数列求和之错位相减法
数学课件 数列求和的方法之错位相减法
这时等式的右边是一个等 n项
比数列的前n项和与一个式 子的和，这样我们就可以 化简求值。
解：∵ Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 … ……. ①
∴xSn = x + 2x2 + … … + (n-1)xn-1 + nxn ……②
…...①
…... ②
①-②，得
.
.
.
方法总结
(1)若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列 的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法 。
（2)在写出“ Sn”与“ q”S的n 表达式时应特别
注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “ Sn - q”Sn的表达式．
(3)如果出现 q为参数时，一定要讨论 q和=0 的q情=1
数列求和的方法之 ——错位相减法
错位相减法：
设数列 {是an公} 差为d的等差数列（d不等于
零），数列{bn是} 公比为q的等比数列(q不等于
1），数列{cn满} 足： cn ，anb则n 的前{cnn}项和为： Sn c1 c2 c3 cn
a1b1 a2b2 a3b3 anbn
况。
类似于这样形式的数列，求前n项和，可以用错 位相减法求和。
例:求和 Sn =1 + 2x + 3x2 + …… + nxn-1 (x≠0,1)
[分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应
相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？
Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②
数列求和：错位相减法
an an n 2 ……6分 （2）设 { n } 的前 n 项和为 Sn ，由（1）知 n n 1 ， 2 2 2
作业布置
1、 (11辽宁)已知等差数列 {an }满足a2 0, a6 a8 10. (1)求数列 {an }的通项公式； an (2)求数列 { n 1 }的前n项和S n . 2
例1 (14安徽)数列{an }满足a1 1, nan 1 (n 1)an n(n 1), n N .
*
an (1)证明 : 数列{ }是等差数列； n n (2)设bn 3 an , 求数列 {bn }的前项和S n。
nan 1 (n 1)an n(n 1) (1)证明 : nan 1 (n 1)an n(n 1), , n(n 1) n(n 1) n(n 1) an 1 an an 1, 数列{ }是等差数列。 n 1 n n
1 设数列 {an } 的公差为 d，则 a4 a2 2d ，故 d ， …3分 2 3 1 ………5分 从而 a1 .所以 {an } 的通项公式为 an n 1 . 2 2
nn 4 1 3 1 1 1 1 n 1 n 1 S 2 所以 . ………………………………………12 分 (n 2 ( ) 2 (n 4)( ) . n 2)( ) n 1 2 22 2 2 2
数列求和
错位相减法求和
学习目标
1、学会错位相减法求数列的前n项和； 2、能熟练应用三种求和方法计算数列的前n项和；
3、提高自己的运算能力。
学习重点
错位相减法求数列的前n项和
三、错位相减
{an 式是由一个等差 数列与一个等比数列的积的形式组合而成的。
数列求和之错位相减法、倒序相加法
2 、已知 { an} 是等差数列， 其前 n 项和为 Sn ，{ bn } 是等比数列， 且 a1 b1 2, a 4 b4 27 ， S4 b4 10 .
（1 ）求数列 { an } 与 { bn} 的通项公式；
（2 ）记 Tn a nb1 a n 1b2
a1bn ，n N * ，证明 Tn 12 2a n 10bn（ n N * ）；
.
数列求和之错位相减法、倒序相加法
{ } { } 1 、错位相减法适用于 cn = an ×bn ，其中 an 是等差数列， bn 是等比数列。
步骤：此时可把式子
的两边同乘以公比 q(q 1 0且 q 1 1)，得到 ，两式错位相减整理即可求出 Sn .
2 、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。
【例 1 】已知数列 1,3a,5 a2, ,(2 n 1)an 1(a 0) ，求前 n 项和 .
项的和 Sm ；
【变式训练】
1 、已知数列
6a
2
，
4a
1
，
2， 0,2a ， 4a 2 ， ...，（ -8+2n
）
an
3
求前
n 项和 .
1/2
.
