第14讲 整式的乘法期末复习培优专题
新人教版八年级数学第十四章整式乘法与因式分解复习
学习必备 欢迎下载第14章整式的乘法与因式分解复习一、知识网络结构图同底数幂的乘法法则： a m ·a n ＝a m ＋ n (m ，n 都是正整数 ) 幂的运算法则幂的乘方法则： (am )n＝ amn(m ，n 是正整数 )积的乘方法则： (ab)n ＝ a n b n (n 是正整数 )整式的乘法整 式乘法公式的 乘除 与 因 式 公 整式的除法解单项式乘以单项式法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加平方差公式： (a ＋b)(a － b)＝a 2－b2完全平方公式： (a ＋ b)2＝ a 2＋ 2ab ＋b 2，(a － b)2＝ a 2－ 2ab ＋b 2同底数幂的除法法则： mnm － na ÷ a ＝ a(a ≠0，m ，n 都是正整数且 m ＞n)零指数幂的意义： a 0＝1(a ≠ 0)单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式因式分解平方差公式： 方法公式法完全平方公式a 2－b 2＝ (a ＋ b)(a －b)2＋2ab ＋ b 22a ＝ (a ＋b) a 2 －2ab ＋ b 2＝ (a －b)2二、典型例题幂的运算法则及其逆运用例1 计算2 x3 · － x ２ ＝ ．( 3 )例 2 计算 [ a 4( a 4－4a) － ( － 3a 5) 2÷ ( a 2) 3] ÷( －2a 2 ) 2整式的混合运算例 3计算 [( a －2b)(2 a － b) －(2a ＋ b) 2＋ ( a ＋b)( a －b) － (3 a) 2 ] ÷ ( －2a) ．因式分解例 4 分解因式．3x ＋x ＋2－ ．(1) m － m ；(2)( 2)(3)＋ x4转化思想 例 5 分解因式 a 2－ 2ab ＋b 2－c 2整体思想例 6 (1) 已知 x ＋ y ＝ 7， xy ＝12，求 ( x －y) 2；(2) 已知 a ＋b ＝ ，a －b ＝ ，求 ab 的值．8 2开放型题例 7 （ 2009·吉林中考）在三个整式 x 2 2xy, y 22xy, x 2 中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分 解 .规律探究题例 8 如图 15－ 5 所示，摆第 1 个“小屋子”需要 5 枚棋子，摆第 2 个需要枚棋子，摆第 3 个需枚棋子，按这种方式摆下去，摆第 n 个这样的 “小屋子”需要枚棋子．例 9 (1) 计算． ①( a － 1)( a ＋1) ；②( a － 1)( a 2＋ a ＋ 1) ；③( a － 1)( a 3＋ a 2 ＋a ＋1) ；④( a － 1)( a 4＋ a 3 ＋a 2＋a ＋1) ．(2) 根据 (1) 中的计算，你发现了什么规律 ?用字母表示出来．(3)根据 (2) 中的结论，直接写出下题的结果．①( a － 1)( a 9＋ a 8 ＋a 7＋a 6＋ a 5＋a 4＋a 3＋a 2 ＋a ＋ 1) ＝；②若 ( a －1) ·M ＝a 15－ ，则 M ＝；1③( a － b a 5＋ a 4 b ＋ a 3b 2 ＋a 2b 3＋ab 4＋b 5 )＝；x － )( x 4＋ x 3＋ x 2＋ x ＋④(2 1)(16 1) ＝；8 4 2三、训练题一、选择题1 ．计算 ( a 3)2 的结果是( )A ． a 5B ． a 6C ．a 8D ． a 92 ．下列运算正确的是( )A ． a 2· a 3 ＝a 4B ．( －a) 4 ＝a 4C ． a 2＋ a 3 ＝a 5－xD ．( a 2) 3＝a 53 ．已知 x － y ＝－ ，则＋ 3y 的值是 ( )3 35A ． 0B ．2C ．5D ．8．若 m ＋n ＝ ，则22 － 的值为4 m ＋ mn ＋ n6( )3 24 2A ． 12B ．6C ．3D ．05．如图 15－4 所示，在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形( a ＞b ) ，把余下的部分拼成一个矩形， 根据两个图形中阴影部分的面积相等， 可以验证 ()A ． ( a ＋b) 2＝a 2＋2ab ＋ b 2B ． ( a －b) 2＝a 2－2ab ＋ b 2C ． a 2－ b 2 ＝( a ＋ b)( a － b)D ． ( a ＋2b)( a － b) ＝a 2＋ ab －2b 26 ．下列各式中，与 ( a － b) 2 一定相等的是 ( )A ． a 2＋ ab ＋b 2B ．a 2－b 22C ． a 2＋ b 2D ．a 2－ ab ＋ b 0．