17-18高数(A1,B1试卷A及答案)

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2017年高考全国卷I卷(理数)试题及答案详细解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则( )A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是( ) A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为( ) A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( ) A ．A >1 000和n =n +1 B ．A >1 000和n =n +2 C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为( ) A ．16B ．14C ．12D ．1011．设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则( )A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。

高数A试题及答案[1]

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln lnx+2x-2x+22-x2．()002lim1cos tt xx e e dtx-→+-=-⎰（）A ．0B ．1C ．-1D ．∞3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导 5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________.7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞=9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________. 12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6aa π==⎰则___________. 14.设2cos xz y=则dz= _______.15.设{}2(,)01,01y DD x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.a ⎰20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。

2017-2018学年高等数学期末试卷A及参考答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2017~2018学年第2学期考试科目：高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设{3,1,1}=a,{2,0,1}=b ，则23-=a b .2．函数zy u x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在点(1,1,2)处的全微分为．3．设{(,)1}D x y x y =+≤，则二重积分(||)Dx y dxdy +=⎰⎰ ．4．幂级数21(1)2nn n n x +∞=-∑的收敛区间为．5．微分方程2(1)2x y xy '''+=满足初始条件(0)1,(0)3y y '==的特解为．二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．平面3380x y --=与z 轴的位置关系是（）A ．平行于z 轴；B ．垂直于z 轴；C ．斜交于z 轴；D ．包含z 轴．2．函数(3)zxy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0)；（B ）(1,1)；（C ）(3,0)；（D ）(0,3) 3．2111(,)xdx f x y dy =⎰⎰ （）A ．12112(,)xdy f x y dx ⎰⎰； B ．2111(,)xd y f x y dx ⎰⎰；C ．12112(,)ydy f x y dx ⎰⎰； D ．2211(,)ydy f x y dx ⎰⎰．4．下列级数收敛的是（）A ．11(2)n n n n +∞=++∑； B ．132nn n n +∞=⋅∑； C ．11ln n n n +∞=+∑； D．1n +∞=． 5．差分方程120t ty y +-=的通解为（）A ．2t t y C =；B ．2t t y Ct =⋅；C ．12()2t t y C t C =+⋅；D ．12()2t t y t C t C =+⋅．三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 1. 求过点(2,0,2)-且与212:123x y z L --==垂直的平面方程．2. 设函数ln()z y xy =，求2z x y ∂∂∂及22zy ∂∂．3. 设2ln z u v =，32,yu x y v x=+=，求dz ．4．试将函数()lg f x x =展开成1x -的幂级数，并求展开式成立的区间．5．计算二重积分sin DyI dxdy y=⎰⎰，其中D 是由直线y x =及2y x =所围成的闭区域．6．设方程组dD Y dt αβ=+；dYY dtγ=，其中，()D D t =表示国民债务，()Y t 表示国民收入， 0,0,0αβγ>>>均为已知常数,若0(0)D D =，0(0)Y Y =，求()D t 和()Y t四、解答题（本大题共3小题，第1题 10分，第2、3题各6分，共 22 分） 1．某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x 件和y 件，总成本函数为22(,)1000812C x y x xy y =+-+ (元)。

东北大学文科类高数期末试卷练习题 (3)

A ]；
…
(A) 5 / 2 ； (B) 2 ； (C) 2； (D) 3 .
x (et2 1)dt
解 lim 2 x0 x sin x ln(1 x)
…
… 线 …
5.向量组 1
1 1
,2
1
1
,3
1 2
,4
2
1
的最大无关组是[
D ];
… …
(A) 1,2,3 ； (B ) 1,3,4 ； (C) 1,2 ； (D) 1,3 .
0 不可能是
封 …
函数 f (x) 的 [ B ];
得分：
三.计算题（每题 3 分，共 15 分）
… …
(A) 可去间断点； (B ) 无穷间断点；
… …
(C ) 跳跃间断点； (D ) 连续点.
x (et2 1)dt
1. 求极限. lim 2 x0 x sin x ln(1 x)
○ …
2
4. |1 2x | dx [ 0
7 3
2 4
的代数余子式
A23
___ 4 ____ .
6 1 2 3
5，齐次线性方程组
x1 2 x1
2 x2 4 x2
x3 0 3x3 0
有非零解，则
______
2
________
.
3x1 2x2 x3 0
… …
3.设 lim x0
f
(
x)
k1,
lim
x0
f (x)
k2 ，其中 k1, k2 是确定的常数，则点 x
一.单项选择题（每题 2 分，共 10 分）
2. 函数 f (x) 2x3 9x2 12x 1 在区间____[1, 2]___单调减少.

