2010数理经济学讲义(林致远)参考答案

SFF
因为 F 是闭集，所以 S 是任意包含 S 的闭集的子集。 2.12 证明：集合 S 的内部等于集合 S 减去它的边界，即 int S S \ S 。 证明：任意的 x S 或者是内点或者是边界点。因此，S 的内部是集合 S 中所有的不是 边界点的点 x S
int S S \ b( S )
其次，假设 S 包含于开球 Br ( x) ，则对任意的 y, z S ，根据三角不等式
(y, z ) (y, x) (x, z ) 2r
因此 d ( S ) 2r ，从而集合是有界的。
2.14 证明：集合是闭的，当且仅它包含其边界。 证明：首先，假设 S 是闭的，即
(2) 所有实数序列的集合 x1 , x2 ,... ，对任意 i ， xi ； (3) 所有多项式 x a0 a1t a2t 2 an t n 的集合。
2.3 设 X 1 和 X 2 是线性空间，它们的乘积 X X 1 X 2 的加法和乘法定义如下：
( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) ( x1 y1 , x2 y2 )
S S b( S ) S
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这意味着 b( S ) S ，S 包含其边界。 其次，S 包含其边界，即 S b( S ) ，则有
S S b( S ) S
则 S 是闭集。 2.15 证明： 给定度量空间中的开球 Br (x ) ， 设 S 是与 Br (x ) 相交的直径小于 r 的子集， 则 S B2 r (x ) 。


(3)证明
x=y
x= x （ ）x x- x =0 给定 x 0, 则有 （ ）x 0x 即有 0，从而
(4) 证明
1
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（ ）x （ （ ））x （ ）x = x = x x
则所有的 x 属于 B(x , R 1) ，即证得有界性。
n N
2.20
证明： 中的单调序列收敛，当且仅当它是有界的。
n n n
证明：令 (x ) 表示 上的有界递增序列， S {x } 表示序列 (x ) 元素的集合。再令 b 表示 S 的最小上界。我们只需证明 x b 。
n
首先，注意到对任意的 n， x b （因为 b 是最小上界） 。同时，因为 b 是最小上界，
(5)证明
（x y) (x (1)y ) = x (1)y = x y
(6) 证明
0 (x (x)) = x ( x ) = x x
=0
2.2 证明下列集合是线性空间：(Expl.1.67~1.69) (1)
n 维实向量空间 n ；
x X
i I
(3) f F 2.5 n 是 的子空间吗？
n n 不是。 x n , x 0 x 。 是锥。
n
2.6 证明： S1 和 S2 是线性空间 X 的子空间，则它们之交 S1 S2 也是 X 的子空间。
x, y S S1 S 2 x, y S1 S1是线性空间 x y S1
同理， x y S 故 S 是子空间
2.7
证明：对任意 S T ，
(1) int S int T ； (2) S T 。 （1）证明 令 x int S ， 则 S 是 x 的一个邻域， 又 S T ， 所以 T 也是 x 的一个邻域， 从而 x 是 T 的一个内点，即证 int S int T 。 （2）证明 显然，如果 x S ，则有 x T T 。此外，如果 x S \ S ，则 x 是 S 的一个边界点。 因为任意 x 的邻域包含 S T 的点，所以 x T ，即证 S T 。
是 S 中最大的开集。 （2）证明 令 S 表示集合 S 的闭包。显然， S S 。再令 x 为 S 的一个闭包点，且 N 为 x 的一个 邻域。则有 N 包含一些其他的点 x ' x ，且 x ' 是 S 的闭包点。N 是 x ' 的一个邻域并且与 S 相交。因此 x 是 S 的一个闭包点。从而有 S S ，即有 S 为闭的。 设 F 包含 S 的一个闭子集，则有
( x1 , x2 ) ( x1 , x2 )
证明: X 是线性空间 证： X1 , X 2 是线性空间 x1 y1 X1 ， x2 y2 X 2 ( x1 y1 , x2 y2 ) X1 X 2 类似地，对 ( x1 , x2 ) X1 X 2 ， ( x1 , x2 ) X1 X 2 ，因此， X X1 X 2 在加法和 标量乘法下是闭的。 此外，
2.8 集合 S 1/ n n 1, 2,... 的边界是什么？


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解：对任意 n ， 1/ n 的任意邻域既包含 S 中的点（如 1/ n ） ，也包含 S 外面的点（如
1/ n ） ，因此， S 中的每个点都是边界点。并且， 0 也是一个边界点。因此，
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参考答案
赋范线性空间
2.1 利用线性空间的定义证明：对所有 x, y, z X 和 , ， (1) x + y = x + z y = z 。 (2) x y ，且 0 x y 。 (3) x x ，且 x 0 。 (4) ( )x x x 。 (5) (x - y ) x y 。 (6) 0 0 。 (1)证明
n
n
N ( / 2) ，使得对 n N ( / 2) ，
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d (xn , x) / 2
在序列中任取两项 x 和 x ，其中 p, q N ( / 2) ，则根据三角不等式，有
p q
d (x p , x q ) d (x p , x) d (x, x q )
2.17 证明：如果序列有极限，则极限是惟一的。 证明：设 x n x ，x y ，我们只需证 x y 即可。假如 x y ，则 ( x, y ) R 0 。
n
令 r R / 3 0 ，因为 x n x ，所以存在 N x 使得对任意的 n N x 都有 x n Br ( x ) 。 又因为 x y ， 所以存在 N y ，使得对于任意的 n N y 都有 x n Br ( y ) 。而这与
xy yz x (x y ) x (x z ) ( x x) y ( x x) z 0y 0z yz
(2)证明
1
x = y
( x) 1