{ } { } 2、若数列 an 的通项公式为 an
2n 3 ，数列 bn 满足等式 : bn
n
2 an ，求数列
bn 的
前 n 项和 Sn
3、求 cos1 cos2 cos3
cos178 cos179 的值 .
【过关练习】
1.
设数列
{ an } 的前
n 项和为
Sn
=
2
2
n
，
{ bn}
题型-数列求和之错位相减法
1数列求和之错位相减法一、题型要求：错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）。
二、例题讲解：1、求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S2、求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.三、练习巩固：1、（2012－信宜二模）设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++，已知11T =，24T =，（1）求数列{}n a 的首项和公比；（2）求数列{}n T 的通项公式.；2、（2015－漳浦校级模拟）等差数列}{n a 中，.2,49197a a a ==数列}{n b 满足n a n n a b 22⋅=（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列}{n b 的前n 项和n S3、（2014－肇庆高三期末）已知数列{}n a 满足11=a ，n a a na n n n =-++11，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ；4、（2014－肇庆高三期末）已知数列{}n a 满足11=a ，121+=+n n a a （*N n ∈）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列}12{+n a n的前n 项和，求n S ；35、（2014－惠州调研）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12n n a S -=；数列{}n b 满足(27)n n b n a =-（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和为n T6、（2014－珠海六校联考）已知数列{}n a 为等差数列,且5714,20a a ==,数列{}n b 的前n 项和为n S ,且满足132n n S S -=+(2,*)n n ≥∈N ，123b =. （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =⋅,n T 为数列{}n c 的前n 项和,求n T .7、（2014－中山期末）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈． （1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；8、（2014－梅州质检）设等比数列{n a }的前n 项和为Sn ，已知122(*)n n a S n N +=+∈。
数列求和之错位相减法倒序相加法
.数列求和之错位相减法、倒序相加法}}{{bac、错位相减法适用于1是等差数列，，其中是等比数列。
b×=a nnnnn的两边同乘以公比步骤：此时可把式子1)q1qq(10，得到且，两式错位相减整理即可求出.S n2、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。
2n?1n】已知数列1【例0)a?(,5a,,(2n?1)a1,3a项和，求前.{}的等差数列，且满足0【例2】已知是一个公差大于aa a=55,a+a=16n7632{}的通项公式：（Ⅰ）求数列a n a{}}{}{nS.（Ⅱ）若数列和数列满足等式:的前项和bab n?b，求数列nnnnnn22222】求和：3【例89sin?sin3?2sin1?sin?1??????????Rfxx，点】已知函数4【例xfyx,yPxP,??图像上，是函数221112x24?1．的两个点，且线段PP P的横坐标为的中点212P的纵坐标是定值；（Ⅰ）求证：点n????????mmNn,,? ,?1,?af2aa的前的通项公式为求数列m，（Ⅱ）若数列??nnn m??S项的和；m【变式训练】n?2?12n?3、已知数列项和.1求前aa44a?a?62?）