运筹学_03对偶问题和灵敏度分析_
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运筹学 第3章 LP的对偶问题与灵敏度分析
原问题目标函数的系数是其对偶问题约束条件 的右端项。
可用如下表格来表示：
对 b1 y1
偶 问 题
b2 y2 ..
（..
求 ..
极 bm ym 小） 右端项
原问题（求极大）
c1
c2
…
cnΒιβλιοθήκη x1x2…
xn
a11
a12
…
a1n
a21
a22
… a2n
.
.
.
.
.
…
.
.
.
.
am1
am2
…
amn
≥ c1
≥ c2
解：当λ1=λ2=0时，上述LP问题的最终单纯形表如 上表所示。 （i）对基变量x1的目标函数系数进行灵敏度分析： 将λ1的变化反映到最终单纯形表中：
设产品Ⅰ的计划产量为x1，产品Ⅱ的计划产 量为x2， 则有线性规划问题LP1：
目标函数： max
约束条件：
s.t.
z 50x1 100x2
x1 x2 300 2x2x12x520 400 x1, x2 0
现假定有另一八卦机器厂，该厂的规模较小一些， 想租用阴阳厂的设备进行生产。那么阴阳厂的领导应 该给自己的设备制定一个怎样的出租价格呢？
(B, N ) ( X B , X N )T X S b
即： Z CB X B CN X N
(4)
BXB NX N X s b
(5)
式（5）两端左乘B-1得：
X B B1NX N B1X s B1b
由式（6）得：
X B B1b B1NX N B1X s
A (B, N)
(6)
s.t. 3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30 x1 0, x2无约束, x3 0
可用如下表格来表示：
对 b1 y1
偶 问 题
b2 y2 ..
（..
求 ..
极 bm ym 小） 右端项
原问题（求极大）
c1
c2
…
cnΒιβλιοθήκη x1x2…
xn
a11
a12
…
a1n
a21
a22
… a2n
.
.
.
.
.
…
.
.
.
.
am1
am2
…
amn
≥ c1
≥ c2
解：当λ1=λ2=0时，上述LP问题的最终单纯形表如 上表所示。 （i）对基变量x1的目标函数系数进行灵敏度分析： 将λ1的变化反映到最终单纯形表中：
设产品Ⅰ的计划产量为x1，产品Ⅱ的计划产 量为x2， 则有线性规划问题LP1：
目标函数： max
约束条件：
s.t.
z 50x1 100x2
x1 x2 300 2x2x12x520 400 x1, x2 0
现假定有另一八卦机器厂，该厂的规模较小一些， 想租用阴阳厂的设备进行生产。那么阴阳厂的领导应 该给自己的设备制定一个怎样的出租价格呢？
(B, N ) ( X B , X N )T X S b
即： Z CB X B CN X N
(4)
BXB NX N X s b
(5)
式（5）两端左乘B-1得：
X B B1NX N B1X s B1b
由式（6）得：
X B B1b B1NX N B1X s
A (B, N)
(6)
s.t. 3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30 x1 0, x2无约束, x3 0
运筹学 03 对偶理论及灵敏度分析
目标函数取值 变量 目标函数系数 常数 约束条件系数 变量 - 约束 约束 - 变量
例2：将下述线性规划作为原问题，请转换为 对偶问题 max z=5x1+3x2+2x3+4x4 5x1+x2+x3+8x4≤8 2x1+4x2+3x3+2x4=10 x1≥0,x2≥0,x3任意,x4任意
1 对偶理论
对偶问题的提出 原问题与对偶问题的数学模型 原问题与对偶问题的对应关系 对偶问题的基本性质 影子价格 对偶单纯形法
对偶问题的提出
例1：某厂利用现有资源(设备A、设备B、 调试工序)生产两种产品(产品Ⅰ、产品Ⅱ)，有 关数据如下表。问如何安排生产，使厂家利润 最大？ 产品Ⅰ 产品Ⅱ 资源限量 0 5 15 6 2 24 1 1 5 2 1
CX*=bTY*
从弱对偶性可得到以下重要结论： (1)极大化问题(原问题)的任一可行解所对应的目 标函数值是对偶问题最优目标函数值的下界。 (2)极小化问题(对偶问题)的任一可行解所对应的 目标函数值是原问题最优目标函数值的上界。 (3)若原问题可行，但其目标函数值无界，则对偶 问题无可行解。 (4)若对偶问题可行，但其目标函数值无界，则原 问题无可行解。 (5)若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则 原问题目标函数值无界。 (6)对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对 偶问题的目标函数值无界。
