椭圆与直线的位置关系典型例题

专题1直线与椭圆的位置关系【教学目标】重点、难点重点：直线与椭圆的位置关系难点：中点弦和弦长的求法学科素养2 掌握弦长问题、中点弦问题、面积问题、定点定值问题、最值范围等问题进一步体会数形结合的思想方法【知识清单】直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。

①.若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若，设。

.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

弦长问题直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。

即当直线与圆锥曲线交于点，时，则====中点弦问题关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且弦AB 的中点为M (x 0，y 0)，则⎝⎛x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②由①－②得a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．【经典例题】题型一：中点弦问题例1：已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)截直线y ＝k x+m 所得弦的中点坐标为（x 0,y 0），求直线的斜率直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法．例2：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.题型二：直线与椭圆的位置关系例3 已知椭圆经过点()3,0P -和点()0,2Q -，一直线与椭圆相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为()1,1M . （1）求椭圆的方程.（2）求弦AB 所在的直线方程.例4．已知椭圆2288x y +=，在椭圆上求一点P ，使P 到直线:40l x y -+=的距离最短，并求出最短距离.例5．已知椭圆22221x y a b+= (0)a b >>经过点(，离心率为12，左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c - .(1)求椭圆的方程； (2)若直线1:2l y x m =-+与以12F F 为直径的圆相切，求直线l 的方程．题型三：弦长问题例6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0B ，()2,0C -，设直线AB ，AC 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，记点A 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若直线l ：1y x =+与E 相交于P ，Q 两点，求PQ ．例7．椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，一条直线l 经过点1F 与椭圆交于,A B 两点.（1）求2ABF 的周长；（2）若l 的倾斜角为π4，求弦长AB .题型四：面积周长问题例8．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点31,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 在椭圆上，∠F 2PF 1＝60°，求△PF 1F 2的面积．例9．已知椭圆C 中心在原点，焦点为()122,0F -，()222,0F ，且离心率223e =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求2ABF ∆的周长．题型三：定值问题例10．已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知直线l 与椭圆相交于A B 、两点，且坐标原点O 到直线l 6，AOB ∠的大小是否为定值？若是求出该定值，不是说明理由.例11已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ､2F ，该椭圆的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线2y x =+相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若斜率为(0)k k ≠的直线l 与x 轴，椭圆C 顺次交于,P ,Q R (P 点在椭圆左顶点的左侧)且121RF F PFQ ∠=∠，求证：直线l 过定点. 例12．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于M ，N 两点.（1）求当229a b +取得最小值时，椭圆C 的离心率及此时椭圆的方程.（2）若椭圆C 的焦距为2，是否存在定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.【参考答案】【经典例题】例2例3【详解】（1）由题意知，点()3,0P-，()0,2Q -分别是椭圆的长轴和短轴的一个端点，且椭圆的焦点在x 轴上，所以3a =，2b =，故所求椭圆的标准方程为22194x y +=；（2）解：设经过点()1,1M 的直线方程为()11y k x =-+，代入椭圆方程， 整理得()()()2229418191360k x k k x k ++-+--=，设A 、B 的横坐标分别为1x 、2x ，则()()12218112294k k x x k --+==+，解之得49k =-， 故AB 方程为()4119y x =--+，即所求的方程为49130x y +-=.例4【详解】设与直线40x y -+=平行且与椭圆相切的直线为0x y a -+=，联立方程22880x y x y a ⎧+=⎨-+=⎩，消去x 得229280y ay a -+-=，①令()2224368288320a a a ∆=--=-=，解得3a =±.∴与直线l 距离最近的切线方程为30x y -+=，最小距离为d ==. 将3a =代入方程①得29610y y -+=，解得13y =，则833x y =-=-， 所以，点P 的坐标为81,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 例5【详解】(1)椭圆经过点(， 23b ∴=又离心率为1212=，24a ∴=， ∴标准方程为22143x y +=．（2）22211c a b c =-=⇒=，12F F ∴以为直径的圆的方程为221x y +=又直线又l 与圆相切1d r ∴==即1d m ==⇒=24a ∴=的方程为122y x =-±. 例6．解：（1）设点(,)A x y ，则12y k x =-，2+2yk x =， 因为1212k k =-，则12122+2y y x k x k ⋅=--=，整理得：22142x y +=，斜率存在，所以2x ≠±，所以E 的方程：22142x y +=，（0y ≠） （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由221142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到23420x x +-=，则2443(2)400∆=-⨯⨯-=>，所以12124323x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，则12PQ x =-=，所以3PQ =. 