高斯求和(一)详解

第一讲高斯求和学

戴氏-高斯求和引入故事：德国著名数学家高斯上小学的时候，一天老师在黑板上写下了一个算式:1+2+3+4+5+6+···+99+100=？“这么多怎么算啊？”，孩子们都傻眼了。

不一会儿，小高斯拿着写有答案的石板走上讲台。

老师一看，顿时惊讶的说不出话来——小高斯的答案完全正确。

走进来：高斯是怎样求出这个和的呢？这就是我们要研究的这种求和的方法。

事实上，像1+2+3+4+5+6+···+99+100这样除第一个数外，每一个数与它前面那个数的差始终相等的一列数叫做等差数列。

这个不变的差叫公差，每一个数都叫做等差数列的项，其中第一个数叫做首项，最后一个数叫做末项。

利用高斯的巧算方法可以得到以下公式：总和=（首项+末项）×项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+（项数-1）×公差有了这些公式，很多问题解答起来就很方便了。

一起做：【例题1】1+2+3+4+5+···+50=？★即学即练1：计算：2+4+6+8+···+30计算：5+10+15+20+25+30+35+40+45+50+55+60+65+70【例题2】建筑工地上堆着一些钢管，这些钢管一共有多少根？★即学即练2：下面是一堆电线杆的侧面示意图，试计算下面有多少根电线杆？【例题3】求首项为5，末项为155，公差是3的等差数列的和。

★即学即练3：有一个等差数列首项为5，末项为97，公差为4，则这个等差数列的和是多少？【例题4】下面一列数是按一定规律排列的：3、12、21、30、39、48、57、66···。

（1）第12个数是多少？（2）912是第几个数？★即学即练4：下面是一列数按照一定规律排列的：3、7、11、15···、95、99。

高斯求和公式,分组计算

整数巧算问题2-高斯求和与分组求和授课时间：年月日一、知识要点（一）高斯求和公式当一个算式中每两个相邻数之间的差值一定时我们可以使用高斯求和公式达到简便运算的目的。

和=（首项+尾项）项数项数=（尾项-首项）公差+1其中项数就是整个算式的数字个数，在运用高斯公式时，难点就是找准算式的项数。

（二）分组求和在数学计算特别是繁杂的计算中往往在题目之后隐藏着一些规律，我们可以按照规律对算式中的数字先进行分组，再计算，可以极大的节省我们的计算时间。

二、精讲精练（一）高斯求和公式【例题1】计算1+2+3+……+99练习1：1、1+2+3+……+198+1992、2+3+4+……+199+2003、2+3+4+……+997+998【例题2】现在有一组数字为2,4,6……98,100请问这组数一共有多少个数字？1、现在有一组数字为3,4,5……98,917请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为98,100,102……1234,1236请问这组数一共有多少个数字？3、现在有一组数字为3,6,9……99,102请问这组数一共有多少个数字？【例题3】计算2+4+6+……+998+1000练习3：1、1+3+5+……+97+992、3+6+9+……+198+2013、7+14+21+……+994+1001【例题4】有一组数为1，3,5……97,99,这组数中的第30项是多少？1、有一组数为2，4,6……98,100,在这组数中的第40项是多少？2、有一组数为1，3,5……97,99,在这组数中的第20项和第30项的差是多少？3、有一组数为1，3,5……97,99……999,1001,在这组数中的第400项和第100项的差是多少？【例题5】1+2-3-4+5+6-7-8+……+97+98-99-100+101练习5：1、1+2-3-4+5+6-7-8+9+102、1+2-3-4+5+6-7-8+……+197+198-199-200+2013、1+3－5－7＋9＋11－13－15＋……-1999+2001【例题6】已知一组数为2,3,4,6,6,9,8,12,10……100,150,这组数的和是多少？练习5：1、1+3+4+6+7+9+10+12+13+15+162、1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+693、1+3+6+6+11+9+16+12+21+……+201+120三、课后巩固1、现在有一组数字为3,6,9……99,189请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数一共有多少个数字？3、有一组数为2，4,6……98,100,请问这组数中的第25项是多少？4、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数中的第48项是多少？5、1+8+15+……+2101+210186、2+4+6+……+20007、1+4+7+……+1008、10+11+12+……+20099、1+10+20+30+……+200+21010、（1-9）-（2-10）-（3-11）-（4-12）-……-（9-17）-（10-18）11、1+2+6+4+11+6+16+8+21+……+251+100。