( y )
1 1 ( )x ( )y

n
Br (x) Br (y ) 矛盾。从而我们证明了此序列极限的唯一性。
（ (x, y ) R, R = 3r Br (x) Br (y ) ）
2.18
证明：若度量空间中的序列 {x } 收敛，则它满足柯西准则。
0 证 明 ： 设 {x } 是 度 量 空 间 X 中 的 收 敛 序 列 ， 极 限 为 x X ， 对 任 意 0 ，
X 保留了其构成空间的算术性质，这一过程直接但乏味。 X 中的零元素是
0 (01 ,02 ) ，类似地， x ( x1 , x2 ) 的反向量是 x ( x1 , x2 ) 。
2.4 证明下列集合不是线性空间： (1) 中的单位圆；
2
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(2)所有整数的集合 I {, 1, 0, 1,} ； (3) [a, b] 上所有非负函数的集合。 解：(1) (2)
2.13 证明：集合是有界的，当且仅当它被某些开球所包含。 证 明 ： 首 先 ， 假 设 S 是 有 界 的 ， 令 d d (S ) ， 任 选 x S ， 对 所 有 的 y S ，
(x, y ) d d 1 。因此 y B(x, d 1) 。S 包含于开球 B(x, d 1) 。
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一个内点，因此 B int S 。 x 0 是 int S 的一个内点，因此 int S 是开的。 令 G 是 S 的任意一个开的子集， x 是 G 中的一点。G 是 x 的邻域，从而 S G 也是
x 的邻域，因此 x 是 S 的一个内点。从而 int S 包含任意的开的子集 G S ，从而得证 int S
0 0Leabharlann Baidu0
证明：令 y S Br (x 0 ) ，对任意的 x S ， (x, y ) r ，因此
(x, x0 ) (x, y ) (y, x 0 ) r r 2r
所以 x B2 r (x 0 ) 2.16 证明： (1) 如果 b 是集合 X 的上确界，并且 X 是开的，则 b X ； (2) 如果 b 是集合 X 的上确界，并且 X 是闭的，则 b X 。
因此， {x } 是柯西序列
n
2.19 证明：若度量空间中的序列 {x } 满足柯西准则，则它是有界的。
n
证明：令 x 表示一个柯西序列。则存在 N 使得对于任意的 n N ，都有
n
(x n x N ) 1
令
R max{ (x1 x N ), (x 2 x N ),..., (x N 1 x N ),1}
b( S ) S {0} 。注意到 S b( S ) 。因此，S 没有内点。
2.10 证明： (1)任意个开集的并是开的；有限个开集的交是开的。 (2)有限个闭集的并是闭集；任意个闭集的交是闭的。 （1）证明 令 {Gi } 表示（也可能是有限个）开集的并。令 G i Gi 。令 x 是 G 中的一点。则存在 某些特定的 G j 包含 x 。因为 G j 是开集，所以 G j 是 x 的邻域。又因为 G j G ，所以 x 是 G 的内点。因为 x 是 G 中的任意一点，所以我们就证明了任意的 x G 是一个内点。 因此，G 是开集。 如果每个 Gi 都是空集会是什么样呢？此时， G 并且是开集。 假设 {G1 , G2 ,..., Gn } 是有限个开集。令 G i Gi ，如果 G ，那么它就是平凡的 开集。否则，令 x 为 G 中的一点，则有 x Gi , 对所有的i =1,2,...,n 。因为 Gi 为开 集，所以，对任意 i ，存在一个 x 的开球 B (x, ri ) Gi 。令 r 是所有这些开球的半径中 最小的值，即 r min{r1 , r2 ,..., rn } 。则有 Br ( x) B ( x, ri ) ，从而有 Br ( x) Gi ，对任 意的 i 。因此， Br ( x) G ， x 是 G 的一个内点，G 是开集。 此外，当 Gi 是空集时，显然有 G i Gi 也是空集，从而也是开集。 （2）闭集性质的证明类似。 2.11 证明：设 S 是度量空间中的任意集合， (1) int S 是开的，它是 S 中最大的开集; (2) S 是闭的，它是包含 S 的最小闭集。 （1）证明 令 x 0 是 S 中的一个内点。这意味着存在一个 x 0 的开球 B S 。任意的 x B 是 S 的