2017高考全国1卷理科数学试题和答案解析精校解析版

2021年普通高等学校招生全国统一考试〔全国卷Ⅰ〕理科数学考前须知：1、答题前，先将自己的、号填写在试题卷和答题卡上，并将号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑.2、选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5、考试完毕后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第一卷一. 选择题：本大题共12小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设集合{}2430A x x x =-+<，{}230x x ->,那么AB =〔A 〕33,2⎛⎫--⎪⎝⎭ 〔B 〕33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 〔C 〕31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭〔D 〕3,32⎛⎫⎪⎝⎭2.设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，那么=+yi x 〔A 〕1〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕23.等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，那么100a = 〔A 〕100 〔B 〕99 〔C 〕98 〔D 〕974.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是〔A 〕13 〔B 〕12 〔C 〕23 〔D 〕345.方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,那么n 的取值围是〔A 〕()1,3- 〔B〕(- 〔C 〕()0,3 〔D〕(6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是283π,那么它的外表积是〔A 〕17π 〔B 〕18π 〔C 〕20π 〔D 〕28π7.函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为〔A 〕〔B（C ）〔D8.假设a >〔A 〕c c a b < 〔B 〕c c ab ba < 〔C 〕log log b a a c b c < 〔D 〕log log a b c c < 9.执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,那么输出x ,y 的值满足〔A 〕2y x = 〔B 〕3y x = 〔C 〕4y x = 〔D 〕5y x = 10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.|AB |=DE|=那么C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)811.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,α平面ABCD =m ,α平面AB B 1A 1=n ,那么m 、n 所成角的正弦值为(D)13结束12.函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，那么ω的最大值为〔A 〕11 〔B 〕9 〔C 〕7 〔D 〕5 二、填空题：本大题共3小题,每题5分13.设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，那么m =．14.5(2x +的展开式中，x 3的系数是．〔用数字填写答案〕15.设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，那么a 1a 2 …a n 的最大值为．16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，那么在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．三.解答题：解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.〔本小题总分值为12分〕ABC ∆的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos (cos cos ).C a B+b A c =〔I 〕求C ；〔II〕假设=c ∆ABC∆ABC 的周长．18.〔本小题总分值为12分〕如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．〔I 〕证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；〔II 〕求二面角E -BC -A 的余弦值．CABDEF19.〔本小题总分值12分〕某公司方案购置2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购置这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件缺乏再购置,那么每个500元.现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年共需更换的易损零件数,n 表示购置2台机器的同时购置的易损零件数. 〔I 〕求X 的分布列；〔II 〕假设要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值；〔III 〕以购置易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？20.〔本小题总分值12分〕设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B 〔1,0〕且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ,D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . 〔I 〕证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；〔II 〕设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值围.21.〔本小题总分值12分〕函数()()()221xf x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值围；(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题计分.22.〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB =120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. (I)证明：直线AB 与⊙O 相切；(II)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .ODCBA23.〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩〔t 为参数，a ＞0〕．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. 〔I 〕说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；〔II 〕直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，假设曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．24.〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲函数()123f x x x =+--. 〔I 〕画出()y f x =的图像；〔II 〕求不等式()1f x >的解集．2021年高考全国1卷理科数学参考答案1.{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332AB x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．应选D ．2.由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi + 应选B ．3.由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=．应选C ．4.如下图，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型，所求概率10101402P +==．应选B ．5.222213x y m n m n-=+-表示双曲线，那么()()2230m n m n +->∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距 ∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<< 应选A ． 6.原立体图如下图：是一个球被切掉左上角的18后的三视图外表积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯ 应选A ．7.()22288 2.80f e =->->，排除A()22288 2.71f e =-<-<，排除B0x >时，()22x f x x e =-()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-=因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C应选D ．8.对A ：由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误对B ：由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误对C ：要比拟log b a c 和log a b c ，只需比拟ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比拟ln ln c b b 和ln ln ca a，只需ln b b和ln a a构造函数()()ln 1f x x x x =>，那么()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确对D ：要比拟log a c 和log b c ，只需比拟ln ln c a 和ln ln cb而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误应选C ． 9.如下表：输出32x =，6y =，满足4y x = 应选C ．10. 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，题目条件翻译如图：设(0A x ，2p D ⎛- ⎝，点(0A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①点2p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③ 联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =．应选B ． 11. 如下图：∵11CB D α∥平面，∴假设设平面11CB D 平面1ABCD m =，那么1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D =∴111B D m ∥，故11B D m ∥ 同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小．而1111B C B D CD ==〔均为面对交线〕，因此113CD B π∠=，即11sin CD B ∠=．应选A ． 12. 由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 那么21k ω=+，其中k ∈Z()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法假设π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调111假设π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减应选B ．13.-2 14.10 15．64 16． 216000 13. 由得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．14．设展开式的第1k +项为1k T +，{}0,1,2,3,4,5k ∈∴()5552155C 2C 2k kkkk kk T x x---+==．当532k -=时，4k =，即454543255C 210T x x --==故答案为10．15.由于{}n a 是等比数列，设11n n a a q -=，其中1a 是首项，q 是公比．∴2131132411101055a a a a q a a a q a q ⎧+=+=⎧⎪⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩．故412n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()()()21174932 (472)22412111...222n n n n n a a a ⎡⎤⎛⎫-+-++----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3n =或4时，21749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦取到最小值6-，此时2174922412n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭取到最大值62．所以12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为64．16．设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所消耗的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规那么约束为目标函数2100900z x y =+作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0) 在(60,100)处取得最大值，210060900100216000z =⨯+⨯= 17.解： ⑴()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、， ∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C = ∵()0πC ∈，∴π3C =⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅∴6ab = ∴()2187a b +-=5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++= 18．解：(1) ∵ABEF 为正方形∴AF EF ⊥∵90AFD ∠=︒ ∴AF DF ⊥ ∵=DFEF F∴AF ⊥面EFDCAF ⊥面ABEF∴平面ABEF ⊥平面EFDC ⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒∵AB EF ∥AB ⊄平面EFDC EF ⊂平面EFDC∴AB ∥平面ABCDAB ⊂平面ABCD∵面ABCD 面EFDC CD = ∴AB CD ∥ ∴CD EF ∥∴四边形EFDC 为等腰梯形以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =()()000020E B a ，，，，()02202a C A a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，()020EB a =，，，22a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，()200AB a =-，，设面BEC 法向量为()m x y z =，，.00m EB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120202a y a x ay z ⋅=⎧⎪⎨⋅-+⋅=⎪⎩11101x y z ===-， ()301m =-，，设面ABC 法向量为()222nx y z =，，=00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩.即222220220a x ay ax ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩22204x y z ===， ()034n =，设二面角E BC A --的大小为θ. cos 3m n m nθ⋅===+⋅ ∴二面角E BC A --的余弦值为 19解： ⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件i A 为第一台机器3年换掉7i +个零件()1,2,3,4i = 记事件i B 为第二台机器3年换掉7i +个零件()1,2,3,4i =由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B == 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，那么X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22()()()11160.20.20.04P X P A P B ===⨯=()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯0.20.40.24+⨯=()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=⨯+⨯= ()()()44220.20.20.04P x P A P B ===⨯=0.04 0.16⑵ 要令(P x n ≤，0.040.16+0.5≥ 那么n 的最小值为19⑶ 购置零件所需费用含两局部，一局部为购置机器时购置零件的费用，另一局部为备件缺乏时额外购置的费用当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯= 当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯= 所以应选用19n =20.(1)圆A 整理为()22116x y ++=，A 坐标(-BE AC ∥，那么C EBD =∠∠，由,AC AD D C ==则∠∠，EBD D ∴=∠∠，那么EB ED = 4AE EB AE ED AD ∴+=+==所以E 的轨迹为一个椭圆，方程为22143x y +=，(0y ≠)；⑵221:143x y C +=；设:1l x my =+，因为PQ l ⊥，设():1PQ y m x =--，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=那()22121|||34M N m MN y y m +=-==+；圆心A 到PQ 距离d ==所以||PQ ==，()2212111||||2234MPNQm S MN PQ m +⎡∴=⋅=⋅==⎣+ 21. 〔Ⅰ〕'()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =-+-=-+．〔i 〕设0a =，那么()(2)xf x x e =-，()f x 只有一个零点．〔ii 〕设0a >，那么当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2ab <，那么 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->，故()f x 存在两个零点．〔iii 〕设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．假设2ea ≥-，那么ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．假设2ea <-，那么ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值围为(0,)+∞．II （）不妨设12x x <，由〔Ⅰ〕知1(,1)x ∈-∞，2(1,)x ∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<. 由于222222(2)(1)x f x x ea x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---.设2()(2)xx g x xex e -=---，那么2()(1)()x x g x x e e -'=--.所以当1x >时，()0g x '<，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <. 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<. 22．⑴ 设圆的半径为r ，作OK AB ⊥于K∵120OA OB AOB =∠=︒，∴30sin302OAOK AB A OK OA r ⊥∠=︒=⋅︒==，， ∴AB 与O ⊙相切 ⑵ 方法一：假设CD 与AB 不平行CD 与AB 交于F2FK FC FD =⋅① ∵A B C D 、、、四点共圆∴()()FC FD FA FB FK AK FK BK ⋅=⋅=-+ ∵AK BK =∴()()22FC FD FK AK FK AK FK AK ⋅=-+=-②由①②可知矛盾 ∴AB CD ∥方法二：因为,,,A B C D 四点共圆，不妨设圆心为T ，因为,OA OB TA TB ==，所以,O T 为AB 的中垂线上，同理,OC OD TC TD ==，所以OT CD 为的中垂线，所以AB CD ∥．23．⑴cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩ 〔t 均为参数〕∴()2221x y a +-=①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵24cos C ρθ=：两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+= 即()2224x y -+=②3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ∴210a -=∴1a =24．⑴ 如下图：⑵()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <1x -∴≤当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x < 113x -<<∴或312x <<当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <332x <∴≤或5x > 综上，13x <或13x <<或5x >()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，。

2017-2018学年高中数学人教B版必修一学业分层测评：第

学业分层测评(二十三) 幂函数(建议用时：45分钟)一、选择题1．幂函数f (x )的图象过点(2，m )且f (m )＝16，则实数m 的值为( ) A ．4或12B ．±2C ．4或14D.14或2 【解析】设f (x )＝x α，由f (x )图象过点(2，m )，得2α＝m ，∴f (m )＝f (2α)＝(2α)α＝16，∴α2＝4，α＝±2，故m ＝2α＝4或14.【答案】 C2．已知幂函数f (x )＝x a，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜1 B ．a ＜1 C ．a ＞0D ．a ＜0【解析】当x ＞1时，f (x )＜x 恒成立，即x a －1＜1＝x 0恒成立，因为x ＞1，所以a －1＜0，解得a ＜1，故选B.【答案】 B3．如图333所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )图333A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1【解析】因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．【答案】 B4．已知幂函数f (x )的图象经过点(4,2)，则f (x )的增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)【解析】设幂函数f (x )＝x n ，则4n＝2，解得n ＝12，即有f (x )＝x ，则有x ≥0，则增区间为(0，＋∞)．故选C. 【答案】 C5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) 【导学号：60210095】A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【解析】由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在它的定义域R 上是减函数，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535>0.由于函数y ＝(x )25在它的定义域R 上是增函数，且35>25，故有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，故a ，b ，c 的大小关系是b ＜a ＜c ，故选B.【答案】 B 二、填空题6．若幂函数y ＝(m 2－2m －2)x －4m －2在x ∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m 的值是________.【导学号：97512055】【解析】因为函数y ＝(m 2－2m －2)x－4m －2既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，－4m －2<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m >－12，解得m ＝3.【答案】 37．0.16-12、0.25-14、6.2514从小到大依次是________．【解析】 ∵0.25-14＝0.5-12<0.16-12，0.25-14＝414<6.2514，6.2514＝2.512＝0.4-12<0.16-12. 【答案】 0.25-14<6.2514<0.16-128．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n，则n ＝________. 【解析】 ∵－12＜－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n， ∴y ＝x n在(－∞，0)上为减函数．又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n ＝－1或n ＝2. 【答案】－1或2 三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)2.334，2.434；(2)(2)-32，(3)-32；(3)(－0.31)65，0.3565.【解】 (1)∵y ＝x 34为1．若(a ＋1)-12<(3－2a )-12，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】令f (x )＝x -12＝1x，∴f (x )的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，解得23<a <32.【答案】 B2．函数y ＝x 23的图象是( )【解析】幂函数y ＝x 23是偶函数，图象关于y 轴对称．【答案】 D3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b<f (b )【解析】因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a，故选C.【答案】 C4．已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足： (1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈时f (x )的值域.【导学号：97512056】【解】因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，所以m ＝－1,0,1.因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m ＝1时，f (x )＝x 0，条件(1)、(2)都不满足．当m ＝0时，f (x )＝x 3，条件(1)、(2)都满足，且在区间上是增函数，所以x ∈时，函数f (x )的值域为．。