小学奥数——高斯求和专项讲解

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跟找规律求和：
张
1+2+3=6=2×3
老
1+2+3+4+5=15=3×5
师
1+2+3+4+5+6+7=28=4×7
学
小
1+3+5=9=3×3
学
1+3+5+7+9=25=5×5
奥
1+3+5+7+9+11+13=49=7×7
数
规律：等差数列的和=中间数×项数
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师
示
举例： 1,3,5,7,9……
学
小公差d=__2___ 首项a1=__1____
学 a1=1 a2=a1+d a3=a1+2d a4=a1+3d
奥
a10=a1+_9_×__d a20=_a_1_+19__×__d
数
a100=a1+9_9_×__d an=_a_1_+_9_9_×__d
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数 =50
=100 × 50÷2 =5000÷2
=2500
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跟例题解析：
张
（3）电影院的第1排有10个座位，以
老
后每排比前一排多一个座位，电影
师
院共20排，一共有多少个座位？
学
a1＝10， d＝1 ,n＝20
小
学
an=a1+(n-1)d
=10+(20-1)×1
S=（a1+an） ×n ÷2 =（10+29）× 20÷2

四年级奥数《高斯求和》答案及解析教学内容

高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

高斯求和 (一)

高斯求和（一）高斯求和公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1末项＝首项＋公差×（项数－1）总和＝（末项＋首项）×项数÷2公差＝（末项－首项）÷（项数－1）首项＝末项－公差×（项数－1）首项＝总和×2÷项数－末项末项＝总和×2÷项数－首项项数＝总和×2÷（首项＋末项）一、计算：1 +2 +3 +4 +5 +……+252 + 4 +6 + 8 +……+4041 +43 +45 + 47 +49 +……+97+99（3＋7＋11＋...＋47）－（2＋6＋10＋ (46)5 +15 +25 +35 +45 +……+953 +6 +9 +12 +15 +18 +……+30（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4940）÷3 （1＋11＋21＋31＋41）＋（9＋19＋29＋39＋49）1 + 3 + 5 +7 +…+59二、列式计算：1、等差数列2，5，8，11，…，问第80项是多少？2、一个等差数列的第2项是6，第3项是11，则这个数列的第10项是多少？3、已知等差数列5，8，11，…，它的第21项是多少？4、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4。

问这串数中第2001个数是多少？5、有一个等差数列3，7，11，15，……这个等差数列的第100项是多少？6、一等差数列，首项＝3，公差＝2，项数＝10。

这个等差数列的末项是多少？7、有一个数列，4、10、16、22 ……52，这个数列共有多少项？8、等差数列中，首项＝1，末项＝39，公差＝2。

这个等差数列共有多少项？9、有一个等差数列2，5，8，11，……173，这个等差数列共有多少项？10、已知等差数列11，16，21，26，……1001，问这个等差数列共有多少项？11、求等差数列1，4，7，10……，这个等差数列的第30项是多少？12、求等差数列2，6，10，14……，这个等差数列的第100项？13、有这样的一列数1，2，3，4，……84，85，请你求出这列数各项相加的和？14、小明练习写毛笔字，第一天写了6个，以后每天都比前一天多写相同数量的大字，结果全月（31）天共写了589个大字，问：小明每天比前一天多写几个大字？。

第一讲高斯求和学

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戴氏教育集团三升四暑假班xx老师戴氏-高斯求和引入故事：德国著名数学家高斯上小学的时候，一天老师在黑板上写下了一个算式:1+2+3+4+5+6+···+99+100=？“这么多怎么算啊？”，孩子们都傻眼了。

不一会儿，小高斯拿着写有答案的石板走上讲台。

老师一看，顿时惊讶的说不出话来——小高斯的答案完全正确。

走进来：高斯是怎样求出这个和的呢？这就是我们要研究的这种求和的方法。

事实上，像1+2+3+4+5+6+···+99+100这样除第一个数外，每一个数与它前面那个数的差始终相等的一列数叫做等差数列。

这个不变的差叫公差，每一个数都叫做等差数列的项，其中第一个数叫做首项，最后一个数叫做末项。

利用高斯的巧算方法可以得到以下公式：总和=（首项+末项）×项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+（项数-1）×公差有了这些公式，很多问题解答起来就很方便了。