原问题与对偶问题的数学模型
原问题 max z=2x1+x2 5x2≤15 6x1+2x2≤24 x1+x2≤5 x1,x2≥0 互为对偶问题 厂 家 对偶问题 min w=15y1+24y2+5y3 6y2+y3≥2 5y1+2y2+y3≥1 y1,y2,y3≥0
运筹学第三章 对偶问题与灵敏度分析
x2 3x3 4x4 5
2x1 3x2 7x3 4x4 2
x1 0，x2 0, x3、x4无约束
答案： 1. max W 2 y1 3 y2 5 y3
2y1 3y2 y3 2
35yy11
y2 7y2
4y3 6y3
2 4
y1 0,y2 .y3 0
2. max W 3 y1 5 y2 2 y3
对偶理论与灵敏度分析
❖ 线性规划的对偶问题 ❖ 对偶问题的基本性质 ❖ 影子价格 ❖ 对偶单纯形法 ❖ 灵敏度分析
3.1 线性规划的对偶问题
一、问题的提出 回顾例题1
例1 某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品（假定产
品畅销）。已知生产单位产品的利润与所需的劳动力、设备
台时及原材料的消耗，如表1.1所示
y3
2 3 5 1 无约束
课堂练习
1. min Z 2x1 2x2 4x3
2x1 3x2 5x3 2
3x1 x2 7 x3 3
x1 4x2 6x3 5
x1, x2 , x3 0
2. min Z 3x1 2x2 3x3 4x4
x1 2x2 3x3 4x4 0
CB XB b
0 x4 60 0 x5 10 0 x6 20
检验数j
CB XB b
0 x4 2 x1 -1 x2
检验数j
课堂练习
2 -1 1
x1
x2
x3
311 2 -1 2 1 1 -1
2 -1 1
x1
x2
x3
000 x4 x5 x6 100 010 001
00 0 x4 x5 x6 1 -1 -2 0 1/2 1/2 0 -1/2 1/2
运筹学 第2章对偶问题与灵敏度分析
可得到
(2) (2) 1 0 a13 a1 m (2) (2) 0 1 a23 a2 m E2 E1 A 0 0 a( 2 ) a( 2 ) m3 mm
14
重复以上的步骤，直到获得
1 1 Em E2 E1 A I 1
18
（4）基变换计算 将新的基 P3 , P4 , P2 单位矩阵。计算：
1 / 2 2 1 / 2 1 P2 0 1 0 ；构造E1 1 0 4 1/ 4 1 / 4 主元素
换入变量
22
确定换出变量
B11b i 1 min B P 0 1 1 1 B P 1 1 i 2 16 3 min , , 2 对应x3 1 4 0
23
由此得到新的基
B2 P 1, P 4, P 2 1 1 B1 P 1 4 0 1 1 0 0 2 4 E2 4 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1/ 2 1 1 B2 E2 B1 4 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1/ 4 1 0 1/ 2 4 1 2 0 0 1/ 4
1 0 1 / 2 1 0 0, 0 ( 2 ,0,3 ) 4 1 3 0 0 0 0 1 / 4 0 1 2 , 1 / 4 对应 x3 , x5
正检验数 换入变量
27
确定换出变量
1 B2 b i 1 m in B 1P B2 P5 0 2 5 i 2 8 3 m in , , 4 对应x4 1/ 2 2 1/ 4
运筹学 对偶理论和灵敏度分析
对偶理论和灵敏度分析
1.单纯形的矩阵描述
用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的 表达式,设线性规划的标准型为 maxz=CX AX=b X≥0
C=(CB,CN)，X=(XB,XN)’，A=(B,N)
由约束条件AX=(B,N)(XB,XN)=BXB+NXN=b，可以得 到用非基变量表示基变量的表达式:
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
' ' - a 1k / alk ' ' - a 2k / alk ... ' 1 / alk ... ' ' - a mk / alk
3对偶理论
某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间生产，最 后都需在C车间装配，相关数据如表所示： 问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 工时单耗 生产能力 产品 甲 乙 车间 A 1 0 8 B 0 2 12 C 3 4 36 单位产品获利 3 5 • maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