...，0,2a，，，，，（-8+2n1 / 2.??a}{{}322n的:2、若数列的通项公式为满足等式bb?a?na?b n，求数列，数列nnnnn nS前项和n cos179cos178??cos3??cos1?cos2.的值3、求【过关练习】ba{{2，1.设数列，nba)=b,}b(a-a}=nS=2为等比数列，且的前项和为nnn111221a{）求数列（1}b}{的通项公式；和nn a c{c（2）设，求数列．n n T}=项和的前nnn b n{}已知2、Sa?b?2,a?b?27n a{b}是等比数列，，是等差数列，其前且项和为，4411nnn S?b?10.44{}）求数列1（a{b}的通项公式；与nn**（2）记T?12??2a?10bbT?ab?a?b?an?n?NN ）；证明，（，nnnn?n121nn1??2,xy lg?n2?n?nn12求和3、已知yx lg(x?S lg?x?y)lg(?y)?lg n2 / 2。
数列求和之错位相减法ppt课件
①-②得
Sn 1 2 （1 22 1 23 1 2n） n 2n1
即
Sn
2 22 23 2n n 2n1
2 2n 2 n 2n1 (1 n)2n1 2
1 2
故Sn 2 (1 n)2n1
数列求和之错位相减法
1
复习回顾： 等比数列前n项和的求和公式
2
问题探究：
数列 {an }的通项公式 an n，数列 {b n }的通项公式 b n 2 n， 求数列 {an bn }的前 n项和。
观察：所求数列的通项公式是由等差数列与等比 数列的积组成。即“等差×等比”型
3
n 2n
乘公比，错位，相减
Sn a1b1 a2b2 anbn
即Sn 1 2 2 22 3 23 (n 1) 2n1 n 2n ①
2Sn 1 22 2 23 (n -1) 2n n 2n1 ②
两式相减得 2Sn 1 3 2 32 2 3n (2n 1) 3n1
2Sn 3 2 （32 3n ) (2n 1) 3n1
3 2 32 3n 3 (2n 1) 3n1 6 (2 2n) 3n1
4
当堂练习：
求和：1 3 3 32 (2n 1) 3n
解：
记Sn 13 332 (2n 3) 3n1 (2n 1) 3n
3Sn 1 32 3 33 (2n 3) 3n (2n 1) 3n1
7
作业：
1、求和：（1）1
4 22
6 23
数列求和之错位相减法
1
1 22
+2
1 23
(n
1)
1 2n
n
1 2n1
②
1 2 sn
1 2
1 22
+
1 23
1 2n
n
1 2n1
1n 化简整理，得：sn =2- 2n1 - 2n
sn
2- n 2 2n
小技巧:验证n=1
小结：“错位相减法”的解题步骤
第其一中步数：列观{a察n}通为项等是差否数满列足，{a数n b列n}
学习目标
能理解错位相减法，并能够正确地应用错位相 减法求数列的前n项和。
等比数列前n项和公式的推导
① ② ① -② 得
这种推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法，注意“ 错位”、“相减”的含义，它蕴含了化无限为有限的数学 思想方法。
什么样的数列求和可以用“错位相减法”
若 这数 两列个数{列an为}的等对差应数项列乘，积数组列成的{bn新} 为数等列比{a数n 列 bn，} 由求
的
{bn
形式， } 为公比为q等比数列，由这两个数列的对应
项乘积组成的新数列 {an bn}
第二步：写出 {an bn} 前n项和的展开式，即 sn a1b1 a2b2 a3b3 anbn
第三步在 第二步所得式子的两边同乘以公比q，
第四步：第2步与第3步所得的两式相减。相减之后，撇开第一项和最后一项，中 间的所有项组成了一个公比为q的等比数列，对其使用等比数列求和公式求和。
10
9 10
Sn
2
9
2
4
...
n
9
n
n
1
9
n1
数列求和——错位相减法 教学设计 2023届高三数学二轮复习
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若 ， ， 对任意的正整数 恒成立，求实数 的取值范围.
6．(2021·新高考І卷·16)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ .
设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.
(1)求{an}的公比；
(2)若a1=1，求数列{nan}的前n项和.
