高考数学专题复习：不等式和绝对值不等式

2．已知a，b，c>0，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. 证明：∵a，b，c，ab2，bc2，ca2均大于0，
又ab2＋b≥2
ab2·b＝2a，bc2＋c≥2
bc2·c＝2b.
ca2＋a≥2
ca2·a＝2c.
∴(ab2＋b)＋(bc2＋c)＋(ca2＋a)≥2(a＋b＋c)．
即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.当且仅当ab2＝b，bc2＝c，ca2＝a，
()
C．4
D．2
解析：∵x，y∈R＋，∴ 4xy≤x＋24y.
∴ xy≤x＋44y＝10.∴xy≤100.
∴lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 100＝2.
答案：D
5．(浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小
值是
()
24 A. 5
B．258
解C．析5：∵x＋3y＝5xy，∴1y＋3x＝5，D．6
在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行： (1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需 对式子变形，凑出需要的定值； (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类 解决，同负时，可提取(－1)变为同正； (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则 可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．
[解] (1)由题意可设 3－x＝t＋k 1， 将t＝0，x＝1代入，得k＝2. ∴x＝3－t＋2 1. 当年生产x万件时， ∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用， ∴年生产成本为32x＋3＝323－t＋2 1＋3. 当销售x万件时，
年销售收入为150%323－t＋2 1＋3＋12t. 由题意，生产x万件化妆品正好销完，
由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，
得年利润y＝－t22＋t＋981t＋ 35(t≥0)．
(2)y＝－t22＋t＋981t＋ 35＝50－t＋2 1＋t＋321
≤50－2
t＋2 1×t＋321＝50－2 16＝42，
当且仅当t＋2 1＝t＋321，即t＝7时，等号成立，ymax＝42，
∴当促销费定在7万元时，年利润最大．
解析：由已知：y1＝2x0， y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)． 费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋2x0 ≥2 0.8x·2x0＝8. 当且仅当0.8x＝2x0， 即x＝5时等号成立． 答案：A
5．若x≠0，则f(x)＝2－3x2－
12 x2
的最大值是________，取得最
值时x的值是________．
即a＝b＝c时取等号.
利用基本不等式求最值
[例2] (1)求当x>0时，f(x)＝x22＋x 1的值域； (2)设0<x<32，求函数y＝4x(3－2x)的最大值； (3)已知x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值． [思路点拨] 根据题设条件，合理变形，创造能用基本 不等式的条件，求最值．
当且仅当25×x105＝10x即x＝500时，ymin＝10 000，
即每次进货500件时，一年的运费和库存费最省．
7.围建一个面积为360 m2的矩形场地，要 求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙 需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留 一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单 位：元)． (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出 最小总费用．
解：(1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m. 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. 由已知xa＝360，得a＝3x60，所以y＝225x＋36x02－360(x＞0)． (2)∵x>0， ∴225x＋36x02≥2 225×3602＝10 800. ∴y＝225x＋36x02－360≥10 440， 当且仅当225 x＝36x02时，等号成立． 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．
1．下列不等式中，正确的个数是
()
①若a，b∈R，则a＋2 b≥ ab
②若x∈R，则x2＋2＋x2＋1 2≥2
③若x∈R，则x2＋1＋x2＋1 1≥2
④若a，b为正实数，则
a＋ 2
b≥
ab
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：显然①不正确；③正确；对②虽然x2＋2＝
1 x2＋2
无
解，但x2＋2＋x2＋1 2>2成立，故②正确；
a＝1.
答案：A
4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离
成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正
比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分
别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓
库应建在离车站
()
A．5千米处
B．4千米处
C．3千米处
D．2千米处
第 一 讲
一
不 等 式
2. 基本 不等 式
理解教 材新知
把握热 点考向
应用创 新演练
考点一 考点二 考点三
一
不等式
2．基本不等式
1．基本不等式的理解
重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式
a＋b 2
≥
ab，成立的条件
是不同的．前者成立的条件是 a与b都为实数，并且a与b都为实数
是不等式成立的 充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数， 并且a与b都为正实数是不等式成立的 充分不必要条件 ，如a＝0，
∵x>0，y>0，∴(3x＋4y)
1y＋3x
＝
3x y
＋
12y x
＋9＋4≥2
3yx·1x2y＋13＝25，∴5(3x＋4y)≥25，
∴3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时取等号．
∴3x＋4y的最小值是5.
答案：C
利用基本不等式解决实际问题
[例3] 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份 额，拟在2014年巴西世界杯期间进行一系列促销活动，经 过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万 元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活 动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2014年生产化妆品 的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆 品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定 为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当 年生产的化妆品正好能销完．
解析：f(x)＝2－3(x2＋x42)≤2－3×4＝－10， 当且仅当x2＝x42即x＝± 2时取等号． 答案：－10 ± 2
6．当x＞12时，函数y＝x＋2x8－1的最小值为________． 解析：因为x＞12，所以x－12＞0，
所以y＝x＋2x8－1＝x－12＋x－4 12＋12≥4＋12＝92，
(1)将2014年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函 数．
(2)该企业2014年的促销费投入多少万元时，企业的 年利润最大？
[思路点拨] (1)两个基本关系式是解答关键，即利 润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费 用＋生产费用；
(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之 间的关系式列出函数表达式．
④不正确，如a＝1，b＝4.
答案：C
2．已知a>0，b>0，a，b的等差中项是12，且α＝a＋1a，β＝b＋
1b，则α＋β的最小值是
()
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：∵a＋b＝2×12＝1，a>0，b>0，
∴α＋β＝a＋1a＋b＋1b＝1＋a1b≥1＋a＋1 b2＝5， 2
当且仅当a＝b＝12时取“＝”号． 答案：C
若干次等量进货(设每次进货x件)，每进一次货运费50元，且
在销售完该货物时，立存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最
省，每次进货量x应是多少？
解：设一年的运费和库存费共y元，
由题意知：y＝
50 000 x
×50＋
x 2
×20＝
25×105 x
＋
10x≥2 25×106＝104，
b≥0仍然能使a＋2 b≥ ab成立． 两个不等式中等号成立的充要条件都是 a＝b .
2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a2＋b2≥a＋2 b2； (2)ab≤a2＋2 b2； (3)ab≤(a＋2 b)2； (4)(a＋2 b)2≤a2＋2 b2； (5)(a＋b)2≥4ab.
当且仅当x－12＝x－4 12，即x＝52时，取“＝”． 答案：92
7．y＝3＋x＋x＋1 x2(x>0)的最小值是________．
解析：∵x>0，∴y＝
3＋x＋x2 x＋1
＝
3 x＋1
＋x＋1－
1≥2 3－1.
当且仅当x＋1＝ 3时取等号．
答案：2 3－1
8．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证： (1)1a＋1b＋a1b≥8； (2)1＋1a1＋1b≥9. 证明：(1)∵a＋b＝1，a＞0，b＞0， ∴1a＋1b＋a1b＝1a＋1b＋aa＋b b ＝21a＋1b ＝2a＋a b＋a＋b b
利用基本不等式证明不等式
[例1] 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9. [思路点拨] 解答本题可先利用1进行代换，再用基本不 等式来证明．
[证明] 法一：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当 a＝b＝c时，等号成立． 即1a＋1b＋1c≥9.