固体物理 电场中的自由电子

dt h
h
电子之间没有发生碰撞时，对上式积分得
v k
v k (t)
v k (0)
v eE
t
h
心此移式动表为明，在kvK空间，从0t 时刻，费米球中
负号表示费米球沿与外场相反的方向移动
那么，在弛豫时间内费米球中心在k空间的位
移为:
v k
v eE
h
费米球在外场作用下产生刚性移动示意图
ky
ky
v E
kx
第四节 电场中的自由电子
本节主要内容： 一、准经典模型 二、电子的动力学方程 三、金属的电导率
一、准经典模型
准经典模型是在经典模型的基础上稍作改动 建立起来的
1. 经典模型 Drude 把自由电子视为理想气体，用类似
气体动力学的方法讨论金属的电导和热导问题， 其模型可以归纳为三个方面的内容。
该模型虽然很简单，但是能解释金属的很多 性质，下面给出具体内容。
整理后得到电子的漂移速度为
vvd
e E
m
相应的电流密度
v J
nevvd
ne2
m
v E
又
vv
J E
所以,电导率为 ne2
m
根据实验我们可以测出材料的电导率 然后，代入电导率公式可计算弛豫时间
ne2
m
m
ne2
由弛豫时间，可得到电子的平均自由程：
l vF
对于普通的金属, 的量级约10-14s, l 约10 nm
所以
kF3
3 2
1
4 3
rs3
从而
kF :
1 rs
由测不准关系可得坐标 的不确定程度为：
x h ? p
h 1: hkF kF
rs
对于金属而言,电子坐标的不确定度约为多个离子实间
距(离子实间距和 rs同量级),满足测不准关系.而金属中电 子的平均自由程约为10nm(低温下甚至达到108原子间 距）,远大于坐标的不确定度.所以,在遵循测不准关系的 前提下,电子有确定的坐标和动量.因而,在很多问题中可 采用经典的处理方式。
v F (t )dt
pv(t)
dt
整理得
dpv
pv(t dt)
pv(t)
v F(t)
pv(t)
dt
dt
所以，自由电子在外场下的动力学方程为
dpv
v F(t)
pv(t)
dt
设外场作用下电子的漂移速度(drift velocity)为
vd(t),则动量
pv(t) mvvd (t)
从而，自由电子在外场下的动力学方程变为
3. 准经典模型 对外场作用下的电子，采用经典的处理方式，但用 电子的费米速度代替电子的平均热运动速度，这种做 法称为准经典模型。
二、电子的动力学方程
由于假定碰后电子无规取向，所以电子对动量
的贡献仅源于没有发生碰撞的那部分电子。
由假定,dt时间内,电子受到碰撞的几率为： 则电子没有受到碰撞的几率为：1 dt
Drude模型：
1). 电子在规则排列的离子实中作无规热运动， 电子气同金属离子相互碰撞达到热平衡
2). 在两次碰撞之间，电子不受到力的作用， 即忽略电子之间的相互作用(独立电子近似) 以及电子和离子实之间的相互作用(自由电 子近似)
3). 定义驰豫时间，借以概括电子和金属离子 的碰撞特征
驰豫时间，相当于相继两次散射间的平均时间
由于驰豫时间，相当于相继两次散射间的 平均时间，则单位时间内电子与金属离子的碰 撞几率为-1
dt 时间内，电子受到碰撞的几率为
dt • 1
2.模型的适用性
由于金属中电子的平均自由程(mean free path) 的室温值约10 nm(低温下会更长一些),远大于量 子力学中测不准原理得到的坐标不确定度,因此, 在很多问题中,经典近似是很好的近似。
dt
假定t时刻电子的平均动量为P(t),经过dt时间没有
受到碰撞的电子对平均动量的贡献为P(t+dt)
没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献应为t
时刻电子的平均动量和 dt时间后动量的变化率
之和，再乘以未被碰撞的电子的几率。
即：
pv(t
dt
)
(1
dt
)
[
pv(t)
v F (t )dt ]
pv(t
dt)
2.交变电场情形 此时 E E0eit ; vd vd 0eit
代入电子的动力学方程得
m
dvvd
(t
)
v F (t
)
m
vvd
(t
)
dt
imvd
eE
mvd
整理得
v
vvd
eE m(1 i )
由
v J
nevvd
ne2
m
•1
1 i
•
v E
v
E
得到
ne2 • 1 0 m 1 i 1 i
0 为直流电导率
已知金属自由pv电子m费vv 米 h气kv体具有确定的动量
在恒定的外场作用下，电子受力为-eE
由牛顿第二定律
v eE
m
dvv
h
v dk
dt dt
此式说明在外电场的作用下，电子动量的改
变表现为k空间相应状态点的移动，即产生了
费米球的刚性移动。
在k空间移动的速度为
vv dk eE
从而
v dk
v eE dt
3. 金属电导率的进一步讨论
金属的电导率是固体电子论的一个重要问 题，要严格求解电导率必须先建立非平衡分 布函数的方程，即玻尔兹曼方程。
关于玻尔兹曼方程的建立和求解，是一项很复杂 的工作。本教材的第六章第二节会讨论该问题。
下面我们利用费米球在外场作用下产生刚性移 动这一直观模型来进一步讨论金属的电导率
kx
t 0
t
从0 时刻,费米球中心逆电场方向移动为
讨论：
v k
v
eE
h
1). 不加外场时，费米球的中心和K空间的原点
m
dvvd
(t)
v F (t )
m
vvd
(t)
dt
阻尼力
下面我们利用该方程讨论电子的输运行为
三、 金属的电导率
1.稳恒电场情形
对于稳恒电场下，电子具有恒定的漂移速度
所以：dvd (t) 0, F eE
dt
m
dvvd
(t)
v F (t )
m
vvd
(t)
dt
把得它到们：代0入 自eE由v 电m 子vvd 在外场下的动力学方v 程
(1
dt
)
[
pv(t
)
v F (t )dt ]
冲量
v F Biblioteka Baidut
由冲量定理，冲量等于动量的变化
)dt 是对于所有电子而言的，电场力对所
有电子有作用，但是，有贡献的只是未发生碰
撞的电子
整理上式
pv(t
dt)
pv(t)
v F (t )dt
pv(t)
dt
v F (t )dt
dt
取一级近似
pv(t
dt)
pv(t)
说明： 按测不准关系 x • p h
动金量属自pv由电h子kv 模型的解表明，电子有确定的
因此,动量的不确定度应远小于金属中电子的 最高动量，也就是要远小于费米动量,动量才会有 确定值。
也就是动量的不确定度 p = hkF
前面我们已知费米波矢
k
3 F
3 2n
电子密度的另一种表示：
1 n
4 3
rs3