一起做：【例题1】1+2+3+4+5+···+50=？戴氏教育集团三升四暑假班xx老师★即学即练1：计算：2+4+6+8+···+30计算：5+10+15+20+25+30+35+40+45+50+55+60+65+70【例题2】建筑工地上堆着一些钢管，这些钢管一共有多少根？★即学即练2：下面是一堆电线杆的侧面示意图，试计算下面有多少根电线杆？【例题3】求首项为5，末项为155，公差是3的等差数列的和。

★即学即练3：有一个等差数列首项为5，末项为97，公差为4，则这个等差数列的和是多少？戴氏教育集团三升四暑假班xx老师【例题4】下面一列数是按一定规律排列的：3、12、21、30、39、48、57、66···。

四年级奥数《高斯求和》答案及解析

高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

高斯求和计算公式

高斯求和计算公式介绍【示例范文仅供参考】---------------------------------------------------------------------- 高斯求和公式为：末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差，和=（首项+末项）项数2，即高斯求和公式就是对一个等差数列公差为1时的求和，这个数列的和等于这个数列的首项加上这个数列的末项之和乘以这个数列的项数的积再除以2。

1、高斯求和公式：和=（数列首项+数列末项）项数2，末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差。

用数学表达式表示为假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差，n表示这个等差数列的项数，，则有以下公式：高斯求和公式（即d=1时）有：=（）n=+(n-1)n=（）+1=-n+1【例题】求1+2+3+...+200的值。

1+2+3+...+200=（1+200）200=201002、等差数列求和公式：假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差（d1），n表示这个等差数列的项数，，则有以通用下公式：=+（n-1)dn=+1-(n-1)d=n+n（n-1）d【例题】求10，20，30，40，50，...，1000的和。

解析：从题中可以知道这个数列的公差为10，首先项为10，末项为1000，项数n=（1000-10）10+1=100。

则有=100+100（100-1）10=505003、高斯公式历史来源：高斯全名为约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，是近代数学的奠基人之一，是历史上最重要的数学家之一，号称为“数学王子”。

高斯的数学天赋，早在童年时期就表现出来了，在7岁那年，高斯第一次上学，头两年都平淡而过。

在高斯10岁那年，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班次，当时数学老师布特纳给学生出了一道题即从1加到100的和，老师一出完题，高斯就把正确答案写出来了，不过这好像只是一个美丽的传说。

高斯求和法公式

高斯求和法公式在咱们的数学世界里，有一个超级厉害的工具，叫做高斯求和法公式。

这玩意儿可神奇啦，能帮咱们快速算出一大堆连续数字相加的结果。

先来说说高斯求和法公式到底是啥。

它呀，就是“（首项 + 末项）×项数÷ 2”。

就这么个简单的式子，却有着大大的能量。

我记得有一次，我在给学生们讲这个公式的时候，有个小家伙一脸疑惑地问我：“老师，这公式咋就这么神奇呢？”我笑了笑，给他举了个例子。

咱们假设要算 1 加到 100 是多少。

按照平常的方法，一个一个加，那得加到啥时候呀。

但是用高斯求和法公式，就简单多啦。

首项是 1，末项是 100，项数就是 100 个数，那就是（1 + 100）× 100 ÷ 2 = 5050 。

小家伙听完眼睛都亮了，直说：“哇，好神奇！”其实呀，这个公式在生活中也很有用呢。

比如说，你要计算从 1 楼爬到 20 楼一共爬了多少级台阶，假设每层楼的台阶数都一样。

知道了第一层的台阶数和第 20 层的台阶数，再知道一共有 20 层，就能用这个公式轻松算出来啦。

那为啥这个公式能这么厉害呢？咱们来琢磨琢磨。

它其实是利用了数字的规律。

比如说 1 加到 10，1 和 10 相加是 11，2 和 9 相加也是 11，3 和 8 相加还是11……一直这样配对下去，会发现一共有 5 对 11 ，所以就是 11×5 = 55 。

再举个例子，算 2 加到 50 。

首项是 2 ，末项是 50 ，项数是 49 个数。

那就是（2 + 50）× 49 ÷ 2 = 1274 。

同学们在学习这个公式的时候，可别死记硬背，得理解它背后的道理。

多做几道练习题，感受感受其中的规律，慢慢地就能熟练运用啦。

当你真正掌握了高斯求和法公式，你会发现数学变得更有趣，解决问题也更轻松了。

就像打开了一扇通往神奇数学世界的大门，里面有着无数的宝藏等着咱们去发现呢！总之，高斯求和法公式是咱们数学学习中的一个好帮手，大家一定要好好掌握它，让它为咱们的数学学习助力加油！。