已知 x ＋ y ＝－ ，xy ＝ ，则 x 2＋ y 2 的值为 27( )5 6A ． 1B ．13C ．17D ．25 8 ．下列从左到右的变形是因式分解的是( )A ． ma ＋mb － c ＝ m a ＋ b － c()B ． ( a －b)( a 2＋ab ＋b 2) ＝a 3－b 3C ． a 2－ ab ＋b 2－ ＝ a a － b ＋(2b ＋1)(2 b －1)441 y ( x 4 ) yD ． x 2－ y 2＝(2 x ＋)(2－)4 25 5 59．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 ( )A ．－ a 2＋b 2B ．－ a 2－b 2C ．a 2＋b 2D ．a 3－b 310 ．如果 ( x －2)( x － 3) ＝x 2＋ px ＋q ，那么 p ，q 的值是 ()A ． p ＝－ ，q ＝6B ．p ＝ ，q ＝－651C ． p ＝ ，q ＝6D ．p ＝ ，q ＝－615二、填空题mn3m ＋ 2n ＝．11．已知 10 ＝2，10 ＝3，则 10x －y 12 ．当 x ＝ ，y ＝1时，代数式( x ＋ y)( ) ＋y 2的值是．．若 a － 3b －b ＝ ，ab ＝－ ，则(a ＋1)(1) ＝．13123．14．分解因式： 2m －8m ＝．已知 y＝ 1 x － ，那么 1 x 2－ xy ＋ y 2 － 2 的值为 ．153132316 ．计算： 5752×12－ 4252×12＝．17．若 (9 n ) 2 ＝38，那么 n ＝．k 的值为18．如果 x 2 ＋ kx ＋81是一个完全平方式，那么．219．多项式x 2＋1加上一个单项式后， 使它成为一个整式的完全平方式， ．那9么加上的单项式是．( 填一个你认为正确的即可 )20．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，222我们可以得到两数和的平方公式： （ a+b ） =a +2ab+b ．你根据图乙能得到的数学公式是 _________________三、解答题21．化简． (1)－( m －2n) ＋ 5( m ＋4n) －2( －4m － 2n) ；(2)3(2x ＋1)(2 x － 1) －4(3 x ＋2)(3 x －2) ；(3)20002－1999×2001．22 ．分解因式．22－ mn n －m ； (1)mn m － n() 4 ()(2)( x ＋ y) 2＋64－16( x ＋y) ．23．已知 a，b 是有理数，试说明 a2＋ b2－2a－4b＋8 的值是正数．24．先化简，再求值： ( a＋b)( a－b) ＋ (4 ab3－8a2 b2) ÷4ab，其中 a＝ 2， b＝ 1．25．给出三个多项式：1x2 2 x 1 ，1x24x 1，1x22x ．请选择你最喜欢222的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．26．如图15－ 6所示，有一个形如四边形的点阵，第l 层每边有两个点，第 2 层每边有三个点，第 3 层每边有四个点，以此类推．(1)填写下表；层数123456各层对应的点数所有层的总点数(2)写出第 n 层对应的点数；(3)写出 n 层的四边形点阵的总点数；(4)如果某一层共有 96 个点，你知道是第几层吗 ?(5)有没有一层点数为 100?。
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
整式的乘法 期末复习一等奖优质课件
乘法公式： 平方差公式
(a b)(a b) a2 b2
其中a, b既可以是数,也可以是代数式.
文字法则：两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差。
乘法公式： 完全平方公式
(a b)2 a2 b2 2ab
其中a, b既可以是数,也可以是代数式.
解：原式（3 3）×_(a2 a)×_(b4 b3)×_cc22
82
1 abc2 4
“多÷单”法则
法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的
每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 举例：计算（12x4 8x3 x2 ) 2x2
解：原式 (12x4 2x2 ) (-8x3 2x2 ) (x2 2x2 )
当x
=
16x2 7x
- 1 时，原式=
2 16
（-
1
）2
7
（-
1
）-
2
-
19
2
2
2
2
（必须写出
代入过程）
二.考点讲练 <二>练功房
1.下列多项式乘法中，不可用平方差公式计算的
是（ D ）
A.
B.
C.
D.
