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北京市高考数学试题

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2022年北京市高考数学试题(含答案解析)

2022年北京市高考数学试题(含答案解析)
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出以 为球心，5为半径的球与底面 的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点 在底面上的投影为 ，连接 ，则 为三角形 的中心，
且 ，故 .
因为 ，故 ，
故 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
而三角形 内切圆的圆心为 ，半径为 ，
故 的轨迹圆在三角形 内部，故其面积为
当 ， 时，因 ,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
8.若 ，则 （）
A. 40B. 41C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用赋值法可求 的值.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.
9.已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集合．设集合 ，则T表示的区域的面积为（）
C.当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D.当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】
【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项.
【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，

2023年高考数学真题试卷(北京卷)附详细解答

2023年高考数学真题试卷(北京卷)附详细解答

2023年北京市高考数学试卷一、选择题：本题共10小题,每小题4分,共40分.1. 已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣,则M N ⋂=（ ）A. {21}xx -≤<∣ B. {21}x x -<≤∣ C. {2}x x ≥-∣D. {1}x x <∣2. 在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(-,则z 的共轭复数z =（ ）A. 1B. 1-C.1-+D. 1-3. 已知向量a b ，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-,则22||||a b -=（ ） A. 2-B. 1-C. 0D. 14. 下列函数中,在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. ()ln f x x =- B. 1()2xf x =C. 1()f x x=-D. |1|()3x f x -=5. 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（ ）． A. 80-B. 40-C. 40D. 806. 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5,则||MF =（ ）A. 7B. 6C. 5D. 47. 在ABC ∆中,()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-,则C ∠=（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π68. 若0xy ≠,则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美．如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ===,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD ,则该五面体的所有棱长之和为（ ）A. 102mB.112mC. 117mD. 125m10. 已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+=,则（ ） A. 当13a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立 B. 当15a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数6M ≤,使得n a M <恒成立 C. 当17a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数6M >,使得n a M >恒成立 D. 当19a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数0M >,使得n a M <恒成立二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分．11. 已知函数2()4log xf x x =+,则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭____________．12. 已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0),,则C 的方程为____________． 13. 已知命题:p 若,αβ为第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>．能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________,β= _________．14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且1591,12,192a a a ===,则7a =___________；数列{}n a 所有项的和为____________．15. 设0a >,函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a +<-⎧=-≤≤>⎪⎩,给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减； ②当1a ≥时,()f x 存在最大值； ③设()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x xa ≤>,则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-．若||PQ 存在最小值,则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题,共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 如图,在三棱锥-P ABC 中,PA ⊥平面ABC,1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面P AB ； （2）求二面角A PC B --的大小．17. 设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭．（1）若(0)f =求ϕ的值． （2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知,使函数()f x 存在,求,ωϕ的值．条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭条件①：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； 条件①：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求,第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分．18. 为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示．在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同．用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为3,A 、C 分别是E 的上、下顶点,B ,D分别是E 的左、右顶点,||4AC =． （1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点,直线PD 与直线BC 交于点M ,直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．20. 设函数3()e ax b f x x x +=-,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1+-=x y ． （1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x '=,求()g x 的单调区间； （3）求()f x 的极值点个数．21. 已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >,且,{1,2,,},n n a b m ∈{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ,并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈,定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣,其中,max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======,求0123,,,r r r r 的值； （2）若11a b ≥,且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=-,求n r ；（3）证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈,满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+．2023年北京市高考数学试卷解析一、选择题：本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. A解：由题意,{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣,{10}{|1}N x x x x =-<=<∣ 根据交集的运算可知,{|21}M N x x =-≤<.故选：A 2. D解：z 在复平面对应的点是(-,根据复数的几何意义,1z =-+由共轭复数的定义可知,1z =-. 故选：D 3. B解：向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- 所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B 4. C解：对于A,因为ln y x =在()0,∞+上单调递增,y x =-在()0,∞+上单调递减 所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减,故A 错误； 对于B,因为2xy =在()0,∞+上单调递增,1y x=在()0,∞+上单调递减 所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减,故B 错误； 对于C,因为1y x=在()0,∞+上单调递减,y x =-在()0,∞+上单调递减 所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增,故C 正确；对于D,因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --===== 显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调,D 错误.故选：C. 5. D解：512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()55521551212rr r rr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令521r -=得2r =所以512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()252251280C --=故选：D 6. D解：因为抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ,准线方程为2x =-,点M 在C 上所以M 到准线2x =-的距离为MF 又M 到直线3x =-的距离为5 所以15MF +=,故4MF =. 故选：D. 7. B解：因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-,即222a c ab b -=-则222a b c ab +-=,故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===又0πC <<,所以π3C =. 故选：B. 8. C解：因为0xy ≠,且2x yy x+=- 所以222x y xy +=-,即2220x y xy ++=,即()20x y +=,所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件. 故选：C 9. C解：如图,过E 做EO ⊥平面ABCD ,垂足为O ,过E 分别做EG BC ⊥,EM AB ⊥,垂足分别为G ,M ,连接,OG OM由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠所以5tan tan EMO EGO ∠=∠=. 因为EO ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以EO BC ⊥ 因为EG BC ⊥,,EO EG ⊂平面EOG ,EO EG E ⋂= 所以BC ⊥平面EOG ,因为OG ⊂平面EOG ,所以BC OG ⊥ 同理：OM BM ⊥,又BM BG ⊥,故四边形OMBG 是矩形所以由10BC =得5OM =,所以EO 所以5OG =所以在直角三角形EOG 中,EG ==在直角三角形EBG 中,5BG OM ==,8EB ===又因为55255515EF AB =--=--=所有棱长之和为2252101548117m ⨯+⨯++⨯=. 故选：C 10.B解：因为()311664n n a a +=-+,故()311646n n a a +=-- 对于A ,若13a =,可用数学归纳法证明：63n a -≤-即3n a ≤ 证明：当1n =时,1363a -=≤--,此时不等关系3n a ≤成立； 设当n k =时,63k a -≤-成立 则()3162514764,4k k a a +⎛⎫-∈--- ⎝=⎪⎭,故136k a +≤--成立由数学归纳法可得3n a ≤成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦()20144651149n a --=-≥>,60n a -<,故10n n a a +-<,故1n n a a +< 故{}n a 为减数列,注意1063k a +-≤-< 故()()()()23111666649644n n n n n a a a a a +-=≤-=-⨯--,结合160n a +-< 所以()16694n n a a +--≥,故119634n n a +-⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,故119634n n a +-⎛⎫≤- ⎪⎝⎭若存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立,则19634n M -⎛⎫-> ⎪⎝⎭故16934n M --⎛⎫> ⎪⎝⎭,故9461log 3Mn -<+,故n a M >恒成立仅对部分n 成立 故A 不成立. 对于B ,若15,a 可用数学归纳法证明：106n a --≤<即56n a ≤<证明：当1n =时,10611a ---≤≤=,此时不等关系56n a ≤<成立；设当n k =时,56k a ≤<成立 则()31164416,0k k a a +⎛⎫-∈-⎪⎝=⎭-,故1106k a +--≤<成立即 由数学归纳法可得156k a +≤<成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦()201416n a --<,60n a -<,故10n n a a +->,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列 若6M =,则6n a <恒成立,故B 正确.对于C ,当17a =时, 可用数学归纳法证明：061n a <-≤即67n a <≤ 证明：当1n =时,1061a <-≤,此时不等关系成立； 设当n k =时,67k a <≤成立 则()31160,4164k k a a +⎛⎤-∈ ⎥⎝=⎦-,故1061k a +<-≤成立即167k a +<≤ 由数学归纳法可得67n a <≤成立. 而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=--<⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +<,故{}n a 为减数列 又()()()2111666644n n n n a a a a +-=-⨯-≤-,结合160n a +->可得：()111664nn a a +⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭,所以1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭若1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,若存在常数6M >,使得n a M >恒成立 则164n M ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立,故()14log 6n M ≤-,n 的个数有限,矛盾,故C 错误.对于D ,当19a =时, 可用数学归纳法证明：63n a -≥即9n a ≥ 证明：当1n =时,1633a -=≥,此时不等关系成立； 设当n k =时,9k a ≥成立则()3162764143k k a a +-≥=>-,故19k a +≥成立 由数学归纳法可得9n a ≥成立. 而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=-->⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列 又()()()2119666446n n n n a a a a +->=-⨯--,结合60n a ->可得：()11116396449n n n a a --+⎭-⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭> ,所以114963n n a -+⎛⎫ ⎪⎭≥+⎝若存在常数0M >,使得n a M <恒成立,则19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭故19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭,故946log 13M n -⎛⎫<+⎪⎝⎭,这与n 的个数有限矛盾,故D 错误. 故选：B.二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分．11. 1解：函数2()4log xf x x =+,所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：112. 22122x y -=解：令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ,显然双曲线C 的中心为原点,焦点在x 轴上,其半焦距2c =由双曲线C,得ca=解得a =则b ==所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=13. ①9π4 ① π3解：因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,若00π02<<<αβ,则00tan tan <αβ取1020122π,2π,,k k k k =+=+∈Z ααββ则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k =+==+=αααβββ,即tan tan αβ<令12k k >,则()()()()102012002π2π2πk k k k -=+-+=-+-αβαβαβ因为()1200π2π2π,02k k -≥-<-<αβ,则()()12003π2π02k k -=-+->>αβαβ 即12k k >,则αβ>. 不妨取1200ππ1,0,,43k k ====αβ,即9ππ,43αβ==满足题意. 故答案为：9ππ;43. 14. ① 48 ① 384解：设前3项的公差为d ,后7项公比为0q >则4951921612a q a ===,且0q >,可得2q则53212a a d q=+=,即123d +=,可得1d = 空1：可得43733,48a a a q ===空2：()127693121233232338412a a a -=+++⨯+⋅⋅⋅+⨯=+=-+++15. ②③解：依题意,0a >当x a <-时,()2f x x =+,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当a x a -≤≤时,()f x =易知其图像是,圆心为()0,0,半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时,()1f x =,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①,取12a =,则()f x 的图像如下显然,当(1,)x a ∈-+∞,即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,故①错误；对于②,当1a ≥时当x a <-时,()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时,()f x =a ；当x a >时,()112f x =<≤- 综上：()f x 取得最大值a ,故②正确；对于③,结合图像,易知在1x a =,2x a >且接近于x a =处,()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小当1x a =时,()10y f x ==,当2x a >且接近于x a =处,()221y f x =<此时,1211MN y y >->>,故③正确；对于④,取45a =,则()f x 的图像如下因为()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <-≥-结合图像可知,要使PQ 取得最小值,则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上,点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭ 同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a 此时,因为()425f x y x x ⎛⎫==+<-⎪⎝⎭的斜率为1,则1OP k =-,故直线OP 的方程为y x =-联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩,解得11x y =-⎧⎨=⎩,则()1,1P -显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上,满足PQ 取得最小值 即45a =也满足PQ 存在最小值,故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤⎥⎝⎦,故④错误. 故答案为：②③.三、解答题：本题共6小题,共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （1）证明见解析 （2）π3【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC所以PA BC ⊥,同理PA AB ⊥ 所以PAB 为直角三角形又因为PB ==,1,BC PC ==所以222PB BC PC +=,则PBC 为直角三角形,故BC PB ⊥ 又因为BC PA ⊥,PA PB P =所以BC ⊥平面PAB . 【小问2详解】由（1）BC ⊥平面PAB ,又AB ⊂平面PAB ,则BC AB ⊥以A 为原点,AB 为x 轴,过A 且与BC 平行的直线为y 轴,AP 为z 轴,建立空间直角坐标系如图则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =,则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =,则11y =-,所以(1,1,0)m =- 设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z =,则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩ 令21x =,则21z =,所以(1,0,1)n =所以11cos ,22m n m n m n⋅===⨯又因为二面角A PC B --为锐二面角 所以二面角A PC B --的大小为π3. 17. （1）π3ϕ=-. （2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件①可解得1ω=,π6ϕ=-. 【小问1详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()(0)sin 0cos cos 0sin sin f ωϕωϕϕ=⋅+⋅== 因为π||2ϕ<,所以π3ϕ=-. 【小问2详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><,所以() f x 的最大值为1,最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1,最小值为1-,所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故条件①不能使函数()f x 存在； 若选条件②：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω== 所以()()sin f x x ϕ=+又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=-+∈ 所以π2π,Z 6k k ϕ=-+∈,因为||2ϕπ<,所以π6ϕ=-.所以1ω=,π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-,即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 以下与条件②相同． 18. （1）0.4 （2）0.168 （3）不变 【小问1详解】根据表格数据可以看出,40天里,有16个+,也就是有16天是上涨的 根据古典概型的计算公式,农产品价格上涨的概率为：160.440= 【小问2详解】在这40天里,有16天上涨,14天下跌,10天不变,也就是上涨,下跌,不变的概率分别是0.4,0.35,0.25于是未来任取4天,2天上涨,1天下跌,1天不变的概率是22142C 0.4C 0.350.250.168⨯⨯⨯⨯=【小问3详解】由于第40天处于上涨状态,从前39次的15次上涨进行分析,上涨后下一次仍上涨的有4次.不变的有9次,下跌的有2次. 因此估计第41次不变的概率最大.19. （1）22194x y +=（2）证明见解析 【小问1详解】依题意,得c e a ==,则c =又,A C 分别为椭圆上下顶点,4AC =,所以24b =,即2b = 所以2224a c b -==,即22254499a a a -==,则29a = 所以椭圆E 的方程为22194x y +=.【小问2详解】因为椭圆E 的方程为22194x y +=,所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --因为P 为第一象限E 上的动点,设()(),03,02P m n m n <<<<,则22194m n +=易得022303BC k +==---,则直线BC 的方程为223y x =--033PDn n k m m -==--,则直线PD 的方程为()33n y x m =--联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩,解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩,即 ()332612,326326n m n M n m n m -+⎛⎫- ⎪+-+-⎝⎭而220PA n n k m m --==-,则直线PA 的方程为22n y x m-=+ 令=2y -,则222n x m --=+,解得42m x n -=-,即4,22m N n -⎛⎫-⎪-⎝⎭又22194m n +=,则22994n m =-,2287218m n =- 所以()()()()()()12264122326332696182432643262MNnn m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++-- ()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+ 又022303CD k +==-,即MN CD k k = 显然,MN 与CD 不重合,所以//MN CD . 20. （1）1,1a b =-= （2）答案见解析 （3）3个 【小问1详解】 因为3R ()e,ax bf x x x x +=-∈,所以()()2313e ax bf x a x x ++'=-因为()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为1+-=x y 所以(1)110f =-+=,(1)1f '=-则()311e 013e 1a b a ba ++⎧-⨯=⎪⎨-+=-⎪⎩,解得11a b =-⎧⎨=⎩ 所以1,1a b =-=. 【小问2详解】由（1）得()()()()231R 13e x g f x x xx x -+'-==∈-则()()1266ex x g x x x -+'+-=-令2660x x -+=,解得3x =±不妨设13x =23x =,则120x x << 易知1e 0x -+>恒成立.所以令()0g x '<,解得10x x <<或2x x >；令()0g x '>,解得0x <或12x x x<<；所以()g x 在()10,x ,()2,x +∞上单调递减,在(),0∞-,()12,x x 上单调递增即()g x 的单调递减区间为(0,3和()3++∞,单调递增区间为(),0∞-和(3.【小问3详解】 由（1）得()31R ()ex f x x x x -+=-∈,()()23113e x f x x x -+'-=-由（2）知()f x '在()10,x ,()2,x +∞上单调递减,在(),0∞-,()12,x x 上单调递增当0x <时,()24011e f '-=<-,()010f '=>,即()()010f f ''-<所以()f x '在(),0∞-上存在唯一零点,不妨设为3x ,则310x -<<此时,当3<x x 时,()0f x '<,则()f x 单调递减；当30x x <<时,0)('>x f ,则()f x 单调递增；所以()f x 在(),0∞-上有一个极小值点； 当()10,x x ∈时,()f x '在()10,x 上单调递减则()(()131120f x f f '''=<=-<,故()()100f f x ''< 所以()f x '在()10,x 上存在唯一零点,不妨设为4x ,则410x x <<此时,当40x x <<时,0)('>x f ,则()f x 单调递增；当41x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递减；所以()f x 在()10,x 上有一个极大值点； 当()12,x x x ∈时,()f x '在()12,x x 上单调递增则()(()23310f x f f '''=>=>,故()()120f x f x ''< 所以()f x '在()12,x x 上存在唯一零点,不妨设为5x ,则152x x x <<此时,当15x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递减；当52x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递增；所以()f x 在()12,x x 上有一个极小值点；当233x x >=>时,()232330x x x x -=-<所以()()231013ex f x x x-+'=->-,则()f x 单调递增所以()f x 在()2,x +∞上无极值点；综上：()f x 在(),0∞-和()12,x x 上各有一个极小值点,在()10,x 上有一个极大值点,共有3个极值点.21. （1）00r =,11r =,21r =,32r = （2）,n r n n =∈N （3）证明见详解 【小问1详解】由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ======== 当0k =时,则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=,故00r =； 当1k =时,则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=,故11r =； 当2k =时,则22232,0,1,,,i B A i B A B A ≤=>>故21r =； 当3k =时,则333,0,1,2,i B A i B A ≤=>,故32r =； 综上所述：00r =,11r =,21r =,32r =. 【小问2详解】由题意可知：n r m ≤,且n r ∈N因为1,1n n a b ≥≥,则111,1n n A a B b ≥=≥=,当且仅当1n =时,等号成立 所以010,1r r ==又因为112i i i r r r -+≤+,则11i i i i r r r r +--≥-,即112101m m m m r r r r r r ----≥-≥⋅⋅⋅≥-= 可得11i i r r +-≥反证：假设满足11n n r r +->的最小正整数为11j m ≤≤- 当i j ≥时,则12i i r r +-≥；当1i j ≤-时,则11i i r r +-=则()()()112100m m m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-又因为11j m ≤≤-,则()2211mr m j m m m m ≥-≥--=+> 假设不成立,故11n n r r +-=即数列{}n r 是以首项为1,公差为1的等差数列,所以01,n r n n n =+⨯=∈N .【小问3详解】（①）若m m A B ≥,构建,1n n n r S A B n m =-≤≤,由题意可得：0n S ≥,且n S 为整数 反证,假设存在正整数K ,使得K S m ≥ 则1,0K K K r K r A B m A B +-≥-<,可得()()111K K K K K r r r K r K r b B B A B A B m +++=-=---> 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾,故对任意1,n m n ≤≤∈N ,均有1n S m ≤-. ①若存在正整数N ,使得0N N N r S A B =-=,即N N r A B = 可取0,,N r p q N s r ====,使得p s q r B B A A +=+； ①若不存在正整数N ,使得0N S = 因为{}1,2,1n S m m ∈⋅⋅⋅-,且1n m ≤≤ 所以必存在1X Y m ≤<≤,使得X Y S S = 即X Y X r Y r A B A B -=-,可得Y X X r Y r A B A B +=+ 可取,,,Y X p X s r q Y r r ====,使得p s q r B B A A +=+； （①）若m m A B <,构建,1n n r n S B A n m =-≤≤,由题意可得：0n S ≤,且n S 为整数 反证,假设存在正整数K ,使得K S m ≤- 则1,0K K r K r K B A m B A +-≤--> 可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=---> 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾,故对任意1,n m n ≤≤∈N ,均有1n S m ≥-. ①若存在正整数N ,使得0N N r N S B A =-=,即N N r A B = 可取0,,N r p q N s r ====,使得p s q r B B A A +=+；②若不存在正整数N ,使得0N S = 因为{}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅-,且1n m ≤≤ 所以必存在1X Y m ≤<≤,使得X Y S S = 即X Y r X r Y B A B A -=-,可得Y X X r Y r A B A B +=+ 可取,,,Y X p X s r q Y r r ====,使得p s q r B B A A +=+；综上所述：存在0,0p q m r s m ≤<≤≤<≤使得ps q r B B A A +=+．。