高斯求和公式,分组计算

整数巧算问题 2- 高斯求和与分组求和授课时间：年月日错题题型错题题号一、知识要点（一）高斯求和公式当一个算式中每两个相邻数之间的差值一定时我们可以使用高斯求和公式达到简便运算的目的。

和 =（首项 +尾项）项数项数 =（尾项 - 首项）公差+1其中项数就是整个算式的数字个数，在运用高斯公式时，难点就是找准算式的项数。

（二）分组求和在数学计算特别是繁杂的计算中往往在题目之后隐藏着一些规律，我们可以按照规律对算式中的数字先进行分组，再计算，可以极大的节省我们的计算时间。

二、精讲精练（一）高斯求和公式【例题 1】计算 1+2+3+⋯⋯ +99练习 1：1、1+2+3+⋯⋯ +198+1992、2+3+4+⋯⋯+199+2003、2+3+4+⋯⋯ +997+998【例题 2】现在有一组数字为2,4,6 ⋯⋯ 98,100 请问这组数一共有多少个数字？1、现在有一组数字为3,4,5 ⋯⋯ 98,917 请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为98,100,102 ⋯⋯ 1234,1236 请问这组数一共有多少个数字？3、现在有一组数字为3,6,9 ⋯⋯ 99,102 请问这组数一共有多少个数字？【例题 3】计算 2+4+6+⋯⋯ +998+1000练习 3：1、1+3+5+⋯⋯ +97+992、3+6+9+⋯⋯+198+2013、7+14+21+⋯⋯ +994+1001【例题 4】有一组数为1，3,5 ⋯⋯ 97,99, 这组数中的第30 项是多少？1、有一组数为2， 4,6 ⋯⋯ 98,100, 在这组数中的第40 项是多少？2、有一组数为1， 3,5 ⋯⋯ 97,99, 在这组数中的第20 项和第 30 项的差是多少？3、有一组数为1， 3,5 ⋯⋯ 97,99 ⋯⋯ 999,1001, 在这组数中的第400 项和第 100 项的差是多少？【例题 5】 1+2-3-4+5+6-7-8+⋯⋯+97+98-99-100+101练习 5：1、1+2-3-4+5+6-7-8+9+102、1+2-3-4+5+6-7-8+⋯⋯+197+198-199-200+2013、1+3－ 5－7＋ 9＋ 11－ 13－ 15＋⋯⋯ -1999+2001【例题 6】已知一组数为2,3,4,6,6,9,8,12,10⋯⋯100,150,这组数的和是多少？练习 5：1、1+3+4+6+7+9+10+12+13+15+162、1+3+4+6+7+9+10+12+13+⋯⋯ +66+67+693、1+3+6+6+11+9+16+12+21+⋯⋯ +201+120三、课后巩固1、现在有一组数字为3,6,9 ⋯⋯ 99,189 请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为1,6,11 ⋯⋯ 1001,1006 请问这组数一共有多少个数字？3、有一组数为2， 4,6 ⋯⋯ 98,100, 请问这组数中的第25 项是多少？4、现在有一组数字为1,6,11 ⋯⋯ 1001,1006 请问这组数中的第48 项是多少？5、1+8+15+⋯⋯ +2101+210186、2+4+6+⋯⋯+20007、1+4+7+⋯⋯ +1008、10+11+12+⋯⋯+20099、1+10+20+30+⋯⋯ +200+21010、（ 1-9 ） - （ 2-10 ）- （ 3-11 ）- （ 4-12 ）- ⋯⋯ - （9-17 ） - （ 10-18 ）11、1+2+6+4+11+6+16+8+21+⋯⋯ +251+100。

