快速傅里叶变换实验报告
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快速傅里叶变换实验报告
快速傅里叶变换实验报告
机械34班刘攀 2019010558
一、基本信号(函数)的FFT变换
1. x(t)=sin(ω0t+)+sin2ω0t+cos3ω0t 6
1) 采样频率fs=8f0,截断长度N=16;
取ω0=2πrad/s,则f0=1Hz,fs=8Hz,频率分辨率∆f=∆f=fs=0.5Hz。 Nπ最高频率fc=3f0=3Hz,fs>2fc,故满足采样定理,不会发生混叠现象。截断长度T=2T0,整周期截取,不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏,但在整周期截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0,泄漏现象没有体现出来。
频谱图如下:
幅值误差∆A=0,相位误差∆ϕ=0。
2) 采样频率fs=8f0,截断长度N=32;
取ω0=2πrad/s,则f0=1Hz,fs=8Hz,频率分辨率∆f=∆f=fs=0.25Hz。 N最高频率fc=3f0=3Hz,fs>2fc,故满足采样定理,不会发生混叠现象。截断长度T=4T0,整周期截取,不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏,但在整周期截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0,泄漏现象没有体现出来。
频谱图如下:
幅值误差∆A=0,相位误差∆ϕ=0。
2. x(t)=sin(ω0t+π
6)+sin11ω0t
1) 采样频率fs=8f0,截断长度N=16;
取ω0=2πrad/s,则f0=1Hz,fs=8Hz,频率分辨率∆f=∆f=fs=0.5Hz。 N最高频率
fc=11f0=11Hz,fs
漏,但在整周期截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0,泄漏现象没有体现出来。
频谱图:
由上图可以看出,并未体现出11f0的成分,说明波形出现混叠失真。为了消除混叠
现象,应加大采样频率,使之大于等于 22Hz。 f0处的幅值误差∆A=0,11f0处由于出现
了混叠现象,幅值误差没有意义;相位误差∆ϕ=0。
2) 采样频率fs=32f0,截断长度N=32;
取ω0=2πrad/s,则f0=1Hz,fs=32Hz,频率分辨率∆f=∆f=fs=1Hz。 N最高频率
fc=11f0=11Hz,fs>2fc,故满足采样定理,不会发生混叠现象。
漏,但在整周期截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0,泄漏现象没有体现出来。
频谱图:
该频谱图体现出了f0和11f0的成分,说明未失真,且幅值均为1,。幅值误差∆A=0,相位误差∆ϕ=0。
3.
x(t)=0t
1) 采样频率fs=8f0,截断长度N=16;
取ω0=2πrad/s,则f0=1Hz,fs=8Hz,频率分辨率∆f=∆f=fs=0.5Hz。 N最高频率f
cf
0Hz,fs>2fc,故满足采样定理,不会发生混叠现象。
频谱图:
在忽略旁瓣信号的情况下,可近似认为:
x(t)≈0.9098cos(3ω0t+56.9520︒)
故幅值误差∆A=0.9096-1=-0.0904,相位误差∆ϕ=56.9520︒。
2) 采样频率fs=32f0,截断长度N=32;
取ω0=2πrad/s,则f0=1Hz,fs=32Hz,频率分辨率∆f=∆f=fs=1Hz。N最高频率f
cf
0Hz,fs>2fc,故满足采样定理,不会发生混叠现象。
频谱图:
在忽略旁瓣信号的情况下,可近似认为:
x(t)≈0.9820cos(3ω0t+27.6898︒)
则幅值误差∆A=0.9820-1=-0.0180,相位误差∆ϕ=27.6898︒。分析:很明显,出现了
泄露现象,主要原因是截断时加了矩形窗。与(1)相比,(2)的窗宽度减小,主瓣变宽,能量更加分散,而其旁瓣却被压低,幅度A明显减小。泄漏使能量分布变得分散,使要求
的谱线能量降低(幅值减小)。为减少泄漏的影响,可以选择性能更好的特殊窗(如汉宁
窗等)来代替矩形窗进行加窗处理。
x(t)=
0t的周期T0==,而截断长度T1=2s,T2=1s,非正周期截取,故出现了“栅栏效应”。信号本身的频率≈3.16 Hz,但是频谱图中只在整数点有值,所以原本应该在 3 和 4 之
间的3.16左右的谱线峰值出现在了3 处。与(1)相比,(2)的频率分辨率降低,
两峰值间的点数减少,栅栏效应更为明显。栅栏效应的主要原因是没有
进行整周期截取。
若进行整周期截取,可以消除栅栏效应。例如fs=0,N=16得到:
4.
x(t)=0t
对信号加窗(Hanning Window):
12πtw(t)=(1-cos)0
1) 采样频率fs=8f0,截断长度N=16;
频谱图:
此时x(t)≈0.4657cos(3ω0t+58.1027︒)
则幅值误差∆A=0.4657-1=-0.5343,相位误差∆ϕ=58.1027︒
2) 采样频率fs=32f0,截断长度N=32;
频谱图:
此时x(t)≈0.4914cos(3ω0t+30.4390︒)
则幅值误差∆A=0.4917-1=-0.5086,相位误差∆ϕ=30.4390︒分析:加窗之后,主瓣变宽,主瓣能量分散,旁瓣的泄漏有改善。
π5. x(t)=sin(0.99ω0t+) 6
1) 采样频率fs=8f0,截断长度N=16;
取ω0=2πrad/s,则f0=1Hz,fs=8Hz,频率分辨率∆f=∆f=fs=0.5Hz。N最高频率
fc=0.99f0=0.99Hz,fs>2fc,故满足采样定理,不会发生混叠现象。截断长度T=2T0,而信号周期为1,非整周期截取,会发0.99T0
生栅栏效应。由于进行了矩形窗加窗处理,所以存在泄露现象。频谱图:
此时,x(t)≈1.0049cos(ω0t-63.4206︒)
则幅值误差∆A=1.0049-1=0.0049,相位误差∆ϕ=-63.4206︒
2) 采样频率fs=32f0,截断长度N=32;
取ω0=2πrad/s,则f0=1Hz,fs=32Hz,频率分辨率∆f=∆f=fs=1Hz。N最高频率
fc=0.99f0=0.99Hz,fs>2fc,故满足采样定理,不会发生混叠现象。截断长度T=T0,而信号周期为1,非整周期截取,会发0.99T0
生栅栏效应。由于进行了矩形窗加窗处理,所以存在泄露现象。频谱图:
此时,x(t)≈1.0034cos(ω0t-67.2019︒)
则幅值误差∆A=1.0034-1=0.0034,相位误差∆ϕ=-67.2019︒
分析:如果将截取长度取为信号周期的整数倍,如令fs=8⨯0.99f0,则频谱图如下,有效的避免了栅栏效应。
二、典型信号(函数)的FFT变换
1. 对不同信号比的方波进行fft分析
结论:由于方波的频率为≈0.16,故fft变换得到的频谱图主要能量2π
均集中在0.16附近,根据分辨率的不同,误差也不一样。
由上表可以很直观地观察到,随着占空比的改变,频谱图中频率分布的集中程度在发生改变,总体规律为:占空比越远离50%,谱线能量越集中。
2. 用伪随机信号模仿白噪声信号进行FFT分析。
结论:白噪声是伪随机信号生成的,具有随机信号的特征,除0Hz外谱线的幅值均为0。
三、实际信号的频谱分析
电风扇振动信号的分析