高数试题A卷试题及答案

４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）
内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）
① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数
ｄｐ
② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ ───
ｄｙ
ｄｐ
③ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───
３．下列说法正确的是（）
①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导
②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续
③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在
④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导
_______
R √R2－ｘ2
８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ2 ＋Ｙ2 ）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为
____________。
0 0
n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，
１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１
高数试题 A卷
一、填空题（每小题１分，共１０分）
________ １
１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋ ────── 的定义域为
_________
３
ｘｙ
１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ ───── ＝（）
x→0 ｘ2＋ｙ2

高等数学a试卷及答案

高等数学a试卷及答案【篇一：《高等数学a(上)》试题答案(b卷)2013】class=txt>科目：《高等数学a（上）》试题(b卷)学院：专业班级：姓名：学号：阅卷教师： 2013年月日考试说明：本课程为闭卷考试，可携带。

一、选择题（每题3分，共15分）（选择正确答案的编号，填在各题前的括号内）1.设f(x)?xsinx，则f(x)在(??,??)内为（ b）． a．周期函数 b．偶函数 c．单调函数 d．有界函数 2、下列正确的是（d ）a．极大值一定大于极小值b. 拐点是函数单调性转变的点 c. 最值一定是极值 d. 拐点是凹凸性的转变的点 3、下列各式中，正确的是（ d ）1xa.lim(1?)?e x?0?xb.lim(1?x?01x)xec.lim(1?)x??ex??1x1d.lim(1?)x?e?1 x??x4、关于函数连续的说法中，哪一个正确d a．函数f(x)在点x?x0处有定义，则在该点连续； b．若limf(x)存在，则函数f(x)在x0处连续；x?x0c．若f(x)在x?x0处有定义，且limf(x)存在，则函数在x0处连续； x?x0d．若f(x0?0)?f(x0?0)?f(x0)，则函数在x0处连续。

5、若?f(x)dx?f(x)?c，则?f(sinx)cosxdx=（ a ） a . f(sinx)?cb. ?f(sinx)?cc. xf(sinx)?cd. f(sinx)sinx?c二、填空题（每题3分，共15分）1. 设曲线方程为y?x2?sinx，该曲线在点(0,0)处的切线方程__y=-x_________1sinxdx=___0______ 2．??11?x2sinx____0___ 3． limx??xx4. 函数f(x)?x?2的斜渐近线方程为___ y=x ___ x?15．函数xy?1在点（1,1）处的曲率为___ 2_____.三、计算题（每题8分，共56分）1求极限：lim(x?0x?1?1sinxx?1?11)lim1x?0x2xx(x?1?1)22.设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100),求f?(0).limx?0f(x)?f(0)x(x?1（)x?2)?(x?100)lim100! x0x0x1x3. 已知y?x,求dy.dy?d(x)?d(e1xlnxx)?elnxx1lnx1?lnx?d()?xx?dx 2xx4.5.112tdtdt?2?2arctant?c?c 22?1?tt1?tx0cos2xdx 111x120cos2xdx0xsecxdxxtanx00tanxdxtan1lncosx0tan1lncos1.6. 求由曲线y?x2与y?2x围成的平面图形的面积。

2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)

2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是。

5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中，2a，3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2xf x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY.四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a a b b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z =3.答案：74-。

高数试题及答案五套

高学试题及答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()02lim1cos t t xx e e dtx-→+-=-⎰（）A ．0B ．1C ．-1D ．∞3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e，则f(x)=（）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞=9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________. 13.设2ln 2,6aa π==⎰则___________.14.设2cos xz y=则dz= _______.15.设{}2(,)01,01y DD x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________. 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x +→18.求不定积分.19.计算定积分I=.⎰20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。

高数试题及答案

高数试题及答案一、选择题1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = x^2B. y = sin(x)C. y = e^xD. y = ln(x)答案：B2. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7在x=1处的导数是：A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B二、填空题1. 若f(x) = 3x - 2，求f'(x) = __________。