奇数个高斯求和公式

奇数个高斯求和公式高斯求和公式是指将一组连续的奇数相加的公式，公式的结果可以用来表示自然数的和。

这个公式最早是由德国数学家高斯在他幼年时候被他的老师用作惩罚时给他出的一个问题而发现的。

在解这个问题的过程中，高斯发现了一种用于求解连续奇数和的方法。

下面将详细介绍高斯求和公式。

首先，我们来考虑一组连续奇数的和是如何推导出来的。

假设我们要求解的连续奇数序列从1开始，以2递增，一直加到第n个奇数。

那么这个序列可以表示为1,3,5,...,2n-1、我们的目标是求解这个序列的和。

如果我们将这个序列进行反序排列，在加法运算中，每个奇数都会得到两次。

例如，序列1,3,5可以看作是(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)。

由于求和公式是针对连续奇数序列而言的，所以我们可以将这个公式应用于任意奇数个数的和。

现在，我们考虑将这个序列进行反序排列后与原序列相加。

我们可以将两个序列表示为：1,3,5,...,2n-12n-1,2n-3,2n-5,...,1将上面两个序列对应的元素相加，我们可以得到一个具有n个2n的和的序列，即：(2n)+(2n)+(2n)+...+(2n)=n(2n)因此，原始的序列与反序排列后的序列的和为：S=(1+2n)+(1+2n)+(1+2n)+...+(1+2n)=n(2n)然而，我们在计算这个序列的和时，多加了一个2n。

因此，我们需要将多出来的2n从总和S中减去：S=n(2n)-2n=2n(n-1)+n以上就是高斯求和公式的推导过程。

这个公式表明，一组连续奇数的和等于该奇数的个数乘以这组数的平均数。

举例来说，如果我们要求解奇数序列1,3,5,7的和，根据高斯求和公式，我们可以得到：S=4(2*4-1)/2+4=16同样地，我们也可以用正常的加法运算来验证这个结果：1+3+5+7=16现在我们来考虑更一般化的情况。

假设我们要求解奇数序列1,3,5,...,(2n-1)的和。

根据高斯求和公式，我们可以得到：S=n(2n)=n^2+n例如，对于奇数序列1,3,5,7,9的和，我们可以得到：S=5(2*5-1)/2+5=25同样地，我们也可以用正常的加法运算来验证这个结果：1+3+5+7+9=25在解决数学问题或者计算奇数和时，高斯求和公式可以大大简化计算的过程。

高斯求和公式原理

高斯求和公式原理高斯求和公式，这可是数学世界里的一个神奇小法宝！咱们今天就来好好聊聊它的原理。

话说我之前有一次监考数学考试，发现好多孩子在一道涉及求和的题目上抓耳挠腮。

那时候我就在想，要是他们能真正理解高斯求和公式的原理，或许就不会这么苦恼啦。

先来说说什么是高斯求和公式。

它的表达式是：（首项 + 末项）×项数 ÷ 2 。

这个公式看似简单，但其背后的原理可不简单哦！咱们来举个例子，假设要计算 1 到 100 的所有整数的和。

按照常规的方法，咱们得一个一个加起来，1 + 2 + 3 + 4 +……+ 99 + 100，这得多累啊！但高斯同学就很聪明，他发现了一个巧妙的方法。

他把这 100 个数首尾两两配对相加，1 + 100 = 101，2 + 99 = 101，3 + 98 = 101……以此类推，一直到 50 + 51 = 101 。

这样一共能配成 50 对，每对的和都是 101 。

所以，总和就是 101×50 = 5050 。

这其实就揭示了高斯求和公式的核心原理。

首项和末项相加，得到的和在整个数列中具有一定的代表性。

而项数除以 2 ，就是因为我们把数列两两配对了。

再比如说，计算 1 到 50 的和。

首项是 1 ，末项是 50 ，项数是 50 。

那么根据公式就是（1 + 50）× 50 ÷ 2 = 1275 。

在实际的学习和生活中，高斯求和公式的应用可广泛啦！比如说，咱们要计算一堆整齐摆放的书的总数，如果知道最上面一本书是第一本，最下面一本是最后一本，而且清楚一共有多少层，那就可以轻松用高斯求和公式算出总数。

又比如，统计一段时间内做某项任务的总次数。

假如从第一天开始，到第 n 天结束，每天的次数都有规律，也能借助这个公式迅速得出总数。

总之，高斯求和公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们轻松打开很多求和问题的大门。

希望同学们在学习数学的过程中，都能像高斯同学那样，多观察、多思考，发现数学中的奇妙之处，让数学变得不再那么可怕，而是充满乐趣和惊喜！回想起那次监考，我真心希望孩子们能早点掌握这些巧妙的方法，不再被数学难题困扰，能够在数学的海洋里畅游，享受探索和发现的快乐！。