2.若
，则
__-_1___.
3.若a+b=10，ab=1，则（a-2）(b-2)=_-_1_5
举例：计算：3a(5a 2b)
解：原式 3a 5a 3a (2b) 15a2 （ 6ab） 15a2 6ab
“多×多”法则：
法则： 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的
每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加
北京大学附属中学八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》(培优提高)
一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A ．248a a a •=B ．352()a a =C ．236()ab ab =D ．624a a a ÷= 2．根据等式：()()2111x x x -+=-，()()23111,x x x x -++=-()()324111x x x x x -+++=-，()()4325111,x x x x x x -++++=-……的规律，则可以推算得出2021202020192222...221++++++的末位数字是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7 3．若3a b +=-，10ab =-，则-a b 的值是（ ）A ．0或7B ．0或13-C ．7-或7D ．13-或13 4．当代数式2()2020x y ++的值取到最小．．时，代数式222||2||x y x y -+-=……（ ） A ．0 B ．2- C ．0或2- D ．以上答案都不对 5．如表，已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则m +n ＝（ ）A ．1B ．2C ．5D ．7 6．已知： 13m m +=， 则： 331m m +的值为( ) A ．15B ．18C ．21D ．9 7．计算()201920180.52-⨯的值（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 8．在下列的计算中正确的是（ ）A ．23a ab a b ⋅=；B ．()()2224a a a +-=+；C ．235x y xy +=；D ．()22369x x x -=++ 9．下列计算正确的是（ ）A ．（a +b ）（a ﹣2b ）＝a 2﹣2b 2B ．（a ﹣12）2＝a 2﹣14C ．﹣2a （3a ﹣1）＝﹣6a 2+aD ．（a ﹣2b ）2＝a 2﹣4ab +4b 210．下列运算正确是（ ）A ．b 5÷b 3＝b 2B ．（b 5）3＝b 8C ．b 3b 4＝b 12D ．a （a ﹣2b ）＝a 2+2ab 11．计算2019202040.753⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．43 B ．43-C ．0.75D ．-0.75 12．下列计算正确的是（ ） A ．()222x y x y +=+ B ．()32626m m =C ．()2224x x -=-D ．()()2111x x x +-=- 13．若|m ﹣3n ﹣2019|＝1，则（2020﹣m +3n ）2的值为（ ） A ．1B ．0C ．1或2D ．0或4 14．下列运算正确的是（ ）． A ．236x x x =B ．2242x x x +=C ．22(2)4x x -=-D ．358(3)(5)15a a a --=15．a ，b ，c 在数轴上的位置如下图所示，则下列代数式中值为正的是（ ）A ．()()1a c b --B ．()11c a b c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1a a c b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭D ．()1ac bc -二、填空题16．若2330x x --=，则()()()123x x x x ---的值为______．17．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示．例如，对于多项式42()5f x mx nx x =+++，当2x =时，多项式的值为(2)1647f m n =++，若(2)10f =，则()2f -的值为_________．18．观察下列各式： 2(1)(1)1x x x -+=-；()23(1)11x x x x -++=-； ()324(1)11x xx x x -+++=-； …… （1）()432(1)1x x x x x -++++=___；（2）根据规律可得：()1(1)1n x x x --+++=_____（其中n 为正整数）；（3）计算：()5049482(31)333331-++++++； 19．若231m n -=，则846m n -+=________．20．对于有理数a ，b ，定义min{,}a b 的含义为：当a b <时，min{,}a b a =；当a b >时，min{,}a b b =．例如：min{1,22}-=-，min{3,1}1-=-．已知min{21,}21a =，min{21,}b b =，且a 和b 是两个连续的正整数，则a+b =_____．21．已知2m n +=，2mn =-，则(1)(1)m n --=________．22．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第6个图形需要黑色棋子的个数是______，第n 个图形需要的黑色棋子的个数是______．（n 为正整数）23．如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式______．24．已知香蕉，苹果，梨的价格分别为a ，b ，c （单位：元/千克）、用20元正好可以买三种水果各1千克：买1千克香蕉，2千克苹果，3千克梨正好花去42元，若买b 千克香需w 元，则w =___________．（结果用含c 的代数式表示）25．分解因式3225a ab -=____．26．分解因式：2a 2﹣8＝______．三、解答题27．（1）计算：()()()()23232121a a a a a -++-+-（2）分解因式：244xy xy x -+ 28．若x 满足()()944x x --=，求()()2249x x -+-的值． 解：设9,4x a x b -=-=，则()()944x x ab --==，()()945a b x x +=-+-=， 222222(9)(4)()252417x x a b a b ab ∴-+-=+=+-=-⨯=请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x 满足()()522x x --=，求()()2252x x -+-的值； （2）若x 满足()()632x x --=，求()()2263x x -+-的值； （3）已知正方形ABCD 的边长为x ，E ，F 分别是AD DC 、上的点，且1AE =，3CF =，长方形EMFD 的面积是48，分别以MF DF 、为边作正方形，求阴影部分的面积．29．计算：（1）x2·x（2）（x3）5（3）（-2x3）230．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图①可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．请解答下列问题：（1）写出由图②可以得到的数学等式；（2）利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac 的值；（3）可爱同学用图③中x个边长为a的正方形，y个宽为a，长为b的长方形，z个边长为b的正方形，拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝．。
2020年中考数学复习 第14章 整式的乘法与因式分解(专题复习讲义)
第十四章整式的乘法与因式分解知识点1 整式乘法单项式×单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘法易错点：典例1 计算：x•（﹣2x2）3=_____．【答案】﹣4x7【解析】分析：直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以单项式计算得出答案．标准解答：x•（﹣2x2）3=x•（﹣8x6）=﹣4x7．故答案为：﹣4x7．典例2 如果单项式－22x2m y3与23x4y n＋1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是______. 【答案】－32x8y6【标准解答】由题意可得，解得m=2，n=2，则这两个单项式的积为：－22x4y3×23x4y3=－32x8y6.故答案为－32x8y6.【点睛】本题考查了同类项和同底数幂的乘法，解此题的关键在于根据题意得到两个单项式为同类项，则相应字母的指数相等，求得指数的值，再根据同底数幂的乘法法则求解即可.典例3 有理数a，b，满足，=________；【答案】6【标准解答】∵|a-b-2|+（2a+2b-8）2=0，∴a-b-2=0，2a+2b-8=0，解得：a=3，b=1，则（-ab）•（-b3）•（2ab）=a2b5=×9×1=6．故答案为：6典例4 如果x n y4与2xy m相乘的结果是2x5y7，那么mn=_____．【答案】12【解析】，∴n+1=5，m+4=7，解得：m=3，n=4，∴mn=12．故答案为：12．单项式×多项式单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加【单项式乘以多项式注意事项】1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。
2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。
（同号相乘得正，异号相乘得负）3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。
人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习教学课件
考点二 整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练
正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－8)
B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ )
4 x
归纳总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆 运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求 分解到每一个因式都不能再分解为止.