2020年北京市高考数学试卷及其详细解析

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初高中数学学习资料的店第1页（共18页） 初高中数学学习资料的店2020年北京市高考数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{1A =-，0，1，2}，{|03}B x x =<<，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1，2}D ．{1，2} 2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则(i z = ) A ．12i + B ．2i -+ C ．12i - D ．2i -- 3．在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为( )A ．5-B ．5C ．10-D ．104．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为( )A ．63+B ．623+C ．123D ．1223+ 5．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．76．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( )A ．(1,1)-B ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞C ．(0,1)D ．(-∞，0)(1⋃，)+∞7．设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP 9．已知α，R β∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π)Day ．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔卡西的方法，π的近似值的表达式是( )。

2020年北京市高考数学试卷

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2020年北京市高考数学试卷一、选择题1. 已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|0<x<3}，则A∩B=( )A.{−1,1,2}B.{−1,0,1}C.{1,2}D.{0,1}2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=( )A.1−2iB.1+2iC.−2−iD.−2+i3. 在(√x−2)5的展开式中，x2的系数为( )A.−10B.−5C.10D.54. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为( )A.12+√3B.6+√3C.12+2√3D.6+2√35. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )A.6B.4C.7D.56. 已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集是( )A.(0,1)B.(−1,1)C.(−∞,0)∪(1,+∞)D.(−∞,−1)∪(1,+∞)7. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线异于O的一点，过P做PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线( ) A.平行于直线OP B.经过点O C.垂直于直线OP D.经过点P8. 在等差数列{a n}中，a1=−9，a5=−1，记T n=a1a2⋯a n(n=1,2,…)，则数列{T n}( )A.无最大项，有最小项B.有最大项，有最小项C.无最大项，无最小项D.有最大项，无最小项9. 已知α，β∈R，则“存在k∈Z，使得α=kπ+(−1)kβ"是“sinα=sinβ”的( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.既不充分也不必要条件D.必要而不充分条件10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达方式是( )A.3n(sin60∘n+tan60∘n) B.3n(sin30∘n+tan30∘n)C.6n(sin60∘n+tan60∘n) D.6n(sin30∘n+tan30∘n)二、填空题11. 函数f(x)=1x+1+ln x的定义域是________.12. 已知双曲线C:x26−y23=1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________. 13. 已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP→=12(AB→+AC→)，则|PD→|=________；PB→⋅PD→=________.14. 若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________.15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示． 给出下列四个结论：①在[t 1,t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；④甲企业在[0, t 1] ，[t 1, t 2]，[t 2, t 3]这三段时间中，在[0, t 1]的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题16. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点． (1)求证： BC 1//平面AD 1E ；(2)求直线AA 1与平面AD 1E 所成角的正弦值．17. 在△ABC 中，a +b =11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积. 条件①：c =7，cos A =−17； 条件②：cos A =18，cos B =916.18. 某校为举办甲乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二，为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：(1)分别估计该校男生支持方案一的概率，该校女生支持方案一的概率；(2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为P 0，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为P 1，试比较P 0与P 1的大小．（结论不要求证明）19. 已知函数f (x )=12−x 2.(1)求曲线y =f (x )的斜率等于−2的切线方程；(2)设曲线y =f (x )在点(t,f (t ))处的切线与坐标轴围成的三角形面积为S (t )，求S (t )的最小值．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1过点A (−2,−1)，且a =2b . (1)求椭圆C 的方程．(2)过点B(−4, 0)的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x =−4于点P ，Q ，求|PB||BQ|的值.21. 已知{a n }是无穷数列，给出两个性质：①对于{a n }中任意两项a i ，a j (i >j )，在{a n }中都存在一项a m ，使得a i2a j =a m .②对于{a n }中任意一项a n (n ≥3)，在{a n }都存在两项a k ,a l (k >l )，使得a n =a k2a l.(1)若a n =n (n =1,2,⋯)，判断{a n }是否满足性质①，说明理由；(2)若a n =2n−1(n =1,2,⋯)，判断数列{a n }是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(3)若{a n}是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{a n}为等比数列．参考答案与试题解析2020年北京市高考数学试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复验热数术式工乘除运算复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】二项式射理的应题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】由三视于求表械积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】点与圆常位陆关系两点间来距离循式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】抛物常的铝义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】数列与函于单调术问题等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】已知较虑湿数滤型的应用问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题11.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气渐近线双曲线根标准方仅点到直使的距离之式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】此题暂无答案【考点】平面常量么量积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】此题暂无答案【考点】三角水三的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】此题暂无答案【考点】直线的使象特征原倾回角通斜率的关系直体的氯率函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题16.【答案】此题暂无答案【考点】用空射向空求直式与夏面的夹角直线与平三平行定判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与表擦正弦公式三角形射面积公放余于视理正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】此题暂无答案【考点】相互常立事簧的车号乘法公式概使的钡义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】此题暂无答案【考点】圆锥来线中雨配点缺定值问题椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】此题暂无答案【考点】数三的最用等比数表的弹项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020年北京市高考数学试卷(精品解析版)

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绝密★本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）．A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义直接得结果. 【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）． A. 12i + B. 2i -+C. 12i -D. 2i --【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-. 故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.3. 在52)的展开式中，2x 的系数为（ ）．A. 5-B. 5C. 10-D. 10【答案】C 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可. 【详解】()52x -展开式的通项公式为：()()()55215522r rrrr r r T Cx C x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．A. 63B. 623+C. 123+D. 123+【答案】D 【解析】 【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 6012232S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345+=，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6. 已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）．A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】作出函数2xy =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7. 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP【答案】B 【解析】 【分析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8. 在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项【答案】B 【解析】 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=， 故数列{}n T 中正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9. 已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦； (2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A. 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B. 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n ︒︒=⨯，每条边长为302sin n︒， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞ 【解析】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12. 已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】 (1). ()3,0 (2).【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a =b =3c =，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=.故答案为：()3,0.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.13. 已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1). (2). 1-【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-， 因此，()22215PD =-+=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.5；1-.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14. 若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________． 【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()()22cos sin 1f x x ϕϕθ=+++，可得()22cos sin 12ϕϕ++=，即可解出.【详解】因为()()()()22cos sin sin 1cos cos sin 1f x x x x ϕϕϕϕθ=++=+++，()22cos sin 12ϕϕ++=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法可计算出直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ， 1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅. 因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23. 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17. 在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值： （Ⅱ）sin C 和ABC 面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S = 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =. 【解析】 【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin ,sin A B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 77A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin A B ∴====由正弦定理得：6sin sin a b a A B ===（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34； （Ⅱ）1336,（Ⅲ）01p p < 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果； （Ⅲ）先求0p ，再根据频率估计概率1p ，即得大小. 【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()(1)3433436C -+-=; （Ⅲ）01p p <【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19. 已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值． 【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=. （Ⅱ）显然0t ≠， 因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+. 很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y BQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2kn la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得123,,a a a 成等比数列，之后证得1234,,,a a a a 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证. 【详解】(Ⅰ){}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴不具有性质①；(Ⅱ){}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴具有性质①；{}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴具有性质②；(Ⅲ)解法一首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<， 第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<<，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<， 由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知：0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23kla a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <， 此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k km k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥ （*） 由②得：存在s t >，满足：21s s k s s t ta aa a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+， 由()111s s a a qs k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>= （**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a qa q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-， 注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--， 代入（**）式，从而11kk a a q +=.总上可得，数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q -=.即数列{}n a 为等比数列. 解法二：假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取3n =，此时23()kla a k l a =>， 由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <， 此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，即123,,a a a 成等比数列，不妨设22131,(1)a a q a a q q ==>，然后利用性质①：取3,2i j ==，则224331121m a a q a a q a a q ===， 即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面我们来证明341a a q =，否则，由数列的单调性可知341a a q <，在性质②中，取4n =，则24k k k k l l a aa a a a a ==>，从而4k <， 与前面类似的可知则存在{,}{1,2,3}()k l k l ⊆>，满足24kl a a a =，若3,2k l ==，则：2341kla a a q a ==，与假设矛盾； 若3,1k l ==，则：243411kla a a q a q a ==>，与假设矛盾； 若2,1k l ==，则：22413kla a a q a a ===，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数,k l ，可见341a a q <不成立，从而341a a q =，然后利用性质①：取4,3i j ==，则数列中存在一项2264411231m a a q a a q a a q===，下面我们用反证法来证明451a a q ，否则，由数列的单调性可知34151a q a a q <<，在性质②中，取5n =，则25k k k k l la a a a a a a ==>，从而5k <， 与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3,4k l k l ⊆>，满足25k la a a =， 即由②可知：22222115111k k l k l l a a q a a q a a q----===， 若214k l --=，则451a a q ，与假设矛盾；若214k l -->，则451a a q >，与假设矛盾；若214k l --<，由于,k l 为正整数，故213k l --≤，则351a a q ≤，与315a q a <矛盾；综上可知，假设不成立，则451a a q . 同理可得：566171,,a a q a a q ==，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.衡石量书整理。