解：(1) ；
(2) ，
记{nan}的前n项和为Sn，则
重点讲解求和步骤中
“4．解出和Sn”的注意事项：
两式相减后，等式右边中间的n－1项求和转化成了等比数列求和，应先提公因数——等差数列的公差，再选择适当的求和公式计算；
2.通过课程的学习，学生能进一步发展数学学科核心素养的运算能力；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
教学重点
错位相减法求数列的和
教学难点
错位相减后的项数、符号、化简等易错问题，以及对转化数学思想的理解。
教
教学过程设计
教学
步骤
数列求和——错位相减法 教学设计
教学课题
数列求和——错位相减法
课程类型
复习课
教学目标
知识与技能
熟练掌握错位相减法，能够准确、快速地用错位相减法求出“等差×等比”数列的和。
过程与方法
通过两等式的错位相减，将无法求和的问题转化成等比数列求和，在运算的过程中，体会转化与化归的数学思想。
题型-数列求和之错位相减法
题型-数列求和之错位相减法数列求和之错位相减法一、题型要求：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）。
二、例题讲解：1、求和：$S_n=1+3x+5x^2+7x^3+。
+(2n-1)x^{n-1}$，其中$x=2$。
2、求数列$2,3.n$前$n$项的和。
三、练巩固：1、（2012-信宜二模）设$\{a_n\}$为等比数列，$T_n=na_1+(n-1)a_2+。
+2a_{n-1}+a_n$，已知$T_1=1$，$T_2=4$。
1）求数列$\{a_n\}$的首项和公比；2）求数列$T_n$的通项公式；2、（2015-漳浦校级模拟）等差数列$\{a_n\}$中，$a_7=4$，$a_{19}=2a_9$。
数列$\{b_n\}$满足$b_n=a_n\times2$。
1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；2）求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$S_n$；4、（2014-肇庆高三期末）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$（$n\in N^*$）。
1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；2）设$b_n=\frac{a_{2n}}{n}$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求$T_n$；5、（2014-惠州调研）已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且有$S_n=1-a_n$。
数列$\{b_n\}$满足$2b_n=(2n-7)a_n$。
1）求数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的通项公式；2）求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n$；6、（2014-珠海六校联考）已知数列$\{a_n\}$为等差数列，且$a_5=14$，$a_7=20$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$3S_n=S_{n-1}+2$（$n\geq2$，$n\in N^*$），$b_1=$。
高中数学数列求和-错位相减法
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式.形如An=BnCn,其中Bn为等差数列,Cn为等比数列；分别列出Sn,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即kSn；然后错一位,两式相减即可.目录简介举例错位相减法解题编辑本段简介错位相减较常用在数列的通项表现为一个等差数列与一个等比数列的乘积,如an=(2n-1)*2^(n-1),其中2n-1部分可以理解为等差数列,2^(n-1)部分可以理解为等比数列.编辑本段举例例如：求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2；当x不等于1时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)]-(2n-1)*x^n；化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2编辑本段错位相减法解题错位相减法是求和的一种解题方法.在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用.这是例子（格式问题,在a后面的数字和n都是指数形式）：S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）在（1）的左右两边同时乘上a.得到等式（2）如下：aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）用（1）—（2）,得到等式（3）如下：（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式.（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S 的通用公式了.例子:求和Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x的n-1次方（x不等于0）当x=1时,Sn=1+3+5+…..+(2n－1)=n^2;; 当x不等于1时,Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x 的n-1次方所以xSn=x+3x^2+5x^3+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方所以两式相减的(1－x)Sn=1+2x(1+x+x^2+x^3+...+x的n-2次方)－(2n-1)·x的n次方.化简得：Sn=(2n-1)·x地n+1次方－(2n+1)·x的n次方+(1+x)/(1-x)平方Cn=(2n+1)*2^n Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n 2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 两式相减得-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和) =(1-2n)*2^(n+1)-2 所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2 错位相减法这个在求等比数列求和公式时就用了Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n 两边同时乘以1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）两式相减1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) Sn=1-1/2^n。
高中数学一轮复习之数列求和之倒序相加与错位相减法
cn＋1－ cn＝ 2.
所以数列 { cn} 是以首项 c1＝1，公差 d＝ 2 的等差数列，故 cn＝2n－ 1.
(2)由 bn＝ 3n－1 知 an＝ cnbn＝ (2n－ 1)3n－1 ， 于是数列 { an} 前 n 项和 Sn＝ 1·30＋3·31＋ 5·32＋ … ＋ (2n－ 1) ·3n－1 ， 3Sn＝ 1·31＋ 3·32＋ … ＋ (2n－ 3) ·3n －1＋ (2n－ 1) ·3n， 相减得－ 2Sn＝ 1＋ 2·(31＋ 32＋ … ＋3n－ 1)－ (2n－ 1) ·3n＝－ 2－(2n－ 2)3n，所以 Sn＝ (n－ 1)3n＋ 1.