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较大小：420与1510. 解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=（42）10=1610， ∵1610>1510,
=a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9. (3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
=(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
11.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992； (2)999×1 001. 解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1) ＝10002－1 ＝999999.
人教版八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解复习课件
课程标准
本章知识梳理
1.能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和
一次式与二次式的乘法).
2.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公
式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理.
3.能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过两次)进行因式
分解(指数是正整数).
知识导航
同底数幂的乘法：am·an=am+n（m,n都是正整数） 幂的乘方：(am)n=amn（m,n都是正整数） 整式的 积的乘方：(ab)n=anbn（n是正整数） 乘法 单项式与单项式相乘：ambn·ab=am+1bn+1(m,n都是正整数) 单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc 多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
＝(4+x2)(2+x)(2-x).
易错典例
易错点7：错误运用整体思想分解因式 【例7】分解因式：(m+n)2－4(m+n)+4. 错解：许多同学对此题束手无策，或误解为原式=(m+n)(m+n－ 4)+4. 错解分析：公式中的字母可以表示任何数、单项式或多项式.要 避免把公式中的字母看成一个数的局限性.此题可以把m+n看作一 个整体. 正解：原式=(m+n－2)2.
续表
提公因式法:ma+mb=m(a+b)
因式分解
平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b) 公式法
完全平方公式法：a2±2ab+b2=(a±b)2
八年级数学上册第十四章整式的乘法因式分解复习课件
乘法公式
理解并掌握平方差公式和完全平方 公式，能运用公式进行简单的计算。
因式分解
了解因式分解的概念和意义，掌握 提公因式法和公式法（平方差公式、 完全平方公式）进行因式分解。
易错难点提示及注意事项
乘法运算中漏项或错项
在整式的乘法运算中，要确保每一项都与另一项相乘，不漏乘任 何一项，同时要注意符号的处理。
给出适用于分组分解法的多项式，让 学生自主进行分组和因式分解，理解 分组分解法的原理。
公式法
提供适用于公式法的多项式例子，让 学生自主进行因式分解，熟悉公式法 的运用。
综合应用练习题
整式的乘法在实际问题中的应用
通过实际问题背景，让学生自主建立整式乘法模型并进行计算，培养学生运用数学知识解 决实际问题的能力。
注意事项
相乘时，要注意运算顺序和符号的处理。
举例
$2x(x^2+3x-1)=2x^3+6x^2-2x$
多项式与多项式相乘
运算规则
多项式与多项式相乘时，将一个多项式的每一项与另一个多项式 的每一项相乘，再把所得的积相加。
注意事项
相乘时，要防止漏乘和符号的处理。
举例
$(x+2)(x-3)=x^2-x-6$
例题3
计算$(a+b)^2$和$(a-b)^2$，并比较结果
因式分解典型例题
例题1
因式分解$x^2-9$
例题2
因式分解$x^2-2x-15$
例题3
因式分解$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$， 并比较结果
综合应用典型例题
01
02
03
例题1
已知$a+b=5$，$ab=6$， 求$a^2+b^2$和$(ab)^2$的值
北京裕中中学八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点(培优提高)
一、选择题1．将4个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义ac b d=ad －bc ．上述记号就叫做2阶行列式，若11x x +-11x x -+=12，则x=( )．A ．2B ．3C ．4D ．6 2．多项式2425a ma ++是完全平方式，那么m 的值是（ ）A ．10±B ．20±C ．10D ．203．下列因式分解正确的是（ ）A ．m 2+n 2=(m+n)(m-n)B ．a 3-a=a(a+1)(a-1)C ．a 2-2a+1=a(a-2)+1D ．x 2+2x-1=(x-1)24．对于①2(2)(1)2x x x x +-=+-，②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A ．都是因式分解B ．都是乘法运算C ．①是因式分解，②是乘法运算D ．①是乘法运算，②是因式分解 5．下列运算正确的是（ ） A ．()23636a =B ．()()22356a a a a --=-+C ．842x x x ÷=D ．326326x x x ⋅=6．已知3x y +=，1xy =，则23x xy y -+的值是（）A ．7B ．8C ．