数学建模之钢管下料问题案例分析

钢管下料问题
某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。

(1）现在一客户需要50根4m 、20根6m 和15根8m 的钢管。

应如何下料最节省？
(2) 零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。

此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5m 的钢管。

应如何下料最节省。

问题（1）分析与模型建立
首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程：
12346819k k k ++≤
的整数解。

但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。

容易得到所有模式见表1。

决策变量 用i x 表示按照第i 种模式(i=1,2,…，7)切割的原料钢管的根数。

以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有
1234567min z x x x x x x x =++++++ 约束条件 为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有
1236743250x x x x x ++++≥ 6米长的钢管至少20根，有 25673220x x x x +++≥ 8米长的钢管至少15根，有 346215x x x ++≥ 因此模型为：
1234567min z x x x x x x x =++++++
123672567
346432503220..215,1,2,,7
i x x x x x x x x x s t x x x x i ++++≥⎧⎪+++≥⎪⎨
++≥⎪⎪=⎩取整 解得：
12345670,12,0,0,0,15,0x x x x x x x =======
目标值z=27。

即12根钢管采用切割模式2：3根4m ，1根6m ，余料1m 。

15根钢管采用切割模式6：1根4m ，1根6m ，1根8m ，余料1m 。

切割模式只采用了2种，余料为27m ，使用钢管27根。

LINGO 程序：
model: sets:
model/1..7/:x; endsets
min=x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7); 4*x(1)+3*x(2)+2*x(3)+x(6)+x(7)>=50; x(2)+3*x(5)+x(6)+2*x(7)>=20; x(3)+2*x(4)+x(6)>=15; @for(model(i):@gin(x(i))); end
问题（2）模型建立
首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 、5m 的钢管的模式，所有模式相当
于求解不等式方程： 1234468519k k k k +++≤
的整数解。

但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。

利用Matlab 程序求出所有模式见表2。

求出所有模式的Matlab 程序： number=0; for k1=0:4 for k2=0:3 for k3=0:2 for k4=0:3
r=19-(4*k1+6*k2+8*k3+5*k4); if(r>=0)&(r<4)
number=number+1;
fprintf('%2d %2d %2d %2d %2d %2d\n',number,k1,k2,k3,k4,r); end
end end end end
表2 钢管切割模式
决策变量 用i x 表示按照第i 种模式(i=1,2,…，16)切割的原料钢管的根数。

决策目标 以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有 16
21
min i i z x ==
∑
设第i 种切割模式下4米长的钢管i a 根，6米长的钢管i b 根，8米长的钢管i c 根，5米长的钢管i d 根。

则约束条件有：
为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有
16
150i i
i a x
=≥∑
6米长的钢管至少20根，有
16
1
20i i
i b x
=≥∑
8米长的钢管至少15根，有
16
115i i
i c x
=≥∑
5米长的钢管至少10根，有
16
1
10i i
i d x
=≥∑
为实现最多使用3种切割模式，增设0-1变量,1,2,
,16i y i =。

当0i y =时，0i x =，表示不使用第i 种切割模式；当1i y =时，1i x ≥，表示使用第i 种切割模式。

因此有：
i i x y ≥，.i i x M y ≤，1,2,,16i =
其中M 足够大，如这里取100。

16
1
3i
i y
=≤∑
因此模型为：
16
1
min i i z x ==∑
16
116
116
116
1
16
1
50201510...,1,2,,16,1,2,,163,1,2,,1601,1,2,,16i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
i a x b x c x d x s t x M y i x y i y x i y i M =====⎧≥⎪⎪⎪≥⎪⎪⎪≥⎪⎪⎪≥⎪⎨⎪≤=⎪
≥=⎪⎪⎪≤⎪⎪=⎪⎪==⎪
⎩∑∑∑∑∑取整或足大
解得：
当所用钢管z 最少时，求得的解为：
213158,10,10x x x ===，其余为0。

目标值z=28。

即8根钢管采用切割模式2：2根8m ，余料3m 。

10根钢管采用切割模式13：2根4m ，1根6m ，1根5m ，余料为0。

10根钢管采用切割模式15：3根4m ，1根6m ，余料1m 。

切割模式采用了3种，余料为34，使用钢管z=28根。

LINGO 程序为： model:
sets:
model/1..16/:a,b,c,d,r,x,y; endsets data:
a=0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,3,3,4; b=0,0,1,1,2,3,0,0,1,2,0,0,1,0,1,0; c=1,2,0,1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0; d=2,0,2,1,1,0,3,1,0,0,2,0,1,1,0,0; r=1,3,3,0,2,1,0,2,1,3,1,3,0,2,1,3; enddata min=z;
z1=@sum(model(i):r(i)*x(i));!余料;
z=@sum(model(i):x(i));!钢管总数;
@sum(model(i):a(i)*x(i))>=50;!4米长钢管约束; @sum(model(i):b(i)*x(i))>=20;!6米长钢管约束; @sum(model(i):c(i)*x(i))>=15;!8米长钢管约束; @sum(model(i):d(i)*x(i))>=10;!5米长钢管约束; @for(model(i):x(i)>=y(i));
@for(model(i):x(i)<=1000*y(i));
@sum(model(i):y(i))<=3;
@for(model(i):@gin(x(i)));
@for(model(i):@bin(y(i)));
end。