指数函数对数函数深入及导数、不定积分快速入门

对与任意的 ε 0 ，存在δ 0，使得当
‘ δ 时，
|
| 恒成立，
因此总能找到一个N 使得 N 时
|
| δ 恒成立，因而
|
| 恒成立。
同样 对与任意的 δ 0 ，存在ε 0，使得当
“ ε 时，
”
恒成立，
因此总能找到一个N 使得 N 时
|
| δ 恒成立，因而
|
| 恒成立。
取N max N |N ，这时，
，相对
于导函数，原先那个函数称作这个导函数的原函数。导函数求解过程用极限的表达方式，就 是：
∆
∆
∆
∆
显然有：
定理 3.1: 常值函数导数为零，零值函数的原函数是任意常值函数。
反过来，如果已知一个函数 数的不定积分，记作：
是连续函数，求这个函数的原函数
的过程，叫做求该函
d
称作被积函数，如果 存在，则称 可积。
(3.1)
证明：注意到
∆
∆–
∆
∆
∆–
除以∆ ，取极限即为所证。 定理 3.5：商函数的导数满足下面规则：
证明： Lim∆
∆ ∆
–
∆
lim
∆
∆
–
∆
∆
∆
lim
∆
∆
–
∆
∆
∆
∆
∆·
lim
∆
∆ ∆
·
–
· lim
∆
∆ ∆
·
·
–
·
·
–
·
。
定理 3.6: 是非零的整数时，幂函数 的导数为：
证明:
1时
∆ ∆
∆– ∆
1，为常数，极限也为 1。
1
!
∑
1
∑
!
1
!
因此可以得到cos 、sin 的展开式：
∑
!
–!
!…
!
∑
!
!– !
!…
!
利用此展开式，可以计算cos 、sin 的值。
从上面的展开式，可以很容易得到：
‘
‘
欧拉公式的另一个作用就是利用它很容易得到一些三角公式。比如利用
cos3 sin3
将最右端做展开，即可得到： 3 倍角公式
第六章 复数域上的对数函数
那么，对于定义域中的所有的实数，
也就是说，有理点确定的 理点的性质决定。
的连续函数是唯一的。
的连续函数可由它在有
证明：
根据实数的性质和有理数的稠密性，对于任意实数 ，均可以选取一个有理数列 ， ， ， ， 无限逼近 。即
对于任意的δ 0 ，总存在一个 N，使得
时
|
| δ 恒成立。
由于 、 的连续性，有
注意到： 1
乘以 在去减原式，得： 1
所以有：
令 1 ，则
1
1
1
1
1
第二节 自然对数函数的展开式
因为 是对数的导数，上式积分得:
ln
d
1
1
1
1
1 d
1
1
d
∵d d 1 d
d
d
d
1d
1
C ∑∞ 1
C
因为ln 1 0，所以C 0，即
∑∞
有时也用1 替换上式中的 得到幂级数形式：
∑∞
用此式可以计算对数函数的值。以下是对数函数的图像。
第五章 复数域上的指数函数及三角函数展开式
第一节 复数的幅角表示法
复数
的幅角表示形式为：
cos
sin
其中
√
tan
第二节 复数域的指数函数
复数的乘法可记作：
cos
sin
cos
sin
cos
sin
5.1
注意到乘积的结果是模相乘幅角相加。模相乘可以记作：
3.1 可改写为
cos
sin
cos
sin
cos
sin
证明：令
d F ，则复合函数
F
′
对 的导数为：
即
是F
的导数。于是有
dF
F
d
从定理 3.9 可以看出：
另外有： d
(4.1)
也就是说：
是有意义的， 被定义成 的微分。
参照(4.1)，有 d
由(3.1)，可得出以下定理：
定理 3.11：设连续函数 、 ，满足以下分部积分公式
第四章 对数函数展开式
第一节 的展开式
5.1’
如果令
z ln r
则上式满足 1.1 式，即：
所以， 是指数函数，且 1
即
6.2
由此可得出复数域上的指数函数的定义：
当
时：
6.3
第三节 欧拉公式及三角函数展开式
由 6.2 ，可以得到： 6.4
这就是著名的欧拉公式 6.4 左端用 2.4 展开，可以得到：
1 !–!
!
1
!
1
!
1– !
1
!
!– !