9D ．127．当代数式2()2020x y ++的值取到最小．．时，代数式222||2||x y x y -+-=……（ ） A ．0 B ．2- C ．0或2- D ．以上答案都不对8．下列计算正确的是（ ） A ．（a +b ）（a ﹣2b ）＝a 2﹣2b 2 B ．（a ﹣12）2＝a 2﹣14C ．﹣2a （3a ﹣1）＝﹣6a 2+aD ．（a ﹣2b ）2＝a 2﹣4ab +4b 2 9．数151025N =⨯是（ ） A ．10位数 B ．11位数C ．12位数D ．13位数10．已知1x x+=1x x -的值为（ ）A B ．2±C ．D 11．下列计算正确的是（ ） A ．()222x y x y +=+ B ．()32626m m =C ．()2224x x -=-D ．()()2111x x x +-=-12．计算()()202020213232-⨯的结果是( )A ．32-B ．23-C ．23D ．3213．若|m ﹣3n ﹣2019|＝1，则（2020﹣m +3n ）2的值为（ ） A ．1B ．0C ．1或2D ．0或414．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：-a b ，x y -，x y +，+a b ，22x y -，22a b -分别对应下列六个字：通、爱、我、昭、丽、美、现将()()222222xy a x y b ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．我爱美丽B ．美丽昭通C ．我爱昭通D ．昭通美丽 15．下列运算正确的是（ ）A ．x 2·x 3=x 6B ．(x 3)2=x 6C ．(-3x)3=27x 3D ．x 4+x 5=x 9二、填空题16．2007200820092()(1.5)(1)3⨯÷-＝_____．17．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示．例如，对于多项式42()5f x mx nx x =+++，当2x =时，多项式的值为(2)1647f m n =++，若(2)10f =，则()2f -的值为_________．18．若2211392781n n ++⨯÷=，则n =____．19．对于2(34)x y --的计算，追风学习小组进行了激烈的讨论，①小杰说只能用公式()2222a b a ab b -=-+；②小聪说可以看成普通的多项式乘以多项式即(34)(34)x y x y ----；③小懿说可以用公式222()2a b a ab b +=++但要看准谁是a 谁是b ；④小王说口算就是22916x y +；⑤小亮说可以转化计算2(34)x y +，你认为谁的说法正确请写出序号____． 20．分解因式323a a -=____．21．已知23x y -=，则432x y --=________． 22．已知,a b 满足1,2a b ab -==，则a b +=____________ 23．已知4222112x x +-⋅=，则x ＝________ 24．因式分解：33327xy x y -=______．25．如图：一块直径为+a b 的圆形钢板，从中挖去直径分别为a 与b 的两个半圆，则剩下的钢板面积为______．26．若代数式23y y +-的值为0，则代数式3242020y y ++的值为___________．三、解答题27．阅读材料：把形2ax bx c ++的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即()2222a ab b a b ±+=±．请根据阅读材料解决下列问题：（1）填空：244a a -+=__________．（2）先化简，再求值：()()()33242a b a b a b abab +-+-÷，其中a b 、满足2226100a a b b ++-+=．（3）若a b c 、、分别是ABC ∆的三边，且222426240a b c ab b c ++---+=，试判断ABC ∆的形状，并说明理由．28．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：2222221()()()2x y z xy yz xz x y y z x z ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁、美观． （1）请你检验说明这个等式的正确性；（2）若ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，当222a b c ab bc ca ++=++时，试判断ABC 的形状；（3）若327a b -=，227a c -=，且22241abc ++=，求22ab bc ac ++的值． 29．计算：（1）化简：()()()222a a b a b a b +-+-（2）因式分解：244x y xy y ++30．在通常的日历牌上，可以看到一些数所满足的规律，表①是2020年12月份的日历牌．星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25262728 293031（表①）（1）在表①中，我们选择用如表②那样22⨯的正方形框任意圈出22⨯个数，将它们先交叉相乘，再相减．如：用正方形框圈出3,4,10,11四个数，然后将它们交叉相乘，再相减，即3114107⨯-⨯=-或4103117⨯-⨯=．请你用表②的正方形框任意圈出22⨯个数，将它们先交叉相乘，再相减．列出算式并算出结果（选择其中一个算式即可)． （2）在用表②的正方形框任意圈出的22⨯个数中，将它们先交叉相乘，再相减．若设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字，列出算式并算出结果（选择其中一个算式即可)．（3）若选择用表③那样33⨯的正方形方框任意圈出33⨯个数，将正方形方框四角．．．．位置上的4个数先交叉相乘，再相减，你发现了什么．选择一种情况说明理由．。
14章整式的乘法复习课件
(5)(2x y)( x2 2xy y2)
