数学：平面向量应用举例教案北师大版必修

7．２平面向量应用举例

一.教学目标：

１．知识与技能

（１）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.

（２）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.

２．过程与方法

通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.

３．情感态度价值观

通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.

二.教学重、难点

重点：（体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.

难点：（体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.

三.学法与教学用具

学法：（１）自主性学习法+探究式学习法

（２）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

教学用具:电脑、投影机.

四.教学设想

【探究新知】

[展示投影]

同学们阅读教材的相关内容思考： １．直线的向量方程是怎么来的？ ２．什么是直线的法向量？ 【巩固深化，发展思维】 教材P １0３练习１、２、３题

[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）

例１．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。 证：设BE 、CF 交于一点H ，

−→

−AB = a , −→−AC = b , −→

−AH = h ,

则−→

−BH = h a , −→

−CH = h b , −→

−BC = b a ∵−→

−BH −→

−AC , −→−CH

−→

−AB

∴

0)()()(0)(0)(=-•⇒•-=•-⇒⎭

⎬⎫

=•-=•-a b h a b h b a h a a h b a h

∴−→

−AH −→

−BC

又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点 [展示投影]预备知识：

１．设P １, P ２是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P １, P ２的任一点，存在实数λ，使−→

−P P 1=λ−→

−2PP ，λ叫做点P 分−→

−21P P 所成的比， 有三种情况：

λ>0（内分） （外分） λ<0 （λ<—１） （ 外分）λ<0 （—１<λ<0）

A

B

C

E

F

H

P

P

P

222P

P

P

注意几个问题：

１λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ—１ 若P 与P １重合，λ=0 P 与P ２重合 λ不存在

２始点终点很重要，如P 分−→

−21P P 的定比λ=2

1

则P 分−→

−12P P 的定比λ=２

２．线段定比分点坐标公式的获得：

设−→

−P P 1=λ−→

−2PP 点P １, P , P ２坐标为（x １,y １） （x,y ） （x ２,y ２） 由向量的坐标运算

−→

−P P 1=（x —x １,y —y １） −→

−2PP =（ x ２—x １, y ２—y １）

∵−→

−P P 1=λ−→

−2PP 即（x —x １,y —y １） =λ（ x ２—x １, y ２—y １

∴⎩⎨⎧-=--=-)()

(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩

⎪⎨⎧++=

++=⇒λ

λλλ11212

1y y y x x x 定比分点坐标公式 ３．中点坐标公式：若P 是−→

−21P P 中点时，λ=１

2

221

21y y y x x x +=+= 中点公式是定比分点公式的特例。

[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）

例２．已知点).4,2().5,1().1,(21P P x P --１的值及的比分求点x P P

P 121λ−→

− ２求点的值。的比分221λ−→

−P P P 解：１由2145111111211=++-=++=

λλλλλ解得得y y y 1112

11=++=∴λλx x x

２由2

3

12112222221-=++=-++=

λλλλλ解得得x x y

例３．CD G AB D y x C y x B y x A ABC 是的中点，是边（的三个顶点分别为),,()..().,1∆

O

P 1

P

P 2

上的一点，且

2=GD

CG

求点G 的坐标。 解：由D 是AB 的中点，所以D 的坐标为GD CG y y x x 2),2

,2(

2

121=++又 32122321213x x x x x x x ++=++⨯

+=

∴3

2122321

21

3y y y y y y y ++=++⨯+=∴ 即G 的坐标为)3

,3(

3

21321y y y x x x ++++ ————.重心坐标公式

例４．过点P １（２, ３）, P ２（6, —１）的直线上有一点P ，使| P １P|:| PP ２|=３, 求P 点坐标

解：当P 内分−→

−21P P 时

3=λ

当P 外分−→

−21P P 时3-=λ当3=λ得P （５,0） 当3-=λ得P （8,—３）

例５．如图，在平面内任取一点O ，设

→

−→

−→−→

−==b OP a OP 21,，−→

−−→

−−→−→

−→

−→−→

−−→

−=-=-=2121,,PP P P OP b PP a OP P P λ

→

→−→

−−→

−→

→

−→

−+++=∴-=-∴b a OP OP b a OP λ

λλλ111),()(

这就是线段的定比分点向量公式。

特别当，当P 为线段P １P ２的中点时，有)(2

1→

→−→

−+=b a OP

例6．教材P １00例２． 例7．教材P １0１例３．

例8．某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来， 而当速度为２a 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。

解：设a 表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量，

无风时此人感到风速为a ，设实际风速为v ，

O

P 1

P P 2 •

•

•

• P’

O

P 1 P

P 2 P

B A O

v

v -2a