华师大版《圆周角》课件(精选)
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2017春华师大九年级下27.圆周角课件
3、 如图，在直径为AB的半圆 中，O为圆心，C、D为半圆上 的两点，∠COD=500，则 ∠CAD=___2_5__º___
做做看，收获知多少？
一、判断
1、顶点在圆上的角叫圆周角。 ×
2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。 √
二、计算
1、半径为R的圆中，有一弦分圆 周成1：4两部分，则弦所对的圆 周角的度数是 36º或14。4°
① 角的顶点在圆上.
A
.
O
B
C
② 角的两边都与圆相交.
练习：
1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理
由。
不
不
是
是
是
图３
图１
图２
不
不
是
是
图４
图５
2、指出图中的圆周角。
∠ACO ∠ACB ∠ BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC
O
A
C
B
思考：
• 问题：画一个圆，以A、C为弧的端点 能画多少个圆周角？它们有什么关系？
5、如图，在⊙O中，B⌒C=2D⌒E， ∠ BOC=84°，求 ∠A的度数。
解:连接CD ∵∠BOC=84º∴∠BAD= ∠BOC=42º ∵B⌒C=2D⌒E∴D⌒E为42º的弧 ∴∠DCE=42º× =21º ∴∠A=∠BDC-∠DCE=42º-21º=21º
拓展 化心动为行动
• 1.如图,在⊙O中,∠BAD =50°,求∠C的大小.
证明：∠ACB= ∠AOB
∠BAC= ∠BOC
∠AOB=2∠BOC
O
∠ACB=2∠BAC A
C
规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问B题,
华东师大版九年级数学下册 3. 圆周角 教学PPT课件
新课讲解
典例分析
例 如图所示，A，P，B，C 是圆上的四个点， ∠ APC=∠ CPB=60°．求证：△ ABC 是等边三 角形.
分析：紧扣“同弧所对的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ周角相等”解决.
新课讲解
解：∵ A，P，B，C 是圆上的四个点， ∴∠ ABC= ∠ APC，∠ CPB= ∠ BAC. 又∵∠ APC= ∠ CPB=60°， ∴∠ ABC= ∠ BAC=60°. ∴ AC=BC. 又∠ BAC=60°，∴△ ABC 是等边三角形.
新课讲解
1. 圆周角定理的证明：
已知：如图, ∠ C是 AB 所对的圆 周角， ∠ AOB是 AB 所对的圆心角. 求证： ∠ C= 1 ∠ AOB
2
分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：
新课讲解
(1)圆心O在∠ C的一条边上，如图 (1); (2)圆心O在∠ C的内部，如图 (2); (3)圆心O在∠ C的外部，如图 (3).
例 如图，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B 两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于( B ) A．80° B．90° C．100° D．无法确定
分析：由∠AOB与∠ACB 是优弧AB所对的圆周角，根据圆周 角定理，即可求得∠ACB =∠AOB= 90°.
解：∵∠AOB与∠ACB 是优弧AB所对的圆周角， ∴∠AOB =∠ACB， ∵ ∠AOB = 90°，∴ ∠ACB = 90°.
例 如图所示，AB 是⊙ O 的直径， 弦BC=BD， 若∠BOD=50°，求∠ A 的度数.
解：连接OC，如图所示.
∵ BC=BD，∴∠ BOC= ∠ BOD=50° .
∴∠ A= 1 ∠ BOC= 1 ×50° =25° .
27.圆周角课件华东师大版九年级下册
C
∴∠AOB =∠AOD-∠BOD=2(∠ACD-∠BCD)=2∠ACB.
CB
D
O
同弧所对的圆心角的度数=2×圆周角的度数，不受检测
课堂总结
归纳总结
圆周角定理: 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧
所对的圆心角的一半.相等的圆周角所对的弧相等.
O
B
推论1：90°的圆周角所对的弦是直径.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
问题2：如果在☉O内任意画一个多边形，多边形的各个顶点在圆周上，
这个圆和这个多边形有什么关系呢？ 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点， 这个圆就叫做这个多边形的外接圆；
A
B
C O
这个多边形就叫做这个圆的内接多边形；
E
D
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
问题3：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的
外接圆. 四边形的四个角有什么关系呢？你能证明吗？
猜想：∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º. 如图所示，分别连接OB、OD.