例7．【详解】（1）因为椭圆22143x y +=，2a =，b =1c =，由椭圆的定义，得1224AF AF a +==，1224BF BF a +==， 又11AF BF AB +=，所以2ABF 的周长2248AB AF BF a =++==. （2）因为AB 的倾斜角为π4，则AB 斜率为1，则直线l 为1y x =+. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得27880x x +-=，由韦达定理可知：1287x x +=-，1287x x =-，则由弦长公式AB =247==，故弦长247AB =. 例8．【详解】（1） 因为C 的焦点在x 轴上且长轴为4，故可设椭圆C 的方程为22214x y b+=（0a b >>）， 因为点31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以213144b +=， 解得21b =， 所以，椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）由（1）知，22123,4c a b PF PF =-=+=在△F 2PF 1中，由余弦定理可得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠即2212443c a PF PF =-1243PF PF ∴=，则1211433sin 6022323S PF PF ︒==⨯⨯= 例9．解：（1）因为()122,0F -，()222,0F ，223e =， 所以3,22a c ==，得到2221b a c =-=.又椭圆的焦点在x 轴上，所以求椭圆的标准方程为2219x y =＋.（2）因为F 1的直线l 交椭圆于,A B 两点， 根据椭圆的定义2ABF ∆的周长等于412a =．例10．【详解】（I ）设椭圆方程为因为22,.22c e a ==所以 2,(,),c 据题意点在椭圆上则于是因为故椭圆的方程为（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，由坐标原点O 到直线l 6可知 66666666(,()(,(,33333333A B A B ----或, ∴0OA OB ⋅=,∴=90AOB ∠,当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+,1122(,),(,)A x y B x y , ∵原点O 到直线l 的距离为63, 2631m k =+，整理得2232(1)m k =+（*）, 222221{,(21)4220.2x y k x kmx m y kx m+=+++-==+由得22222(4)4(21)(22)8(21)km k m k m ∆=-+-=-+,将（*）式代入得22328=0=16803k m +∆>∆+>，或2121222422,.2121km m x x x x k k -+=-=++ 221212121222222222()()()2242.212121y y kx m kx m k x x km x x m m km m k k km m k k k =++=+++---=⋅+⋅+=+++2222212122222223220212121m m k m k x x y y k k k ----+=+==+++∴=90AOB ∠例11．【详解】（1）解：椭圆的左，右焦点分别为1(,0),F c -2(,0)F c ，椭圆的离心率为2，即有c a =，即a =，b c ==， 以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为222x y b +=，直线y x =1b ==，即有a =则椭圆C 的方程为2212x y +=； （2）证明：设()11,Q x y ，()22,R x y ，()110F -， 由121RF F PFQ ∠=∠，可得直线1QF 和1RF 关于x 轴对称， 即有110QF RF k k +=，即1212011y y x x +=++， 即有1222110x y y x y y +++=，①设直线:PQ y kx t =+，代入椭圆方程，可得()222124220k x ktx t +++-=，判别式()()222216412220k t k t ∆=-+->，即为2221t k -<②，1224t 12k x x k -+=+，21222212t x x k -=+③， 11y kx t =+，22y kx t =+，代入①可得，()1212()220k t x x t kx x ++++=，将③代入，化简可得2t k =，则直线l 的方程为2y kx k =+，即(2)y k x =+.即有直线l 恒过定点(2,0)-.例12【详解】（1）因为椭圆C 过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以221914a b+=， 所以()222222222219859449949b a a b b b a b a a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭+=+8585912124424≥+=+⨯=， 当且仅当2222994b a a b=，即222a b =时，等号成立. 此时椭圆C的离心率为2e =====， 由222219142a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得：22112114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为221111124x y +=， 所以椭圆C的离心率为2，椭圆C 的方程为221111124x y +=. （2）存在定圆22127x y +=，使得定圆与直线MN 总相切，理由如下： 因为椭圆C 的焦距为2，所以221a b -=，又由（1）知221914a b +=， 联立222211914a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的方程为：22143x y +=， 当直线MN 的斜率不存在时，由对称性，设()00,M x x ，()00,N x x - 因为M 、N 都在椭圆上，解得20127x =， 所以原点O 到直线MN的距离为7d =， 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2223484120k x kmx m +++-=， 由()()()22284344120km k m ∆=-+->，设()11,M x y ，()22,N x y 则122834km x x k -+=+ ，212241234m x x k-=+ 因为OM ON ⊥，所以12120x x y y +=，即()()()()2212121212121210x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ++++=++++==， 所以()222224128103434m km k km m k k -⎛⎫++⨯-+= ⎪++⎝⎭， 即()227121m k =+， 所以原点O 到直线MN的距离为d == 综上所述：原点O 到直线MN的距离为定值，且定值为7. 故存在定圆22127x y +=.。