答案：32. 曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率是 __________。

答案：3三、解答题1. 求函数f(x) = x^2 + 3x - 5的极值点。

解：首先求导数f'(x) = 2x + 3。

令f'(x) = 0，解得x = -3/2。

将x = -3/2代入原函数，得到f(-3/2) = -11/4。

由于f'(x)在x < -3/2时为负，在x > -3/2时为正，所以x = -3/2是函数的极小值点，对应的极小值为-11/4。

2. 证明函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 8在区间[1,3]上是单调递增的。

证明：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

观察导数，可以发现f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)。

由于1 ≤ x ≤ 3，所以(x - 1)和(x - 3)的符号相同，即f'(x) ≥ 0。

因此，函数f(x)在区间[1,3]上是单调递增的。

四、计算题1. 计算定积分∫(0,1) (2x - 1)dx。

解：首先求出被积函数的原函数F(x) = x^2 - x。

然后根据定积分的定义，计算F(1) - F(0) = 1^2 - 1 - (0^2 - 0) = 1 - 1 = 0。

2. 计算二重积分∬(0,1)(0,1) xy dA。

解：由于积分区域是一个单位正方形，我们可以将二重积分分解为两个定积分的乘积。

首先计算内层定积分∫(0,1) y dy = [1/2 *y^2](0,1) = 1/2。

高数A1考试复习题

一、选择题：（每题2分，共24分）1．以下说法不正确的是（ C ）A ．两个奇函数之和为奇函数B ．两个奇函数之积为偶函数C ．奇函数与偶函数之积为偶函数D ．两个偶函数之和为偶函数 2．若极限A )(lim 0=→x f x 存在，下列说法正确的是（ D ）A ．左极限)(lim 0x f x -→不存在 B ．右极限)(lim 0x f x +→不存在C ．左极限)(lim 0x f x -→和右极限)(lim 0x f x +→存在，但不相等D. A )(lim )(lim )(lim 0===→→→-+x f x f x f x x x 3． n m nxmxx ,(sin sin lim0→为正整数）等于（A ）A ．n m B ．mnC ．n m n m --)1(D ．m n m n --)1(4．已知1tan lim230=+→xx bax x ，则（ B ） A ．0,2==b a B ．0,1==b a C ．0,6==b a D ．1,1==b a 5．极限xx xx x cos cos lim+-∞→( A )A ．等于1B ．等于0C ．为无穷大D ．不存在6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=01001sin )(x e x x x x f x 则=→)(lim 0x f x ( D )A ．1B ．0C ．1-D ．不存在7．当∞→x 时,函数x x)11(+的极限是( A )A ．eB ．e -C ．1D ．1-8．已知a xax x x 则,516lim21=-++→的值是( B ) A ．7 B ．7- C ． 2 D ．39．设分段函数⎩⎨⎧<+≥+=011)(2x x x x x f ,则)(x f 在0=x 点( C ) A ．不连续 B ．连续且可导 C ．不可导 D ．极限不存在10．函数2x y e x z y-+=的间断点是( D )A ．)1,1(),1,1(),0,1(--B ．是曲线y e y -=上的任意点C ．)1,1(),1,1(),0,0(-D ．曲线2x y =上的任意点 11．设2)1(42-+=xx y ,则曲线( C ) A ．只有水平渐近线2-=y B ．只有垂直渐近线0=x C ．既有水平渐近线2-=y ,又有垂直渐近线0=x D ．无水平,垂直渐近线 12．当0→x 时,将下列函数与x 进行比较,与x 是等价无穷小的为( D ) A ．x 3tan B ．112-+x C ．x x cot csc - D ．xx x 1sin 2+ 13．若e cos x y x =，则'(0)y =( B )A ．0B ．1C ．1-D ．2 14．设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则)0('f 等于（B ） A ．0 B ．6- C ．1 D ．3 15．若==',y x y x 则( D )A ．1-⋅x x xB ．x x x lnC ．不可导D ．)ln 1(x x x + 16．处的导数是在点22)(=-=x x x f ( D )A ．1B ．0C ．1-D ．不存在 17．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,且,0)()(<b f a f 则 ( C ) A ．)(x f 在),(b a 内必有最大值或最小值 B ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(,=ξξf 使 C ．)(x f 在),(b a 内至少存在一个0)(,=ξξf 使 D ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(',=ξξf 使 18．数()e x f x x =-的单调区间是( C ) ．A ．在),(+∞-∞上单增B ．在),(+∞-∞上单减C ．在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减D ．在(,0)-∞上单减，在(0,)+∞上单增19. 数3422)(x x x f -=的极值为（A ）． A ．有极小值为(3)f B ．有极小值为(0)f C ．有极大值为(1)f D ．有极大值为(1)f -20．线)0,1()1(2在-=x y 点处的切线方程是( D )A ．1+-=x yB ．1--=x yC ．1+=x yD ．1-=x y 21．曲线)(x f y =在点x 处的切线斜率为,21)('x x f -=且过点(1,1),则该曲线的方程是( A )A ．12++-=x x yB ．12-+-=x x yC ．12++=x x yD ．12-+=x x y22．若函数)(x f 在0=x 处的导数,0)0('=f 则0=x 称为)(x f 的( D ) A ．极大值点 B ．极小值点 C ．极值点 D ．驻点 23．曲线)1ln()(2+=x x f 的拐点是( B )A ．)1ln ,1(与)1ln ,1(-B ．)2ln ,1(与)2ln ,1(-C ．)1,2(ln 与)1,2(ln -D ．)2ln ,1(-与)2ln ,1(-- 24．下列结论正确的有( C )A ．0x 是)(x f 的驻点,则一定是)(x f 的极值点B ．0x 是)(x f 的极值点,则一定是)(x f 的驻点C ．)(x f 在0x 处可导,则一定在0x 处连续D ．)(x f 在0x 处连续,则一定在0x 处可导 25．由方程y x e xy +=确定的隐函数)(x y y ==dxdy( B ) A ．)1()1(x y y x -- B ．)1()1(y x x y -- C ．)1()1(-+y x x y D ．)1()1(-+x y y x26．=+=x y y xe y ',1则( A )A ．y y xe e -1B ．1-y y xe eC ．yyxee -+11 D ．y e x )1(+ 27．设,2sin x e y =则=dy （ B ） A ．x d e x 2sin B ．x d e x 2sin sin 2C ．xxd e x sin 2sin 2sin D ．x d e x sin 2sin28．若函数)(x f y =有dy x x x x f 处的微分该函数在时则当00,0,21)('=→∆=是( B )A ．与x ∆等价的无穷小量B ．与x ∆同阶的无穷小量C ．比x ∆低阶的无穷小量D ．比x ∆高阶的无穷小量 29．给微分式21xxdx -,下面凑微分正确的是( C )A ．221)1(x x d ---B ．221)1(xx d -- C ．2212)1(xx d ---D ．2212)1(xx d --30．下面等式正确的有( A )A ．)(sin sin x x x x e d e dx e e =B ．)(1x d dx x=-C ．)(222x d e dx xe x x -=-- D ．)(cos sin cos cos x d e xdx e x x = 31．设)(sin x f y =,则=dy ( C )A ．dx x f )(sin 'B ．x x f cos )(sin 'C ．xdx x f cos )(sin 'D ．xdx x f cos )(sin '- 32．可导函数)(F x 为连续函数)(x f 的原函数，则( B )A ．0)('=x fB ．)()(F'x f x =C ．0)(F'=xD ．0)(=x f 33．若函数)(F x 和函数)(x Φ都是函数)(x f 在区间I 上的原函数，则有(D ) A ．I x x x ∈∀=Φ),(F )(' B ．I x x x ∈∀Φ=),()(FC ．I x x x ∈∀Φ=),()(F'D ．I x C x x ∈∀=Φ-,)()(F34．有理函数不定积分2d 1x x x⎰+等于（C ）． A ．2ln 12x x x C ++++ B ．2ln 12x x x C --++C ．2ln 12x x x C -+++D ．2ln 122x xx C -+++35．不定积分22d 1x x-⎰-等于（B ）．A ．2arcsin x C +B ．2arccos xC + C ．2arctan x C +D ．2cot arc x C +36．不定积分2e e (1)d xxx x-⎰-等于（ C ）．A ．1e x C x -++ B ．1e x C x -+ C ．1e x C x ++ D ．1e x C x--+37．函数x e x f 2)(=的原函数是( A )A ．4212+x eB ．x e 22C ．3312+x eD ．x e 23138．⎰xdx 2sin 等于( B )A ．c x +2sin 21 B ．c x +2sin C ．c x +-2cos2 D ．c x +2cos 2139．若⎰⎰-=xdx x x dx x xf sin sin )(,则)(x f 等于（C ） A ．x sin B ．x x sin C ．x cos D ．xxcos 40．设 x e -是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )('（ B ）A ．c x e x +--)1(B ．c x e x ++--)1(C ．c x e x +--)1(D ． c x e x ++-)1( 41．设,)(x e x f -= 则⎰=dx x x f )(ln ' ( B ) A ．c x+-1B ．c x +1C ．c x +-lnD ．c x +ln42．设)(x f 是可导函数，则()')(⎰dx x f 为（A ）A ．)(x fB ．c x f +)(C ．)('x fD ．c x f +)(' 43．以下各题计算结果正确的是( C ) A ．⎰=+x x dx arctan 12 B ．c xdx x +=⎰21C ．⎰+-=c x xdx cos sinD ．⎰+=c x xdx 2sec tan 44．在积分曲线族⎰dx x x 中,过点(0,1)的积分曲线方程为( B )A ．12+xB ．1)(525+xC ．x 2D ．1)(255+x45．⎰dx x31=( B ) A ．c x +--43 B ．c x +-221 C ． c x +-221 D ．c x +-221 46．设)(x f 有原函数x x ln ,则⎰dx x xf )(=( B )A ．c x x ++)ln 4121(2B ．c x x ++)ln 2141(2 C ．c x x +-)ln 2141(2 D ．c x x +-)ln 4121(247．⎰=xdx x cos sin ( A )A ．c x +-2cos 41B ．c x +2cos 41C ．c x +-2sin 21D ．c x +2cos 2148．积分=+⎰dx x ]'11[2( B ) A ．211x+ B ．c x ++211 C ．x tan arg D ．c x +arctan 49．下列等式计算正确的是( A )A ．⎰+-=c x xdx cos sinB ．c x dx x +=---⎰43)4(C ．c x dx x +=⎰32D ．c dx x x +=⎰22二、填空题(每小题2分，共20分)。

2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)全文

可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是。

5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题（本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。

