高中数学专题：三角函数的化简与求值

2＋3，
则常数 a＝________.
解析
1＋2cos2x－1 f(x)＝ 2cos x ＋sin
x＋a2sinx＋π4
＝cos x＋sin x＋a2sinx＋π4
＝ 2sinx＋4π＋a2sinx＋π4 ＝( 2＋a2)sinx＋4π. 依题意有 2＋a2＝ 2＋3， ∴a＝± 3.
答案 ± 3
α
＝2
2sin
α＝－2
5
5 .
答案 A
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4.已知f(x)＝sin2
x＋4π，若a＝f(lg
5)，b＝f(lg
1 5
)，则(
)
A.a＋b＝0
B.a－b＝0
C.a＋b＝1
D.a－b＝1
解析 a＝f(lg 5)＝sin2(lg 5＋4π)
1－cos2lg
2 .
又∵cosπ4－β2＝ 33，－2π<β<0， ∴sinπ4－β2＝ 36，
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∴cosα＋2β＝cosπ4＋α－π4－β2 ＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2 ＝13× 33＋232× 36＝593. 答案 C
＝－41＋34＋1＝23.
点评 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角 函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律 技巧．
变式训练2 (1)(四川)已知sin α＋2cos α＝0， 则2sin αcos α－cos2α的值是________． 解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2， 又∵2sin αcos α－cos2α＝2sinsiαn2cαo＋s αc－osc2αos2α
2θ＋2cos2θ2)(sin
2θ－cos
θ 2)
＝2cos θ2(sin2θ2－cos2θ2)
＝－2cos
θ 2cos θ.
－2cos 故原式＝
θ
2cos θ
θ ＝－cos
θ.
2cos 2
1＋cos 20° (2)求值： 2sin 20° －sin
10°(tan15°－tan
5°)．
解
原式＝2×2s2icno1s021°0co°s
2tan α－1 ＝ tan2α＋1 ，
2×－2－1 ∴原式＝ －22＋1 ＝－1. 答案 －1
(2)已知 cosπ6－θ＝a (|a|≤1)，则 cos56π＋θ＋sin23π－θ的值
是___0_____． 解析 cos56π＋θ＝cosπ－π6－θ ＝－cosπ6－θ＝－a. sin23π－θ＝sinπ2＋6π－θ＝cosπ6－θ＝a，
10°－sin
cos 10°( sin
55°°－csoins
5° 5°)
＝2csoisn
1100°°－sin
cos25°－sin25° 10°· sin 5°cos 5°
＝2csoisn
1100°°－sin
cos 10°·1
10°
2sin 10°
＝2csoisn 1100°°－2cos
cos 10°＝
解析 原式＝
sin 70°
2cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°－sin 20°
＝
sin 70°
＝ c3ocsos202°0°＝ 3.
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1.(陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A
4tan ＝5tan
αα－ ＋23＝45× ×22－ ＋23＝163.
方法二 由tan α＝2，得sin α＝2cos α，代入得 4sin α－2cos α 4×2cos α－2cos α 5sin α＋3cos α＝5×2cos α＋3cos α ＝163ccoossαα＝163.
(2)3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α的值．
1.六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名 不变，符号看象限”;一类是异名变换，即“函数名称变， 符号看象限”． 2.诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角 为最好！
例 2 (1)化简：tanπc－osα－coαs－2ππ－siαns－inπ－－αα＋ 32π；
解
方法一
－tan 原式＝
变式训练1 (2015·福建)若sin α＝－153，且α为第四象限角，
则tan α的值等于( D )
12 A. 5
B．－152
5 C.12
D．－152
解析 ∵sin α＝－153，且 α 为第四象限角， ∴cos α＝1123，
∴tan α＝csoins αα＝－152，故选 D.
题型二 利用诱导公式化简与求值
解 3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α
3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α
＝
sin2α＋cos2α
3tan2α＋3tan α－2 ＝ tan2α＋1
＝3×222＋2＋3×1 2－2＝156.
点评 本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐 次多项式．对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式 可以分子分母同除“cos α”的最高次幂，整式可以看成分 母为“1”，然后用sin2α＋cos2α代换“1”，变成分式后再 化简．
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 ∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝0;
cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α sin α＝cos α，故选A.
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2.已知 sin52π＋α＝15，那么 cos α 等于( C )
10°－2sin 2sin 10°
20°
cos 10°－2sin30°－10°
＝
2sin 10°
cos ＝
10°－212cos 10°－ 2sin 10°
23sin
10°
＝
23ssinin1100°°＝
3 2.
(3)设
1＋cos 2x f(x)＝2sinπ2－x＋sin
x＋a2sinx＋π4的最大值为
A.－52
B.－15
1 C.5
2 D.5
解析 sin52π＋α＝cos α＝15.
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3.若 tanα＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sicno2sα＋α－siπ4n2α等于(
)
A.－2
5 5
35 B. 10
C.－3105
25 D. 5
点评 (1)二倍角公式是三角变换的主要公式，应熟记、巧 用，会变形应用． (2)重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、 变式”;变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊 角;变名：尽可能减少函数名称;变式：对式子变形一般要尽 可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证 明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题 的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形．
∴cos56π＋θ＋sin23π－θ＝0.
题型三 利用其他公式、代换等化简求值
两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的 是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配 凑”．(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目 的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．(3)变式， 根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个 期 待 的 目 标 ， 其 手 法 通 常 有 “ 常 值 代 换 ”“ 逆 用 变 用 公 式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等．
变式训练3 (1)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差
数列，则tan A2＋tan
C2 ＋
3tan
A 2tan
C 的值为________． 2
解析 因为三个内角A，B，C成等差数列，
且A＋B＋C＝π，
所以 A＋C＝23π，A＋2 C＝π3，tan
A＋C 2＝
3，
所以 tan
A2＋tan
C2 ＋
解析 由 tanα＋4π＝t1a－n αta＋n α1＝12，
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得 tan α＝－13.
又－2π<α<0，所以
sin
α＝－
10 10 .
2sin2α＋sin 2α 2sin αsin α＋cos α
故
cosα－π4
＝
2 2 sin
α＋cos
例3
1＋sin (1)化简：
θ＋cos θsin 2＋2cos θ
2θ－cos
θ 2(0<θ<π)；
解 由 θ∈(0，π)，得 0<θ2<π2，
∴cos
θ 2>0.
因此 2＋2cos θ＝
4cos2θ2＝2cos
θ 2.
又(1＋sin θ＋cos θ)(sin
θ2－cos
θ 2)
＝(2sin
θ 2cos
α·cos[π＋π－α]·sinπ＋π2－α cosπ＋α·[－sinπ＋α]
－tan ＝
α·[－cosπ－α]·[－sinπ2－α] －cos α·sin α
－tan α·cos α·－cos α ＝ －cos α·sin α
－tan α·cos α ＝ sin α
＝－csoins
α cos α·sin