椭圆与直线的位置关系典型例题

专题1直线与椭圆的位置关系

【教学目标】

重点、难点

重点：直线与椭圆的位置关系

难点：中点弦和弦长的求法

学科素养

2 掌握弦长问题、中点弦问题、面积问题、定点定值问题、最值范围等问题进一步体会数形结合的思想方法

【知识清单】

直线与圆锥曲线的位置关系

2.直线与圆锥曲线的位置关系：

⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。

①.若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；

当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若，设。.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

弦长问题

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则==

==

中点弦问题

关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：

(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.

(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，

且弦AB 的中点为M (x 0，y 0)，则

⎝

⎛

x 21

a 2＋y 21

b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②

由①－②得a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0，

∴y 1－y 2x 1－x 2

＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0.

这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．

【经典例题】

题型一：中点弦问题

例1：已知椭圆y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)截直线y ＝k x+m 所得弦的中点坐标为（x 0,y 0），求直线的斜

率

直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法．

例2：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被

平分，求此弦所在直线的方程.

题型二：直线与椭圆的位置关系

例3 已知椭圆经过点()3,0P -和点()0,2Q -，

一直线与椭圆相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为()1,1M . （1）求椭圆的方程.

（2）求弦AB 所在的直线方程.

例4．已知椭圆2288x y +=，在椭圆上求一点P ，使P 到直线:40l x y -+=的距离最短，并求出最短距离.

例5．已知椭圆22

221x y a b

+= (0)a b >>经过点(，离心率为12，左、右焦点分别为

()()12,0,,0F c F c - .

(1)求椭圆的方程； (2)若直线1

:2

l y x m =-

+与以12F F 为直径的圆相切，求直线l 的方程．

题型三：弦长问题

例6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0B ，()2,0C -，设直线AB ，AC 的斜率分别为1k ，2k ，且121

2

k k =-

，记点A 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；

（2）若直线l ：1y x =+与E 相交于P ，Q 两点，求PQ ．

例7．椭圆22

143

x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，一条直线l 经过点1F 与椭圆交于,A B 两点.

（1）求2ABF 的周长；

（2）若l 的倾斜角为π

4

，求弦长AB .

题型四：面积周长问题

例8．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点31,⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

在椭圆C 上．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若点P 在椭圆上，∠F 2PF 1＝60°，求△PF 1F 2的面积．

例9．已知椭圆C 中心在原点，焦点为()

122,0F -，()

222,0F ，且离心率22

3

e =

． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求2ABF ∆的周长．

题型三：定值问题

例10．已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知直线l 与椭圆相交于A B 、两点，且坐标原点O 到直线l 6

，AOB ∠的大小是否为定

值？若是求出该定值，不是说明理由.

例11已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ､2F ，该椭圆的离心率为2

2

，以原点为

圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线2y x =+相切.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）如图，若斜率为(0)k k ≠的直线l 与x 轴，椭圆C 顺次交于,P ,Q R (P 点在椭圆左顶点的左侧)且

121

RF F PFQ ∠=∠，求证：直线l 过定点. 例12．已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分

别交于M ，N 两点.

（1）求当229a b +取得最小值时，椭圆C 的离心率及此时椭圆的方程.

（2）若椭圆C 的焦距为2，是否存在定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.