2017-2018学年人教A版高中数学必修一阶段质量检测二 B

阶段质量检测(二) B卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知：⊙O的内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，∠BCD＝120°.过D点的切线PD与BA的延长线交于P点，则∠ADP的度数是()A．15°B．30°C．45°D．60°解析：选B要求弦切角∠ADP，即连接BD，则∠ADP＝∠ABD，又AB是直径，所以∠ADB＝90°，而四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠C＋∠DAB＝180°，即∠DAB＝60°，所以∠ABD＝30°，故∠ADP＝30°.2．(北京高考)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是()A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：选A逐个判断：由切线定理得CE＝CF，BD＝BF，所以AD＋AE＝AB＋BD ＋AC＋CE＝AB＋AC＋BC，即①正确；由切割线定理得AF·AG＝AD2＝AD·AE，即②正确；因为△ADF∽△AGD，所以③错误．3．点P为⊙O的弦AB上一点，且AP＝9，PB＝4，连接PO，作PC⊥OP交圆于点C，则PC等于()A．4 B．6 C．8 D．9解析：选B延长CP交⊙O于点D，则OP垂直平分弦CD，且CP·PD＝AP·PB＝36，∴PC2＝36，PC＝6，故选B.4.如图，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM＝MC，AM＝1.5，BM＝4，则OC＝()A．2 6 B. 6C．2 3 D．2 2解析：选D延长CO交⊙O于D，则DM＝3CM，CM·MD＝MA·MB，所以1.5×4＝3CM 2，CM ＝2，OC ＝2 2.5．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，∠A ＝80°，则∠BIC 等于( )A ．80°B ．100°C ．120°D ．130°解析：选D ∵∠A ＝80°， ∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°.∵∠IBC ＝12∠ABC ，∠ICB ＝12∠ACB ，∴∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝50°，∴∠BIC ＝180°－50°＝130°.6.如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于P 点，∠B ＝30°，∠APD＝80°，则∠A ＝( )A ．40°B ．50°C ．70°D ．110° 解析：选B 易知∠A ＝∠D ，又∵∠APD ＝∠B ＋∠D ，∠B ＝30°，∠APD ＝80°， ∴∠D ＝∠APD －∠B ＝80°－30°＝50°. ∴∠A ＝50°.7．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为半圆上一点，CD ⊥AB 于D ，若BC ＝3，AC ＝4，则AD ∶CD ∶BD 等于( )A ．4∶6∶3B ．6∶4∶3C ．4∶4∶3D ．16∶12∶9 解析：选D 由AB 是⊙O 的直径，可得△ABC 是直角三角形．由勾股定理知AB ＝5.又CD ⊥AB ，根据射影定理就有AC 2＝AD ·AB ，于是AD ＝165.同理，BD ＝95，CD ＝125，据此即得三条线段的比值．8．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝6 cm ，则其外接圆的直径为( ) A. 3 cm B ．2 3 cm C ．4 3 cmD ．6 3 cm解析：选C 作BC 边上的中线AD ，则AD ⊥BC ，延长AD 交△ABC 外接圆于E ，连接CE .∵AE ⊥BC ，AE 平分BC ，∴AE 为△ABC 外接圆的直径， ∴∠ACE ＝90°. 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝12∠BAC ＝60°，CD ＝12BC ＝3 cm ，∴AC ＝CD sin ∠CAD ＝332＝23(cm)．在Rt △ACE 中，AE ＝AC cos ∠CAD＝2312＝43(cm)．即△ABC 外接圆的直径为4 3 cm.9.如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，∠ACB ＝60°，AB ＝a ，则CD 等于( )A.33a B.62a C.12a D.13a解析：选A ∵AC 为BD 的垂直平分线， ∴AB ＝AD ＝a ，AC ⊥BD ，∵∠ACB ＝60°，∴∠ADB ＝60°， ∴AB ＝AD ＝BD ， ∴∠ACD ＝∠ABD ＝60°， ∴∠CDB ＝30°， ∴∠ADC ＝90°， ∴CD ＝tan 30°·AD ＝33a . 10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB ＝10 cm ，点P 由C 出发以每秒2 cm 的速度沿线段CA 向点A 运动(不运动至A 点)，⊙O 的圆心在BP 上，且⊙O 分别与AB 、AC 相切，当点P 运动2 s 时，⊙O 的半径是( )A.127cm B.125 cm C.53cm D ．2 cm解析：选A ∵PC ＝2×2＝4 cm ，∴P 是AC 的中点，∴BC ＝6 cm ，BP ＝213 cm.连接OD ，∵D 为切点， ∴OD ⊥AC ，则OD ∥BC ，即DP OD ＝PC BC ＝46＝23.设半径OD ＝3k ，DP ＝2k ，∴OP ＝(3k )2＋(2k )2＝13k ， ∴OB ＝213－13k . ∵AE 、AD 为⊙O 的切线， ∴AE ＝AD ＝AP ＋PD ＝4＋2k ， BE ＝10－(4＋2k )＝6－2k .在Rt △BOE 中，∵OB 2＝BE 2＋OE 2， ∴(213－13k )2＝(6－2k )2＋(3k )2，解得k ＝47.故半径OD ＝3k ＝127. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，过点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE ，BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C ，D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝________.解析：由题易得∠PEB ＝∠PAE ，又由三角形外角性质得∠PCE ＝∠CPA ＋∠PAE ，又△PEC 的内角和为2(∠CPA ＋∠PAE )＋30°＝180°，所以∠CPA ＋∠PAE ＝75°，即∠PCE ＝75°.答案：75°12.如图，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若PF ＝12，PD ＝43，则圆O 的半径长为________、∠EFD 的度数为________．解析：由切割线定理得， PD 2＝PE ·PF ，∴PE ＝PD 2PF ＝16×312＝4，EF ＝8，OD ＝4.∵OD ⊥PD ，OD ＝12PO ，∴∠P ＝30°，∠POD ＝60°， ∴∠EFD ＝30°. 答案：4 30°13．如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于P ，M 为DC 延长线上一点，MN 为⊙O 的切线，N 为切点，若AP ＝8，PB ＝6，PD ＝4，MC ＝6，则MN 的长为________．解析：由相交弦定理得：CP ·PD ＝AP ·PB ，CP ＝AP ·PBPD ＝12，又由切割线定理得：MN 2＝MC ·MD ＝6×22，所以，MN ＝233.答案：23314．(重庆高考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________．解析：由题意得BC ＝AB ·sin 60°＝103，由弦切角定理知∠BCD ＝∠A ＝60°，所以CD ＝53，BD ＝15，由切割线定理知，CD 2＝DE ·BD ，则DE ＝5.答案：5三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，弦AC 交OB于D ，E 是OB 延长线上一点，若∠OAD ＝30°，ED ＝CE .求证：EC 是⊙O 的切线．证明：连接OC . 因为OA ⊥OB ，所以∠CAO ＋∠ADO ＝90°. 因为DE ＝CE ，所以∠ECD ＝∠EDC ＝∠ADO . 因为OA ＝OC ，所以∠ACO ＝∠CAO . 所以∠ECD ＋∠ACO ＝90°. 所以EC 是⊙O 的切线．16．(本小题满分12分)如图，已知AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，AC ⊥CD 于C ，BD ⊥DC 于D ，PQ ⊥AB 于Q .求证：PQ 2＝AC ·BD . 证明：如图，连接PA 、PB ，因为CD 切⊙O 于P ，所以∠1＝∠2.因为AC ⊥CD 于C ，PQ ⊥AB 于Q ，所以∠ACP ＝∠PQB ＝90°. 所以△ACP ∽△PQB . 所以AC ∶PQ ＝AP ∶PB . 同理，△BDP ∽△PQA ，所以PQ ∶BD ＝AP ∶PB .所以AC ∶PQ ＝PQ ∶BD ，即PQ 2＝AC ·BD .17．(本小题满分12分)如图，已知AB 切⊙O 于B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于D ，DE 是⊙O 的切线，CE ⊥DE 于E ，DE ＝3，CE ＝4，求AB 的长．解：因为CE ⊥DE 于E ，DE ＝3，CE ＝4，所以CD ＝5.连接BD .因为DE 切⊙O 于点D ，所以∠EDC ＝∠DBC . 又因为BC 为⊙O 的直径，所以∠BDC ＝90°. 所以Rt △BDC ∽Rt △DEC . 所以CD BC ＝CE CD ＝DE BD ，即5BC ＝45＝3BD .所以BC ＝254，BD ＝154.又因为AB 与⊙O 相切于点B ，所以AB ⊥BC . 所以AB BC ＝BDCD . 所以AB ＝7516.18．(本小题满分14分)如图，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A ，B ，D 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E ，过点E 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F .在满足上述条件的情况下，当∠CAB 的大小变化时，图形也随着改变，但在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．(1)连接图中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE 相等，并说明理由； (2)若CF ＝CD ，求sin F 的值．解：(1)连接AE ，则AE ＝CE .∵∠ABE＝90°，∴AE为直径，连接DE.则∠ADE＝90°，又AD＝CD，∴AE＝CE.(2)设CF＝x，则FA＝3x，FD＝2x，AD＝x. ∵FE为⊙O的切线，∴AE⊥EF.∴DE2＝AD·DF＝2x2，即DE＝2x.FE2＝FD·FA＝2x·3x＝6x2，即FE＝6x.∴sin F＝EDFE＝2x6x＝33.。

2017年-2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷1,参考解析)