北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题汇编专题05三角函数与解三角形(解析版)

北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题汇编专题05三角函数与解三角形(解析版)

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题05三角函数与解三角形1．【2022年北京卷05】已知函数f(x)=cos 2x −sin 2x ，则（ ） A ．f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B ．f(x)在(−π4,π12)上单调递增C ．f(x)在(0,π3)上单调递减D ．f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C 【解析】因为f (x )=cos 2x −sin 2x =cos2x .对于A 选项，当−π2<x <−π6时，−π<2x <−π3，则f (x )在(−π2,−π6)上单调递增，A 错； 对于B 选项，当−π4<x <π12时，−π2<2x <π6，则f (x )在(−π4,π12)上不单调，B 错； 对于C 选项，当0<x <π3时，0<2x <2π3，则f (x )在(0,π3)上单调递减，C 对； 对于D 选项，当π4<x <7π12时，π2<2x <7π6，则f (x )在(π4,7π12)上不单调，D 错. 故选：C.2．【2021年北京7】函数f(x)=cosx −cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98【答案】D由题意，f(−x)=cos(−x)−cos(−2x)=cosx −cos2x =f(x)，所以该函数为偶函数， 又f(x)=cosx −cos2x =−2cos 2x +cosx +1=−2(cosx −14)2+98， 所以当cosx =14时，f(x)取最大值98. 故选：D.3．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．真题汇总A．3n(sin30°n +tan30°n)B．6n(sin30°n+tan30°n)C．3n(sin60°n +tan60°n)D．6n(sin60°n+tan60°n)【答案】A 【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n ，其周长为12ntan30°n，∴2π=12nsin 30°n+12ntan30°n2=6n(sin30°n+tan30°n)，则π=3n(sin30°n +tan30°n).故选：A.4．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】解：由题意d=√1+m2=|√m2+1sin(θ+α)−2|√m+1，tanα=1m=y x，∴当sin（θ+α）＝﹣1时，d max＝12√m+1≤3．∴d的最大值为3．故选：C．5．【2016年北京理科07】将函数y＝sin（2x−π3）图象上的点P（π4，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则（）A．t=12，s的最小值为π6B．t=√32，s的最小值为π6C．t=12，s的最小值为π3D．t=√32，s的最小值为π3【答案】解：将x=π4代入得：t＝sinπ6=12，将函数y＝sin（2x−π3）图象上的点P向左平移s个单位，得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）＝cos2s =12，则2s =±π3+2k π，k ∈Z ， 则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π6，故选：A ．6．【2022年北京卷13】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3，则A =________；f(π12)=________． 【答案】 1 −√2 【解析】∵f(π3)=√32A −√32=0，∴A =1∴f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3)f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sin π4=−√2故答案为：1，−√27．【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）.8．【2019年北京理科09】函数f （x ）＝sin 22x 的最小正周期是 ． 【答案】解：∵f （x ）＝sin 2（2x ），∴f （x ）=−12cos(4x)+12， ∴f （x ）的周期T =π2， 故答案为：π2．9．【2018年北京理科11】设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．【答案】解：函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，可得：ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23，k ∈Z ，ω＞0 则ω的最小值为：23． 故答案为：23．10．【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α=13，则cos （α﹣β）＝ ．【答案】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sin α＝sin β=13，cos α＝﹣cos β，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=29−1=−79方法二：∵sin α=13， 当α在第一象限时，cos α=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=−2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79 ：∵sin α=13，当α在第二象限时，cos α=−2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=2√23，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos （α﹣β）=−79， 故答案为：−7911．【2015年北京理科12】在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2A sinC= ．【答案】解：∵△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴cos C =16+25−362×4×5=18，cos A =25+36−162×5×6=34∴sin C =3√78，sin A =√74， ∴sin2A sinC=2×√74×343√78=1．故答案为：1．12．【2014年北京理科14】设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f （2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ．【答案】解：由f （π2）＝f （2π3），可知函数f （x ）的一条对称轴为x =π2+2π32=7π12， 则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0）， 由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T4⇒T ＝π．故答案为：π．13．【2022年北京卷16】在△ABC 中，sin2C =√3sinC ． (1)求∠C ；(2)若b =6，且△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长． 【答案】(1)π6 (2)6+6√3 【解析】(1)解：因为C ∈(0,π)，则sinC >0，由已知可得√3sinC =2sinCcosC ，可得cosC =√32，因此，C =π6.(2)解：由三角形的面积公式可得S △ABC =12absinC =32a =6√3，解得a =4√3.由余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2abcosC =48+36−2×4√3×6×√32=12，∴c =2√3，所以，△ABC 的周长为a +b +c =6√3+6.14．【2021年北京16】已知在△ABC 中，c =2bcosB ，C =2π3．（1）求B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①c=√2b；②周长为4+2√3；③面积为SΔABC=3√34；【答案】（1）π6；（2）答案不唯一，具体见解析．（1）∵c=2bcosB，则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB，∴sin2B=sin2π3=√32，∵C=2π3，∴B∈(0,π3)，2B∈(0,2π3)，∴2B=π3，解得B=π6；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得cb =sinCsinB=√3212=√3，与c=√2b矛盾，故这样的△ABC不存在；若选择②：由（1）可得A=π6，设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得a=b=2Rsinπ6=R，c=2Rsin2π3=√3R，则周长a+b+c=2R+√3R=4+2√3，解得R=2，则a=2,c=2√3，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：√(2√3)2+12−2×2√3×1×cosπ6=√7；若选择③：由（1）可得A=π6，即a=b，则S△ABC=12absinC=12a2×√32=3√34，解得a=√3，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：√b2+(a2)2−2×b×a2×cos2π3=√3+34+√3×√32=√212.15．【2020年北京卷17】在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sinC和△ABC的面积．条件①：c=7,cosA=−17；条件②：cosA=18,cosB=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC =√32, S =6√3；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sinC =√74, S =15√74.【解析】选择条件①（Ⅰ）∵c =7,cosA =−17，a +b =11∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ∴a 2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a =8（Ⅱ）∵cosA =−17，A ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =4√37 由正弦定理得：asinA =csinC ∴4√37=7sinC ∴sinC =√32S =12basinC =12(11−8)×8×√32=6√3选择条件②（Ⅰ）∵cosA =18,cosB =916，A,B ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =3√78,sinB =√1−cos 2B =5√716由正弦定理得：asinA =bsinB ∴3√78=5√716∴a =6（Ⅱ）sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =3√78×916+5√716×18=√74S =12basinC =12(11−6)×6×√74=15√74.16．【2019年北京理科15】在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． （Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B ﹣C ）的值． 【答案】解：（Ⅰ）∵a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． ∴由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)， ∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32， 由正弦定理有：c sinC=b sinB，∴sinC =csinB b =5×√327=5√314，∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C =1114，∴sin （B ﹣C ）＝sin B cos C ﹣cos B sin C=√32×1114−(−12)×5√314=4√37．17．【2018年北京理科15】在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B=−1 7．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【答案】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cos B=−17，∴sin B=√1−cos2B=√1−(−17)2=4√37，由正弦定理得asinA =bsinB得sin A=asinBb=7×4√378=√32，则A=π3．（Ⅱ）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即64＝49+c2+2×7×c×1 7，即c2+2c﹣15＝0，得（c﹣3）（c+5）＝0，得c＝3或c＝﹣5（舍），则AC边上的高h＝c sin A＝3×√32=3√32．18．【2017年北京理科15】在△ABC中，∠A＝60°，c=37a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．【答案】解：（1）∠A＝60°，c=37a，由正弦定理可得sin C=37sin A=37×√32=3√314，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cos C=13 14，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C=√32×1314+12×3√314=4√37，∴S△ABC=12ac sin B=12×7×3×4√37=6√3．19．【2016年北京理科15】在△ABC中，a2+c2＝b2+√2ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求√2cos A +cos C 的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． ∴a 2+c 2﹣b 2=√2ac ．∴cos B =a 2+c 2−b 22ac =√2ac 2ac =√22，∴B =π4（Ⅱ）由（I ）得：C =3π4−A ， ∴√2cos A +cos C =√2cos A +cos （3π4−A ）=√2cos A −√22cos A +√22sin A=√22cos A +√22sin A＝sin （A +π4）． ∵A ∈（0，3π4），∴A +π4∈（π4，π），故当A +π4=π2时，sin （A +π4）取最大值1， 即√2cos A +cos C 的最大值为1．20．【2015年北京理科15】已知函数f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2=√22sin x −√22（1﹣cos x ） ＝sin x cos π4+cos x sin π4−√22＝sin （x +π4）−√22，则f （x ）的最小正周期为2π； （Ⅱ）由﹣π≤x ≤0，可得 −3π4≤x +π4≤π4，即有﹣1≤sin(x +π4)≤√22，则当x =−3π4时，sin （x +π4）取得最小值﹣1， 则有f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1−√22．21．【2014年北京理科15】如图，在△ABC 中，∠B =π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC =17． （1）求sin ∠BAD ； （2）求BD ，AC 的长．【答案】解：（1）在△ABC 中，∵cos ∠ADC =17，∴sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =√1−(17)2=√4849=4√37， 则sin ∠BAD ＝sin （∠ADC ﹣∠B ）＝sin ∠ADC •cos B ﹣cos ∠ADC •sin B =4√37×12−17×√32=3√314．（2）在△ABD 中，由正弦定理得BD =AB⋅sin∠BAD sin∠ADB=8×3√3144√37=3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos B ＝82+52﹣2×8×5×12=49， 即AC ＝7．22．【2014年北京理科18】已知函数f （x ）＝x cos x ﹣sin x ，x ∈[0，π2]（1）求证：f （x ）≤0； （2）若a ＜sinxx ＜b 对x ∈（0，π2）上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值． 【答案】解：（1）由f （x ）＝x cos x ﹣sin x 得 f ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ， 此在区间∈（0，π2）上f ′（x ）＝﹣x sin x ＜0，所以f （x ）在区间∈[0，π2]上单调递减，从而f （x ）≤f （0）＝0． （2）当x ＞0时，“sinx x＞a ”等价于“sin x ﹣ax ＞0”，“sinx x＜b ”等价于“sin x ﹣bx ＜0”令g （x ）＝sin x ﹣cx ，则g ′（x ）＝cos x ﹣c ， 当c ≤0时，g （x ）＞0对x ∈（0，π2）上恒成立，当c ≥1时，因为对任意x ∈（0，π2），g ′（x ）＝cos x ﹣c ＜0，所以g （x ）在区间[0，π2]上单调递减，从而，g （x ）＜g （0）＝0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当0＜c ＜1时，存在唯一的x 0∈（0，π2）使得g ′（x 0）＝cos x 0﹣c ＝0，g （x ）与g ′（x ）在区间（0，π2）上的情况如下：x （0，x 0） x 0（x 0，π2）g ′（x ） + ﹣ g （x ）↑↓因为g （x ）在区间（0，x 0）上是增函数，所以g （x 0）＞g （0）＝0进一步g （x ）＞0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当且仅当g(π2)=1−π2c ≥0即0＜c ≤2π综上所述当且仅当c ≤2π时，g （x ）＞0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当且仅当c ≥1时，g （x ）＜0对任意x ∈（0，π2）恒成立，所以若a ＜sinxx ＜b 对x ∈（0，π2）上恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为123．【2013年北京理科15】在△ABC 中，a ＝3，b ＝2√6，∠B ＝2∠A ． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．【答案】解：（Ⅰ）由条件在△ABC 中，a ＝3，b =2√6，∠B ＝2∠A ， 利用正弦定理可得 a sinA=b sinB，即3sinA=2√6sin2A =2√62sinAcosA． 解得cos A =√63．（Ⅱ）由余弦定理可得 a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ，即 9=(2√6)2+c 2﹣2×2√6×c ×√63， 即 c 2﹣8c +15＝0．