(6)x2(x 1) 2x(x2 2x 2)
【精炼反馈】
基础部分（一）
１. a12=[a( 4 )]3=[a( 3 )]4 ２. (2x-3)(x-2)= 2x2-7x+6 ３. (y4)3÷(-y2)5= y2
（二）计算：
1. (6/5)2008 ×(5/6)2009=(6/5×5/6)2008×5/6=5/6 2. [(-xy2)3]3+[(-xy2)2]3 =-x9y18+x6y12 3. (x-3)(x-3) + 4 =-x2-6x+13 4. (2x-3y)(2x-3y) =4x2-12xy+9y2
通过计算观察他们的结果，你能发现其中的规律 吗？
知识拓展
1.（1）9x2-y2； （2）4a2-b2
2.（1）4x2-4xy+y2 ；（2）a2 +2ab+b2
规律：
（1）两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的 平方差 （2）两数差的平方等于这两个数的平方和减去这两 个数积的2倍 （3）两数和的平方等于这两个数的平方和加上这两 个数积的2倍
复习课
【学习目标】
1.灵活运用幂的运算法则及逆运算进行计算. 2.熟练地进行单项式与多项式的乘法运算. 3.正确运用零指数幂及负指数幂的意义，培养学生
合 情推理的能力. 4.会用科学记数法表示绝对值小于1的非零数. 5.在进行整式乘法的运算过程中，发展抽象概括能力.
知识回顾：
1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
能力提高部分
一、计算：
1. 若4m·8m-1÷2m=512,求m的值. 2. (-6x2)2+(-3x)3·x 3. y(y2+1)-y2(y-3)-3(y2-y)
培优专题整式的乘法
培优专题整式的乘法整式的乘法培优训练教师寄语：任何的限制，都是从自己的内心开始的。
忘掉失败，不要牢记失败中的教训。
知识精要】1、幂的运算性质a^m\times a^n=a^{m+n}$a^m)^n=a^{mn}$ab)^m=a^mb^m$dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$a^p)^q=a^{pq}$dfrac{a}{b})^p=\dfrac{a^p}{b^p}$2、整式的乘法公式：a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$3、科学记数法：$a\times 10^n$4、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数相乘，字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
5、单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
6、多项式与多项式相乘：先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
7、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
8、多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所得的商相加。
例题】已知$x^2+8x=15$，求$(x+2)(x-2)-4x(x-1)+(2x+1)^2$的值。
练】1.若$a^2-2a-4=0$，求代数式$[(a+1)(a-1)+(a-2)^2-3]\div2$的值。
2.已知$x^2-x-1=0$，求$(x+2)(x-2)+(x-3)^2-x(x-5)$的值。
3.已知$x^2+3x-9=0$，求$(x+1)^2+(x+3)(x-3)-x(x-1)$的值。
4.已知$x^2-2x=2$，求代数式$(x-1)^2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)$的值。
5.已知$x^2-3x=1$，求$(x+2)(x-2)+(x-2)^2+(x-4)(x-1)$的值。
第14讲-整式的乘法期末复习培优专题
第14讲 整式的乘法期末复习培优专题一、知识点：1. 幂的运算性质（其中m 、n 、p 都为正整数）：1.m n m n a a a +⋅=2．()m n mn a a =3．()n n n ab a b = 4．m n m n a a a -÷=5．011(0)(0)p pa a a a a -=≠=≠， 2. 整式的乘法3．乘法公式：⑴()()22b a b a b a -=-+. ⑵()2222b ab a b a +±=±⑶()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++ ⑷()()3322b a b ab a b a ±=+±⑸()3223333b ab b a a b a ±+±=±专题一 ：幂的运算性质及其逆用例、1、计算⑴（-0.125）2013× 82014＝_______ 2001100021()(2)34-⋅＝_______________ ⑵200120022003113(1)(1)()345⋅-⋅-＝____________________ 2、（1）若10x =2 ,10y =3，求103x+2y 和102x-3y 的值。
(2)若的值。
，求正整数n n 24n 21682=⋅⋅（3）若的值。
，求b a b a 2395110,2010÷==专题二、整式的乘法及除法例1计算（1）35433660)905643(ax .ax .x a x a ÷-+- (2）)250(241)2)(5(54423x .x x x x -⋅-⋅--(3))13)(25()13)(34()2)(1(3---+-+-+x x x x x x（4）2[()(2)8]2x y y x y x x +-+-÷错误!未找到引用源。
