方部分；
答案： 13 3
解析： 本题中 Σ 为 旋转抛物面 z 2 (x2 y2 ) ，
如图 11 所示. Σ 在 xOy 面的投影区域为 Dx y {(x, y) | x2 y2 2}.
（5） (x y yz z x)dS ，其中 Σ 为锥面 z
答案： 64 2 15
x2 y2 被柱面 x2 y2 2 x 所截得的部分；
解析： 本题中 Σ 为 锥面 z x2 y2 被柱面 x2 y2 2 x 所截得的部分，如图 7 所示. 此时 z x ， z y ， x x2 y2 y x2 y2
y
d 0 ；
a2 x2 y2
再根据二重积分的性质，有 1d (a2 h2 ) . Dx y
综上所述，原积分 (x y z)dS 0 0 a (a2 h2 ) a (a2 h2 ) .
曲面上任一点的坐标满足曲面方程
（4） (2x y 2x2 x z)dS ，其中 Σ 为平面 2x 2y z 6 在第一卦限中的部分；
其中，
2 cos2 d
1
，
0
22
a 3
d 1 a
3
d
0 a2 2
a 0 1 ( )2
a
参照上册课本第 163 页例 4.3.16 结论
2 cosn xd x 2 sinn xd x
0
0
n 1 n 3
n n 1
n2 n3
n n 2
3 1 (n为偶数)
42 2
.
4 2 1 (n为奇数)
此时 z x
x
， z
a2 x2 y2 y
y
，Σ1 在 xOy 面上的投影区域为
a2 x2 y2
D1
{(, )
|
0
2
,0
a
}.
根据对面积的曲面积分的计算公式，可将原积分化为二重积分计算——
x2 dS 8 x2 dS
1
8 x2 1 (
x
)2 (
y
)2 d
D1
a2 x2 y2
0
3 x 0
2x2
y
3 x 0
3x
y
3 x 0
y2
3 x 0
6
y
3 x 0
)
d
x
3
3
[x
(3
x)2
2x2
(3
x)
3x
(3
x)
(3
x)2
6
(3
x)]
d
x
0
3 3 (9 10x2 3x3) dx 0
3 (9 x
3 0
10
x3 3
3 0
3
x4 4
3 0
)
3 (
9) 4
27 4
.
曲面上任一点的坐标满足曲面方程
答案： a(a2 h2 )
解析： 本题中 Σ 为 球面 z a2 x2 y2
上 z h (0 h a) 的部分，如图 4 所示.
此时 z
x
， z
y
，
x a2 x2 y2 y a2 x2 y2
图4
Σ 在 xOy 面上的投影区域为 Dx y {(x, y) | x2 y2 a2 h2 }，
1
z
dS
1 1 ( x )2 ( y )2 d
Dx y x2 y2
x2 y2
x2 y2
2
1 d ，
Dx y x2 y2
图2
对面积的曲面积分可理解为 曲面薄片的质量，其中被积函数 f(x ,y,z)可理解为曲面薄片上任 一点( x , y , z ) 处的面密度，而曲面 上任一点( x , y , z ) 的坐标满足曲
1
Dx y
x2 y2
x2 y2
(x2 y2 ) 1 x2 y2 d
Dx y
x2 y2 x2 y2
2 (x2 y2 ) d ， Dx y
用极坐标计算比较简便，记 Dx y {(, ) | 0 2 , 0 1} ，有
2 (x2 y2) d Dx y
2
2
d
1 2 d
0
0
2 2 4 4
1 0
2 2 1 4
2 ； 2
再来算 2
:
z
1上的积分，此时
z x
0，
z y
0
，Σ2
在
xOy
面上的投影区域也是
Dx y {(x, y) | x2 y 2 1}，根据对面积的曲面积分的计算公式，可将原积分化为二重积分
计算——
(x2 y2 )dS (x2 y2 ) 1 02 02 d (x2 y2 )d
15 15
