17-18高数(A1,B1试卷A及答案)

2017 / 2018学年《高等数学A1，B1》期末考试试卷A

试卷号：A20180115

（注意：所有答案必须写在答题卡上，在试卷上作答无效）

一、选择题（5小题，每小题3分，共15分）

1． 下列数列}{n x 中，收敛的是--------------------------------------------- ( ) (A) n

n x n n 1

)1(+-= (B) 1

+=

n n x n (C) 2

sin

πn x n = (D) n n n x )1(--=

2． 设函数x x x f ln )(=， 则)(x f ------------------------------------------（ ）

(A) 在内单调减)1

,0(e

(B) 在内单调减，)1

(∞+e

(C) 在(0,)+∞内单调减 (D) 在(0,)+∞内单凋增

3． 已知2()d e x f x x C -=+⎰（C 为任意常数），则()f x =---------------（ ） (A) 2e x - (B) 22e x --

(C)

212

e x

- (D) 24e x -

4． 若反常积分1

1

d p

x x

+∞⎰收敛，则p 应满足----------------------------------------（ ） (A) 0p =

(B) 1p =

(C) 1p <

(D) 1p >

5． 设()f x 在[,]a b 上连续，令1|()|d b a

I f x x =⎰，2|()|d b a

I f x x =⎰，则--（ ） (A) 12I I >

(B) 12I I ≥

(C) 12I I <

(D) 12I I ≤

二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）

6． 函数()arcsin(1)f x x =-的定义域用区间表示为_________．

7． 若1()sin sin 33f x a x x =+在3

x π

=处有极值，则a =_________．

8． 设a x a y x a a =++（1a >为常数），则()d d y x =．

9． 定积分1

221(sin )d x x x x -+=⎰ ．

10． 已知曲线)()(:b x a x f y L ≤≤=，其中()f x 具有连续的导数，则L 的弧长

s =__________________．

三、解答题（8小题，每小题6分，共48分）

11． 求极限：30tan lim x x x

x

→-． 12． 求不定积分：3sin d x x ⎰

．

13．

求定积分：

41

x ⎰

． 14． 求函数4

2

()82f x x x =-+在区间[1,3]-上的最大值与最小值． 15． 点(1,3)为曲线3

2

y ax bx =+的拐点，求常数,a b 的值．

16． 求函数221

32

x y x x -=-+的间断点，并指出间断点的类型．

17． 求双曲线1

y x

=

在点(1,1)处的切线方程与法线方程． 18． 利用对数求导法求函数()1x x y x =+的导数d d y

x

．

四、分析题（本题满分7分）

19．已知函数1sin ,0

()0,0x x f x x

x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩α

()R ∈α，讨论函数()f x 在0x =处的连续性与可导性．

五、应用题（本题满分10分）

20． 设曲线2y x =和3y x =所围平面图形为 D ，求

（1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．

六、证明题（本题满分5分）

（注：以下两个证明题任选一题，多做无效．）

21（1）． 设()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明方程

2()d 1x

x f t t -=⎰

在(0,1)内有且仅有一个实根．

21（2）．设()f x 在[0,1]上连续，证明：

2

20

(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰

⎰

π

π

．

2017 / 2018学年《高等数学A1，A2》期末考试试卷A 答案

一、选择题（5小题，每小题3分，共15分）

1． 下列数列}{n x 中，收敛的是--------------------------------------------- ( B ) (A) n

n x n n 1

)1(+-= (B) 1

+=

n n x n (C) 2

sin

πn x n = (D) n n n x )1(--=

2． 设函数x x x f ln )(=，则)(x f -------------------------------------------（ A ）

(A) 在内单调减)1

,0(e

(B) 在内单调减，)1

(∞+e

(C) 在(0,)+∞内单调减 (D) 在(0,)+∞内单凋增

3． 已知2()d e x f x x C -=+⎰（C 为任意常数），则()f x =---------------（ B ） (A) 2e x - (B) 22e x --

(C)

212

e x

- (D) 24e x -

4． 若反常积分1

1

d p

x x

+∞⎰收敛，则p 应满足----------------------------------------（ D ） (A) 0p =

(B) 1p =

(C) 1p <

(D) 1p >

5． 设()f x 在[,]a b 上连续，令1|()|d b a

I f x x =⎰，2|()|d b a

I f x x =⎰，则--（ D ） (A) 12I I >

(B) 12I I ≥

(C) 12I I <

(D) 12I I ≤

二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 6． 函数()arcsin(1)f x x =-的定义域用区间表示为[0,2]．

7． 若1()sin sin 33f x a x x =+在3

x π

=处有极值，则a =_2____．

8． 设a x a y x a a =++（1a >为常数），则1(ln )d d a x

y ax a a x -=+．

9． 定积分1

221

2

(sin )d 3

x x x x -+=

⎰． 10． 已知曲线)()(:b x a x f y L ≤≤=，其中()f x 具有连续的导数，则L 的弧长