；(5))(5)2()3(22x y x y x y x -++--专题三：乘法公式的灵活运用例1. 1．多项式x 2－8x ＋k 2是一个完全平方式，则k ＝______．2．-+=+222)1(1xx x x ______＝2)1(x x -＋______． 3.如果a (a －1)＋(b －a 2)＝－5，则a 2＋b 22－ab 的值＝______．4.已知x ＋1x ＝4，则 (1)x 2＋1x 2＝______；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝______. 5.已知x 2－7x ＋1＝0，则x 2＋x －2的值＝______．6.．若9x 2＋4y 2＝（3x ＋2y ）2＋M ，则 M 为（ ）A ．6xyB ．－6xyC ．12xyD ．－12xy例2计算：（1）20172 －2015×2019 （2）错误!未找到引用源。
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第14讲 整式的乘法期末复习培优专题一、知识点：1. 幂的运算性质（其中m 、n 、p 都为正整数）：1.m n m n a a a +⋅=2．()m n mn a a =3．()n n n ab a b = 4．m n m n a a a -÷=5．011(0)(0)p pa a a a a -=≠=≠， 2. 整式的乘法3．乘法公式：⑴()()22b a b a b a -=-+. ⑵()2222b ab a b a +±=±⑶()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++ ⑷()()3322b a b ab a b a ±=+± ⑸()3223333b ab b a a b a ±+±=±专题一 ：幂的运算性质及其逆用例、1、计算⑴（-0.125）2013× 82014＝_______ 2001100021()(2)34-⋅＝_______________ ⑵200120022003113(1)(1)()345⋅-⋅-＝____________________ 2、（1）若10x =2 ,10y =3，求103x+2y 和102x-3y 的值。
(2)若的值。
，求正整数n n 24n 21682=⋅⋅（3）若的值。
，求b a b a 2395110,2010÷==专题二、整式的乘法及除法例1计算（1）35433660)905643(ax .ax .x a x a ÷-+- (2）)250(241)2)(5(54423x .x x x x -⋅-⋅--(3))13)(25()13)(34()2)(1(3---+-+-+x x x x x x（4）2[()(2)8]2x y y x y x x +-+-÷错误！未找到引用源。
；(5))(5)2()3(22x y x y x y x -++--专题三：乘法公式的灵活运用例1. 1．多项式x 2－8x ＋k 2是一个完全平方式，则k ＝______．2．-+=+222)1(1xx x x ______＝2)1(x x -＋______． 3.如果a (a －1)＋(b －a 2)＝－5，则a 2＋b 22－ab 的值＝______．4.已知x ＋1x ＝4，则 (1)x 2＋1x 2＝______；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝______. 5.已知x 2－7x ＋1＝0，则x 2＋x －2的值＝______．6.．若9x 2＋4y 2＝（3x ＋2y ）2＋M ，则 M 为（ ）A ．6xyB ．－6xyC ．12xyD ．－12xy例2计算：（1）20172 －2015×2019 （2）错误！未找到引用源。
（3）20052－4010×2006＋20062 （4）()()()()248163212121211++++-例3若的值。
，求满足，，abc c bc ab c b a c b a 0962222222=+---++专题四： 因式分解的综合运用例1把下列各式因式分解（1）n 2（m ﹣2）﹣n （2﹣m ） （2）1)2(6)2(92+-+-b a b a（3）3222)(3)(a b b a --- （4）22222)(624b a b a +-（5）81721624+-x x（6）a 2﹣4a+4﹣b 2 （7）（x ﹣1）（x ﹣3）+1 （8）（x 2－2）2－（x 2－2）－2例2若a 、b 、c 为△ABC 的三边长，判断代数式()2222224a b c a b +--的正负。
专题五:整式的除法问题例若3223+-kx x 被12+x 除后余2,求k 的值.变式题组：01．若123+++ax ax x 被2-x 除的余数是3，则a ＝ .02．若42323+++nx mx x 能被652+-x x 整除，则m ＝ .n ＝ . 03.若多项式c bx ax x x +++-234能被()31-x 整除，则a ＋b ＋c ＝ . 演练巩固·反馈提高1．下列各题中，计算正确的是（） A ．322366()()m n m n --= B ．322331818[()()]m n m n --=-C ．2222398()()m n mn m n --=-D ．232399()()m n mn m n --=-2.下列计算正确的是（ ）A ．()()x x x x x x 41281324232---=-+∙-B ．()()3322y x y x y x +=++C ．()()21611414a a a -=-∙--D ．()242222y xy x y x +-=-3．在①()()632-=-+x x y x ；②()()191313222-=-+m m m ；③()423123-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+pq q p 中运算错误的个数是（ ）A ．0B ．1C ．1或5D ．±1或±54．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）A ． 1B ．1C ．2D ．35．下列计算正确的是（ ）A ．()2222b ab a b a +-=--B ．()222b a b a -=-C ．()()()4422y x y x y x y x -=--+D ．()()224422b ab a a b b a -+-=--6．