高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}0=<I A B x x B ．A B =R U C ．{}1=>U A B x xD ．A B =∅I【答案】A【解析】{}1A x x =<，{}{}310xB x x x =<=<∴{}0A B x x =<I ，{}1A B x x =<U ，选A2. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14B ．π8C ．12D ．π4【答案】B【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1则正方形的面积为224⨯=，圆的面积为2π1π⨯=，图中黑色部分的概率为π2则此点取自黑色部分的概率为ππ248=故选B3. 设有下面四个命题（）1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．A ．13p p ，B ．14p p ，C ．23p p ，D ．24p p ，【答案】B【解析】1:p 设z a bi =+，则2211a bi z a bi a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1P 正确； 2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确；4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②3⨯-①②得()211524-=d624d =4d =∴ 选C5. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是（） A ．[]22-， B ．[]11-， C ．[]04， D ．[]13，【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞，单调递减 121x ∴--≤≤3x ∴1≤≤ 故选D6. ()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C.【解析】()()()66622111+1111x x x x x ⎛⎫+=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭对()61x +的2x 项系数为2665C 152⨯== 对()6211x x⋅+的2x 项系数为46C =15， ∴2x 的系数为151530+= 故选C7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B【解析】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 ()24226S =+⨯÷=梯6212S =⨯=全梯故选B8. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和可以分别填入A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+ 【答案】D【答案】因为要求A 大于1000时输出，且框图中在“否”时输出∴“”中不能输入A 1000> 排除A 、B又要求n 为偶数，且n 初始值为0， “”中n 依次加2可保证其为偶故选D9. 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．10. 已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（） A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AF θ⋅+=∴同理1cos P AF θ=-，1cos PBF θ=+∴22221cos sin P PAB θθ==- 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号即AB DE +最小值为16，故选A11. 设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<【答案】D【答案】取对数：ln 2ln3ln5x y ==.ln33ln 22x y => ∴23x y > ln2ln5x z = 则ln55ln 22x z =< ∴25x z <∴325y x z <<，故选D12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 【答案】A【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12n n +由题，100N >，令()11002n n +>→14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后第n 组的和为122112nn -=-- n 组总共的和为()2122212n nn n --=---若要使前N 项和为2的整数幂，则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数即()*21214k n k n -=+∈N ，≥ ()2log 3k n =+→295n k ==，则()2912954402N ⨯+=+=故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高数I(一)A及答案

1 ⎧ ⎪ 1+ x , x ≥ 0 ⎪ 2．设 f ( x ) = ⎨ ⎪ cos x , x < 0 ⎪ ⎩ 2 + sin x
求
∫π
−
4
f ( x )dx ．
2
序号
封
3．设函数 y = f ( x) 由参数方程 ⎨ 班级
⎧ x = ln(1 + t 2 ) dy d 2 y 所确定，求、． 2 d x d x = − y t t arctan ⎩
…… 5 分 …… 6 分
sin x (cos x ln x + )dx x
= ln( 2 +
序号
sin x ) − π + ∫
2
2t dt 01+ t
2
…… 4 分 …… 6 分
= ln 2 + 4 − 2 ln 3 3、已知 f ( x) 的一个原函数是解：
⎧ x = ln(1 + t 2 ) dy d 2 y 3、设函数 y = f ( x) 由参数方程 ⎨ 所确定，求、 . dx d x 2 ⎩ y = t − arctan t
．．
2．设 f ( x) =
e x −1 e +1
1 x
，则 x = 0 是 f ( x) 的（ B. 跳跃间断点； D. 连续点．
）．
1．函数 y = 学号
2 − x + ln( x − 1) 的定义域为
A. 可去间断点； C. 第二类间断点； 3． lim(e + x) x =（
x x →0 1
2015 年秋季学期《高等数学 (一)》课程期末考试试卷（A 卷）
注意：1、本试卷共 3 页； 3、姓名、学号必须写在指定地方； 2、考试时间 110 分钟； 4、阅卷负责人签名： 1．设 f ( x) = x + ln(1 + x) ，当 x → 0 时，有（