A
B
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角
∴，∠A＋∠C＝180°，
课堂总结
探究二：圆周角定理的推论
问题1：圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于
90°.如果把条件和结论反过来，还能成立吗？即圆周角是 90º（直角）
所对的弦是直径吗？ C
∵一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∴90°圆周角∠ACB所对的圆心角∠AOB＝180°， A
∴A,O,B三点在同一直线上，故弦AB为圆的直径.
∴∠AOB =∠AOD-∠BOD=2(∠ACD-∠BCD)=2∠ACB.
CB
D
O
同弧所对的圆心角的度数=2×圆周角的度数，不受检测
课堂总结
归纳总结
圆周角定理: 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧
所对的圆心角的一半.相等的圆周角所对的弧相等.
O
B
推论1：90°的圆周角所对的弦是直径.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
问题2：如果在☉O内任意画一个多边形，多边形的各个顶点在圆周上，
这个圆和这个多边形有什么关系呢？ 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点， 这个圆就叫做这个多边形的外接圆；
A
B
C O
这个多边形就叫做这个圆的内接多边形；
E
D
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
问题3：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的
外接圆. 四边形的四个角有什么关系呢？你能证明吗？
猜想：∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º. 如图所示，分别连接OB、OD.
A
B
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角
∴，∠A＋∠C＝180°，
课堂总结
探究二：圆周角定理的推论
问题1：圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于
90°.如果把条件和结论反过来，还能成立吗？即圆周角是 90º（直角）
所对的弦是直径吗？ C
∵一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∴90°圆周角∠ACB所对的圆心角∠AOB＝180°， A
∴A,O,B三点在同一直线上，故弦AB为圆的直径.
最新华师大版九年级数学上册 圆周角 优质课课件
P A
Bபைடு நூலகம்
C
如图，圆O的两条弦AB，CD相交于 E， AC=55°，BD=35°，求 ∠AEC A
C E D
B
在圆O中，弦CD与直径AB垂直于E，若 CD=8，AE=3，求圆的半径。
B
O C A
D
如图，矩形ABCD与圆O交于点A、B、E、 F，DE=1cm，EF=3cm，则AB=________cm 5
P
已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证：⌒ ⌒ BD=DE A 证明：连结AD. ∵AB是圆的直径，点D在圆上， E ∴∠ADB=90°， C D B ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴⌒ ⌒ BD= DE
A O B A C
● ●
C O B
A
C
●
O
B
n
温馨提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
由此，可以得出：
【一条弧所对的圆周角等于该弧 所对的圆心角的一半】.
因此我们可以知道：
【在同一圆内，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于该弧所对的圆 心角的一半； 相等的圆周角所对的 弧相等】．
随堂练习
线段AB是⊙O的直径， 点C是⊙O上任意一点（除点A、 B）， 那 么，∠ACB就是 直径AB所对的圆周角.想想看， ∠ACB会是怎么样的角？为什 么呢？
证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、 △BOC都是等腰三角形，所以∠OAC＝ ∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以 ∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°.因此， 不管点C在⊙O上何处（除点A、B）， ∠ACB总等于90°，即:
Bபைடு நூலகம்
C
如图，圆O的两条弦AB，CD相交于 E， AC=55°，BD=35°，求 ∠AEC A
C E D
B
在圆O中，弦CD与直径AB垂直于E，若 CD=8，AE=3，求圆的半径。
B
O C A
D
如图，矩形ABCD与圆O交于点A、B、E、 F，DE=1cm，EF=3cm，则AB=________cm 5
P
已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证：⌒ ⌒ BD=DE A 证明：连结AD. ∵AB是圆的直径，点D在圆上， E ∴∠ADB=90°， C D B ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴⌒ ⌒ BD= DE
A O B A C
● ●
C O B
A
C
●
O
B
n
温馨提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
由此，可以得出：
【一条弧所对的圆周角等于该弧 所对的圆心角的一半】.
因此我们可以知道：
【在同一圆内，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于该弧所对的圆 心角的一半； 相等的圆周角所对的 弧相等】．
随堂练习
线段AB是⊙O的直径， 点C是⊙O上任意一点（除点A、 B）， 那 么，∠ACB就是 直径AB所对的圆周角.想想看， ∠ACB会是怎么样的角？为什 么呢？
证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、 △BOC都是等腰三角形，所以∠OAC＝ ∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以 ∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°.因此， 不管点C在⊙O上何处（除点A、B）， ∠ACB总等于90°，即:
初三下数学课件(华东师大)-圆周角
∵BC＝2 3，∴CD＝2，∴∠DBC＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝120°.(2)当
点 A 在 BC 所对的优弧上时，如图 2 所示，连接 BO 并延长交⊙O 于 D，则
BD＝4，连接 CD.可求得∠A＝60° .