下列关系式不成立的是（ ）A ．()()ab b a b a 2222-+=+B ．()()ab b a b a 2222+-=+C ．()()()222222b a b a b a -++=+D ．()()222b a b a ab --+=7．已知长方形的面积为a ab a 2642+-，且一边长为2a,则其周长为（ ）A . b a 34-B . b a 68-C . 134--b aD . 268+-b a8．下列命题中，正确的个数是（ ）（１）m 为正奇数时，一定有等式(4)4m m -=-（２）等式(2)2m m -=，无论m 为何值时都不成立（３）三个等式：236326236()()[))]a a a a a a -=-=--=，，（（都不成立；（４）两个等式：3434(2)2m m m m x y x y -=-，3434(2)2n n n n x y x y -=-都不一定成立.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．已知131-=x y ，那么2323122-+-y xy x 的值为__________10．若=+==+22,1,3b a ab b a 则 ;a-b=11、当2x =时，代数式31ax bx -+的值等于17-，那么当1x =-时，代数式31235ax bx --的值 .12、若3a =-，25b =，则20072006a b +的个位数字是 .解答题1． 若规定一种运算“*”：a *b ＝(a ＋2)(b ＋5)－(a ＋3)(b ＋4).试化简（m －1）*(n ＋1).2．若A ＝－2xy ,B ＝2332443141y x y x y x -+-,求B ÷A 2的值.3、甲乙同学分解因式：2mx ax b ++，甲看错了a 分解结果为：()()219x x --，乙看错了b 分解结果为：()()224x x --，你能确定正确的结果吗？4.试求(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(2128+1)+1的个位数字．5、已知：()222,2m n n m m n =+=+≠，求：332m mn n -+的值．整式乘除培优检测一、选择题。
1．下列各式是完全平方式的是（ ）A ．x 2-x+14B ．4x 2+1C ．a 2+ab+ b 2D ．x 2+2x -12．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．(x -2y) (2y +x)B ．(-2y -x) (x +2y)C ．(x -2y) (-x -2y)D ． (2y -x) (-x -2y)3．下列计算正确的是（ ）A ．a 6÷a 2=a 3B ． a 4÷a=a 4C ．(-a) 2÷(-a 2)=aD ．(-a)3÷(-a) 2=a4．从左到右的变形属于因式分解的是（ ）A ．(x+1) (x -1) =x 2-1 Ｂ．)11(22222xx x x +=+C ．x 2-4y 2=(x+4y) (x -4y)D ．x 2-x -6=(x +2) (x -3)5． 若M ＝(a ＋3)(a －4)，N ＝(a ＋2)(2a －5)，其中a 为有理数，则M ，N 的大小关系是 ( ) A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．无法确定6.使得381n +为完全平方数的正整数n 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题。
1．计算：(-x -3)2=_______________；2．正方形面积为)0,0(2212122>>++b a y xy x 则这个正方形的周长是3.计算：(3)(－ab )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25a 2b －12a 3b 2－16a 4b 3÷(－0.5a 2b ) =_______________； 4．已知多项式2223286x xy y x y +--+-可以分解为(2)(2)x y m x y n ++-+的形式， 那么3211m n +-的值是______ 5．对于一个正整数n ，如果能找到a 、b ，使得n ＝a ＋b ＋ab ，则称n 为一个“好数”，例如：3＝1＋1＋1×1，3就是一个好数，在1~20这20个正整数中，好数有_______个三．解答、认真观察下列二项式乘方展开式的系数规律与贾宪三角形，你就会发现他们有着紧密的联系并有一定的规律可寻。
(a +b)0=1 1 ……………第0行 (a +b)1=a +b 1 1 ………… 第1行 (a +b)2=a 2+2ab +b 2 1 2 1 …………第2行 (a +b)3= a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 1 3 3 1 ………第3行 (a +b)4= a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4 1 4 6 4 1 ……第4行 (a +b)5= a 5+5a 4b+10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5 1 5 10 10 5 1……第5行 ⑴根据你观察到的规律，先写出贾宪三角形的第6行：___________________________；再写出(a +b)6的展开式： (a +b)6=_______________________________________； ⑵用你所学的知识验证(a +b)3= a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 ；⑶在贾宪三角形中，假定最上面的数字1作为第0行，将每一行的数字相加，则得数字串： 1， 2， 8， 16， 32，……，请你根据这串数字的规律，写出第n 行的数字和：___________， 除此之外，我们还能发现很多数字规律，请你找一找，然后根据规律写出(a +b)50展开式中a 49b 的项的系数。