高斯求和公式推导过程

高斯求和公式推导过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高斯求和公式是一个非常重要的数学公式，它可以用来求解自然数的和，也就是1加到n的和。

高斯求和公式由著名数学家高斯在他还是一个小学生的时候发现，并且推导出来。

这个公式给我们提供了一种快速计算自然数和的方法，让我们能够更加方便地处理一些和式求解问题。

高斯求和公式的推导过程是相当复杂的，需要一定的数学知识和技巧。

不过在这篇文章中，我将尽力简单地描述高斯求和公式的推导过程，希望能够帮助大家更好地理解这个重要公式的由来。

我们来考虑如何求解1加到n的和。

我们知道，对于任意一个正整数n，1加到n的和可以表示为S = 1 + 2 + 3 + ... + n。

现在我们将这个和式写成两行，第一行是从1加到n，第二行是从n加到1，分别表示如下：S = 1 + 2 + 3 + ... + n我们可以将这两个式子相加，将每一列的单元加起来，得到如下：可以看出，2S = n(n+1)，因此S = n(n+1)/2。

这就是我们熟知的高斯求和公式的推导过程，也就是：通过这个公式，我们可以迅速计算出任意一个正整数n的和，而不用逐个相加，节省了时间和精力。

这个公式在数学和计算问题中都有着广泛的应用，可以帮助我们更好地解决一些和式求解问题。

高斯求和公式的推导过程虽然简单，但却非常有用。

它让我们能够更便捷地计算自然数和，解决一些数学和计算问题。

希望通过这篇文章，大家能够更深入地了解高斯求和公式的推导过程，从而更好地掌握和应用这个重要的数学工具。

第二篇示例：高斯求和公式是数学中一种著名的求和公式，由数学家高斯在他年轻时推导出来的，被广泛运用于不定积分中，也被称为高斯和或高斯求和，其形式为：\[1+2+3+…+n=\frac{n(n+1)}{2}\]这个公式简单却十分实用，可以很容易地帮助我们求解各种求和问题。

下面就让我们一起来看看高斯求和公式的推导过程吧。

我们设要求的等差数列的和为S，即：我们可以将这个等差数列反向写出，即：\[2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)=n(n+1)\]最后将上式除以2即可得到高斯求和公式：通过以上推导过程，我们可以清晰地看到高斯求和公式的由来。

高斯求和公式推导过程

高斯求和公式推导过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高斯（Carl Friedrich Gauss）是一位著名的数学家和物理学家，他在数学领域做出了许多重要贡献，其中之一就是高斯求和公式。

高斯求和公式是一种用来求解等差数列和的公式，也叫高斯求和公式，它能够快速求解某个范围内所有整数之和的问题。

在本文中，我将向大家介绍高斯求和公式的推导过程，希望对大家理解和掌握这一数学公式有所帮助。

让我们来看一下等差数列的数学定义。

一个等差数列是由首项a1和公差d确定的序列，其中每一项与前一项之差都相等。

等差数列的一般形式可以表示为：a1，a1+d，a1+2d，a1+3d，……，an。

其中a1为首项，d为公差，n为等差数列的项数。

对于等差数列的求和问题，我们通常会用高斯求和公式来求解。

高斯求和公式的推导过程可以通过以下步骤来完成：第一步，设等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则等差数列的最后一项可以表示为an=a1+(n-1)d。

第二步，将等差数列从头到尾按照正序排列并逆序排列，即将等差数列的前n项与后n项相加，可以得到一个和为2S，其中S表示等差数列的和。

第三步，将正序排列和逆序排列的等差数列相加，可以得到如下公式：a1 + a2 + ... + an + an + an-1 + ... + a1 = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)= n * (a1 + an) / 2 = n * (a1 + (a1 + (n-1)d)) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2= n * (a1 + an) / 2 = n * (a1 + a1 + (n-1)d) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2= n * (2a1 + n * d - d) / 2 = n * (2a1 + n * d - d) / 2= n * (2a1 + n * d - d) / 2 = n * (2a1 + n * d - d) / 2= n * (2a1 + n * d - d) / 2 = n * (2a1 + n * d - d) / 2= n * (2a1 + n * d) / 2 = n * (2 * a1 + (n-1)d) / 2= n * (n * a1 + n^2 d) / 2 = n^2 * (a1 + (n-1) d) / 2根据上式可得高斯求和公式为：S = n * (a1 + an) / 2 = n * (a1 + a1 + (n-1)d) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2= n * (2a1 + n * d) / 2 = n * (2 * a1 + (n-1)d) / 2= n * (n * a1 + n^2 d) / 2 = n^2 * (a1 + (n-1) d) / 2通过上述推导过程，我们得到了高斯求和公式S = n * (a1 + an) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2 = n * (2a1 + n * d) / 2 = n * (n * a1 + n^2d) / 2 = n^2 * (a1 + (n-1) d) / 2。