【规范解答】60° 或 120°
知识点一：圆周角 顶点在 圆上 ，并且两边都和圆 相交 的角叫做圆周角．半圆或直径所对
的圆周角都 相等 ，都等于 90° (直角) ．90° 的圆周角所对的弦是圆
的直径．
1．如图，AB 为 ⊙O 的直径，已知∠DCB＝20°，则∠ACD 等于( D )
A．50° C．60°
B．20° D．70°
2．如图的五个图形中，存在圆周角的有 ② (填序号)．
知识点二：圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，都等于该弧所对的圆 心角的 一半 ；相等的圆周角所对的弧 相等 ．
能掌握圆周角定理及推论．
【例 1】(山西中考)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，点
︵
C 为BD的பைடு நூலகம்点．若∠A＝40°，则∠B 等于
．
【思路分析】连接 AC，∴∠ACB＝90°，∵C 是B︵D的中点，∴∠BAC＝12∠
DAB＝20°，∴∠B＝90°－20°＝70°.
【规范解答】70°
3 4x＋1.
大小为 65° .
能力点：利用圆周角定理求角的度数 在圆中弦所对的圆周角有两个，它们互补，这与圆中弧所对的圆周角有区 别． 7．一条弦把圆分为 2∶3 两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为
72°或108° .
8．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 C 在半圆上，点 A、B 的读数分别为 86°、30°，则∠ACB 的大小为( B )
27. 圆周角 PPT课件(华师大版)
C √
A
顶点（不2）在圆上 B
B 边AC（没3有）和圆相交
CC
O
O·
A O·
·
A
B
C
B √
顶点不在圆上
√
新课讲授
如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点
（除点A、B外），那么，∠ABC 就是直径AB所对的圆
周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
C
解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、
△BOC都是等腰三角形.
第27章 圆
27.1 圆的认识
3. 圆周角
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解
决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
复习引入
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ A 顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC.
相等吗？请说明理由.
相等，理由如下：
D
BAC 1 BOC, 2
BDC 1 BOC, 2
∴∠BAC=∠BDC
新课讲授
问题2 如图，若 CD EF， ∠A与∠B相等吗？
相等
AB
CD EF，COD EOF.
A 1 COD，B 1 EOF，
O
E
2
2
A B.
C
F
D 想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么 CD EF
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB , ∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
B
∴AB=BC.
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
九年级数学下册 28.1圆周角课件 华师大版
求证：∠BAC=1/2 ∠BOC
O B (1)
A 证明：(1)图中，圆心O在∠BAC的一边上，
∵OA=OC ∴∠C=∠BAC
又∵∠BOC=∠C +∠BAC
C
∴∠BAC=1/2 ∠BOC
（2）圆心在∠BAC的内部.
已知：在⊙O中，BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角∠BOC。 求证：∠BAC=1/2 ∠BOC
推理格式：
∠BDC=∠BAC ∠BAC=1/2 ∠BOC
A .O
B
C
A D
.O
B
C
A .O
B C
练习：1.求圆中角X的度数
120°
O
O.
70° x
A
B
O.
X
A
A C
B
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=_1_3_0°。
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半 圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=___2_5_°____ 4、在圆O中，一条弧所对的圆心 角和圆周角分别为(2x+100)0和 (5x-30)0，则这条弧的度数为_1_4_0_°
C
good！
探探索索1:1:
圆心角的顶点发生变化时, 我们得到几种情况:
A
A
A
.
O
B
C
.
O
பைடு நூலகம்
B
C
.
O
B
C
圆周角
探索2:
你能仿照圆心角的定义给圆周
角下个定义吗?
A
圆周角定义: 顶点
在圆上,并且两边都和
圆相交的角叫圆周角.
特征：
B
① 角的顶点在圆上.
O B (1)
A 证明：(1)图中，圆心O在∠BAC的一边上，
∵OA=OC ∴∠C=∠BAC
又∵∠BOC=∠C +∠BAC
C
∴∠BAC=1/2 ∠BOC
（2）圆心在∠BAC的内部.