解方程求得 c ＝5，或 c ＝3．当c ＝3时，此时a ＝c ＝3，根据∠B ＝2∠A ，可得 B ＝90°，A ＝C ＝45°， △ABC 是等腰直角三角形，但此时不满足a 2+c 2＝b 2，故舍去．当c ＝5时，求得cos B =a 2+c 2−b 22ac =13，cos A =b 2+c 2−a 22bc =√63，∴cos2A ＝2cos 2A ﹣1=13=cos B ，∴B ＝2A ，满足条件． 综上，c ＝5．1．函数f (x )=cos (ωx −π3)(ω>0)的图像关于直线x =π2对称，则ω可以为（ ） A ．13B ．12 C ．23D ．1【答案】C【解析】f(x)=cos(ωx −π3)(ω>0)对称轴为：ωx −π3=kπ⇒π2ω−π3=kπ⇒ω=2k +23(ω>0)(k ∈Z)当k =0时，ω取值为23. 故选:C.2．在△ABC 中，∠B =45°,c =4,只需添加一个条件，即可使△ABC 存在且唯一.条件：①a =3√2； ②b =2√5；③cosC =−45中，所有可以选择的条件的序号为（ ） A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③【答案】B 【解析】对于①，c =4,∠B =45°,a =3√2，所以，b 2=a 2+c 2−2accosB =10，得b =√10，所以，此时，△ABC 存在且唯一，符合题意；对于②，c =4,∠B =45°,b =2√5，所以，csinC =bsinB ，解得sinC =csinB b=√105，因为c <b ，所以，∠C <∠B ，所以∠C 为锐角，此时，△ABC 存在且唯一，符合题意；对于③，c =4,∠B =45°,cosC =−45，所以，π2<C <π，得sinC =35，进而csinC =bsinB ， 可得b =csinB sinC=2√235=10√23，明显可见，c=123<10√23=b ，与∠C >∠B 矛盾，故③不符题意.故可以选择的条件序号为：①② 故选：B模拟好题3．已知cosα=35,α是第一象限角，且角α,β的终边关于y轴对称，则tanβ=()A．34B．−34C．43D．−43【答案】D 【解析】∵cosα=35,α是第一象限角，∴sinα=√1−cos2α=45，tanα=sinαcosα=43，∵角α,β的终边关于y轴对称，∴tanβ=−tanα=−43．故选：D．4．将函数y=cos(2x+π2)的图象向右平移π2个单位长度后，所得图象对应的函数为（）A．y=sin2x B．y=−sin2x C．y=cos2x D．y=−cos2x 【答案】A【解析】将函数y=cos(2x+π2)的图象向右平移π2个单位长度后，所得图象对应的函数为y=cos[2(x−π2)+π2]=cos(2x−π2)=sin2x.故选：A.5．半径为3的圆的边沿有一点A，半径为4的圆的边沿有一点B，A、B两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，A、B两点再次重合小圆滚动的圈数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】设A、B两点再次重合小圆滚动的圈数为n，则n×2π×3=6nπ=k×2π×4=8kπ，其中k、n∈N∗，所以，n=4k3，则当k=3时，n=4.故A、B两点再次重合小圆滚动的圈数为4.故选：D.6．已知点P(cosθ,sinθ)在直线ax−y+3=0上．则当θ变化时，实数a的范围为（）A．[−2√2,2√2]B．(−∞,−2√2]∪[2√2,+∞)C．[−3,3]D．(−∞,−3]∪[3,+∞)【答案】B【解析】∵点P(cosθ,sinθ)在直线ax −y +3=0上， ∴acosθ−sinθ+3=0，∴sinθ−acosθ=√1+a 2sin (θ−φ)=3，其中tanφ=a ， ∵sin (θ−φ)≤1， ∴√1+a 2≥3，即a 2≥8， 解得a ≤−2√2或a ≥2√2.故选：B.7．已知函数f(x)= cos2x +cosx ，且x ∈[0,2π]，则f(x)的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C 【解析】由cos2x +cosx =2cos 2x +cosx −1=(cosx +1)(2cosx −1)=0 可得cosx =−1或cosx =12，又x ∈[0,2π]，则x =π，或x =π3，或x =5π3 则f(x)的零点个数为3 故选：C8．已知函数f(x)=√3sin2x −2cos 2x +1，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变，得到函数y =g(x)的图象，若g (x 1)⋅g (x 2)=−4，则|x 1−x 2|的值不可能为（ ） A ．5π4B ．3π4C ．π2D ．π4【答案】C 【解析】∵f (x )=√3sin2x −cos2x =2sin (2x −π6)，∴g (x )=2sin (4x −π6)， ∴g (x )的最小正周期T =2π4=π2，∵g (x )max =2，g (x )min =−2，又g (x 1)⋅g (x 2)=−4， 不妨设g (x 1)=2,g (x 2)=−2∴x 1与x 2分别对应g (x )的最大值点和最小值点， ∴|x 1−x 2|=T2+kT =π4+kπ2(k ∈Z )；当k =2时，|x 1−x 2|=5π4；当k =1时，|x 1−x 2|=3π4；当k =0时，|x 1−x 2|=π4 故选：C9．已知函数f (x )=sin (2x +φ)(0<φ<π2)，若把f (x )的图像向左平移π12个单位后为偶函数，则φ=（ ） A ．−π6 B ．−π3C ．5π12D ．π3【答案】D 【解析】由题意得：g (x )=f (x +π12)=sin (2x +π6+φ).∵g (x )为偶函数，∴π6+φ=π2+kπ(k ∈Z )，解得：φ=π3+kπ(k ∈Z ). ∵0<φ<π2， ∴φ=π3. 故选：D .10．已知△ABC ，则“sin A +cos A <1”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】解：△ABC 中，0<A <π，∵sinA +cosA =√2sin(A +π4)<1，∴sin(A +π4)<√22，∵ π4<A +π4<π+π4，∴A +π4>3π4，∴A >π2，所以△ABC 是钝角三角形，充分性成立； 若△ABC 是钝角三角形，角A 不一定是钝角，反例：A =π6,此时sin A +cos A =sin π6+cos π6>1，必要性不成立； 故选：A.11．在△ABC 中，a =2，b =√3，A =2B ，则cosB =______．【答案】√33【解析】 解：在△ABC 中，由正弦定理可得asinA =bsinB ， 即2sin2B=√3sinB ，即22sinBcosB =√3sinB ， 所以cosB =√33.故答案为：√33.12．若sinαcosβ−cosαsinβ=cos60∘，请写出一组符合题意的α､β___________.【答案】α=45°、β=15°（答案不唯一）【解析】解：因为sinαcosβ−cosαsinβ=sin(α−β)，cos60∘=cos(90∘−30∘)=sin30∘，所以sin(α−β)=sin30∘，所以α−β=30°+k×360°，k∈Z或α−β=150°+k×360°，k∈Z，不妨令α=45°、β=15°；故答案为：α=45°、β=15°（答案不唯一）13．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使cosAcosB =ba成立的一组A，B的值是________．【答案】A=B=π6（答案不唯一）【解析】由正弦定理得：a=2RsinA,b=2RsinB，∵cosAcosB =ba，∴cosAcosB=sinBsinA，∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∵A∈(0,π),B∈(0,π)∴A=B=π6（答案不唯一）.故答案为：A=B=π6（答案不唯一）.14．若函数y=sin(2ωx+π3)的图像向右平移π6个单位长度后与函数y=cos(2ωx+π4)的图象重合，则ω的一个可能的值为___________；【答案】−54（答案不唯一）【解析】解：将函数y=sin(2ωx+π3)的图像向右平移π6个单位长度后，得到函数y=sin[2ω(x−π6)+π3]=sin(2ωx−πω3+π3)=sin[(2ωx−πω3−π6)+π2]=cos(2ωx−πω3−π6)的图像，即y=cos(2ωx−πω3−π6)与函数y=cos(2ωx+π4)的图像重合，即−πω3−π6=π4+2kπ，k ∈Z ，所以ω=−6k −54，k ∈Z ，故答案为：−54（答案不唯一）．15．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω>0)与直线y =12的交点中，距离最近的两点间距离为π3，那么此函数的周期是___________. 【答案】kπ且k ∈Z 【解析】根据正弦型函数的周期性，当sin(ωx +φ)=12，则： 若ωx 1+φ=π6，最近的另一个值为ωx 2+φ=5π6，所以ω(x 2−x 1)=2π3，而x 2−x 1=π3，可得ω=2. 故此函数的最小正周期是2πω=π，则函数的周期为kπ且k ∈Z . 故答案为：kπ且k ∈Z16．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知acosB =√3bsinA . (1)求角B 的大小；(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC 的面积. 条件①：a =3；条件②：b =2√2；条件③：cosC =−23；条件④：c =2. 【答案】(1)B =π6 (2)答案不唯一，见解析 【解析】(1)解：由acosB =√3bsinA 及正弦定理可得sinAcosB =√3sinAsinB ，∵A 、B ∈(0,π)，则sinA >0，cosB =√3sinB >0，∴tanB =√33，故B =π6.(2)解：若选①②，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即c 2−3√3c +1=0， 解得c =3√3±√232，此时，△ABC 不唯一；若选①③，已知a =3，B =π6，cosC =−23∈(−√32,−12)，且C ∈(0,π)，则C ∈(2π3,5π6)，所以，B +C ∈(5π6,π)，则△ABC 唯一， sinC =√1−cos 2C =√53，sinA =sin (C +B )=sinCcos π6+cosCsin π6=√15−26，由正弦定理b sinB =asinA 可得b =asinB sinA=9(√15+2)11， 所以，S △ABC =12absinC =12×3×9(√15+2)11×√53=45√3+18√522；若选①④，已知a =3，B =π6，c =2，此时△ABC 唯一，S △ABC =12acsinB =32；若选②③，已知b =2√2，B =π6，cosC =−23∈(−√32,−12)，且C ∈(0,π)，则C ∈(2π3,5π6)，所以，B +C ∈(5π6,π)，则△ABC 唯一， sinC =√1−cos 2C =√53，sinA =sin (C +B )=sinCcos π6+cosCsin π6=√15−26， 由正弦定理bsinB =csinC 可得c =bsinC sinB=4√103， 所以，S △ABC =12bcsinA =20√3−8√59；若选②④，已知b =2√2，B =π6，c =2，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB ，可得a 2−2√3a −4=0， ∵a >0，解得a =√3+√7，此时，△ABC 唯一，S △ABC =12acsinB =√3+√72；若选③④，已知B =π6，c =2，cosC =−23∈(−√32,−12)，且C ∈(0,π)，则C ∈(2π3,5π6)，所以，B +C ∈(5π6,π)，则△ABC 唯一， sinC =√1−cos 2C =√53，sinA =sin (C +B )=sinCcos π6+cosCsin π6=√15−26， 由正弦定理bsinB =csinC 可得b =csinB sinC=3√55，S △ABC =12bcsinA =5√3−2√510. 17．在 △ABC 中，c =√7，且 △ABC 同时满足条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中的三个，请选择三个条件并解答下列问题: (1)求边 b ; (2)求 S △ABC .条件① a +b =5; 条件②sin B =√217;条件③bcosB =4√77; 条件④cos A =√714.【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； 【解析】(1)选①②③，因为sin B =√217，bcosB =4√77，所以cosB =√1−sin 2B =4√77，b =1，选②③④，因为sin B =√217，bcosB =4√77， 所以cosB =√1−sin 2B =4√77，b =1，选①②④，因为cos A =√714可得sinA =√1−cos 2A =3√2114， 由正弦定理可得asinA =bsinB ，所以a ×√217=b ×3√2114， 所以a =32b ，又a +b =5，所以b =2， 选①③④，因为bcosB =4√77，又cosB =a2+c 2−b 22ac所以b(a 2+c 2−b 2)=2ac 4√77，又c =√7，所以b(a2+7−b 2)=8a ，又a +b =5，所以b =2,a =3(2)选①②③，由(1) b =1，又a +b =5，所以a =4， 所以S △ABC =12acsinB =12×4×√7×√217=2√3，选②③④，由cos A =√714可得sinA =√1−cos 2A =3√2114， 由正弦定理可得asinA =bsinB ，又b =1，sin B =√217， 所以a =32，所以S △ABC =12acsinB =12×32×√7×√217=3√34， 选①②④，由(1)b =2，因为a +b =5， 所以a =3，所以S △ABC =12acsinB =12×3×√7×√217=3√32， 选①③④，由(1) b =2，因为a +b =5，所以a =3， 所以cosB =2√77，sinB =√1−cos 2B =√217，所以S △ABC =12acsinB =12×3×√7×√217=3√32， 18．在△ABC 中，√3sin(B +π6)=−cos(B +π6). (1)求B 的值；(2)给出以下三个条件：①a 2−b 2+c 2+3c =0；②a =√3，b =1；③S △ABC =15√34，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题： （i ）求sinA 的值；（ii ）求∠ABC 的角平分线BD 的长. 【答案】(1)B =2π3；(2)（i ）sinA =3√314，（ii ）BD =158.【解析】(1)由题设√3sin(B +π6)+cos(B +π6)=2sin(B +π3)=0，而π3<B +π3<4π3，所以B +π3=π，故B =2π3.(2)若①②正确，则c 2+3c +2=(c +1)(c +2)=0，得c =−1或c =−2， 所以①②有一个错误条件，则③是正确条件， 若②③正确，则S △ABC =12absinC =15√34，可得sinC =152>1，即②为错误条件；综上，正确条件为①③，（i ）由2accosB =a 2+c 2−b 2，则c(3−a)=0，即a =3， 又S △ABC =12acsinB =15√34，可得c =5，所以9−b 2+25+15=0，可得b =7，则asinA =bsinB =√3，故sinA =3√314， （ii ）由角平分线的性质知：AD =58×7=358且∠ABD =π3， 在△ABD 中BD sinA =AD sin∠ABD ，则BD =158.19．△ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知acosB =√3bsinA . (1)求角B 的大小；(2)从以下3个条件中选择2个作为己知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC 的面积. 条件①：a =3；条件②：b =2√2；条件③：cosC =−23；④c =2 【答案】(1)B =π6(2)答案见解析【解析】(1)由acosB =√3bsinA 和正弦定理得sinAcosB =√3sinBsinA ，因为0<A <π，所以sinA ≠0，所以cosB =√3sinB >0，tanB =√33，因为0<B <π，所以B =π6. (2)若选条件①：a =3；条件②：b =2√2，由（1）B =π6， 由余弦定理得(2√2)2=32+c 2−2×3c ×√32，解得c =3√3±√232， 因为答案不唯一，所以舍去.若选条件②：b =2√2；条件③：cosC =−23；由（1）B =π6， 因为cosC =−23，0<C <π，所以sinC =√53，由正弦定理得√53=2√212，解得c =4√103，由余弦定理得(4√103)2=8+a 2+2×2√2a ×23，解得a =2√30−4√23， 则△ABC 的面积为S =12absinC =20√3−8√59； 若选条件①：a =3；条件③：cosC =−23；由（1）B =π6， 因为cosC =−23，0<C <π，所以sinC =√53，所以sinA =sin (π−B −C )=sinBcosC +cosBsinC =12×(−23)+√32×√53=√15−26， 由正弦定理得√53=√15−26，解得c =30√3+12√511，则△ABC 的面积为S =12absinC =45√3+18√522. 若选条件①：a =3； ④c =2，由（1）B =π6， 则△ABC 的面积为S =12acsinB =32.若选条件②：b =2√2；④c =2，由（1）B =π6， 由余弦定理得(2√2)2=4+a 2−2×2a ×√32，解得a =√3+√7，则△ABC 的面积为S =12acsinB =12×2×(√3+√7)×12=√3+√72.若选条件③：cosC =−23；④c =2，由（1）B =π6，因为cosC =−23，0<C <π，所以sinC =√53，所以sinA =sin (π−B −C )=sinBcosC +cosBsinC =12×(−23)+√32×√53=√15−26， 由正弦定理得√53=√15−26，解得a =5√3−2√55， 则△ABC 的面积为S =12acsinB =12×2×5√3−2√55×12=5√3−2√510. 20．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a −2c )cosB +bcosA =0． (1)求B ；(2)从以下条件中选择两个，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积． ①若a =5；②b =3；③C =2π3；④△ABC 的周长为9．【答案】(1)B =π3； (2)选①④，面积为9√34．【解析】(1)因为(a −2c )cosB +bcosA =0，由正弦定理得(sinA −2sinC)cosB +sinBcosA =0， 2sinCcosB =sinAcosB +sinBcosA =sin(A +B)=sinC ， 三角形中sinC ≠0，所以cosB =12，B ∈(0,π)，所以B =π3； (2)因为B =π3，所以0<C <2π3，因此条件③不能确定三角形；若已知①②，则由正弦定理得sinA =asinB b=5sin π33=5√36>1，无解；若已知①④，即a =5，a +b +c =9，则b +c =4<a ，与三角形的性质矛盾，三角形不存在． 所以只有条件②④能确定三角形．b =3，a +b +c =9，则a +c =6，由（1）B =π3，b sinB=a sinA=c sinC=a+c sinA+sinC，即3sin π3=6sinA+sinC ，所以sinA +sinC =√3，sinA +sinC =sinA +sin(2π3−A)=sinA +sin 2π3cosA −cos2π3sinA =32sinA +√32cosA =√3sin(A +π6)=√3，sin(A +π6)=1，又A ∈(0,2π3)，所以A =π3，从而C =π3， △ABC 为等边三角形，唯一确定，面积为S =12×32×sin π3=9√34．。