2017-2018高等数学A(1) A卷答案

2017/2018学年第一学期高等数学A1课程考核试卷 A ■、B□参考答案一、填空题或选择填空题 (每小题 3分，满分15分) 1. 当0x →1−与是等价无穷小，则ax 12a=；(等价无穷小112x −∼) 2. 设，则(1)1f ′=0(1)(1)lim2x f x f x x→+−−=；(导数定义 00(1)(1)(1)(1)(1)(1)limlim 2(1)2x x f x f x f x f f x f f x x x →→+−−+−−−⎡⎤′=+=⎢⎥−⎣⎦=0) 3. 若函数由确定，则()y y x =e e xyx y +−=0d d x y x==；(微分形式：0d (0x y y =′=)d x xyy x y y )(隐函数求导：当时，，0x =0y =e e 0′′++−=，则e e x y y+′=，进而)(0)1y ′=y x−4. 设函数3()f x x =−x ，则在内(0,1)B()A 存在ξ，使得()2f ξ′=− ()B 存在ξ，使得()0f ξ′= ()C 存在ξ，使得()2f ξ′= (存在)D ξ，使得()3f ξ′=；(罗尔定理：()f x 在[0上连续，在(0内可导，,1],1)(0)(1)f f =，由罗尔定理知，(0,1)ξ∃∈，使得()0f ξ′=) 5. 若()f x 满足201()()d 11xf x f t t x =++∫，则C()A (0)0f ′= ()B (0)1f ′= ()C (0)2f ′= 无法确定()D (0)f ′的值.(导数定义结合洛必达法则和积分上限函数求导：(0)1f =，00022000()(0)(0)lim lim li 1()d ()d m lim 22(0)2(1)2121()x x x xx x f t t f t t f x f f f x f x x x x x x →→→→−′=====+++∫∫=)二、计算下列各题（每小题6分，共48分）1. 10(1)e limxx x x →+−； (0洛必达法则或者等价无穷小)解：(洛必达法则结合幂指函数求导)11ln(1)ln(1)20000(1)ln(1)(1)e 1lim lim lim e lim e 1x x x x x x x x x x x x x x x x x ++→→→→′⎡⎤+⎢⎥−+′⎡⎤+−⎣⎦+===⋅⎢⎥⎣⎦ln(1)22000(1)ln(1)ln(1)elim elime lim e lim (1)23232x xx x x x x x x x x x x x x x x +→→→→−++−+−−=⋅=⋅=⋅=+++2.(等价无穷小结合洛必达法则) 1ln(1)ln(1)1200000ln(1)1(1)e eee(e1)ln(1)limlimlimelim elim x x x xxx x x x x x x x x x xxxx++−→→→→→x +−+−−−+−==== 0011e 1elimelim 22(1)x x x x x x x →→−−+==+2=−. 2. 设33cos ,sin ,x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 求22π4d d x y x =； (参数方程求导)解：2d 3cos sin d x t t =−t , 2d 3sin cos d y t t t =, 22d 3sin cos tan d 3cos sin y t t t x t t==−−， 22224d 3cos si sec 1d 3o n c n t t y ts si t t −==−, 22π4d d 3x y x==. x3.∫； (三角换元)解：令tan x t =，则2d sec d x t t =2csc d ln |csc cot |ln t t t t C C ==−+=∫+； 4.2(2+3)d 25x xx x ++∫；(分母二次的有理函数----凑微分)解：222222(2+3)d (25)+1d d(25)1d(1)252525(1)4x x x x x x x x x x x x x x x ′++++==+++++++++∫∫∫∫+ 211ln (25)arc tan 22x x x C +=++++； 5.e 1eln d x x ∫； (去绝对值，分部积分)解：[][]e 1e1e11111ee e2ln d (ln )d ln d ln ln 2e x x x x x x x x x x x x =−+=−−+−=−∫∫∫；6.1x +∞∫；(反常积分，倒代换)解：令1x t =，则21d d x t t =−，111211002(1)x t t t −+∞⎡⎤===−+=⎢⎥⎣⎦∫∫∫2；7. 求微分方程满足，2()0y y y ′′′−=(0)1y =(0)2y ′=的解； (可降阶微分方程) 解：令d d y p x =，则d d p y py ′′=，代入方程得2d 0d p y p p y −=，从而d 0d py p y−=，(舍) 0p = 分离变量得d d p yp y=，两边积分得 1ln ||ln ||ln ||p y C =+，则1p C y = 由，(0)1y =(0)2y ′=得，则12C =d 2d yy x=，分离变量的d 2d y x y =，两边积分得2ln ||2ln ||y x C =+，即22e xy C =，由(0)1y =得21C =，故2e xy =；8. 求函数的极值.2(1)y x x =−3)解：，(,D =−∞+∞32222(1)3(1)(1)(52)y x x x x x x x ′=−+−=−−当，0x =2x =，1x =时， 0y ′= 故极小值为()53125y =−(0)0y =.，极大值为三、(8分) 设0α>，讨论函数1sin ,0(),x x f x xx αβ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性与可导性.解：因0α>，则01lim sin0x x xα→=，(0)f β= 当0β=时，，0lim ()(0)0x f x f →==100()(0)1(0)limlim sin x x f x f f x x xα−→→−′== 当1α>时，；当(0)0f ′=01α<≤时，(0)f ′不存在. 故当0α>，0β≠时，()f x 在0x =处不连续且不可导. 当01α<≤，0β=时，()f x 在0x =处连续但不可导.当1α>，0β=时，()f x 在处连续且可导.0x = 四、(8分) 求由曲线y x =，及ln y x =0y =，1y =围成平面图形的面积，并求此图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.为积分变量)：面积121003(e )d e e 22yy y A y y ⎡⎤=−=−=−⎢⎥⎣⎦∫ y 解：(选择体积131004π2π(e )d 2πe e 33y y yx y V y y y y ⎡⎤=−=−−=⎢⎥⎣⎦∫；为积分变量): 面积[]121ee10103d (1ln )d ln e 22x A x x x x x x x x ⎡⎤=+−=+−+=−⎢⎥⎣⎦∫∫x (选择体积131ee 22221014ππd π(1ln )d ππln 2ln 233x x V x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+−=+−+−=⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫. 五、(7分) 求微分方程369e xy y y ′′′−+=的通解.解: 特征方程: 特征根 269r r −+=0123r r ==，对应齐次方程通解 312()e x Y C C x =+ 因3λ=是特征重根设非齐次方程特解为23*e xy ax =，代入方程得12a =故所求通解23312*()e e 2xxx y Y y C C x =+=++.六、(6分) 设()f x 是[0上单调递减连续函数，证明：对于任意,1](0,1)a ∈，成立不等式1()d ()d a f x x a f x x ≥∫∫.证明: 令0()d ()a f x x g a a=∫， (构造函数，利用单调性证明) (a 为自变量)0a <<1 则02()()d ()af a a f x xg a a⋅−′=∫，由积分中值定理知，()d ()a f x x f a ξ=⋅∫，0a ξ<<从而()()()f a f g a aξ−′=，因()f x 在[0上单调减少，则,1]()()f a f ξ≤，进而，故在(0上单调减少，，()0g a ′≤()g a ,1)10()(1)()d g a g f x x ≥=∫即1()d ()d a f x x a f x x ≥∫∫，(01)a <<.(另法) 令 (为了利用单调性，分割区间)100()()d ()d a g a f x x a f x x =−∫∫ 则11()()d (()d ()d )(1)()d ()d aa a aag a f x x a f x x f x x a f x x a f x x =−+=−−∫∫∫∫∫ 由积分中值定理知，10()d ()a f x x f a ξ=⋅∫，01a <，12()d ()(1)af x x f a ξ=⋅−∫，a 21<<<ξξ 从而12()(1)()(1)()g a a a f a a f ξξ=−⋅⋅−−⋅⋅因()f x 在[0上单调减少，,1]1201a ξξ<<<<，则12()()f f ξξ≥故，即()0g a ≥1()d ()d a f x x a f x x ≥∫∫，(01)a <<.七、(8分) 设()f x ，在[,上具有二阶导数，()g x ]a b ()()f a g a =，()()f b g b =，()()f x g x ≠，且在内(,)a b ()f x 与取得相等的最大值.()g x 证明：(1) 存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ=；(2) 存在(,)a b η∈，使得()()f g ηη′′′′=. 证明：(1) 若()f x 与均在()g x 0x 点取得相等的最大值，即00()()f x g x =，取0(,)x a b ξ=∈即可若()f x 与分别在点()g x 1x 与点2x 取得最大值，即12()()f x g x M ==，不妨设12x x <令，则在()()()F x f x g x =−()F x 12[,]x x 上连续，且1111()()()()0F x f x g x M g x =−=−>， 2222()()()()0F x f x g x f x M =−=−<由零点定理知，12(,)(,)x x a b ξ∃∈⊂，使得()0F ξ=，即()()f g ξξ=.(2) 因()()f a g a =，()()f g ξξ=，()()f b g b =，则()()()0F a F F b ξ===()F x 在[,]a ξ，[,]b ξ上连续，在(,)a ξ，(,)b ξ内可导， ()()()0F a F F b ξ===由罗尔定理知，1(,)a ξξ∃∈，2(,)b ξξ∈，使得1()0F ξ′=，2()0F ξ′=()F x ′在12[,]ξξ上连续，在12(,)ξξ内可导， 12()()F F ξξ′′=由罗尔定理知，12(,)(,)a b ηξξ∃∈⊂，使得()0F η′′=，即()()f g ηη′′′′=.。

2017年高考全国卷I-数学试题及答案(K12教育文档)

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绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题,满分150分.考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时,选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B =｛x ｜31x <｝，则A ．{|0}AB x x =<B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ,则z ∈R 。

高数A1,B1答案(理,上册)

习题一一、1. ×2. \/3. ×4. ×5. ×6. \/7. ×二、1. A2. D3.4. A三、1. 直线y x =2. [-1，3]3. 1[,0]2- 4. 奇 5.2log 1x y x =- 6.3,,sin u y e u v v x ===四、 1(2)3f x x +=+，221()1f x x =+， 11(())1211x f f x x x+==+++，11()()2f f x x =+习题二一、1. ∨2. ×3. ×4. ∨5. ∨6. ×二、1. B2. B3. A4. C三、（1）22110n n ε-=< 取N=即可（3）sin 10n n nε-≤< 取1[]N ε=即可四、根据条件，0ε∀>，N ∃，当n N >时，有0n n x y M ε-≤即证。

习题三一、1. ×2. ×3. ×二、1. C2. D3. C4. C四、（1）证明：0ε∀>，要32832x x ε+-=-< 取3εδ=即可（2）0ε∀>，要242x x ε+-=-<取δε=即可（3）0ε∀>，要213211x x x ε---=<++ 只要31x ε>+即可五、1) 0lim 1x xx -→=-，0lim 1x xx +→=0lim x xx →不存在2) 1lim ()2x f x +→=，1lim ()2x f x -→=1lim ()2x f x →=20lim ()5, lim ()0x x f x f x →→==习题四一、1. ∨2. ×3. ∨4. ∨5. ×6. ×7. ×8. ∨9. ×10. ×11. ∨12. ×二、1. D2. C3. B4. D5. D三、(1) 2131lim 11x x x →-+=-+ (2) 2211112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 202lim 2h hx h I x h→+== (4) 23I =(5) 0I = (6) 422lim13x x I x →-==- (7) 11133lim 1213n n I +→∞-==- (8) 111lim (1)2212n n →∞-=+ (9) 23211132lim lim 111x x x x x I x x x→→++-+==-=--++ (10) 15I =(11) I =+∞(12) 0I = (13) 由于lim1lim 1x x ==-，故原极限不存在。