(4)影子价格在资源采购决策中的应用。
当资源的市场价格低于影子价格，企业买进该资源，扩 大生产，当资源的市场价格高于影子价格，企业应设法转让 该资源。
(5)利用影子价格分析工艺改变后对资源节约的收益。 例如设工厂现有钢材100吨，其影子价格为3/4，采用新 工艺后，钢材可以节约2%，则由此带来的经济收益为：
(3)影子价格在新产品开发决策中的应用。 产品 资源 A B 影子价格(万元)
钢材 煤 机时
单位利润(万元)
1.单纯形的矩阵描述
用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的 表达式,设线性规划的标准型为 maxz=CX AX=b X≥0
C=(CB,CN)，X=(XB,XN)’，A=(B,N)
由约束条件AX=(B,N)(XB,XN)=BXB+NXN=b，可以得 到用非基变量表示基变量的表达式:
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
' ' - a 1k / alk ' ' - a 2k / alk ... ' 1 / alk ... ' ' - a mk / alk
3对偶理论
某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间生产，最 后都需在C车间装配，相关数据如表所示： 问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 工时单耗 生产能力 产品 甲 乙 车间 A 1 0 8 B 0 2 12 C 3 4 36 单位产品获利 3 5 • maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
(4)影子价格在资源采购决策中的应用。
当资源的市场价格低于影子价格，企业买进该资源，扩 大生产，当资源的市场价格高于影子价格，企业应设法转让 该资源。
(5)利用影子价格分析工艺改变后对资源节约的收益。 例如设工厂现有钢材100吨，其影子价格为3/4，采用新 工艺后，钢材可以节约2%，则由此带来的经济收益为：
(3)影子价格在新产品开发决策中的应用。 产品 资源 A B 影子价格(万元)
钢材 煤 机时
单位利润(万元)
运筹学第三章 对偶问题和灵敏度分析
对偶理论与灵敏度分析
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析
3.1 线性规划的对偶问题
一、问题的提出 回顾例题1
例1 某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品（假定产
品畅销）。已知生产单位产品的利润与所需的劳动力、设备
台时及原材料的消耗，如表1.1所示
项目
基变量 非基变量
CB XB Cj-Zj
B-1 b
XB Ⅰ 0
表2.5
XN B-1 N CN－CB B-1 N
XS B-1Ⅰ - CB B-1
初始单纯形表:
项目
非基变量
XB
XN
B-1 0 XS
b
B
N
Cj-Zj
CB
CN
B1 p1p2...pn
基变量
XS Ⅰ 0
项目
基变量 非基变量
XB
CB XB B-1 b
x 1 , x 2 , x 3 0
2.
m in Z 3 x1 2 4 x4 0
x2 3 x3 4 x4 5
2
x
1
3 x2
7 x3
4 x4
2
x 1 0 ， x 2 0 , x 3、 x 4 无 约 束
答 案 ：1 . m a x W 2 y 1 3 y 2 5 y 3
2y1 3y 2 y3 2
3 5
y y
1 1
y2 7y2
4y3 6y3
2 4
y 1 0 , y 2 . y 3 0
2 .m ax W 3 y1 5 y 2 2 y3
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析
3.1 线性规划的对偶问题
一、问题的提出 回顾例题1
例1 某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品（假定产
品畅销）。已知生产单位产品的利润与所需的劳动力、设备
台时及原材料的消耗，如表1.1所示
项目
基变量 非基变量
CB XB Cj-Zj
B-1 b
XB Ⅰ 0
表2.5
XN B-1 N CN－CB B-1 N
XS B-1Ⅰ - CB B-1
初始单纯形表:
项目
非基变量
XB
XN
B-1 0 XS
b
B
N
Cj-Zj
CB
CN
B1 p1p2...pn
基变量
XS Ⅰ 0
项目
基变量 非基变量
XB
CB XB B-1 b
x 1 , x 2 , x 3 0
2.