北京高考数学试题

北京高考数学试题

北京高考数学试题北京高考数学试题北京市高考数学考试试卷一直备受瞩目，每年考试题目都被各大媒体关注着。

今年的数学试题与往年相比，增加了很多实用性的考查内容，其中大多题型具有多个解法，极大考查了学生的逻辑思维和数学运算能力。

接下来，我们将会从试卷中挑选出几道难度较大，涉及面面广的题目进行讲解。

第一道题目：设第一象限内点O(0，0)，以OA右方水平线为轴，规定逆时针一定角度的旋转方向为正方向。

点P(x，y)绕0点旋转α角度后的点坐标为(P'X，P'Y)，向量OP→OP'的坐标分别为a，b。

（1）求a，b。

（2）设直线l过点P与原点的距离之比为k，求证：k=|a·x+b·y|/√(a²+b²)。

这一道题目考查了学生对于平面几何的理解和对向量的掌握，需要用到三角函数、向量投影等知识点。

来自北京考试院的解析人员指出，这一道题目存在多种解法，需要同学们认真读题，思考后再动手，避免因为一时冲动导致失误。

第二道题目：解方程组a|x-y|+b(x+y)=c，ax+by=1(a,b,c>0)。

这是一道考察学生代数方程应用和数学建模能力的题目，需要运用到绝对值、方程的解法等知识点。

难度较大的地方在于学生需要想到将|x-y|拆开，分成两个式子去考虑。

而且，这一道题目是以应用为主的题目，需要结合实际情况分析，摆脱死套路。

第三道题目：一个几何数列，前三项为k1、k2、k3，其和大于等于1，第四项为k4。

已知k4=2k1，k2×k3=k1²，且k1、k2、k3、k4都是正数，求第五项k5。

这一道题目需要学生具备对于数列的了解，同时还需要学生有较好的代数运算能力。

难度之所在就在于如何联想到均值不等式进行求解，这一题目可以引导学生进行思维拓展和思维创新，锻炼学生的反推能力。

以上三道数学题目代表了今年北京市高考数学试卷的难点所在，适当练习这些题目可以提高学生的数学水平和解题能力。

北京市2020-2024年高考真题汇编(数学)PDF版含答案

北京市2020-2024年高考真题汇编(数学)PDF版含答案

北京市2020-2024年普通高等学校招生全国统一考试真题汇编数学目录北京市2020年普通高等学校招生全国统一考试数学北京市2021年普通高等学校招生全国统一考试数学北京市2022年普通高等学校招生全国统一考试数学北京市2023年普通高等学校招生全国统一考试数学北京市2024年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案说明：本套资源为北京市2020-2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷的汇编，即北京市2020-2024年数学高考真题的汇编，含2020年，2021年，2022年，2023年，2024年数学高考真题各一套，共五套，附有参考答案，可供北京市高三学生总复习时参考。

北京市2020年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = （）．A.{1,0,1}- B.{0,1}C.{1,1,2}- D.{1,2}2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）．A.12i+ B.2i-+ C.12i- D.2i--3.在52)-的展开式中，2x 的系数为（）．A.5-B.5C.10- D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A.6B.6+C.12+D.12+5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A.4B.5C.6D.76.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）．A.(1,1)-B.(,1)(1,)-∞-+∞C.(0,1)D.(,0)(1,)-∞⋃+∞7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8.在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）．A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A.30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D.60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．12.已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．13.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．14.若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．17.在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）19.已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．20.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．21.已知{}n a 是无穷数列，给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n == ，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -== ，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.北京市2021年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B = （）A.()1,2- B.(1,2]- C.[0,1) D.[0,1]2.在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（）A.2i +B.2i -C.1i -D.1i +3.已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.332+ B.4C.3D.25.双曲线2222:1x y C a b -=过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A.2213x y -= B.2213y x -=C.2213x -=D.2213y -=6.{}n a 和{}n b 是两个等差数列，其中()15kka kb ≤≤为常值，1288a =，596=a ，1192b =，则3b =（）A.64B.128C.256D.5127.函数()cos cos 2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为98D.偶函数，最大值为988.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度．其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨9.已知圆22:4C x y +=，直线:l y kx m =+，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =（）A.2±B.C.D.10.数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ≥，12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A.9B.10C.11D.12第二部分（非选择题共110分）二、填空题：5小题，每小题5分，共25分．11.341(x x-展开式中常数项为__________．12.已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且6FM =，则M 的横坐标是_______；作MN x ⊥轴于N ，则FMN S = _______．13.(2,1)a = ，(2,1)b =-，(0,1)c = ，则()a b c +⋅= _______；a b ⋅=_______．14.若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．15.已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，则()f x 有两个零点；②0k ∃<，使得()f x 有一个零点；③0k ∃<，使得()f x 有三个零点；④0k ∃>，使得()f x 有三个零点．以上正确结论得序号是_______．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c =；②周长为4+；③面积为4ABC S ∆=；17.已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为11A D 中点，直线11B C 交平面CDE 于点F．（1）证明：点F 为11B C 的中点；（2）若点M 为棱11A B 上一点，且二面角M CF E --的余弦值为53，求111A M A B 的值．18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)．19.已知函数()232xf x x a-=+．（1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值．20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．21.定义p R 数列{}n a ：对实数p ，满足：①10a p +≥，20a p +=；②414,n n n N a a *-∀∈<；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，,m n N *∈．（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是2R 数列吗？说明理由；（2）若{}n a 是0R 数列，求5a 的值；（3）是否存在p ，使得存在p R 数列{}n a ，对10,n n N S S *∀∈≥？若存在，求出所有这样的p ；若不存在，说明理由．北京市2022年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（）A.(2,1]-B.(3,2)[1,3)--C.[2,1)- D.(3,2](1,3)-- 2.若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A.1B.5C.7D.253.若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A.12B.12-C.1D.1-4.已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A.()()0f x f x -+= B.()()0f x f x --=C.()()1f x f x -+= D.1()()3f x f x --=5.已知函数22()cos sin f x x x =-，则（）A.()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 B.()f x 在,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增C.()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增6.设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A.当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B.当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C.当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D.当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态8.若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A.40B.41C.40-D.41-9.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（）A.34π B.πC.2πD.3π10.在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.[5,3]- B.[3,5]- C.[6,4]- D.[4,6]-第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11.函数1()1f x x x=+-的定义域是_________．12.已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为33y x =±，则m =__________．13.若函数()sin 3cos f x A x x =-的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．14.设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．15.己知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3；②{}n a 为等比数列；③{}n a 为递减数列；④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC中，sin 2C C =．（1）求C ∠；（2）若6b =，且ABC的面积为ABC 的周长．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC的中点．（1）求证：MN ∥平面11BCC B ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19.已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．20.已知函数()e ln(1)x f x x =+．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．21.已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．（1）判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；（2）若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；（3）若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．北京市2023年普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（）A.{21}xx -≤<∣ B.{21}xx -<≤∣C.{2}x x ≥-∣D.{1}xx <∣2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A.1+B.1-C.1-+D.1-3.已知向量a b ，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A.2- B.1- C.0 D.14.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x =- B.1()2xf x =C.1()f x x=-D.|1|()3x f x -=5.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（）．A.80- B.40- C.40 D.806.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A.7B.6C.5D.47.在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π68.若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为5，则该五面体的所有棱长之和为（）A.102mB.112mC.117mD.125m10.已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ，则（）A.当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立B.当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立C.当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立D.当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭____________．12.已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)2，则C 的方程为____________．13.已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________，β=_________．14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ===，则7a =___________；数列{}n a 所有项的和为____________．15.设0a >，函数222,,(),,1,.x x a f x a x a x a x x a +<-⎧=--≤≤>⎪⎩，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减；②当1a ≥时，()f x 存在最大值；③设()()()()()()111222,,,M x f x xa N x f x x a ≤>，则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <-≥-．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．17.设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭．（1）若(0)2f =-，求ϕ的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值．条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭；条件②：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天++---++++---+-+用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC =．（1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．20.设函数3()e ax b f x x x +=-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+．（1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；（3）求()f x 的极值点个数．21.已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；（2）若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；（3）证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．北京市2024年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（）A.{}43x x -<< B.{}11x x -<≤C.{}0,1,2 D.{}14x x -<<2.已知i 1iz=-，则z =（）．A.1i- B.i- C.1i-- D.13.求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A. B.2C. D.4.(4x -的二项展开式中3x 的系数为（）A.15B.6C.4- D.13-5.已知向量a ，b ，则“()()·0a b a b +-= ”是“a b = 或a b =- ”的（）条件．A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =-，()21f x =，12min π||2x x -=，则ω=（）A.1B.2C.3D.47.记水的质量为1ln S d n-=，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且1 2.1d =，2 2.2d =，则1n 与2n 的关系为（）A.12n n <B.12n n >C.若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D.若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（）A.2B.2C. D.9.已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（）A.12122log 22y y x x ++> B.12122log 22y y x x ++<C.12212log 2y y x x +>+ D.12212log 2y y x x +<+10.若集合(){}2,|(),01,12x y y x t xx t x =+-≤≤≤≤表示的图形中，两点间最大距离为d 、面积为S ，则（）A.3d =，1S <B.3d =，1S >C.d =，1S < D.d =，1S >第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.已知抛物线216y x =，则焦点坐标为________．12.已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．13.已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．14.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm ，第二、三个圆柱的直径为325mm ，第三个圆柱的高为230mm ，求前两个圆柱的高度分别为________．15.已知{}|k k M k a b ==，n a ，n b 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.①n a ，n b 均为等差数列，则M 中最多一个元素；②n a ，n b 均为等比数列，则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列，n b 为等比数列，则M 中最多三个元素；④n a 单调递增，n b 单调递减，则M 中最多一个元素.三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在△ABC 中，7a =，A 为钝角，3sin 2cos 7B b B =．（1）求A ∠；（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．①7b =；②13cos 14B =；③sin c A =注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．17.已知四棱锥P -ABCD ，//AD BC ，1AB BC ==，3AD =，2DE PE ==，E 是AD 上一点，PE AD ⊥．（1）若F 是PE 中点，证明：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PED ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18.已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单，以频率估计概率：（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；（2）（i ）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．19.已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．（1）求椭圆方程和离心率；（2）若直线BD 的斜率为0，求t ．20.已知()()ln 1f x x k x =++在()()(),0t f t t >处切线为l ．（1）若切线l 的斜率1k =-，求()f x 单调区间；（2）证明：切线l 不经过()0,0；（3）已知1k =，()(),A t f t ，()()0,C f t ，()0,0O ，其中0t >，切线l 与y 轴交于点B时．当215ACO ABO S S =△△，符合条件的A 的个数为？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21.设集合(){}{}{}{}(){},,,1,2,3,4,5,6,7,8,2M i j s t i j s t i j s t =∈∈∈∈+++．对于给定有穷数列{}():18n A a n ≤≤，及序列12:,,...,s ωωωΩ，(),,,k k k k k i j s t M ω=∈，定义变换T ：将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1，得到数列()1T A ；将数列()1T A 的第2222,,,i j s t 列加1，得到数列()21T T A …；重复上述操作，得到数列()21...s T T T A ，记为()A Ω．若1357a a a a +++为偶数，证明：“存在序列Ω，使得()A Ω为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．参考答案北京市2020年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案一、选择题【答案】1.D 【解析】【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I ，故选：D.【答案】2.B 【解析】【详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-.故选：B.【答案】3.C 【解析】【详解】)52-展开式的通项公式为：()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-.故选：C.【答案】4.D 【解析】【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭.故选：D.【答案】5.A 【解析】【详解】设圆心(),C x y ，则1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345=+=，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.【答案】6.D 【解析】【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D.【答案】7.B 【解析】【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.【答案】8.B 【解析】【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<< ，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T .故选：B.【答案】9.C 【解析】【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.【答案】10.A 【解析】【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n︒︒=⨯，每条边长为302sinn︒，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒，303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：A.二、填空题【答案】11.(0,)+∞【解析】【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【答案】12.()3,0【解析】【详解】在双曲线C中，a =，b =，则3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=.故答案为：()3,0.【答案】；1-【解析】【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.；1-.【答案】14.2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【答案】15.①②③【解析】【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③三、解答题【答案】16.（Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，1BC ⊄ 平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE = ，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z = ，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅.因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.【答案】17.选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==- ，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅- 8a ∴=（Ⅱ）213cos (0,)sin 1cos 77A A A A π=-∈∴=-=，由正弦定理得：873sin sin sin sin 2437a c C A C C===113sin (118)83222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，3757sin 816A B ∴===由正弦定理得：6sin sin 3757816a b a A B ==（Ⅱ）3795717sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=⨯+⨯=117157sin (116)62244S ba C ==-⨯⨯=【答案】18.（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1()(13433436C -+-=;（Ⅲ）01p p <【答案】19.（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11，由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅱ）显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t +=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==.【答案】20.（Ⅰ）设椭圆方程为：()222210x y a b a b +=>>，由题意可得：224112ab a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆方程为：22182x y +=.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++.直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++，令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++，同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到：()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭，而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==.【答案】21.【详解】（Ⅰ）{}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴Q 不具有性质①；（Ⅱ）{}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴Q 具有性质①；{}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴Q 具有性质②；（Ⅲ）【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<，第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<< ，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<，由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知：0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23k la a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>，而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k k m k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥（*）由②得：存在s t >，满足：21s sk ss t ta a a a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+，由()111s s a a qs k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>=（**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a q a q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-，注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--，。

2024年北京市高考数学试卷[含答案]

2024年北京市高考数学试卷[含答案]

