三角形中的几何计算

三角形中的几何计算

【知识与技能】

1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题.

2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题.

3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力.

【重点】应用正、余弦定理解三角形.

【难点】灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算. 【三角形常用面积公式】（对应教材P25页B 组第2小题） （1）S =

2

1

； （2）S =

21ab sin C =21 =21

； （3）S =

2

1

·r · (r 为三角形内切圆半径)；

（4）2a b c S p ++⎫=

=⎪⎭

其中(海伦公式)；

（5）22sin sin sin sin sin sin b A C c A B

S B C

=

== ; （6）4abc

S R

=

(其中R 为三角形外接圆半径)。 类型1 三角形中的面积计算问题

【例1】△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．

解：由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，∴sin B ＝AC sin C AB ＝2sin 120°23＝12.因为AB >AC ，所以C >B ，

∴B ＝30°，∴A ＝30°.所以△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝1

2

·23·2·sin 30°＝ 3.

小结：由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．

【练习】(2013·蒙阴高二检测)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝3

2

，则边BC 的长为________． 解：由S △ABC ＝

32，得12AB ·AC sin A ＝32，即12×2AC ×32＝32

，∴AC ＝1.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×1

2

＝3.∴BC ＝ 3.

类型2 三角形中的长度、角度计算问题

【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA =60°, ∠BCD =135°,求BC 的长.

解：在△ABD 中，由余弦定理，得AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD ·cos ∠ADB ,

设BD ＝x ,则有142=102+x 2-2×10x cos60°,∴x 2-10x -96=0,∴x 1=16,x 2=-6(舍去)，∴BD =16。在△BCD 中，

由正弦定理知

，BCD

BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴BC =·135sin 16

︒sin30°＝82.

【例3】在△ABC 中，已知AB =

，ABC ，6

6

cos 364=∠AC 边上的中线BD =5,求sin A 的值.

解：如图所示，取BC 的中点E ，连结DE ，则DE ∥AB ,且DE =

21AB =3

6

2.∵cos ∠ABC =

66,∴cos ∠BED =-6

6

.设BE ＝x ,在△BDE 中，利用余弦定理，

可得BD 2=BE 2+ED 2-2BE ·ED cos ∠BED ,即5=x 2+x 。6

6

362238⨯⨯+ 解得x =1或x =-

3

7

(舍去)，故BC =2.在△ABC 中，利用余弦定理，可得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos ∠

ABC =

328,即AC =3

212.又sin ∠ABC =630cos 12

=∠-ABC ， ∴

.1470sin 6

30

321

2

sin 2=∴=A ，A

【练习】如图所示，在△ABC 中，已知BC =15,AB ：AC =7；8,sin B =

7

3

4,求 BC 边上的高AD 的长.

解：在△ABC 中，由已知设AB =7x ,AC =8x ,x >0,由正弦定理，得

B

x

C x sin 8sin 7=,∴sin C =

2

3

734878sin 7=

⨯=x B x .∴∠C =60°或120°若∠C =120°，由8x >7x ，知∠B 也为钝角，不合题意，故∠C ≠120°.∴∠C =60°.由余弦定理，得（7x ）2=(8x ) 2+152-2×8x ×15cos60°,∴x 2-8x +15=0,解得x =3或x =5.

∴AB =21或AB =35.

在Rt △ADB 中，

AD =AB sin B =

AB ，7

3

4∴AD =123或203. 类型3 三角形中的综合问题

【例4】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2

b a

c =，cos B ＝35.

(1)求cos A sin A ＋cos C

sin C

的值；(2)设BA →·BC →＝3，求a ＋c 的值．

解：(1)由已知b 2＝ac ，及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，由cos B ＝35，则sin B ＝45.cos A sin A ＋cos C

sin C ＝

sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝1sin B ＝5

4

.