曲面上任一点的坐标满足曲面方程
（6） x2 dS ，其中 Σ 为球面 x2 y2 z2 a2 (a 0) ；
答案： 4 a4 3
解 析： 本 题中 Σ 为 球 面 x2 y2 z2 a2 (a 0) ， 在 xOy 面 的投影 区域 为
Dx y {(x, y) | x2 y2 a2} . 可将球面方程化为 : z a2 x2 y2 . 如图 9 所示，球面 : x2 y2 z2 a2 对称地
a2 x2 y2
8 x2
D1
1
a2
x2 x2
y2
a2
y2 x2
y2
d
8 x2
a
d 8a
x2
d ，
D1
a2 x2 y2
D1 a2 x2 y2
图 10
8a
2 d
a 2 cos2 d 8a (
2 cos2 d ) (
a
3
d) ，
0
0 a2 2
0
0 a2 2
曲面上的面积元素
面积元素根据下册第 110 页曲面面积公式
曲面上任一点( x , y , z ) 处的面密度
曲面上任一点( x , y , z ) 坐标 满足曲面方程 z=z(x,y)
本题中的积分曲面 Σ 由锥面 1 : z x2 y2 及
平面 2 : z 1构成，如图 1 所示. 要分别计算 Σ1 和 Σ2 上的积分，再求和. 图1
(2x y 2x2 x z)dS
[2x y 2x2 x (6 2x 2y)] 1 (2)2 (2)2 d Dx y
3 (2x y 2x2 3x 2y 6) d
图6
Dx y
3
3
dx
3x (2x y 2x2 3x 2 y 6) d y
0
0
3
3(x y2
2
Dx y
Dx y
2
d
0
1 2 d 2 4
0
4
1 0
2
1 4
2
；
综上所述， (x2 y2 )dS (x2 y2 )dS (x2 y2 )dS 2 1 .
1
2
22
曲面上任一点的坐标满足曲面方程
（2） 1 dS ，其中 Σ 为锥面 z x2 y2 介于 z=1 和 z=2 的部分； z 答案： 2 2
解析： 本题中 Σ 为 锥面 z x2 y2 介于 z=1 和 z=2 的部分，如图 2 所示.
此时 z x ， z y ， x x2 y2 y x2 y2
Σ 在 xOy 面上的投影区域为 Dx y {(x, y) |1 x2 y2 4} （图 3），
根据对面积的曲面积分的计算公式， 可将原积分化为二重积分计算——
(x y a2 x2 y2 ) 1 (
x
)2 (
y
)2 d
Dx y
a2 x2 y2
a2 x2 y2
(x y a2 x2 y2 ) 1
x2
y2
d
Dx y
a2 x2 y2 a2 x2 y2
(x y a2 x2 y2 )
a
d
Dx y
a2 x2 y2
根据对面积的曲面积分的计算公式，可将原积分化为二重积分计算——
(x y z) dS
对面积的曲面积分可理解为曲面薄片的质量， 其中被积函数 f(x,y,z)可理解为曲面薄片上任一 点( x , y , z ) 处的面密度，而曲面上任一点( x , y , z ) 的
坐标满足曲面方程 ：z a2 x2 y2 .
分布在八个卦限中，而本题中的被积函数 f (x, y, z) x2
对于自变量 (x, y, z) 来说是偶函数.
（ f ( x, y, z) ( x)2 x2 ）
图9
因此，利用对称性计算比较简便.只要计算第一卦限部分球面
1 : z a2 x2 y2 (x 0, y 0) （图 10）上的曲面积分，再乘以 8.
Σ 在 xOy 面上的投影区域为 Dx y {(x, y) | x2 y2 2x}，
如图 8 所示.
图7
图8
根据对面积的曲面积分的计算公式，可将原积分化为二重积分计算——
(x y y z z x)dS
(x y y x2 y2 x2 y2 x) 1 ( x )2 ( y )2 d