m in Z 3 x1 2 4 x4 0
x2 3 x3 4 x4 5
2
x
1
3 x2
7 x3
4 x4
2
x 1 0 ， x 2 0 , x 3、 x 4 无 约 束
答 案 ：1 . m a x W 2 y 1 3 y 2 5 y 3
2y1 3y 2 y3 2
3 5
y y
1 1
y2 7y2
4y3 6y3
2 4
y 1 0 , y 2 . y 3 0
2 .m ax W 3 y1 5 y 2 2 y3
运筹学对偶灵敏
(1)
(2)
1
由于第一个约束条件-y1-2y2≥1是矛盾不等式，
2
所以对偶问题(2)无可行解。
5
所以原问题(1)无有限最优解，即目标函数无上界。
4
因此，原问题(1)不可能有最优解，但是，原问题(1)有可行解，
3
根据对偶问题的强对偶性可知，若原问题(1)有最优解，则对偶问题(2)一定也有最优解。
对偶问题的解在经济学上称为原问题的资源的影子价格，为什么呢？ 单纯形表中目标值为：z = CBB-1b 检验数为：σN= CN－CBB-1N 其中都有乘子Y=CBB-1，Y的经济学意义是什么？
第2章例1的最终单纯形表(P41) max z = 2x1 + 3x2
cj→
2
3
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
2
x1
4
1
0
0
1/4
0
0
x5
4
0
0
-2
1/2
1
3
x2
2
0
1
1/2
-1/8
0
-z
-14
0
0
-3/2
-1/8
0
从最终单纯形表可知，第i种资源的影子价格就是对应的原问题松弛变量的检验数的相反数。即y1*=3/2，y2*=1/8，y3*=0。
27/4
-1/4
0
0
-9/4
0
比值θi
1
—
—
9
—
-1
y1
5
1
0
-4
1
0
-3
y2
(2)
1
由于第一个约束条件-y1-2y2≥1是矛盾不等式，
2
所以对偶问题(2)无可行解。
5
所以原问题(1)无有限最优解，即目标函数无上界。
4
因此，原问题(1)不可能有最优解，但是，原问题(1)有可行解，
3
根据对偶问题的强对偶性可知，若原问题(1)有最优解，则对偶问题(2)一定也有最优解。
对偶问题的解在经济学上称为原问题的资源的影子价格，为什么呢？ 单纯形表中目标值为：z = CBB-1b 检验数为：σN= CN－CBB-1N 其中都有乘子Y=CBB-1，Y的经济学意义是什么？
第2章例1的最终单纯形表(P41) max z = 2x1 + 3x2
cj→
2
3
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
2
x1
4
1
0
0
1/4
0
0
x5
4
0
0
-2
1/2
1
3
x2
2
0
1
1/2
-1/8
0
-z
-14
0
0
-3/2
-1/8
0
从最终单纯形表可知，第i种资源的影子价格就是对应的原问题松弛变量的检验数的相反数。即y1*=3/2，y2*=1/8，y3*=0。
27/4
-1/4
0
0
-9/4
0
比值θi
1
—
—
9
—
-1
y1
5
1
0
-4
1
0
-3
y2
3对偶问题与灵敏度分析
例一、用对偶单纯形法求解：
min Z 9 x1 12 x2 15 x3
2 x1 2 x2 x3 10
2
x1
3 x2
x3
12
x1 x2 5 x3 14
x j 0( j 1.2.3)
解：将模型转化为 max Z 9x1 12x2 15x3
2 x1 2 x2 x3 x4
显然，工厂给这些生产要素定价，既要保证自己的利益， 又要使自己的价格具有竞争力
价格越低 越好
价格越高 越好
供给-需求函数
P
需求
均衡点
供给 Q
一个合理的定价是：收取的加工费不能低于自己 生产所得收益，在此前提下使总加工费尽量小。 即：
Min w=360y1+200y2+300y3
s.t. 9y1+4y2+3y3≥70 4y1+5y2+10y3≥120 y1,y2≥0
若 X(0),Y(0) 分别为（LP）和（DP）的可
行解，那么 CX(0)≤ Y(0)b。
(证明)
该定理说明：如果原问题 是最大化问题，则它的任 意可行解对应的目标函数 值都会小于等于其对偶问 题(极小化)的任一可行解 对应的目标函数值
例如
Max z=2x1+2x2-4x3
s.t. X1+3x2+3x3≤30 4x1+2x2+4x3≤80 X1,x2,x3≥0
若其中一个问题有最优解，则另一个问 题也有最优解，且两者最优值相等
证明
定理5（互补松弛定理）
原问题及其对偶问题的可行解X(0)和Y(0) 是最优解的充要条件是：
Y(0)XS=0，YSX(0)=0
XS,YS分别为原问题松弛向量和对偶问题剩余向量
运筹学：第1章 线性规划 第3节 对偶问题与灵敏度分析
s.t.
4x1 3x1
5x2 200 10x2 300
x1, x2 0
9x1 4x2 360
s.t.
34xx11
5x2 10 x
200 2 300
3x1 10x2 300
x1, x2 0
则D为
min z 360y1 200y2 300y3 300y4
9 y1 4 y2 3y3 3y4 7 s.t.4 y1 5y2 10 y3 10 y4 12
amn xn bm ym xn 0
机会成本 a1 j y1 a2 j y2 aij yi amj ym
表示减少一件产品所节省的可以增加的利润
（3）对偶松弛变量的经济解释——产品的差额成本
机会成本
利润
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1
st
a12
y1
a1n y1
max z CX
（P）
AX b
s
.t
.
X
0
（D）
min w Yb
s.t.
YA C Y 0
• （2）然后按照（D）、（P）式写出其对偶
例：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z 2x1 3x2
min w 3 y1 5y2 1y3
x1 2x2 3 y1 0
s.t.