2024年北京市高考数学试卷一、选择题。

共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合，，则 {|31}M x x =-<<{|14}N x x =-< (M N = )A ．B ．C ．D ．{|11}x x -< {|3}x x >-{|34}x x -<<{|4}x x <2．若复数满足，则 z 1zi i=--(z =)A ．B ．C ．D ．1i --1i -+1i -1i +3．圆的圆心到的距离为 22260x y x y +-+=20x y -+=()A B ．2C ．3D ．4．在的展开式中，的系数为 4(x 3x ()A ．6B ．C ．12D ．6-12-5．设，是向量，则“”是“或”的 ab ()()0a b a b +⋅-= a b =- a b = ()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设函数．已知，，且的最小值为，则 ()sin (0)f x x ωω=>1()1f x =-2()1f x =12||x x -2π(ω=)A ．1B ．2C ．3D ．47．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生1S d lnN-=S N 物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个d S 体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则 1N 2N ()A ．B ．C ．D ．2132N N =2123N N =2321N N =3221N N =8．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该P ABCD -ABCD 4PA PB ==PC PD ==棱锥的高为 ()A ．1B ．2C D9．已知，，，是函数的图象上两个不同的点，则 1(x 1)y 2(x 2)y 2x y =()A ．B ．12122log 22y y x x ++<12122log 22y y x x ++>C ．D ．12212log 2y y x x +<+12212log 2y y x x +>+10．已知，，，是平面直角坐标系中的点集．设是中两点{(M x =2)|()y y x t x x =+-12x 01}t d M 间的距离的最大值，是表示的图形的面积，则 S M ()A ．，B ．，C ．D ．3d =1S <3d =1S >1d S =<1d S =>二、填空题。

北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题(一二模)精华汇编专题11计数原理与概率统计

北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题(一二模)精华汇编专题11计数原理与概率统计

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题11计数原理与概率统计真题汇总1．【2022年北京卷08】若(2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1 x+a0，则a0+a2+a4=（）A．40B．41C．−40D．−412．【2020年北京卷03】在(√x−2)5的展开式中，x2的系数为（）．A．−5B．5C．−10D．10)4展开式中常数项为__________．3．【2021年北京11】(x3−1x4．【2016年北京理科10】在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为．（用数字作答）5．【2015年北京理科09】在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）6．【2014年北京理科13】把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．7．【2013年北京理科12】将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．8．【2022年北京卷18】在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9．50m以上（含9．50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）9．【2021年北京18】为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )； （2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)． 10．【2020年北京卷18】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为p 0，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p 1，试比较p 0与p 1的大小．（结论不要求证明）11．【2019年北京理科17】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（0，1000] （1000，2000]大于2000仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．12．【2018年北京理科17】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k＝1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，D ξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．13．【2017年北京理科17】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）14．【2016年北京理科16】A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A班 6 6.5 7 7.5 8B班 6 7 8 9 10 11 12C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（Ⅰ）试估计C班的学生人数；（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）15．【2015年北京理科16】A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）16．【2014年北京理科16】李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x的大小（只需写出结论）．17．【2013年北京理科16】如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）模拟好题1．为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照[40,60),[60,80),[80,100),[100,120),[120,140),[140,160]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. 若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为（）)6A．300B．450C．480D．6002．二项式(x−1x的展开式中x4的系数与x6的系数之比为（）A．6B．-6C．15D．-153．有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为（）A．152B．827C．413D．17524．若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（）A．0.6B．0.375C．0.36D．0.2165．下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论：①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%.其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．②③D．②③④6．在(x+√x)5的展开式中，x3的系数是_________．（用数字作答）7．在(√x−1x)6的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）8．若(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a2+a3+a4+a5=________．9．在(x2−1x)5的展开式中，x4的系数为___________.（用数字作答）10．二项式(1+x)n(n∈N∗)的展开式中x2的系数为21，则n=__________.11．某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；(2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望E(X)；(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．12．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取1 0位归为A组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户.注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.(1)记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）；(2)从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率；(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.13．2022 年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发. 该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒. 我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者. 一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察. 调查发现某位感染者共有10 位密切接触者，将这10 位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测. 核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用“ k合1 检测法”. “ k合1 检测法” 是将k个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测; 若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性. 通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为p(0<p<1)，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.(1)现对10 个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率f(p)的表达式;(2)若对10 个样本采用“5合1检测法” 进行核酸检测. 用p表示以下结论:①求某个混合样本呈阳性的概率;②设总检测次数为X，求X的分布列和数学期望E(X).14．某家电专卖店试销A､B､C三种新型空调，销售情况如下表所示：(1)从前三周随机选一周，若A型空调销售量比B型空调多，求A型空调销售量比C型空调多的概率；(2)为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列和数学期望；(3)直接写出一组A4,B4,C4的值，使得表中每行数据的方差相等．15．为了解某地区高中生的每天日间户外活动现状，分别在两所学校随机抽取了部分学生，得到甲校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的统计表和乙校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的频率分布直方图如下.乙校抽取的学生每天日间户外活动时间频率分布直方图甲校抽取的学生每天日间户外活动时间统计表(1)根据图表中的数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间的25%分位数在第几组；(2)已知每天日间户外活动时间不低于2h可以对保护视力起到积极作用.现从乙校全体学生中随机选抽取2人，记其中每天日间户外活动时间不低于2h的人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)根据上述数据，能否推断甲校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值一定低于乙校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值？说明理由.16．某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：注：年返修率=年返修台数年生产台数(1)从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；(2)公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2020年中随机选出3年，记ξ表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；(3)记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分别为s12,s22,s32.若s32≤max {s12,s22}，其中max{s12,s22}表示s12,s22这两个数中最大的数.请写出a的最大值和最小值.（只需写出结论）17．北京2022年冬奥会，向全世界传递了挑战自我､积极向上的体育精神，引导了健康､文明､快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：(1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在[50,60)的概率；(2)从参加体育实践活动时间在[80,90)和[90,100)的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为μ0，.（结论不初中､高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为μ1,μ2，当m满足什么条件时，μ0≥μ1+μ22要求证明）18．第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月在北京市和张家口市联合举行．某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为A、B、C、D、E五个等级，分别对应的分数为5、4、3、2、1．甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示．(1)根据上图判断，甲、乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明）(2)求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；(3)若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为4分并且乙的成绩为3分或4分的次数为X，求X的分布列（频率当作概率使用）．19．某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示.(1)若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；(2)从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望;(3)为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为s12,s22，比较s12,s22的大小.（请直接写出结论）20．2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.(1)从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；(2)从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；(3)已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为μ1，其中男生的乒乓球平均分的估计值为μ2，试比较μ1与μ2的大小.（结论不需要证明）。

2020年北京市高考数学试卷(pdf详细解析版)

2020年北京市高考数学试卷(pdf详细解析版)

必要性：若 sin α sin β ，则有 sin α sin β 0 ，所以 2 cos α β sin α β 0 ，所以 cos α β 0 或者
2
2
2
sin α β 0 ， 若 cos α β 0 ， 则 有 α β nπ π (n Z) ， 所 以 α 2nπ π β ， 令 k 2n 1 ， 则 有
（4）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为
（A） 6 3
（B） 6 2 3
（C）12 3
（D）12 2 3
答案：D
解析：三棱柱的直观图如图所示， △ABC 是等边三角形，所以三棱柱的表
面积为 2
3 4
BC
2
3
BC
AA1
3 22 3 2 2 12 2 2
3 ，故选 D
2
2
2
2
kπ (1)k ；若 sin α β 0 ，则有 α β nπ ，所以 α 2nπ β ，取 k 2n ,则有 kπ (1)k .
2
2
所以 sin α sin β 故“存在 k Z ，使得 kπ (1)k ”是“ sin sin ”的必要条件.
第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A {1, 0,1, 2}, B {x 0 x 3} ，则 A B
（A）{1, 0,1}
（B） {0,1}
（C）{1,1, 2}
（D）{1, 2}
（3）在 ( x 2)5 的展开式中， x2 的系数为
（A） 5 （C） 10
（B） 5
（D）10

2023年北京市高考数学试卷含答案解析

2023年北京市高考数学试卷含答案解析

绝密★启用前2023年北京市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合M=*x|x+2≥0+，N=*x|x−1<0+.则M∩N=( )A. *x|−2≤x<1+B. *x|−2<x≤1+C. *x|x≥−2+D. *x|x<1+2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,√ 3)，则z的共轭复数z−=( )A. 1+√ 3iB. 1−√ 3iC. −1+√ 3iD. −1−√ 3i3. 已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗+b⃗ =(2,3)，a⃗−b⃗ =(−2,1)，则|a⃗|2−|b⃗ |2=( )A. −2B. −1C. 0D. 14. 下列函数中在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−lnxB. f(x)=12x C. f(x)=−1xD. f(x)=3|x−1|5. (2x−1x)5的展开式中，x的系数是( )A. −40B. 40C. −80D. 806. 已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x=−3的距离为5，则|MF|=( )A. 7B. 6C. 5D. 47. 在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，则∠C=( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68. 若xy≠0，则“x+y=0”是“x y+y x=−2”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF，四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，△ADE和△BCF是全等的等腰三角形.若AB=25m，BC=AD=10m，且等腰梯形所在的面、.为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗)，则等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为√ 145所需灯带的长度为( )A. 102mB. 112mC. 117mD. 125m10. 数列*a n+满足a n+1=1(a n−6)3+6，下列说法正确的是( )4A. 若a1=3，则*a n+是递减数列，∃M∈R，使得n>m时，a n>MB. 若a1=5，则*a n+是递增数列，∃M≤6，使得n>m时，a n<MC. 若a1=7，则*a n+是递减数列，∃M>6，使得n>m时，a n>MD. 若a1=9，则*a n+是递增数列，∃M∈R，使得n>m时，a n<M第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 已知函数f(x)=4x+log2x，则f(1)=______ ．212. 已知双曲线C的焦点为(−2,0)和(2,0)，离心率为√ 2，则C的方程为______ ．13. 已知命题p：若α，β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ.能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α=______ ，β=______ ．14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列*a n+，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a 1=1，a 5=12，a 9=192，则a 7= ______ ，数列*a n +的所有项的和为______ ．15. 设a >0，函数f(x)={x +2,x <−a,√ a 2−x 2,−a ≤x ≤a,−√ x −1,x >a.给出下列四个结论，正确的序号为______ ． ①f(x)在区间(a −1,+∞)上单调递减； ②当a ≥1时，f(x)存在最大值；③设M(x 1,f(x 1))(x 1≤a)，N(x 2,f(x 2))(x 2>a)，则|MN|>1；④设P(x 3,f(x 3))(x 3<−a)，Q(x 4,f(x 4))(x 4≥−a)，若|PQ|存在最小值，则a 的取值范围时(0,12-.三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。

2023年北京市高考数学真题及答案

2023年北京市高考数学真题及答案

2023年北京市高考数学真题及答案一、选择题1. 已知函数f(x)=2x+1，g(x)=3x-2，则f(g(3))的值为多少？A. 1B. 4C. 5D. 11答案：C2. 在平面直角坐标系中，点A(-3, 4)和B(1, -2)分别为线段AB的两个端点，求线段AB的中点坐标。

A. (-1, 1)B. (-2, 2)C. (2, -1)D. (0, 0)答案：A3. 若等式x²+ 5x + k = 0恰有两个相等实数根，则k的取值范围是？A. k > 5B. k ≥ 5C. k < 5D. k ≤ 5答案：D4. 设集合A = {x | -2 ≤ x < 3}，集合B = {x | x > 0}，则A ∪ B的取值范围是？A. (-2, 3)B. (-2, 0) ∪ (0, 3)C. (-2, 3]D. [-2, 3)答案：C5. 已知正整数a、b满足a² + b² = 280，且a < b，则a的最大可能值是多少？A. 8B. 12C. 16D. 20答案：C二、填空题1. 半径为5cm的圆形的面积是多少？答案：78.5 cm²2. 设实数集合A = {x | 2x + 3 > 0}，则A的取值范围是________。

