数学：平面向量应用举例教案北师大版必修

7．２平面向量应用举例一.教学目标：１．知识与技能（１）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.（２）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.２．过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.３．情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点：（体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.难点：（体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.三.学法与教学用具学法：（１）自主性学习法+探究式学习法（２）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】[展示投影]同学们阅读教材的相关内容思考： １．直线的向量方程是怎么来的？ ２．什么是直线的法向量？ 【巩固深化，发展思维】 教材P １0３练习１、２、３题[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例１．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。

证：设BE 、CF 交于一点H ，−→−AB = a , −→−AC = b , −→−AH = h ,则−→−BH = h a , −→−CH = h b , −→−BC = b a ∵−→−BH −→−AC , −→−CH−→−AB∴0)()()(0)(0)(=-•⇒•-=•-⇒⎭⎬⎫=•-=•-a b h a b h b a h a a h b a h∴−→−AH −→−BC又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点 [展示投影]预备知识：１．设P １, P ２是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P １, P ２的任一点，存在实数λ，使−→−P P 1=λ−→−2PP ，λ叫做点P 分−→−21P P 所成的比， 有三种情况：λ>0（内分） （外分） λ<0 （λ<—１） （ 外分）λ<0 （—１<λ<0）ABCEFHPPP222PPP注意几个问题：１λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ—１ 若P 与P １重合，λ=0 P 与P ２重合 λ不存在２始点终点很重要，如P 分−→−21P P 的定比λ=21则P 分−→−12P P 的定比λ=２２．线段定比分点坐标公式的获得：设−→−P P 1=λ−→−2PP 点P １, P , P ２坐标为（x １,y １） （x,y ） （x ２,y ２） 由向量的坐标运算−→−P P 1=（x —x １,y —y １） −→−2PP =（ x ２—x １, y ２—y １）∵−→−P P 1=λ−→−2PP 即（x —x １,y —y １） =λ（ x ２—x １, y ２—y １∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式 ３．中点坐标公式：若P 是−→−21P P 中点时，λ=１222121y y y x x x +=+= 中点公式是定比分点公式的特例。

[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例２．已知点).4,2().5,1().1,(21P P x P --１的值及的比分求点x P PP 121λ−→− ２求点的值。

的比分221λ−→−P P P 解：１由2145111111211=++-=++=λλλλλ解得得y y y 111211=++=∴λλx x x２由2312112222221-=++=-++=λλλλλ解得得x x y例３．CD G AB D y x C y x B y x A ABC 是的中点，是边（的三个顶点分别为),,()..().,1∆OP 1PP 2上的一点，且2=GDCG求点G 的坐标。

解：由D 是AB 的中点，所以D 的坐标为GD CG y y x x 2),2,2(2121=++又 32122321213x x x x x x x ++=++⨯+=∴32122321213y y y y y y y ++=++⨯+=∴ 即G 的坐标为)3,3(321321y y y x x x ++++ ————.重心坐标公式例４．过点P １（２, ３）, P ２（6, —１）的直线上有一点P ，使| P １P|:| PP ２|=３, 求P 点坐标解：当P 内分−→−21P P 时3=λ当P 外分−→−21P P 时3-=λ当3=λ得P （５,0） 当3-=λ得P （8,—３）例５．如图，在平面内任取一点O ，设→−→−→−→−==b OP a OP 21,，−→−−→−−→−→−→−→−→−−→−=-=-=2121,,PP P P OP b PP a OP P P λ→→−→−−→−→→−→−+++=∴-=-∴b a OP OP b a OP λλλλ111),()(这就是线段的定比分点向量公式。

特别当，当P 为线段P １P ２的中点时，有)(21→→−→−+=b a OP例6．教材P １00例２． 例7．教材P １0１例３．例8．某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来， 而当速度为２a 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。

解：设a 表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为a ，设实际风速为v ，OP 1P P 2 •••• P’OP 1 PP 2 PB A Ovv -2a那么此时人感到的风速为v a ， 设−→−OA = a ，−→−OB = ２a∵−→−PO +−→−OA =−→−PA ∴−→−PA = v a ，这就是感到由正北方向吹来的风速， ∵−→−PO +−→−OB =−→−PB ∴−→−PB = v ２a ，于是当此人的速度是原来的２倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是−→−PB ， 由题意：PBO = ４５, PABO , BA = AO从而，△POB 为等腰直角三角形，∴PO = PB =2a 即：|v | =2a ∴实际风速是2a 的西北风 【巩固深化，发展思维】１．教材P １0２练习１、２、３题.２．已知平行四边形ABCD 的两个顶点为对角线的交),6,2(),7,29(B A --点为），，（233M 则另外两个顶点的坐标为 . （），），（，3410221- ３．△ABC 顶点A （１, １）, B （—２, １0）, C （３, 7）BAC 平分线交BC 边于D,求D 点坐标 . （１,541） [学习小结]：略五、评价设计１．作业：习题２．7 A 组第１、２、３、４题．２．（备选题）：１若直线02:=++y mx l 与线段AB 有交点，其中A （—２，３），B （３,２）,求m 的取值范围.解：设l 交有向线段AB 于点P （x,y ）且点）时直线过，当A PBAP00(=≥=λλλ 则可得3425,0435*******-<≥≥+-=⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=m m m m l P y x 或得上，故可得点在因λλλλλ由于设λ时，无形中排除了P ,B 重合的情形，要将B 点坐标代入直线方程得3425,34-≤≥-=m m m 或故２已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|−→−OA|２ + |−→−BC|２ = |−→−OB|２ + |−→−CA|２= |−→−OC |２+ |−→−AB|２，求证：−→−AB −→−OC ．证：设−→−OA = a , −→−OB = b , −→−OC = c ,则−→−BC = c b , −→−CA = a c , −→−AB = b a 由题设：−→−OA２+−→−BC２ =−→−OB２ +−→−CA２ =−→−OC２+−→−AB ２，化简：a ２ + （c b ）２ = b ２ + （a c ）２ = c ２ + （b a ）２ 得： c •b = a •c = b •a从而−→−AB •−→−OC = （b a ）•c = b •c a •c = 0 ∴−→−AB−→−OC 同理：−→−BC−→−OA , −→−CA−→−OB六、课后反思：ABCO。