高斯求和讲解

第 3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年代明人，上学，有一天老出了一道同学算：1＋2＋3＋ 4＋⋯＋ 99＋100＝？老出完后，全班同学都在埋算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯什么算得又快又准呢？原来小高斯通心察：1＋100＝2＋99＝ 3＋ 98＝⋯＝ 49＋ 52＝50＋ 51。

1～100 正好可以分成的 50 数，每数的和都相等。

于是，小高斯把道巧算（1+100）× 100÷ 2＝ 5050。

小高斯使用的种求和方法，真是明极了，快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和。

若干个数排成一列称数列，数列中的每一个数称一，其中第一称首，最后一称末。

后与前之差都相等的数列称等差数列，后与前之差称公差。

例如：（1）1，2，3，4，5，⋯， 100；（2）1，3，5，7，9，⋯， 99；（3）8，15， 22，29，36，⋯， 71。

其中（ 1）是首 1，末 100，公差 1 的等差数列；（ 2）是首 1，末 99，公差 2 的等差数列；（ 3）是首 8，末71，公差 7 的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首 +末）× 数÷ 2。

例 1 1＋2＋3＋⋯＋ 1999＝？分析与解：串加数 1，2，3，⋯， 1999 是等差数列，首是1，末是1999，共有 1999 个数。

由等差数列求和公式可得原式 =（1＋1999）× 1999÷ 2＝ 1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断目中的各个加数是否构成等差数列。

例 2 11＋ 12＋13＋⋯＋ 31＝？分析与解：串加数 11，12，13，⋯， 31 是等差数列，首是11，末是 31，共有 31-11 ＋1＝21（）。

原式=（11+31）× 21÷2=441。

在利用等差数列求和公式，有数并不是一目了然的，就需要先求出数。

根据首、末、公差的关系，可以得到数 =（末 - 首）÷公差 +1，末 =首 +公差×（数 -1 ）。

四上第二讲学高斯巧求和

第二讲学高斯巧求和(一)
一、知识要点
等差数列的求和公式：(首项+末项) 项数÷2。

二、自我探究
【例1】计算：1+2+3+4+……+98+99+100
【例2】计算：2+5+8+…+23+26+29
【例3】求数列6，9，12，…前100个数的和。

【例4】计算：（2+4+6+…+1996+1998+2000）-(1+3+5+…+1995+1997+1999)
三、自我挑战
第一关：
1．31+33+35+37+39+41+43+45+47
2．17+24+31+38+45+52+59+66+73
3．5+10+15+20+……+90+95+100
4. 81+79+77+…+13+11
第二关：
1．1+2+3+4+……+98+99+100+99+98+97+……+3+2+1
2．（1+3+5+……+197+199）－（2+4+6+……+196+198）
3．秋实小学举办“迎春杯”数学竞赛，规定前十五名可以获奖，比赛结果第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人……第十五名列并列15人，用最简便方法计算出得奖的一共有多少人？
第三关：
1．时钟在每个整点敲时钟点数，每半点钟敲一下，一昼夜敲多少下？
2．在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个？。

