平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高

坐标的应用（讲义）

知识点睛

平面直角坐标系知识回顾：

1、数轴是规定了原点、正向和单位长度的一条直线，当我们把两条

数轴如图放置，就能构成平面直角坐标系；它们有共同的原点，水平向的数轴我们叫x轴或横轴，铅直向的数轴我们叫y轴或纵轴；2、我们用有序实数对（a,b）来表示平面直角坐标系的坐标；数轴

把平面直角坐标系分成四个部分，分别是第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。每一个象限的符号：（﹢，﹢），（﹣，﹢），（﹣，﹣），（﹢，﹣）；

3、每一个点（a,b）的坐标由两部分组成：A、它的符号，由它在坐

标系中的位置决定；B、它的长度，a的绝对值表示点到纵轴的距离，b的绝对值表示点到横轴的距离，一般需做横平竖直的垂线；

4、关于x轴对称的两个点，x相同，y相反；关于y轴对称的两个点，

x相反，y相同；关于原点对称的两个点，x、y都相反；于x轴平行的直线，y相同，x不同，可表示为y=b；于y轴平行的直线，x相同，y 不同；可表示为x=a；

坐标系中求线段长的法：如果两个点的连线平行于x轴或y轴，则其线段长等于大坐标－小坐标；如果不平行，则运用两点之间的距离公式：

；

5、牢记中点坐标公式：

1212

22

，

x x y y

++

⎛⎫ ⎪⎝⎭

6、平面直角坐标系中坐标的处理原则：

A、过点做平行于x轴、y轴的垂线；

B、坐标转线段长，线段长转坐标；

4)点的存在性问题：

3平行四边形中已知三点坐标确定第四点坐标：；

4等腰三角形中已知两点坐标确定第三点坐标：．

精讲精练

1. 如图所示，在平面直角坐标系中，正形ABCD的顶点A（-1，0），B

（0，4），顶点C，D在第二象限，则C，D两点的坐标分别是_______，_______．

（分别过C、D两点构造双垂直模型，正形四边均相等，因此所构造的双垂直模型都是全等三角形。）

在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（-2，-3），B （5，-2），C（2，4），D（-2，2），求四边形ABCD的长和面积．

（构造直角三角形，将坐标转化为线段长，利用勾股定理求出各边长即可；将此四边形补成正形，通过“补形以做差”，利用大正形面积减

去三个小直角三角形面积即可。）

9. 如图，在平面直角坐标系中，已知A （0，2），B （3，0），C （3，4）

三点．

（1）求△ABC 的面积． （2）如果在第二象限有一点P （m ，1

2），是否存在点P ，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

总结提升：

1、此题需将坐标转化为线段长，法是：如果两个点的连线平行于x 轴或y 轴，则其线段长等于大坐标－小坐标；如果不平行，则运用两点

之间的距离公式：

；

2、平面直角坐标系中，我们常使用“分割以求和”或“补形以作差”来计算面积。比如此题就可以OA 为共同的底边分割成两个小三角形求四边形的面积。

18. 如图，在平面直角坐标系中，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），取线段AB 的

中点M ，分别作A ，B 到x 轴的垂线段AE ，BF ，取EF 的中点N ，则MN 是梯形AEFB 的中位线，故MN ⊥x 轴，利用梯形中位线的知识，我们可以得到点M 的坐标是____________（用x 1，y 1，x 2，y 2表示）．

（牢记中点坐标公式）

已知点M （-4，2），将坐标系向下平移3个单位长度，再向左平移3个单

位长度，则点M 在新坐标系的坐标为______．

（总结提升：牢记点的平移和坐标系的平移不同；坐标系的平移相当于

把点向反向平移；）

34. 如图，35. 将△ABC 绕点C （0，36. -1）旋转180°得到△A ′B ′C ，37.

设点A 的坐标38. 为（a ，39. b ），40. 则点A ′的坐标41. 为

（ ） A ．（-a ，-b ）

B ．（-a ，-b -1）

C ．（-a ，-b ＋1）

D ．（-a ，-b -2）

（总结提升：由于旋转180°，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，且又在一条直线上，所以我们可以利用中点坐标公式直接求出。）

42. 如图，已知A （0），B （0，2），把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°

后得到△AO ′B ′，则点B ′的坐标是（ ）

A ．（4

， B ．

（4） C ．

3）

D ．

（

，

（总结提升：首先把坐标转化为线段长，可以得出三角形AOB 是一个含有30°角的直角三角形，又由于旋转角是60°，所以A B ′垂直于横轴，再把线段长转化为坐标即可。）

50. 如图，在平面直角坐标系中，已知A （4，1），B （0，3），请在x 轴上

找一点P ，使得点P 到点A ，B 两点距离之和最小，则点P 的坐标是_________．

（总结提升：这是一个典型的奶站问题，做点B 关于横轴的对称点，连接此对称点和A 点，于横轴的交点就是所求的点。求出直线的表达式，然后求出和横轴的交点即可。

）

62. 如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，其中A （2，0），

B （2，，连接OB ，将纸片OAB

C 沿OB 折叠，使点A 落在A ′的位

置上，则点A′的坐标为________．

总结提升：欲求点A′的坐标，我们可以向横轴做垂线并交横轴于G点；根据折叠的轴对称性质，折叠是一种全等变换，则∠BOA=∠BO A′=60°，则∠A′OG也=60°，则我们构造的小直角三角形是一个含有30°角的直角三角形，根据三边关系比，可求出相应线段的长，然后转化为点的坐标即可。

74. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正形，A点坐标为（0，

2），E是线段BC上一点，且∠AEB=60°，沿AE折叠后B点落在点F处那么F点的坐标是________．

（总结提升：此题道理同上，我们过F点做横轴的平行线，与BC相交与点H；根据折叠的轴对称性质，∠BEA=∠AEF=60°，则角FEH=60°，我们构造的是一个含有30°角的直角三角形，根据其三边关系比，分别求出三边的长度，然后用2－BH即是F的纵坐标，2－HF的相反数就是F的横坐标。）

86. 已知A（-2，0），B（3，0），C（0，-1），以A，B，C三点为顶点作