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2017 / 2018学年《高等数学A1，B1》期末考试试卷A试卷号：A20180115（注意：所有答案必须写在答题卡上，在试卷上作答无效）一、选择题（5小题，每小题3分，共15分）1．下列数列}{n x 中，收敛的是--------------------------------------------- ( ) (A) nn x n n 1)1(+-= (B) 1+=n n x n (C) 2sinπn x n = (D) n n n x )1(--=2．设函数x x x f ln )(=，则)(x f ------------------------------------------（）(A) 在内单调减)1,0(e(B) 在内单调减，)1(∞+e(C) 在(0,)+∞内单调减 (D) 在(0,)+∞内单凋增3．已知2()d e x f x x C -=+⎰（C 为任意常数），则()f x =---------------（） (A) 2e x - (B) 22e x --(C)212e x- (D) 24e x -4．若反常积分11d px x+∞⎰收敛，则p 应满足----------------------------------------（） (A) 0p =(B) 1p =(C) 1p <(D) 1p >5．设()f x 在[,]a b 上连续，令1|()|d b aI f x x =⎰，2|()|d b aI f x x =⎰，则--（） (A) 12I I >(B) 12I I ≥(C) 12I I <(D) 12I I ≤二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）6．函数()arcsin(1)f x x =-的定义域用区间表示为_________．7．若1()sin sin 33f x a x x =+在3x π=处有极值，则a =_________．8．设a x a y x a a =++（1a >为常数），则()d d y x =．9．定积分1221(sin )d x x x x -+=⎰ ．10．已知曲线)()(:b x a x f y L ≤≤=，其中()f x 具有连续的导数，则L 的弧长s =__________________．三、解答题（8小题，每小题6分，共48分）11．求极限：30tan lim x x xx→-． 12．求不定积分：3sin d x x ⎰．13．求定积分：41x ⎰． 14．求函数42()82f x x x =-+在区间[1,3]-上的最大值与最小值． 15．点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点，求常数,a b 的值．16．求函数22132x y x x -=-+的间断点，并指出间断点的类型．17．求双曲线1y x=在点(1,1)处的切线方程与法线方程． 18．利用对数求导法求函数()1x x y x =+的导数d d yx．四、分析题（本题满分7分）19．已知函数1sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩α()R ∈α，讨论函数()f x 在0x =处的连续性与可导性．五、应用题（本题满分10分）20．设曲线2y x =和3y x =所围平面图形为 D ，求（1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．六、证明题（本题满分5分）（注：以下两个证明题任选一题，多做无效．）21（1）．设()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明方程2()d 1xx f t t -=⎰在(0,1)内有且仅有一个实根．21（2）．设()f x 在[0,1]上连续，证明：220(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰ππ．2017 / 2018学年《高等数学A1，A2》期末考试试卷A 答案一、选择题（5小题，每小题3分，共15分）1．下列数列}{n x 中，收敛的是--------------------------------------------- ( B ) (A) nn x n n 1)1(+-= (B) 1+=n n x n (C) 2sinπn x n = (D) n n n x )1(--=2．设函数x x x f ln )(=，则)(x f -------------------------------------------（ A ）(A) 在内单调减)1,0(e(B) 在内单调减，)1(∞+e(C) 在(0,)+∞内单调减 (D) 在(0,)+∞内单凋增3．已知2()d e x f x x C -=+⎰（C 为任意常数），则()f x =---------------（ B ） (A) 2e x - (B) 22e x --(C)212e x- (D) 24e x -4．若反常积分11d px x+∞⎰收敛，则p 应满足----------------------------------------（ D ） (A) 0p =(B) 1p =(C) 1p <(D) 1p >5．设()f x 在[,]a b 上连续，令1|()|d b aI f x x =⎰，2|()|d b aI f x x =⎰，则--（ D ） (A) 12I I >(B) 12I I ≥(C) 12I I <(D) 12I I ≤二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 6．函数()arcsin(1)f x x =-的定义域用区间表示为[0,2]．7．若1()sin sin 33f x a x x =+在3x π=处有极值，则a =_2____．8．设a x a y x a a =++（1a >为常数），则1(ln )d d a xy ax a a x -=+．9．定积分12212(sin )d 3x x x x -+=⎰． 10．已知曲线)()(:b x a x f y L ≤≤=，其中()f x 具有连续的导数，则L 的弧长as x =⎰．三、解答题（8小题，每小题6分，共48分） 11．求极限：30tan limx x xx→-．解：23200tan sec 1lim lim 3x x x x x x x→→--= ------3分222200tan 1lim lim 333x x x x x x →→===． ------6分 12．求不定积分：3sin d x x ⎰．解：322sin sin sin sin d d dcos x x x x x x x =⋅=-⎰⎰⎰------3分231(cos 1)cos cos 3dcos x x x x C =-=-+⎰------6分 13．求定积分：41x ⎰．解法一：44112ln x x =⎰⎰ ------2分4411]2x x =-⎰------4分418ln 28ln 24=-=-． ------6分t =，则2,2,:14,:12d d x t x t t x t ==→→ ------2分2422111ln 24ln d d t x t t t t t ==⎰⎰⎰ ------4分22114[ln ]418ln 24d t t t =-=-⎰------6分14．求函数42()82f x x x =-+在区间[1,3]-上的最大值与最小值．解：32()4164(4)f x x x x x '=-=- ------2分令()00,2,2f x x x x '=⇒===-（舍）．(0)2,(2)14,(1)5,(3)11f f f f ==--=-=． ------5分故函数()f x 区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为11和-14，即max min 11,14f f ==-．------6分15．点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点，求常数,a b 的值．解：232,62y ax bx y ax b '''=+=+， ------2分由题意知：(1)3(1)620y a b y a b =+=⎧⎨''=+=⎩ ------5分解方程组得39,22a b =-= ------6分 16．求函数22132x y x x -=-+的间断点，并指出间断点的类型．解：221(1)(1)32(1)(2)x x x y x x x x --+==-+--，故间断点为1,2x x == ------2分因为11(1)(1)lim lim2(1)(2)x x x x y x x →→-+==---，故1x =为函数的第一类可去间断点；------4分因为22(1)(1)lim lim(1)(2)x x x x y x x →→-+==∞--，故2x =为函数的第二类无穷间断点；------6分17．求双曲线1y x=在点(1,1)处的切线方程与法线方程．解：21y x '=-，故点(1,1)处切线斜率点1k =-切，法线斜率1k =法． ------4分切线方程为 1(1)y x -=--，即2x y +=；------5分法线方程为 11y x -=-，即y x =． ------6分18．利用对数求导法求函数()(0)1x x y x x =>+ 的导数d d y x ．解：两边取对数得ln ln()ln [ln ln(1)]11x x xy x x x x x x===-+++， ------2分两边关于自变量x 求导，y 是x 的函数，得111[ln ln(1)]()ln 1)11y x x x x y x x x x'=-++-=++++ ------5分故d 1()(ln )d 111x y x x x x x x=++++ ------6分四、分析题（本题7分）19．已知函数1sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩α()R ∈α，讨论函数()f x 在0x =处的连续性与可导性．解：（1）连续性当0>α时，001lim ()lim sin0(0)x x f x x f x→→===α；当0≤α时，001lim ()lim sin x x f x x x →→=α不存在，故0>α时，()f x 在0x =处连续，0≤α时，()f x 在0x =处不连续．------4分（2）可导性当1>α时，10001sin()(0)1(0)lim lim lim sin 0x x x x f x f x f x x x x-→→→-'====αα；当1≤α时，10001sin()(0)1(0)lim lim lim sin x x x x f x f x f x x x x-→→→-'===αα不存在，故1>α时，()f x 在0x =处可导，1≤α时，()f x 在0x =处不可导．------7分五、应用题（本题满分10分）20．设曲线2y x =和3y x =所围平面图形为 D ，求（1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．解：（1）交点（1，1），面积123111()d 3412A x x x =-=-=⎰． ------5分（2）112232()d ()d x V x x x x =-⎰⎰ππ25735=-=πππ------10分六、证明题（本题满分5分）注：以下两个证明题任选一题，多做无效．21（1）．设()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明方程2()d 1xx f t t -=⎰在(0,1)内有且仅有一个实根．证明：（i ）存在性令 0()2()d 1xF x x f t t =--⎰，显然()F x 在[0,1]上连续，且11(0)10,(1)1()d 11d 0F F f x x x =-<=->-=⎰⎰，即(0)(1)0F F ⋅<．故()F x 在[0,1]上满足零点定理，故至少存在一点(0,1)∈ξ，使得()0F =ξ，即方程02()d 1x x f t t -=⎰ 在(0,1)内至少有一个实根． ------3分（ii ）唯一性因为()2()10F x f x '=->>，所以()F x 在[0,1]上单调增加，故()0F x =在(0,1)内至多有一个实根．综上，()0F x =在(0,1)内仅有一个实根，即方程02()d 1xx f t t -=⎰在(0,1)内有且仅有一个实根． ------5分21（2）．设()f x 在[0,1]上连续，证明：220(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰ππ．证明：令2x t =-π，则d d ,x t =-当:02x →π时，:02t →π， ------2分左边0202(sin )d [sin()]d 2f x x f t t ==--⎰⎰πππ220(cos )d (cos )d f t t f x x ===⎰⎰ππ右端． ------5分。