2xx11
例如，在前面的练习中已知
max z 2.5x1 x2 的终表为
3x1 5x2 15 s.t.5x1 2x2 10
x1, x2 0
0 x3 9 2.5 x1 2
0 19 1 - 3
5
5
1
2
0
1
5
第三章-对偶理论及灵敏度分析3课件
二、原问题与对偶问题的数学模型
继续
三、原问题与对偶问题的对应关系
返回
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
一、对偶问题的提出
对
偶 问
实例：某家电厂家利用现有资源生产两种
题
产品， 有关数据如下表：
上页 下页 返回
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
第三章 对偶理论及灵敏度分析
3.1.1 线性规划对偶问题 3.1.2 对偶问题的基本性质 3.1.3 影子价格 3.1.4 对偶单纯形法 3.2.1 灵敏度问题及其图解法 3.2.2 灵敏度分析 3.2.3 参数线性规划
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
3.1.1 线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
下页
(Y1,Y2
)
A A
C
返回
Y1 0 ,Y2 0
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
对 偶 问
(mY1inwY2 )(YA1YC2 )b
题
Y1 0, Y2 0
令 YY1 ，Y 得2对偶问题为：
上页
下页
maYxA
w C
Yb
返回
Y无约束
证毕。
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
三、原问题与对偶问题的对应关系
设备B –––– 元／y时2
问 题
调试工序 –––– 元y／3时
付出的代价最小，
且对方能接受。
上页
下页
出让代价应不低于
返回
用同等数量的资源
收
对偶问题与灵敏度分析
②告诉经营者以怎样的代价去取得紧缺资源。 ③提示设备出租或原材料转让的基价。 ④告诉经营者补给紧缺资源的数量，不要盲目大量补给。 ⑤借助影子价格进行内部核算。
第一讲 对偶理论
解释例1的对偶问题的数学模型
Max Z= 3x1 +5 x2
x1
≤8
S.t.
2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36
x1 , x2 ≥0
第一讲 对偶理论
一、对偶问题
• 对原企业而言，它用于出租或转让的资源收益不应 低于自行生产产品所获得的利润，才肯出租或转让。
• 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题：
①如何合理安排生产，取得最大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=6，Z*=42。
(3) 按照θ=Min{j /alj | alj<0 }= k /alk确定xk进基变量。 (4) 以alk为主元素，按单纯形法的方法进行迭代，得到新的表重复
(2).
第一讲 对偶理论
例题：使用对偶单纯形法
• Min W= 8y1+12y2+36y3
y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3 S.t. 0y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 5
此时，同时达到最优解
j 1
i 1
Z bi
*
yi*
bi为第i种资源的拥有量
• 说明yi是右端项bi每增加一个单位的第i种资源对目标函数Z的贡献。 • 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。
• 对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际价值，称为影子价值。
第一讲 对偶理论
解释例1的对偶问题的数学模型
Max Z= 3x1 +5 x2
x1
≤8
S.t.
2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36
x1 , x2 ≥0
第一讲 对偶理论
一、对偶问题
• 对原企业而言，它用于出租或转让的资源收益不应 低于自行生产产品所获得的利润，才肯出租或转让。
• 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题：
①如何合理安排生产，取得最大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=6，Z*=42。
(3) 按照θ=Min{j /alj | alj<0 }= k /alk确定xk进基变量。 (4) 以alk为主元素，按单纯形法的方法进行迭代，得到新的表重复
(2).
第一讲 对偶理论
例题：使用对偶单纯形法
• Min W= 8y1+12y2+36y3
y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3 S.t. 0y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 5
此时，同时达到最优解
j 1
i 1
Z bi
*
yi*
bi为第i种资源的拥有量
• 说明yi是右端项bi每增加一个单位的第i种资源对目标函数Z的贡献。 • 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。
• 对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际价值，称为影子价值。
运筹学——对偶问题与灵敏度分析幻灯片PPT
产品A 产品B 资源限制
劳动力
9
4
360
设备
4
5
200
原材料
3
10
300
单位利润 70
120
OR1
18
Cj
CB XB
0 X3 0 X4 0 X5
σj
0 X3 0 X4 120 X2
σj