已知：在⊙O中，BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角∠BOC。 求证：∠BAC=1/2 ∠BOC
推理格式：
∠BDC=∠BAC ∠BAC=1/2 ∠BOC
A .O
B
C
A D
.O
B
C
A .O
B C
练习：1.求圆中角X的度数
120°
O
O.
70° x
A
B
O.
X
A
A C
B
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=_1_3_0°。
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半 圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=___2_5_°____ 4、在圆O中，一条弧所对的圆心 角和圆周角分别为(2x+100)0和 (5x-30)0，则这条弧的度数为_1_4_0_°
C
good！
探探索索1:1:
圆心角的顶点发生变化时, 我们得到几种情况:
A
A
A
.
O
B
C
.
O
பைடு நூலகம்
B
C
.
O
B
C
圆周角
探索2:
你能仿照圆心角的定义给圆周
角下个定义吗?
A
圆周角定义: 顶点
在圆上,并且两边都和
圆相交的角叫圆周角.
特征：
B
① 角的顶点在圆上.
新华师大版九下数学课件 圆周角
（）
A． 2∠C B．4∠B C． 4∠A D．∠B+∠C 解：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C． 故选A
3、如图，⊙O的两弦AD，BC相交于点E，连接AC，BD，AO，BO。若
∠ACB=60°，则下列结论正确的是（
）
A．∠AOB=60°
B．∠ADB=60°
C．∠AEB=60°
D．∠AEB=30°
C
O
D
【归纳结论】一个圆经过一个多边形的各顶点，这个圆叫做这个多边形的外接 圆。这个多边形叫做圆内接多边形。圆内接四边形的对角互补。
运用新知
1则、∠如AB图DBC，的已度B知数CB是D是（⊙O的）直径，点A、C在⊙O上，
A.20°C
B.25° C.30° D.40°
，∠AOB=60°，
谢 勇
AB BC
课后作业
1.从教材练习中选取 2.完成练习册中本课时的习题
6、⊙O半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于E。求证：AD∥BC
解：∵OA⊥OB ∴∠AOB=90° ∴∠C=∠D=45 ° ∵AC⊥BD ∴∠AED=90 ° ∴∠DAE=45 ° ∴∠C=∠DAE ∴AD∥BC
课堂小结
1．圆周角的概念及定理和推论 2. 圆内接多边形与多边形的内接圆概念和圆内接四边形性质 3. 应用本节定理解决相关问题．
解析:由BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， ，∠AOB=60°，利用在同圆或等 圆中同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BDC的 度数
解:∵ AB B，C∠AOB=60°，
1 ∴∠BDC= ∠AOB=30°．
故选C
2
2、如图，已知A，B，C在⊙O上， 为优弧，下列A选C项B中与∠AOB相等的是
A． 2∠C B．4∠B C． 4∠A D．∠B+∠C 解：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C． 故选A
3、如图，⊙O的两弦AD，BC相交于点E，连接AC，BD，AO，BO。若
∠ACB=60°，则下列结论正确的是（
）
A．∠AOB=60°
B．∠ADB=60°
C．∠AEB=60°
D．∠AEB=30°
C
O
D
【归纳结论】一个圆经过一个多边形的各顶点，这个圆叫做这个多边形的外接 圆。这个多边形叫做圆内接多边形。圆内接四边形的对角互补。
运用新知
1则、∠如AB图DBC，的已度B知数CB是D是（⊙O的）直径，点A、C在⊙O上，
A.20°C
B.25° C.30° D.40°
，∠AOB=60°，
谢 勇
AB BC
课后作业
1.从教材练习中选取 2.完成练习册中本课时的习题
6、⊙O半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于E。求证：AD∥BC
解：∵OA⊥OB ∴∠AOB=90° ∴∠C=∠D=45 ° ∵AC⊥BD ∴∠AED=90 ° ∴∠DAE=45 ° ∴∠C=∠DAE ∴AD∥BC
课堂小结
1．圆周角的概念及定理和推论 2. 圆内接多边形与多边形的内接圆概念和圆内接四边形性质 3. 应用本节定理解决相关问题．
解析:由BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， ，∠AOB=60°，利用在同圆或等 圆中同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BDC的 度数
解:∵ AB B，C∠AOB=60°，
1 ∴∠BDC= ∠AOB=30°．
故选C
2
2、如图，已知A，B，C在⊙O上， 为优弧，下列A选C项B中与∠AOB相等的是