ln
定理 3.9：，定义 1.3 下的复合函数求导法则如下：
·
这个求导法则又称作链式求导法则。
证明：左边是ΔΔ 的 ∆
0 时的极限，因为∆
0，∆
0，左边可写作：
lim
∆
Δ Δ
lim
∆
Δ Δ
·
Δ Δ
lim
∆
Δ Δ
· lim
∆
Δ Δ
·
定理 3.10：复合函数 下换元积分公式
有连续函数
和可导函数
复合而成，则存在以
第一节 复数域上的对数函数
在复数域上的指数函数推导过程中，曾经为 cos
z ln r
这实际上定义了复数域上的对数。
定义：对于复数
，定义
sin 定义一个新复数z:
为复数 的对数函数，记作
显然满足： 与实数域上的对数函数性质一样。 问题六：复数域的对数函数和指数函数是反函数么？如何求对数函数的展开式？ 解答：因为
1.3 就是中学数学所讲的指数函数。
问题 1.2：如果 是
的一个连续函数， 满足：
1.5
求。
解答： 令 1，有：
1
所以
10
令 ，因为
2
所以，一般地对于自然数 有：
因为对于自然数 ，有；
所以有：
进而，对于所有的自然数 、 ，有：
因为：
0
1
·
所以：
进而，对于所有的自然数 、 ，有：
可见对于所有的有理数 ，
设 时成立，即 成立
则： 1
因此，对于所有的自然数，都成立。 根据商函数求导法则，有
··
设 时成立，即 则：
成立
·
·
1
因此，对于所有的负数，也成立。
定理 3.7：
如果存在反函数
，则后者的求导法则如下：
证明：∆ 0 时∆ 0 同样成立，反之亦然。故
y
lim
∆
Δ Δ
Δ ∆Δ
定理 3.8 ln
证明：注意到实数域上的自然对数是 e 指数函数的反函数。因此有
∑
! ∆·
当∆ 0 时，右边第二项趋近于 0，故有
∑
!
也就是速度 和 相同，同样可知加速度也相同。
第三章 导数与不定积分
第一节 导数及不定积分的定义
类似于运动中的速度是物体位置变化的快慢一样，数学上，
定义 3.1：一个函数
在 处的变化率，被称 在 处的导数，如果 的导数在
的定义域上存在，则称作 可导，或称 导函数存在。导函数记作 或
因此对数函数是指数函数的反函数。
问题 1.1：如果 是
的一个连续函数， 满足：
1.1
求。
解：
因为
说明 是
的函数。
令 1 中 0，得：
0
0
由于 的任意性， 可取值域中的任何值，故：
01
当 取自然数 时，根据 1 ，有
1
另由：
1
0
所以对于负数
1
当 取有理数 时，由于
1
∑
所以
1
1
所以对于所有的有理数 ：
1
如果令
1
1.2
则：
1.3 因此由上面的定理 1 可知在实数集 上， 的表达式依然是 1.3
∑
!
∑
!∑
!
∑
!∑
!
∑
!
2.2
其中：
C ∑C
1
因此 5.2 变为
∑
!
这说明， 一定是指数函数，现在确定 注意到 1 时， 5.1 右端为：
中的 。
1
1
!
!
!
2.3
上式记作 ，因此有：
!! !
,∞
∞
事实上 正好是自然对数的底，又叫常数，利用 1.7 式可以得到
指数函数的展开式：
注意到
2.4 2.7182818285
第一章 函数的连续性及指数函数对数函数定义
第一节 函数的连续性质
定义 1.1： 是
的函数， 在 点连续，是指：
对于任意给定 0 ，都存在一个 0，使得|
| 时，
|
|
恒成立
定义 1.2： 是
的函数，如果 在定义域上的每一点都连续，则称 是连续函数。
定理 1.1：如果 、 是
的连续函数，如果对于定义域中的所有有理数 ，
都成立。固定 ， 可以看作是 的函数。根据定理一，对于所有的实数 也都成立。
由于 可以取任何实数，而 是指数函数，具有连续性，通过上式也可以看出， 是整个 R，因此必定有个值 ，使得：
的值域
1
观察指数函数：
可知 的定义域为 ，值域是 ，因此
因此 是指数函数 的反函数，也就是对数函数: log
利用换底公式得： ln
第二章 指数函数的展开形式
第一节 指数型母函数
定义 2.1：对于给定的数列 ， ， ， ， 称：
∑
!
!
!
!
为指数型母函数 定理 2.1：设数列 、
的指数型母函数分别为：
∑
!，
∑
!
则
∑
!
其中 ∑
证明：直接验证既得。
第二节 指数函数展开式
问题 2.1：研究级数
1!
!
!
,∞
∞
2.1
的性质
研究：
∑
!
∑
!
–
–
–
|
||
|
由于ε、 的任意性，
|
| 0即
定理得证。
定义 1.3：如果映射
定义域和映射
的值域与 的定义域有公共交，则
以公共交集在原 定义域中的原像为定义域，公共交集在 下的像集为值域，在映射
关系
下构成一个新的映射，这个映射称为
和
的符合映射，
映射关系
称作复合函数。
第二节 连续性应用：指数函数与对数函数
得：
∑
!
2.5
其中
2.1 就是指数函数的展开式。利用此式可以计算任意实数的实数幂的值。
第三节 e 指数函数的特性
问题 2.2：假设有一个物体以运动方程：
尝试求一下它在 处的速度和加速度。 解答： 使用展开式
∑
!
有
∆∑
∆ !
∑
∑
!
C
∆
后式减前式得：
∆–
∑
!∑ C
∆
∆∑
Fra Baidu bibliotek
! ∆∑
∑
!
C
∆
除以∆ ，得：
∆– ∆
显然如果 的导数是 ，那么 以 的所有原函数记作：
加上任意常数 C 后，所得函数的导数也是
。所
对于 定理 3.2 和
，有
第二节 求导和求不定积分的方法
定理 3.3: 和函数的导数等于导函数之和，和函数的不定积分等于函数的不定积分之和。即：
定理 3.3 是显然的。 定理 3.4：积函数的导数满足下面规则：