答案：(-∞, -1.5)3. 已知函数f(x) = log₂x，若f(a) = 2，则实数a的值是________。

答案：4三、解答题1. 已知直线L的斜率为2/3，且L通过点(1, 2)，求直线L的方程。

解答：设直线L的方程为y = kx + b，其中斜率k = 2/3。

由已知直线L通过点(1, 2)，代入得2 = (2/3) * 1 + b，解方程得b = 4/3。

故直线L的方程为y = (2/3)x + 4/3。

2. 某班级共有40人，男生数是女生数的2倍，求男女生各有多少人？解答：设男生人数为x，女生人数为2x。

2023年北京市高考数学试卷

2023年北京市高考数学试卷

2023年北京市高考数学试卷B ．{x|-2＜x≤1}C ．{x|x≥-2}D ．{x|x ＜1}A ．1+3iB ．1-3i C ．-1+3iA ．-2C．0D ．1（2023•北京）已知集合M={x|x+2≥0}，N={x|x-1＜0}．则M∩N=（ ）（2023•北京）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（-1，3），则z 的共轭复数z =（ ）√√√√【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】D【分析】根据复数的几何意义、共轭复数的定义即可得出结论．【解答】解：∵在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（-1，3），∴z=-1+3i,则z 的共轭复数z =-1-3i,故选：D ．√√√【点评】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（2023•北京）已知向量a ，b 满足a +b =（2，3），a -b =（-2，1），则|a |2-|b |2=（ ）→→→→→→→→【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】B【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】A （江南博哥）【分析】求出集合M 、N 的范围，再根据交集的定义可得．【解答】解：由题意，M={x|x≥-2}，N={x|x ＜1}，∴M∩N={x|-2≤x ＜1}．故选：A ．【点评】本题考查集合的交集求法，属简单题．A．f（x）=-lnx B．f（x）=12xD．f（x）=3|x-1| A．-40B．40C．-80【分析】根据向量的坐标运算，向量的模公式，即可求解．【解答】解：∵a+b=（2，3），a-b=（-2，1），∴a=(0，2)，b=(2，1)，∴|a|2-|b|2=4-5=-1．故选：B．→→→→→→→→【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的模公式，属基础题．（2023•北京）下列函数中在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】C【分析】根据初等函数的单调性，即可求解．【解答】解：对A选项，y=lnx在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）=-lnx在（0，+∞）上单调递减，A选项错误；对B选项，y=2x在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）=12x在（0，+∞）上单调递减，B选项错误；对C选项，y=1x在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）=-1x在（0，+∞）上单调递增，C选项正确；对D选项，f（x）=3|x-1|在（0，+∞）上不是单调的，D选项错误．故选：C．【点评】本题考查初等函数的单调性，属基础题．（2023•北京）（2x-1x）5的展开式中，x的系数是（ ）【专题】对应思想；综合法；二项式定理；数学运算．【答案】D【分析】首先找出二项展开式的通项公式，然后令x的次数为1，找到r的对应值，带回通项公式即可求得．A．7B．6C．5A．π6C．2π3D．5π6【解答】解：由二项式定理可知（2x-1x）5展开式的第r+1项T r+1=C r5（2x）5-r（-1x）r=（-1）r25-r C r5x5-2r，（r=0，1， (5)令5-2r=1，可得r=2．即含x的项为第3项，∴T3=80x,故x的系数为80．故选：D．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式的应用，属简单题．（2023•北京）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x=-3的距离为5，则|MF|=（ ）【专题】数形结合；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学建模．【答案】D【分析】本题只需将点M到x=-3的距离，转化为到准线x=-2的距离，再根据抛物线定义即可求得．【解答】解：如图所示，因为点M到直线x=-3的距离|MR|=5，∴点M到直线x=-2的距离|MN|=4．由方程y2=8x可知，x=-2是抛物线的准线，又抛物线上点M到准线x=-2的距离和到焦点F的距离相等，故|MF|=|MN|=4．故选：D．【点评】本题考查了抛物线定义的应用，属简单题．（2023•北京）在△ABC中，（a+c）（sinA-sinC）=b（sinA-sinB），则∠C=（ ）【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】首先由正弦定理推论，将条件中的正弦值化为边，再运用余弦定理，求得C的余弦值，即可得C的值．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R（R为三角形外接圆半径）可得：sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，所以（a+c）（sinA-sinC）=b（sinA-sinB）可化为（a+c）（a-c）=b（a-b），即a2+b2-c2=ab,∴cosC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，又C∈（0，π），∴C=π3．故选：B．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，属简单题．（2023•北京）若xy≠0，则“x+y=0”是“xy+yx=-2”的（ ）【专题】方程思想；换元法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．【答案】C【分析】由xy≠0，x+y=0，可得y=-x≠0，进而判断出xy+yx=-2是否成立；反之，若xy≠0，xy+yx=-2，令xy=t,可得yx=1t，通过换元代入解出t,即可判断出结论．【解答】解：由xy≠0，x+y=0，∴y=-x≠0，∴xy+yx=-2，反之，若xy≠0，xy+yx=-2，令xy=t,则yx=1t，于是t+1t=-2，化为t2+2t+1=0，解得t=-1，即xy=-1，∴xy≠0，则“x+y=0”是“xy+yx=-2”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了充要条件的判定方法、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．A．102m B．112mD．125m （2023•北京）刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF，四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，△ADE和△BCF是全等的等腰三角形．若AB=25m,BC=AD=10m,且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为145．为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为（ ）√【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算．【答案】C【分析】根据题意及对称性可知底面四边形ABCD为矩形，再根据三垂线定理作出等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角，再题目中的数据，计算即可求解．【解答】解：根据题意及对称性可知底面四边形ABCD为矩形，设E，F在底面矩形的射影点分别为M，N，设AD与BC的中点分别为P，Q，则M，N在线段PQ上，如图，过M，N分别作AB的垂线，垂足点分别为G，H，连接HF，FQ，则根据题意及三垂线定理易得tan∠EPM=tan∠EGM=tan∠FHN=tan∠FQN=145，又MG=NH=5，∴FM=FN=14，∴PM=QN=5，∴EP=FQ=14+25=39，∴MN=PQ-PM-QN=AB-PM-QN=25-5-5=15，∴EF=MN=15，又易知BC⊥QN，FN⊥底面矩形ABCD，∴根据三垂线定理可知BC⊥FQ，又BQ=5，FQ=39，∴FB=39+25=8，∴ED=EA=FC=FB=8，∴该多面体的所有棱长和为8×4+（25+10）×2+15=117．故所需灯带的长度为117m.故选：C．√√√√√√【点评】本题考查几何体的所有棱长和的求解，三垂线定理作二面角，化归转化思想，属中档题．A ．若a 1=3，则{a n }是递减数列，∃M ∈R ，使得n ＞m 时，a n ＞MC ．若a 1=7，则{a n }是递减数列，∃M ＞6，使得n ＞m 时，a n ＞M D ．若a 1=9，则{a n }是递增数列，∃M ∈R ，使得n ＞m 时，a n ＜M（2023•北京）数列{a n }满足a n+1=14（a n -6）3+6，下列说法正确的是（ ）【专题】归纳法；推理和证明；逻辑推理．【答案】B【分析】利用数学归纳法进行分析排除即可．【解答】解：对原式进行变形，得a n+1-a n =[14（a n -6）2-1]（a n -6），当a 1=3，则a 2-a 1＜0，a 2＜3，设a k ＜3（k ∈Z ，k≥2），则a k+1-a k ＜-3，所以{a n }是递减数列，当n→+∞，a n →-∞，A 错误，同理可证明D 错误，当a 1=5，则a 2-a 1＞0，即a 2＞5，又因为14（a 1-6）3＜0，所以5＜a 2＜6，假设5＜a k ＜6（k ∈Z ，k≥2），则a k+1-a k ＞0，即a k+1＞5，又因为14（a k -6）3＜0，所以5＜a k+1＜6，所以当n→+∞，a n →6，B 正确，对于C ，当a 1=7，代入进去很明显不是递减数列，C 错误，故选：B ．【点评】本题主要考查使用数学归纳法对数列的增减性和敛散性进行判断，属中档题．（2023•北京）已知函数f （x ）=4x +log 2x,则f （12）=1．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】1．【分析】利用指数与对数函数的运算性质即可得出结论．【解答】解：∵函数f （x ）=4x +log 2x,∴f （12）=412+log 212=2-1=1，故答案为：1．【点评】本题考查了指数与对数函数的运算性质、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（2023•北京）已知双曲线C 的焦点为（-2，0）和（2，0），离心率为2，则C 的方程为x 22−y 22=1．√【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】x 22−y 22=1．【分析】根据题意，建立方程，即可求解．【解答】解：根据题意可设所求方程为x 2a2−y 2b2=1，（a ＞0，b ＞0），又VY Y Y Y Y Y W Y Y Y Y Y YX c =2ca =2b 2=c 2−a 2，解得a =2，c=2，b=2，∴所求方程为x 22−y 22=1．故答案为：x 22−y 22=1．√√【点评】本题考查双曲线的方程的求解，方程思想，属基础题．（2023•北京）已知命题p ：若α，β为第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．能说明命题p 为假命题的一组α，β的值可以是α=9π4（答案不唯一），β=π4（答案不唯一）．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；简易逻辑；逻辑推理．【答案】9π4（答案不唯一）；π4（答案不唯一）．【分析】根据题意，举反例，即可得解．【解答】解：取α=π4+2π，β=π4，则α＞β，但tanα=tanβ，不满足tanα＞tanβ，∴命题p 为假命题，∴能说明命题p 为假命题的一组α，β的值可以是α=9π4，β=π4．故答案为：9π4（答案不唯一）；π4（答案不唯一）．【点评】本题考查命题的真假判断，属基础题．（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{a n }，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a 1=1，a 5=12，a 9=192，则a 7=48，数列{a n }的所有项的和为 384．【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】48；384．【分析】根据数列{a n }的后7项成等比数列，a n ＞0，可得a 7=a 5a 9，a 3=a25a 7，可得公比q=a 5a 3，进而得出a 4，利用求和公式即可得出结论．√√【解答】解：∵数列{a n }的后7项成等比数列，a n ＞0，∴a 7=a 5a 9=12×192=48，∴a 3=a25a 7=12248=3，∴公比q=a 5a 3=123=2．∴a 4=3×2=6，又该数列的前3项成等差数列，∴数列{a n }的所有项的和为3(a 1+a 3)2+6×(26−1)2−1=3×(1+3)2+378=384．故答案为：48；384．√√√√【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及性质、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（2023•北京）设a ＞0，函数f （x ）=V Y Y Y Y YW Y Y Y Y Y X x +2，x <−a ,a 2−x 2，−a ≤x ≤a ,−x −1，x >a .给出下列四个结论，正确的序号为 ②③．①f （x ）在区间（a-1，+∞）上单调递减；②当a≥1时，f （x ）存在最大值；③设M （x 1，f （x 1））（x 1≤a ），N （x 2，f （x 2））（x 2＞a ），则|MN|＞1；④设P （x 3，f （x 3））（x 3＜-a ），Q （x 4，f （x 4））（x 4≥-a ），若|PQ|存在最小值，则a 的取值范围时（0，12]．√√【专题】综合题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象．【答案】②③【分析】先大致画出f （x ）的草图，再根据四个选项逐一判断，对于选项①，取特殊值a=2判断函数函调性即可；对于选项②，分别判断a≥1时每段函数的最值情况，再判断是否存在最大值；对于选项③，结合图象分析|MN|最小值的情况，即可得出|MN|的范围；对于选项④，针对图像分析|PQ|存在最小值的情况，可得直线y=-x 需要与前两段函数图像都有交点才可满足，进而可求出a 的取值范围．【解答】解：a ＞0，当x ＜-a 时，f （x ）=x+2，图像为一次函数；当-a≤x≤a 时，f （x ）=a 2−x 2，图像为以（0，0）为圆心，a 为半径的圆的上半弧；当x ＞a 时，f （x ）=-x -1，图像为单调递减的曲线；其函数图象大致如下：选项①，取a=2，f （x ）在区间（-1，+∞）上先单调递增，后单调递减，选项①错误；选项②，当a≥1时，x ＜-a,f （x ）=x+2＜2-a ＜2-1=1；-a≤x≤a,f （x ）=a 2−x 2，最大值为a≥1；x ＞a,f （x ）=-x -1＜-a -1＜-2；所以f （x ）存在最大值a,选项②正确；选项③，由图可知，当点M 位于点B ，点N 无限接近于点D 时，MN 的长度最短，当N 无限接近于点D 时，x D 无限接近于x=a,所以|MN|＞y M -y N =1+a ＞1，选项③正确；选项④，如上图，若|PQ|存在最小值，则P 、Q 应该是直线y=-x 分别于f （x ）=x+2，f （x ）=a 2−x2的交点，直线y=-x 与f （x ）=a 2−x 2一定存在交点，而直线y=-x 与f （x ）=x+2不一定存在交点，当直线y=-x 与f （x ）=x+2没有交点时，-a≤-1，即a≥1，此时由于P 点取不到，|PQ|不存在最小值，所以0＜a ＜1，选项④错误．故答案为：②③．√√√√√√√√【点评】本题考查分段函数的应用问题，考查学生用数形结合方法分析试题的能力，属于难题．（2023•北京）如图，四面体P-ABC 中，PA=AB=BC=1，PC=3，PA ⊥平面ABC ．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求二面角A-PC-B的大小．√【专题】整体思想；综合法；立体几何；数学运算．【答案】（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ）π3．【分析】（Ⅰ）由PA ⊥平面ABC 可得PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，由勾股定理可得BC ⊥AB ，再利用线面垂直的判定定理即可证得BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）以点B 为坐标原点，分别以BA ，BC 所在直线为x 轴，y 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出相应向量的坐标，进而求出平面APC 和平面BPC 的法向量，再利用二面角的向量公式计算即可．→→【解答】证明：（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，∵PA=1，PC=3，∴AC=PC 2−PA 2=3−1=2，又∵AB=BC=1，∴AC 2=AB 2+BC 2，∴BC ⊥AB ，又∵PA∩AB=A ，∴BC ⊥平面PAB ；解：（Ⅱ）以点B 为坐标原点，分别以BA ，BC 所在直线为x 轴，y 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：则A （0，1，0），B （0，0，0），C （1，0，0），P （0，1，1），∴AP =（0，0，1），AC =（1，-1，0），BP =（0，1，1），BC =（1，0，0），设平面APC 的一个法向量为n =（x,y,z ），则V Y Y W Y Y X AP •n =z =0AC •n =x −y =0，取x=1，得n =（1，1，0），设平面BPC 的一个法向量为m =（a,b,c ），√√√√→→→→→→→→→→→→→则V Y YW YY XBP•m=b+c=0BC•m=a=0，取b=1，得m=（0，1，-1），∴cos＜m，n＞=m•n|m||n|=12×2=12，由图可知二面角A-PC-B为锐角，设二面角A-PC-B的大小为θ，则cosθ=|cos＜m，n＞|=12，∴θ=π3，即二面角A-PC-B的大小为π3．→→→→→→→→→→→√√→→【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求二面角的大小，属于中档题．（2023•北京）已知函数f（x）=sinωxcosφ+cosωxsinφ，ω＞0，|φ|＜π2．（Ⅰ）若f（0）=-32，求φ的值；（Ⅱ）若f（x）在[-π3，2π3]上单调递增，且f（2π3）=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求ω、φ的值．条件①：f（π3）=1；条件②：f（−π3）=-1；条件③：f（x）在[-4π3，-π3]上单调递减．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．√【专题】函数思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算．【答案】（Ⅰ）-π3．（Ⅱ）若选①：ω、φ的值不存在．若选②：ω=1，φ=-π6；若选③：ω=1，φ=-π6．【分析】（Ⅰ）化简函数f（x）=sin（ωx+φ），由f（0）=-32求出φ的值．（Ⅱ）若选①：由f（x）在x=π3和x=2π3时取得最大值1，这与已知矛盾，判断ω、φ不存在．若选②：由题意求出f（x）的最小正周期，即可求出ω的值，再根据f（2π3）=1求出φ的值；若选③：由题意知f（x）在x=-π3时取得最小值，x=2π3时取得最大值，由此求出f（x）的最小正周期，再求ω和φ的值．√【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin（ωx+φ），所以f（0）=sinφ=-32，又因为|φ|＜π2，所以φ=-π3．（Ⅱ）若选①：f（π3）=1；因为f（2π3）=1，所以f（x）在x=π3和x=2π3时取得最大值1，这与f（x）在[-π3，2π3]上单调递增矛盾，所以ω、φ的值不存在．若选②：f（-π3）=-1；因为f（x）在[-π3，2π3]上单调递增，且f（2π3）=1，所以f（x）在x=-π3时取得最小值-1，x=2π3时取得最大值1，所以f（x）的最小正周期为T=2×（2π3+π3）=2π，计算ω=2πT=1，又因为f（2π3）=sin（2π3+φ）=1，所以2π3+φ=2kπ+π2，k∈Z，解得φ=2kπ-π6，k∈Z；又因为|φ|＜π2，所以φ=-π6；若选③：f（x）在[-4π3，-π3]上单调递减，因为f（x）在[-π3，2π3]上单调递增，且f（2π3）=1，所以f（x）在x=-π3时取得最小值-1，x=2π3时取得最大值1，所以f（x）的最小正周期为T=2×（2π3+π3）=2π，所以ω=2πT=1，又因为f（2π3）=sin（2π3+φ）=1，所以2π3+φ=2kπ+π2，k∈Z，解得φ=2kπ-π6，k∈Z；又因为|φ|＜π2，所以φ=-π6．√【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．（2023•北京）为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续40天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到-++0---++0+0--+-+00+第20天第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率．（Ⅰ）试估计该农产品“上涨”的概率；（Ⅱ）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（Ⅲ）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）0.168；（Ⅲ）“不变”的概率估值最大．【分析】（Ⅰ）根据古典概型概率公式计算即可；（Ⅱ）根据相互独立事件的乘法公式求解即可；（Ⅲ）分别求得“上涨”、“下跌”和“不变”的概率，比较大小即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由表可知，40天中“上涨”的有16天，则该农产品“上涨”的概率为1640=0.4．（Ⅱ）由表可知，40天中“上涨”的有16天，则该农产品“下降”的概率为1440=0.35，40天中“不变”的有10天，则该农产品“上涨”的概率为1040=0.25，则该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率C 24×0．42×C 12×0.35×C 11×0.25=0.168．（Ⅲ）由于第40天处于“上涨”状态，从前39天中15次“上涨”进行分析，“上涨”后下一次仍“上涨”的有4次，概率为415，“上涨”后下一次“不变”的有9次，概率为35，“上涨”后下一次“下降”的有2次，概率为215，故第41天该农产品价格“不变”的概率估值最大．【点评】本题考查古典概型，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．（2023•北京）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为53，A 、C 分别为E 的上、下顶点，B 、D 分别为E 的左、右顶点，|AC|=4．√（1）求E 的方程；（2）点P 为第一象限内E 上的一个动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线y=-2交于点N ．求证：MN ∥CD ．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．【答案】（1）x 29+y 24=1．（2）见证明过程．【分析】（1）由题意可得：2b=4，e=53= c a，a 2=b 2+c 2，解得b,a 2，即可得出椭圆E 的方程．（2）利用截距式可得直线BC 的方程，设直线AP 的方程为：y=kx+2，（k ＜0），可得N 坐标，联立V Y Y Y W Y Y Y X y =kx +2x 29+y 24=1，解得P 坐标，利用直线PD 方程与BC 方程可得M 坐标M ，利用斜率计算公式可得k MN ，k CD ，进而证明结论．√【解答】解：（1）由题意可得：2b=4，e=53= c a，a 2=b 2+c 2，解得b=2，a 2=9，∴椭圆E 的方程为x 29+y 24=1．（2）证明：A （0，2），B （-3，0），C （0，-2），D （3，0），直线BC 的方程为x −3+y −2=1，化为2x+3y+6=0．设直线AP 的方程为：y=kx+2，（k ＜0），∴N （−4 k ，-2）．联立V Y Y Y W Y Y Y X y =kx +2x 29+y 24=1，化为：（4+9k 2）x 2+36kx=0，解得x=0或-36k 4+9k 2，∴P （-36k 4+9k 2，8−18k 24+9k 2）．直线PD 方程为：y=18k 2−84+9k23+36k4+9k2（x-3），即y=18k 2−827k 2+36k +12（x-3），与2x+3y+6=0联立，解得x=−6k −43k 2+2k ，y=8−18k 29k 2+6k ．∴M （−6k −43k 2+2k ，8−18k29k 2+6k）．√∴k MN =8−18k29k 2+6k +24k −6k +43k 2+2k =23，k CD =23，∴MN ∥CD ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及性质、直线交点问题、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（2023•北京）设函数f （x ）=x-x 3e ax+b ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=-x+1．（Ⅰ）求a,b 的值；（Ⅱ）设g （x ）=f′（x ），求g （x ）的单调区间；（Ⅲ）求f （x ）的极值点的个数．【专题】函数思想；转化思想；定义法；导数的综合应用；数学运算．【答案】（Ⅰ）a=-1，b=1．（Ⅱ）在（-∞，0）和（3-3，3+3）上单调递增，在（0，3-3）和（3+3，+∞）上单调递减；（Ⅲ）3个极值点．√√√√【分析】（Ⅰ）求函数f （x ）的导数，根据导数的几何意义列方程组求出a 、b 的值．（Ⅱ）求f （x ）的导数，利用g （x ）=f′（x ），求g （x ）的导数，令g′（x ）=0，根据g′（x ）与g （x ）的关系求出g （x ）的单调区间；（Ⅲ）根据题意，判断f′（x ）的单调递增，利用根的存在性定理，判断f′（x ）的零点个数，即可得出f （x ）极值点的个数．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f （x ）=x-x 3e ax+b ，所以f′（x ）=1-（3x 2e ax+b +ax 3e ax+b ）=1-（3+ax ）x 2e ax+b ，因为f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=-x+1，所以V W X f (1)=0f ′(1)=−1，即V Y Y W Y Y X 1−e a +b =01−(3+a )ea +b =−1，解得a=-1，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=x-x 3e -x+1，所以f′（x ）=1-（3x 2-x 3）e -x+1，所以g （x ）=f′（x ）=1-（3x 2-x 3）e -x+1，所以g′（x ）=-（6x-3x 2）e -x+1+（3x 2-x 3）e -x+1=-x （x 2-6x+6）e -x+1，令g′（x ）=0，解得x=0或x=3±3，所以g′（x ）与g （x ）的关系列表如下：x （-∞，0）0（0，3-3）3-3（3-3，3+3）3+3（3+3，+∞）√√√√√√√g′（x ）+0-0+ 0-g （x ） 单调递增单调递减单调递增单调递减所以g （x ）在区间（-∞，0）和（3-3，3+3）上单调递增，在区间（0，3-3）和（3+3，+∞）上单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x ∈（-∞，0）时，f′（x ）单调递增，当x ＜-1时，f′（x ）＜f′（-1）=1-4e 2＜0，f′（0）=1＞0，所以存在x 1∈（-∞，0），使得f′（x 1）=0，又因为f （x ）在（-∞，x 1）上单调递减，在（x 1，0）上单调递增，所以x 1是f （x ）的一个极小值点；当x ∈（0，3-3）时，f′（x ）单调递减，且f′（3-3）＜f′（1）=1-2＜0，所以存在x 2∈（0，3-3），使得f′（x 2）=0，所以f （x ）在（0，x 2）上单调递增，在（x 2，3-3）上单调递减，所以x 2是f （x ）的一个极大值点；当x ∈（3-3，3）时，f′（x ）单调递增，又因为f′（3）=1＞0，所以存在x 3∈（3-3，3），使得f′（x 3）=0，所以f （x ）在（3-3，x 3）上单调递减，（x 3，3）上单调递增，所以x 3是f （x ）的一个极小值点，又因为当x ＞3时，f′（x ）＞0，所以f （x ）在（3，+∞）上单调递增，无极值点；综上，f （x ）在定义域R 上有3个极值点．√√√√√√√√√√√【点评】本题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了导数的综合应用问题，是难题．（2023•北京）数列{a n }，{b n }的项数均为m （m ＞2），且a n ，b n ∈{1，2，⋯，m}，{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，并规定A 0=B 0=0．对于k ∈{0，1，2，⋯，m}，定义r k =max{i|B i ≤A k ，i ∈{0，1，2，⋯，m}}，其中，maxM 表示数集M 中最大的数．（Ⅰ）若a 1=2，a 2=1，a 3=3，b 1=1，b 2=3，b 3=3，求r 0，r 1，r 2，r 3的值；（Ⅱ）若a 1≥b 1，且2r j ≤r j+1+r j-1，j=1，2，⋯，m-1，求r n ；（Ⅲ）证明：存在p,q,s,t ∈{0，1，2，⋯，m}，满足p ＞q,s ＞t,使得A p +B s =A q +B r ．【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理．【答案】（Ⅰ）r 0=0，r 1=1，r 2=1，r 3=2．（Ⅱ）r n =n ，n ∈N ．（Ⅲ）证明详情见解答．【分析】（Ⅰ）根据题意可得，列表分析a i ，A i ，b i ，B i ，r K 的值，即可得出答案．（Ⅱ）由题意知r n ≤m 且r n ∈N ，a n ≥1，b n ≥1，则A n ≥1，B n ≥1，当且仅当n=1时，等号成立，可推出r m-r m-1≥r m-1-r m-2≥...≥r1-r0=1，即r i+1-r i≥1，用反证法证明满足r n+1-r n＞1的最小正整数为1≤j≤m-1不成立，推出r n+1-r n=1成立，由等差数列的性质，即可得出答案．（Ⅲ）分两种情况：若A m≥B m时，若A m＜B m时，证明A P+B s=A q+B r，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）列表如下，对比可知r0=0，r1=1，r2=1，r3=2．i0123a i213A i0236b i133B i0147r k0112（Ⅱ）由题意知r n≤m且r n∈N，因为a n≥1，b n≥1，a n，b n∈{1，2，⋯，m}，所以A n≥1，B n≥1，当且仅当n=1时，等号成立，所以r0=0，r1=1，又因为2r j+1≤r j-1+r j+1，则r j+1-r j≥r j-r j-1，即r m-r m-1≥r m-1-r m-2≥...≥r1-r0=1，可得r j+1-r j≥1，反证：假设满足r n+1-r n＞1的最小正整数为1≤i≤m-1，当j≥i时，则r i+1-r j≥2；当i≤j-1时，则r j+1-r j=1，则r m=（r m-r m-1）+（r m-1-r m-2）+...+（r1-r0）+r0≥2（m-i）+i=2m-i,又因为1≤i≤m-1，则r m≥2m-i≥2m-（m-1）=m+1＞m,所以假设不成立，r n+1-r n=1成立，所以数列{r n}是以首项为1，公差为1的等差数列，所以r n=0+1×n=n,n∈N．（Ⅲ）证明：若A m≥B m，设S n=A n-B rn，1≤n≤m,根据题意可得S n≥0且S n为整数，反证法：假设存在正整数K，使得S K≥m,则A K-B rK≥m,A K-B r k+1＜0，所以b rk+1=B r k+1-B r K=（A K-B r K ）-（A K-B rK+1）＞m,这与b r K+1∈{1，2...，m}相矛盾，所以对任意1≤n≤m,n∈N，均有S n≤m-1，①若存在正整数N，使得S N=A N-B rN=0，即A N=B r N，取r=p=0，q=N，s=r N，使得A P+B s=A q+B r，②若不存在正整数N，使得S N=0，因为S n∈{1，2m,…，m-1}，且1≤n≤m,所以必存在1≤X＜Y≤m,使得S X=S Y，即A X-B r X=A Y-B r Y，可得A X+B r Y=A Y+B r X，取p=X，s=r Y，q=Y，r=r X，使得A p+B s=A q+B r，若A m＜B m，设S n=B rn-A n，1≤n≤m,根据题意可得S n≤0且S n为整数，反证法：假设存在正整数K，使得S K≤-m,则B r K-A K≤-m,B r k+1-A K＞0，所以b rk+1=B r k+1-B r K=（B r K+1-A K ）-（B rK-A K）＞m,这与b rK+1∈{1，2...，m}相矛盾，所以对任意1≤n≤m,n∈N，均有S n≥1-m,①若存在正整数N，使得S N=B rN-A N=0，即A N=B r N，取r=p=0，q=N，s=r N，使得A P+B s=A q+B r，②若不存在正整数N，使得S N=0，因为S n∈{-1，-2，…，1-m}，且1≤n≤m,所以必存在1≤X＜Y≤m,使得S X=S Y，即A X+B rY=A Y+B r X ，可得A X+B rY=A Y+B r X，取p=X，s=r Y，q=Y，r=r X，使得A p+B s=A q+B r．综上所述，存在0≤p＜q≤m,0≤r＜s≤m,使得A p+B s=A q+B r．【点评】本题考查数列的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。