高斯求和1

解法二：
（2＋4＋6＋ „＋2012）－（1＋3＋5＋ „＋2011）＝（2－1）＋（4－3）＋ „ ＋（2012－2011）＝1×1006 ＝1006
练一练：
⑴ （7＋9＋11＋ „＋25）－（5＋7＋9＋„＋23）
解法一：（25－7）÷2＋1 ＝18÷2＋1 ＝9 ＋1 ＝10 （7＋9＋11＋„＋25）－（5＋7＋9＋„＋23）＝（7＋25）×10÷2－（5＋23）×10÷2 ＝32×10÷2－28×10÷2 ＝160－140 ＝20
⑶第一行放了1颗糖，第二行放了2颗糖，第三行放了3颗糖，依此类推，第四十行放了40颗糖，第一～四十行一共放了多少颗糖？ 1＋2＋3＋4＋5 ＋ „＋40 ＝（1＋40）×40÷2 ＝41×40÷2 ＝820（颗）
例2：求5＋8＋11＋14＋„＋29＋32的和
分析：这是一个公差为3、首项为5、末项为32 的等差数列。如果按等差数列求和的公式计算，还必须先找出项数。根据：项数＝（末项－首项）÷公差＋1，这个等差数列的项数是（32－5）÷3＋1 ＝10。高斯求和Fra bibliotek高斯的故事
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人。大约10岁时，老师在算术课上出了一道难题：“把1到100的整数写下来，然后把它们加起来！”每当有考试时他们班有如下的习惯：第一个做完的就把石板（当时通常用于写字）面朝下地放在老师的桌子上，第二个做完的就把石板摆在第一张石板上，就这样一个个落起来。这道难题当然难不倒学过算术级数的人，但对于刚学算术不久的孩子来说，难度较大。老师心想：终于可以休息一下了！但他错了，因为还不到几秒钟，高斯已经把石板放在讲桌上了。同时说道：“答案在这儿”。而其他学生还在埋头苦干，把数字一个个加起来，有的额头都出汗了。但高斯却静静地坐着，对老师投来的怀疑眼光毫不在意。考完后，老师一张张地检查着石板，大部分都做错了，当然也免不了吃一顿鞭打。最后，高斯的石板被翻了过来，只见上面只有一个数字：5050。这正是正确的答案。老师吃了一惊！

四年级上学期数学新思维-高斯求和

四年级上学期数学新思维（3）----高斯求和（一）情景导入：德国著名数学家高斯，被誉为”数学王子”。

在他童年时代，他就显露出聪明的才智。

有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋…＋100＝？当全班同学都在埋头计算时，10岁的小高斯已经计算出了答案。

你知道高斯是怎样计算出来的吗？高斯是这样计算的：1 ＋2＋3＋…＋98+99+100100＋99＋98＋…＋3 + 2+ 1把上下两个数对应相加，结果上下两个对应的数的和相等，就转化为求100个101的和了。

因为求的是一个：1 ＋2＋3＋…＋98+99+100的和，所以再除以2.具有什么特点的数，可以用这种办法求它们的和呢？不妨自己举几个数来研究一下。

当相邻两个数的差相等的时候，才能保证上下两个数的和相等，才可以转化为乘法来进行计算。

我们把相邻两个数的差相等的数排成一列，就叫做等差数列。

求1＋2＋3＋…＋98+99+100也就是求等差数列：1，2，3，……99，100的和。

下面我们就来研究等差数列的特点：（1）2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.（2）1，3，5，7，9，11，13.（3）2，4，6，8，10.12，14.（4）1，4，7，10，13，16，19.（5）2，6，10，14，18，22，26.末项:第2项=第1项+公差第3项=第1项+2个公差第4项=第1项+3个公差………末项=首项+（项数-1）×公差项数:(末项-首项)÷公差+1【例1】计算：1﹢2﹢3﹢4﹢…﹢19﹢20解：1﹢2﹢3﹢4﹢…﹢19﹢20=（1+20）×20÷2=210【例2】计算：4﹢7﹢10﹢13﹢…﹢28﹢31解：4﹢7﹢10﹢13﹢…﹢28﹢31项数：（31-4）÷3+1=104﹢7﹢10﹢13﹢…﹢28﹢31=（4+31）×10÷2=175【例3】计算：1456－1－3－5－7－…－37－39 计算：1+3+5+7+…+37+39的时候，项数是多少？解：1456－1－3－5－7－…－37－39=1456-（1+3+5+7+…+37+39）=1456-（1+39）×20÷2=1456-4001056【例4】计算：3﹢7﹢11﹢15﹢…（共有20项）末项=3+19×4 3＋（20－1）×4=79 ＝3＋19×4＝79解：3﹢7﹢11﹢15﹢…（共有20项）=（3﹢79）×20÷2=820【例5】计算：200－199﹢198－197﹢196－195﹢…－3﹢2－1解：200－199﹢198－197﹢196－195﹢…－3﹢2－1=（200－199）﹢（198－197）﹢(196－195)﹢…+(4－3)﹢（2－1）=1×100=100。

第一讲 高斯求和 学

高斯求和公式,分组计算

小学奥数——高斯求和专项讲解

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高 斯 求 和 (一)

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四上第二讲 学高斯巧求和

高斯求和1

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