70 X3 1200 X1
X2 σj
OR1
b
360 200 300 0
240 50 30 3600
84 20 24 4280
〔1〕根据LP问题，列出初始单纯形表。检查b列的数字， 假设都为非负，检验数都为非正，那么已得到最优解， 停顿计算。假设检查b列的数字时，至少还有一个负分 量，检验数保持非正，那么进展以下计算。
〔2〕确定换出变量：将B-1b中最小的负分量所对应的 变量确定为换出变量。
〔3〕确定换入变量：检查换出变量所在行〔第L行〕的
〔3〕在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形 法，这样可使问题的处理简化。
OR1
29
2.2灵敏度分析〔考研时常考的知识点〕
灵敏度分析通常有两类问题：①是当C,A,b 中某一局部数据发生给定的变化时，讨论 最优解与最优值怎么变化；②是研究 C,A,b中数据在多大范围内波动时，使原 有最优基仍为最优基，同时讨论此时最优 解如何变动？
OR1
22
对偶单纯形法
设有问题maxZ=CX ，
AX ＝b ，
X ≥0
又设B是其一个基，当非基变量都为0时， 可以得到XB=B-1b。假设在B-1b中至少有 一个负分量，设第i个为负分量，并且在单 纯形表的检验数行中的检验数都为非正，
这种情况就可以用对偶单纯形法来进展求 解。
劳动力
9
4
360
设备
4
5
200
原材料
3
10
300
单位利润 70
120
OR1
18
Cj
CB XB
0 X3 0 X4 0 X5
σj
0 X3 0 X4 120 X2
σj
70 X3 1200 X1
X2 σj
OR1
b
360 200 300 0
240 50 30 3600
84 20 24 4280
〔1〕根据LP问题，列出初始单纯形表。检查b列的数字， 假设都为非负，检验数都为非正，那么已得到最优解， 停顿计算。假设检查b列的数字时，至少还有一个负分 量，检验数保持非正，那么进展以下计算。
〔2〕确定换出变量：将B-1b中最小的负分量所对应的 变量确定为换出变量。
〔3〕确定换入变量：检查换出变量所在行〔第L行〕的
〔3〕在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形 法，这样可使问题的处理简化。
OR1
29
2.2灵敏度分析〔考研时常考的知识点〕
灵敏度分析通常有两类问题：①是当C,A,b 中某一局部数据发生给定的变化时，讨论 最优解与最优值怎么变化；②是研究 C,A,b中数据在多大范围内波动时，使原 有最优基仍为最优基，同时讨论此时最优 解如何变动？
OR1
22
对偶单纯形法
设有问题maxZ=CX ，
AX ＝b ，
X ≥0
又设B是其一个基，当非基变量都为0时， 可以得到XB=B-1b。假设在B-1b中至少有 一个负分量，设第i个为负分量，并且在单 纯形表的检验数行中的检验数都为非正，
这种情况就可以用对偶单纯形法来进展求 解。
运筹学对偶理论与灵敏度分析
y3 2 2 y2 y3
－4
y1－y2
y3
1
y1 0, y2 0, y3无约束
10
2、对偶问题的基本定理
（1）（对称性）对偶问题的对偶是原问题。
（2）（弱对偶定理）若X (0)是原问题的可行解，Y(0)是对偶问题的可行解， 则有C X (0) ≤Y(0)b。
( 3）（无界性）若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题） 无可行解。
11
（1）（对称性）对偶问题的对偶是原问题。
证：设原问题是
max Z=C X； AX≤b； X ≥0
其对偶问题为
min W= Y b； YA ≥ C； Y ≥ 0
两边取负号，因min W＝ max（-W），得到
max（-W）= -Y b；-YA ≤ -C，Y ≥ 0
对称变换，上式的对偶问题是
min(w) CX ;AX b; X 0
13
（3）（无界性）若原问题（对偶问题）为无界解，
则其对偶问题（原问题）无可行解。
证：由弱对偶性C X (0) ≤Y(0)b，显然得。
注意：不存在逆。 当原问题（对偶问题）无可行解时，其对偶问题（原 问题）或具有无界解或无可行解。
第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
第一节 线性规划的对偶理论
1
一、对偶问题的提出
在同一企业的资源状况和生产条件下产生的，且是同 一个问题从不同角度考虑所产生的，因此两者密切相 关-----两个LP问题是互为对偶
max S 2
3
x1 x2
y1
minW 15
12
14
y2
y3
6
对于一般情况下线性规划问题如何写出对偶问题。对于等 式约束可以把它写成两个不等式约束，对于“≥”的不等式，可 以两边同乘“－1”，再根据对称形式的对偶关系写出对偶问题 ，然后进行适当的整理，使式中出现的所有系数与原问题中的 系数相对应。
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16
四、对偶问题的基本性质
[5. 无界性]
若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)为无可行解。
CX若其对偶问题有可行解，则: CXbTY
故原问题必将小于某个值，与原问题无界矛盾。
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17
四、对偶问题的基本性质
[6. 互补性]
m z a 2 x 1 x x 2 0 x 3 0 x 4 0 x 5
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第三讲
对偶问题与灵敏度分析
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对偶问题
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3
一、问题的提出
一般性的资源交易问题，见P70。
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3 2 6 0 1
free