（Ⅰ）求数列 { an } 的通项公式；
（Ⅱ）设 bn
1 ， Tn 是数列 {bn} 的前 n 项和，求使得 Tn
an an 1
m 对所有 n
20
N 都成立的
最小正整数 m；
6、 求数列 { 2n 1 3n} 前n项和 .
【变式探究】 数列 { an} 满足 a1＝ 1， nan＋ 1＝( n＋ 1)an＋ n(n＋ 1)， n∈ N*.
(1)证明：数列
an n
是等差数列；
(2)设 bn＝ 3n· an，求数列 { bn} 的前 n 项和 Sn.
【例
2】
பைடு நூலகம்
求证：
C
0 n
3C
1 n
5
C
2 n
(2n
1)
C
n n
(n 1)2 n
（Ⅰ）求
an 及 Sn ；（Ⅱ）令
1 bn= an 2
(n
1
N * ) ，求数列
bn 的前 n 项和 Tn ．
5、已知二次函数 y f ( x) 的图像经过坐标原点，其导函数为 f '( x) 6x 2 ，数列 { an } 的 前 n 项和为 Sn ，点 (n, Sn )( n N ) 均在函数 y f ( x) 的图像上。
高二年级数学 数列求和之错位相减法教学设计
qSn
b1c2 b2c3 b3c4 ... bn1cn bncn1
1 qSn b1c1 b2 b1 c2 b3 b2 c3 ... bn bn1 cn bncn1
设等差数列 bn 的公差为d，则上式又可化简为：
1 qSn b1c1 dc2 dc3 ... dcn bncn1
Sn (n 1)2n1 2
求和 232 433 634 ... 2n 13n 2n3n1
解： Sn 2 32 4 33 6 34 ... 2n 1 3n 2n 3n1
3Sn
2 33 4 34 6 35 ... 2n 1 3n1 2n 3n2
两式相减得：
1 1 ,3 1 ,5 1 (2n 1 1 )
248
2n
an
(1) n1
2n 2 n1
1
.
2 , 4 , 6 , , 2n ,
2 22 23
2n
1,3a,5a 2 ,, (2n 1)a n1 (a 0)
若
，其中 bn 与 cn分别是
项数相同的等差数列和以q为公比的等比
数列。则该数列前n项和的展开式为:
2Sn 2 32 2 33 2 34 ... 2 3n1 2n 3n2
整理得：
Sn
2n 1 3n2
2
9
错位相减法
例2、求和 a+2a2+3a3+…+nan (n N *, a 0)
解：记sn=a+2a2+3a3+…+(n-1)an-1+nan
则asn= a2+2a3+…+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1
《数列求和---错位相减法》导学案(精)
《数列求和---错位相减法》导学案导学目标：
1.掌握等比数列的前n项和公式。
2.会用错位相减法求数列的和。
错位相减法
知识梳理
等比数列的通项公式
等比数列的前n项和公式
自我检测
一﹑求下列等比数列的前n项和
⑴⑵
二﹑求下列式子的值
⑶⑷
复习回顾：等比数列前n项和公式是如何推导出来的？
已知等比数列的首项是，公比是，求该数列的前n项和
探究错位相减法求和
例题：已知数列通项，求其前n项和.
基础变式
⑴.已知数列通项，求其前n项和.
⑵．已知数列通项，求其前n项和.
⑶．已知数列通项，求其前n项和.
提高变式
⑷．已知数列通项，求其前n项和.
⑸．已知数列通项，求其前n项和.
高考链接
（2012浙江19,14分）已知数列的前n项和为，且数列满足
1．求;
2．求数列的前n项和.
