高中数学选学2-1圆锥曲线与方程高频率考题练习附答案 教师版

高中数学选学2-1圆锥曲线与方程高频率考题练习附答案一、单选题（共15题；共30分）

1.已知抛物线的焦点为F，准线为l.若与双曲线x2

a2−y2

b2

=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交

于点A和点B，且|AB|=4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（）A. √2 B. √3 C. 2 D. √5【答案】 D

【解析】【解答】抛物线的准线l：x=−1

∵抛物线的准线为F，

∴|OF|=1

∵抛物线的准线与双曲线x2

a2−y2

b2

=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于A，B两点，且

|AB|=4|OF|=4，

∴A(−1，2)，B(−1，−2)，

将A点坐标代入双曲线渐近线方程得b

a

=2，

∴b2=4a2，

∴4a2=c2−a2，

即5a2=c2，

∴e=c

a

=√5.

故答案为：D.

【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标，|AB|=4|OF|得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合a,b,c的关系式得出出a,c的关系，即可求得离心率。

2.设F为双曲线C：x2

a2−y2

b2

=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆

x2+y2=a2交于P，Q两点.若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（）

A. √2

B. √3

C. 2

D. √5

【答案】A

【解析】【解答】根据题意可以设出以O为圆心圆的方程为x2+y2=a2,以OF为直径的圆的方程为：（x−

c 2）

2

+y2=(c

2

)2，联立两个圆的{

（x−c

2

）

2

+y2=(c

2

)2

x2+y2=a2

,两圆方程相减可得x=a2

c

,设PQ与x轴交于

M点，|OM|=a2

c |OP|=a,在直角三角形OMP中，

MP2=OP2−OM2=a

2−(a2

c

)2,又|PQ|=|OF|，∴

|PM|=|MP|=c

2即a2−a4

c2

=c2

4

,整理化简可得c4=4a2(c2−a2),等式两边同时除以a4,, c4

a4

=4(c2

a2

−

1), ∵e=c

a

∴e4−4e2+4=0,e2=2,e=√2.

故答案为：A

【分析】首先设出以OF为直径的圆的方程，联立两个圆的方程可求出两圆交点的横坐标，再结合直角三角形中的勾股定理，即可求出a与c的关系式然后再由整体思想求出关于e的方程解出即可。

3.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x2

3p +y2

p

=1的一个焦点，则p=（）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 8

【答案】 D

【解析】【解答】∵抛物线的焦点F(p,2,0),椭圆的焦点在x轴上则有a2=3p,b2=p,c2=2p, ∴c=

√2p，抛物线的焦点是椭圆的焦点∴p

2

=√2p,解出p=8.

故答案为：D

【分析】首先求抛物线的焦点坐标和椭圆的焦点坐标，令两个代数式相等求出结果即可。

4.已知双曲线与椭圆x2

25+y2

9=

1的焦点重合，它们的离心率之和为14

5

，则双曲线的渐近线方程为（）

A. y=±√3

3x B. y=±5

3

x C. y=±3

5

x D. y= ±√3x

【答案】D

【解析】【解答】解：椭圆x2

25+y2

9=

1，

焦点为（4，0），（﹣4，0），离心率e= 4

5

，

∴双曲线离心率为14

5﹣4

5

=2，

设双曲线中c=4，可得a=2，可得b=2 √3，

故双曲线的渐近线方程为：y= ±√3x．

故选：D．

【分析】求出椭圆的焦点坐标和离心率，进而求得双曲线离心率，根据离心率和焦点坐标建立方程组，求得a和b，则双曲线的渐近线方程即可．

5.如图，已知点B是椭圆x2

a2+y2

b2

=1(a>0,b>0)的短轴位于x轴下方的端点，过B作斜率为1的直线交

椭圆于点M，点P在y轴上，且PM//x轴，BP→·BM→=9，若点P的坐标为（0，t），则t的取值范围是（）

A. 0

B. 0

C. 0

2D. 0

2

【答案】C

【解析】【解答】由题意可得B（0，-b)

∴直线MB的方程为y=x-b

联立方程, 可得

∴M，

∵PM∥x轴

∴P

∴. =，. =

∵· =9，

由向量的数量积的定义可知，| || |cos45°=9 即|. |=3

∵P（0，t)，B（0，-b)

∴

∴即

∵t=3-b＜b

∴b＞，t＜

由a＞b得

∴b＜3

∴t＞0

综上所述0＜t＜

故选C