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9
四、LP问题的矩阵表达
设经过若干次迭代之后，基变量为XB，XB在初始单纯型中对应的矩阵为B。
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10
B1bB1AX
cj
C
0
CBB1bCBB1AX
11
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cj
3
2
2
CB
基
b
x1
x2
x3
0
x4
(b)
1
1
1
0
x5
15
(a)
1
2
运筹学：对偶理论与灵敏度分析习题与答案
一、填空题1、对偶问题的对偶问题是（）。
正确答案：原问题2、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y﹡b。
正确答案：=3、若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX（）Yb。
正确答案：<=4、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y*b。
正确答案：=5、设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为（）。
正确答案：min=Yb YA>=c Y>=06、影子价格实际上是与原问题各约束条件相联系的（）的数量表现。
正确答案：对偶变量7、线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A，则其对偶问题的约束条件系数矩阵为（）。
正确答案：AT8、在对偶单纯形法迭代中，若某bi<0，且所有的aij≥0(j=1，2，…n)，则原问题（）。
正确答案：无解二、选择题1、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A. “≥”B. “≤”C. “>”D. “=”正确答案：A2、如果z*是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优目标函数值w﹡满足（）。
A.W﹡=Z﹡B.W﹡≠Z﹡C.W﹡≤Z﹡D.W﹡≥Z﹡正确答案：A3、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B4、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A.≥B.≤C. >D. =正确答案：A5、对偶单纯形法的迭代是从（）开始的。
A.正则解B.最优解C.可行解D.可行解正确答案：A6、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B7、线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对（）的影响。
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。
答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。
答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。
答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。
（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。
（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。
答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。
工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。
运筹学-对偶理论及灵敏度分析
1 − 2 ≥
1, 2 ≥ 0
max =
=
≥0
s.t.ቊ
原问题
原问题与对偶问题
综上所述，我们可以归纳
原问题与对偶问题
= 21 + 32
1 + 22 ≤ 8
41
≤ 16
s. t.
42 ≤ 12
1 , 2 ≥ 0
min = 81 + 162 + 123
恒有cx≤ yb
③最优性：x是原问题的可行解，y是对偶问题的可行
解，且有cx=yb，则x是原问题的最优解，y是对偶问题
的最优解
④强对偶性：若原问题及对偶问题均有可行解，
则两者均具有最优解，且最优解的目标函数值相同
⑤松紧定理：在线性规划问题的最优解中，对应
某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取
40
X1
15
1
3/2
0
-1/2
1/2
0
0
X5
9
0
3/2
0
-3/2
1/2
1
50
x2
15/2
0
-1/4
1
3/4
-1/4
0
用x1‘替换x1
以x1‘作为换入变量，x1作为换出变量
灵敏度分析
增加一个约束条件的变化
计划生产如下所示：
产品
资源
产品A
产品B
资源总量
煤
1
2
30
劳动日
3
2
60
仓库
0
2
24
利润
40
50
产品A、B增加一道检验程序，A检测3小时/件，B检测2小时/件，
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（4）主对偶定理 若原问题和对偶问题两者皆可行,则两者均有最优解,且此时目标函数值相等。 证明分两部分
引例：经营策略问题。甲工厂有设备和原料A、B 这些设备和原料可用于Ⅰ、Ⅱ两种产品的加
工，每件产品加工所需机时数，原料A、B消耗量，每件产品的利润值及每种设备的可利 用的机时数如下表。现在乙厂和甲厂协商，打算租用甲厂的设备购买资源A和B 。问甲 厂采取哪种经营策略，是自己生产产品还是出租设备、出让原材料？如果出租设备、出 让原材料，在和乙厂协商时出租设备和出让原材料A,B的底价应是多少？
• 将(1)式代入目标函数的表达式,可以得到用非基变量表示目标函数的表达式.
