初等数学研究论文

正、余弦定理在三角形中的应用

——08数学二班 庞家旭（080501231）

正、余弦定理是揭示三角形边、角之间定量关系的两个重要定理, 它将三角形的边和角有机的结合起来, 是解决有关三角形问题的有力工具。

1. 利用正余弦定理解三角形的边

当已知三角形的两个边和任一角，求其他边或者已知三角形的两个角和一条边，求其他的边，都可以用正余弦定理来解决，但在用的时候往往要用到技巧转化。

例1 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知

，则c=（ ）

A.1

B.2 分析1：当把c 看作是已知时，由题目能得三边一角的关系，于是用余弦定理能求c

的值。

解法1：由 得： 整理得：

解之得：c=2

分析2：当只注意到题目给的已知条件时，可以先利用正弦定理求出∠B ，再得出∠C ，最后可得出c 的值。

解法2：由 得 由大边对大角，可得： 于是 则△ABC 是直角三角形，且c 是斜边，

所以 2. 利用正余弦定理解三角形的角

,13

A a b π==

=1C D 222cos 2b c a A bc +-=213cos 32

c c

π+-=220c c --=sin sin a b A B =1sin sin 1

sin 2b A B a π⨯===6B π=2

C A B ππ=--=2

c ==

在三角形中，已知三角形的各边之间的比例关系，要求三角形的角，都可以运用正余弦定理来解决，但有时需要用技巧进行等价变化。

例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知a 、b 、c

成等比数列，且a 2-c 2=ac-bc ，求∠A 的大小及 的值。 分析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三角形的

关系，故可用余弦定理。由b 2=ac 用正弦定理可求 的值。 解：Ⅰ.∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac

又a 2-c 2=ac-bc,∴b 2+c 2-a 2=bc 在△ABC 中，由余弦定理得

∴∠A=60° Ⅱ.在△ABC 中，由正弦定理得 ∵b 2=ac ，∠A=60°， Ⅱ.解法二：在△ABC 中，由面积公式得

∵b 2=ac ，∴csinA=bsinB 总结：解三角形时，当找到三边一角之间的关系时，常用余弦定理。当找到两边两角之间的关系时，常用正弦定理。

3. 利用正余弦定理判断三角形的形状

在三角形中，已知三角形的各角之间的比例关系或者各边之间的比例关系，要判断三角形的形状，均可以的用正余弦定理来进行解题，同样的在做题是也需要用技巧来转化。

例3 在△ABC 中，若sinC=2cosAsinB ，则此三角形必是（ ）

sin b B c

sin b C c

2221cos 222b c a bc A bc bc +-===sin sin b A B a

=2sin sin sin 602b B b A c ac ∴==︒=11sin sin 22

bc A ac B

=sin sin 2

b B A

c ∴

==

A.等腰三角形

B.正三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

解法1：由余弦定理、正弦定理，得 ① 把①代入sinC=2cosAsinB 中，化简得

因为A 、B 是三角形的内角，所以A=B

即△ABC 为等于三角形

解法2：由正弦定理和余弦定理得： ， 所以b 2=a 2，即b=a ，所以△ABC 为等腰三角形

解法3：sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

又sinC=2cosAsinB,所以sin(A-B)=0

∵-π

总结：根据已知条件，适当选取使用的定理，化边为角或化角为边。边角互化是解决这类问题的基本径。

参考文献

[1] 张婧. 解斜三角形中正、余弦定理的应用[J]. 数理化学习(高中版), 2009,(13)

[2] 李庆社, 张永玲. 正、余弦定理应用例析[J]. 数理化解题研究(高中版), 2010,(09)

[7] 焦雅慧. 活变活用两定理解斜三角形问题[J]. 数学爱好者(高一版), 2007,(04)

[8] 沈惠林, 刘正军, 王海平. 正弦定理和余弦定理的应用[J]. 新高考(高一版), 2007,(06)

222sin sin sin cos 2sin sin C A A B C

+-=⋅22222sin sin sin sin sin sin sin C B A C B A C

+-=⇒=222

22b c a c b bc

+-=⋅