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北京市高考数学试题
2018年一般高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试终止后，将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共140分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1） 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P
M =
(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3} （2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12
（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为
（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）82
87A C
（5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是
（A ）两个圆 （B ）两条直线
（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线 （6）a 、b 为非零向量。

“a b ⊥”是“函数f （x ）=（xa+b ）（xb-a ）为一次函数”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
表示的平面区域为D ，若指数函数y=x
a 的图像上
（7）设不等式组
存在区域D 上的点，则a 的取值范畴是
（A ）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞] (8)如图，正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，
ｚ大于零），则四面体PE ＦＱ的体积 （Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 （Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 （Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 （Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关
第II 卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在复平面内，复数
21i
i
-对应的点的坐标为 。

（10）在△ABC 中，若b = 1，c =3，23
C π
∠=，则a = 。

（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

由图中数据可知a ＝ 。

若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，
用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。

（12）如图，O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A 。

若BD ⊥AE ，AB ＝4, BC ＝2,
AD ＝3,则DE ＝ ；CE ＝ 。

（13）已知双曲线
2
2
2
2
1a b χγ-
=的离心率为2，焦点与椭圆
2
2
125
9
χγ+
=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐
标为 ；渐近线方程为 。

（14）如图放置的边长为1的正方形P ABC 沿χ轴滚动。

设顶点(,)P χγ的轨迹方程是()f γχ=，则函数
()f χ的最小正周期为 ；()f γχ=在其两个相邻零点间的图象与χ轴所围区域的面积
为 。

说明：“正方形P ABC 沿χ轴滚动”包括沿χ轴正方向和沿χ轴负方向滚动。

沿χ轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在χ轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此连续。

类似地，正方形P ABC 能够沿χ轴负方向滚动。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）
已知函数()f χ2
2cos 2sin 4cos χχχ=+-。

（Ⅰ）求()3
f π
=的值；
（Ⅱ）求()f χ的最大值和最小值。

（16）（本小题共14分）
如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，C E ⊥AC,EF ∥AC,AB=2，CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ； （Ⅲ）求二面角A-BE-D 的大小。

(17)(本小题共13分)
某同学参加3门课程的考试。

假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
4
5
，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p ＞q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。

记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ
1
2
3
p
6125
a
d
24125
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求p ，q 的值； (Ⅲ)求数学期望E ξ。

(18)(本小题共13分)
已知函数f (x )=In(1+x )-x +
2
2
x x (k ≥0)。

(Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求f (x )的单调区间。

（19）（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于1
3
. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

（20）（本小题共13分）
已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…关于12(,,,)n A a a a =…，
12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…
A 与
B 之间的距离为111
(,)||i d A B a b -=
-∑
（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P n S ⊆，P 中有m(m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为d
(P).
证明：
d
（P ）≤
2(1)
mn
m -.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。

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