• Z=CX=(CB,CN)(XB,XN)T=CBXB+CNXN
• =CB(B-1b-B-1NXN)+ CNXN
• =CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
• =CBB-1b+σNXN
σN= CN-CBB-1N
• 注意XB检验数为零,实质上是CB-CBB-1B=0
• 对偶问题可能比原问题容易求解 • 对偶问题还有很多理论和实际应用的意义
例3-2： 原问题
对偶问题
非标准型的对偶变换
• 非对称形式的变换关系 • 原问题的约束条件中含有等式约束条件时，按以下步骤处理。 • 设等式约束条件的线性规划问题为
Slide 6
• 先将等式约束条件分解为两个丌等式约束条件
两图对比可明显看到原优解的性质(最优性准则定理)
若 是原问题的可行解， 是对偶问题可行解，当
,,
分别是相应问题的最优解
证：由弱对偶定理推论1，结论是显然的。
是使目标函数取最小值的解，因此是最优解 同理可证明:对于原问题的所有可行解 存在
也是最优解
-1
Bb
-1
-CBBb
单纯形表的矩阵描述
AX=(B,N)(XB,XN)T=BXB+NXN=b -Z+(CN-CBB-1N)XN=-CBB-1b
XB=B-1b-B-1NXN B-1BXB+ B-1NXN= B-1b
X(1) =（ B-1b ，0）
z=CBB-1b
• 注意:在初始单位矩阵的位置,在各运算表中就是B-1的所在位置
单纯形的矩阵描述
• 用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的表达式,设线性 规划的标准型为
max z= C X AX = b
C=(CB,CN),X=(XB,XN)T, A=(B,N)
X≥0
由约束条件 AX=(B,N)(XB,XN)T=BXB+NXN=b,可以得 到用非基变量表示基变量的表达式:
BXB=b-NXN XB=B-1b-B-1NXN (1)
Y ≥0
（2）弱对偶性:若X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解。则存在 CX Yb
对偶问题(min)的任何可行解Y，其目标函数值总是 丌小于原问题(max)任何可行解X的目标函数值
弱对偶定理推论
原问题的任何可行解目标函数值是其对偶问题目标函数值的下限；对偶问题的任 何可行解目标函数值是原问题目标函数值的上限 • 如果原(对偶)问题为无界解，则其对偶(原)问题无可行解 • 如果原(对偶)问题有可行解，其对偶(原)问题无可行解，则原问题为无界解 • 当原问题(对偶问题)为无可行解,其对偶问题(原问题)或具有无界解或无可行解
x1+x2- 3x3+x4≥5 2x1+2x3 -x4≤4 x2+ x3 +x4=6 x1 ≤0 ,x2, x3≥0, x4无约束
Slide 12
对偶问题
maxω=5y1+4y2+6y3
y1 +2y2 y1 + y3
≥
2
≤
3
-3y1+2y2+y3 y1-y2+y3
≤
-5
=
1
y1 ≥ 0， y2 ≤ 0, y3无约束
BI
……
I
-1
B
Slide 6
对偶问题的提出
• 对同一事物（或问题），从不同的角度（或立场）提出相对的两种不同的表述。 • 例如：在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系，有两种不同的表述方法。 • 周长一定，面积最大的矩形是正方形。 • 面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
ⅠⅡ
设备
原料A 原料B
128台时 4016kg 0412kg
盈利23
自己生产：
引例分析： 原问题
出售资源
• 设y1 ,y2和y3分别表示出租单位设备台时的租金和出让单位原材料A,B的附加额 • 工厂希望出售资源后所得不应比生产产品所得少 • 显然商人希望总的收购价越小越好
目标函数 min
ω=8y1+16y2+12y3
矩阵描述θ规则的表达式： XB=B-1b-B-1NXN
XB=B-1b-B-1NXN σ= C-CBB-1A
z z -1
0
X
RHS
C
0
A
b
z XB z -1 CB
0B
XN
RHS
CN
0
N
b
z XB z -1 CB
XB 0 I
XN CN
B-1N
RHS 0
B-1b
XB 0
I
-1
BN
Z -1
0
-1
CN-CBBN
对偶问题
用矩阵表示
线性规划的对偶理论
原问题与对偶问题的关系(对称形式)
原问题与对偶问题的对称形式
标准(max,)型的对偶变换
• 目标函数由 max 型变为 min 型 • 对应原问题每个约束行有一个对偶变量 yi，i=1,2,…,m • 对偶问题约束为 型，有 n 行 • 原问题的价值系数 C 变换为对偶问题的右端项 • 原问题的右端项 b 变换为对偶问题的价值系数 • 原问题的技术系数矩阵 A 转置后成为对偶问题的技术系数矩阵 • 原问题不对偶问题互为对偶
对偶问题的基本性质
• 为了便于讨论，下面丌妨总是假设
（1）对称性：对偶的对偶就是原问题
max z=CX
s.t. AX ≤ b X ≥0
对偶的定义
min ω=Yb s.t. YA≥ C
Y ≥0
min ω’=-CX s.t. -AX ≥ -b
X ≥0
对偶的定义
max z’=-Yb s.t. -YA ≤ -C
Slide 7
• 按对称形式变换关系可写出它的对偶问题 • 设yi′是对应(3-13)式的对偶变量，yi″是对应(3-14)式的对偶变量， i=1,2,…，m
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• 将上述规划问题的各式整理后得到
Slide 9
对偶变换的规则
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例3-3求线性规划问题的对偶问题
原问题
minz=2x1+3x2-5x3+x4