课后思考题
在数列中，已知，
⑴求证：数列是等差数列;
⑵设数列，求数列的前n项和.。
《数列求和之错位相减法》课件
2+n 2
( 1 )n1 2
课堂练习
求和：1 3 3 32 (2n 1) 3n
解：
记Sn 1 3 3 32 (2n 3) 3n1 (2n 1) 3n
3Sn 1 32 3 33 (2n 3) 3n (2n 1) 3n1
(2
2n)
3n1
故Sn 3 (1 n) 3n1
课堂总结
数列求和的新方法：错位相减法
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
通项公式是“等差×等比”型的数列
2、错位相减法的步骤是什么？
①展开：将Sn展开 ②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比 ③错位：让次数相同的相对齐 ④相减 ⑤解出Sn
变式训练
例：数列{an}的通项公式an n，
求数数列列{b{n}a的n }通项 的公 前式n项bn和 2n bn
课堂练习 解：an bn
n 2n
n (1)n 2
Tn
1 1 2 (1)2 3 (1)3 +L
2
2
2
(n 1) ( 1 )n1 n ( 1 )n
两式相减得
2Sn 1 3 2 32 2 3n (2n 1) 3n1
2Sn 3 2 （32 3n ) (2n 1) 3n1
3
2
32
3n 3 13
(2n
1) 3n1
6
相 减
法
复习回顾： 等比数列前n项和的求和公式
总结：用“错位相减法”求和的数列特征：
可以求形如
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什么样的数列求和可以用“错位相减法”
若 这数 两列个数{ 列a n 为} 的等对差应数项列乘，积数组列成的{ b n新} 为数等列比{a数n 列 bn，} 由求
和时，常采用“错位相减”法
问:下面可以用错位相减法求数列的前n项和的有哪些？
(1)an n.2n
(2)11 2,31 4,51 8K(2n121n)
化简整理得:
Sn
9910n119n1
10
第二步，上式左右两边乘以等比数列公比 9
10
9 10
Sn
2 9 2 3 9 3 4 9 4 . .n . 9 n n 1 9 n 1
101010 10 10
第三步，两式进行错位相减得：
1 1S n 0 2 1 9 0 1 9 20 1 9 30 .. . 1 9 . .n0 .n 1 1 9 n 0 1
校：昌邑市文山中学 主讲人：于新伟
学习目标
能理解错位相减法，并能够正确地应用错位相 减法求数列的前n项和。
等比数列前n项和公式的推导
① ② ① -② 得
这种推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法，注意“错 位”、“相减”的含义，它蕴含了化无限为有限的数学思 想方法。
s 第五步：化简整理得 n
练一练
已知数列an(n1)(1 9)0 n,求 {an}的n项 前 Sn和 .
2020/7/2
解：第一步，写出该数列求和的展开等式
S n 2 1 9 0 3 1 9 2 0 4 1 9 3 0 .. .n . 1 9 . .n 1 0 n 1 1 9 n0
项乘积组成的新数列 {a n bn }
第二步：写出 {an bn } 前n项和的展开式，即 s n a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 L a n b n
第三步在 第二步所得式子的两边同乘以公比q，
第四步：第2步与第3步所得的两式相减。相减之后，撇开第一项和最后一项，中 间的所有项组成了一个公比为q的等比数列，对其使用等比数列求和公式求和。
(3)an
2n 1 3n
(4)an 2n n
答案（1） (3)
例题解析
一、观察：是否符合使用
求 数 列 {n21n}的 前 n项 和
分 析 ： 设 ann21n,其 中 {n}为 等 差 数 列 ， {21n}为 等 比 数 列 ， 公 比 为 1， 可 用 错 位 相 减 法 。
2
例题解析
二、写出求和的展开式
1 2sn1 22 1 2+2 1 3 L2 1 nn2 1 n 1
化简整理，得：s n = 2 -
1 2 n 1
-
n 2n
sn
n2 2- 2n
小技巧:验证n=1
小结：“错位相减法”的解题步骤
第其一中步数：列观{ a 察n }通为项等是差否数满列足，{a数n b列n}
的
{bn
}
形式， 为公比为q等比数列，由这两个数列的对应
例 ： 求 数 列 {n1}的 前 n项 和
三、 ①
2n
式两边乘以公比，得②式
解 ： 设 sn 1 1 2 + 2 2 1 2+ 3 2 1 3 L n 2 1 n
①
四、两式先错位后相减
1 2 sn
① -② 得 五、化简整理得
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11
1 2 2+ 2 2 3 L (n 1 ) 2 n n 2 n 1 ②