固体物理 电场中的自由电子
固体的电学性质与导电机制
固体的电学性质与导电机制固体是一种物质的状态，与液体和气体相比，固体具有更强的稳定性和相对较小的分子间距离。
在固体中，电学性质是物质中电子运动的关键。
本文将探讨固体的电学性质以及导电机制。
一. 固体的电学性质固体的电学性质在物质的导电、绝缘、半导体等方面起着重要作用。
固体的电学性质取决于其内部的电子数目、电子能级分布以及晶格结构等因素。
1. 导体导体是一种具有良好导电性的固体材料。
在导体中，电子云密度高，并且容易受到外部电场的影响而发生偏离。
导体中的自由电子可以在电场驱动下移动，从而导致电流的流动。
金属是一种常见的导体，其导电机制主要是由于金属中的自由电子在晶格中的自由运动。
2. 绝缘体绝缘体是一种不能或很少导电的固体材料。
在绝缘体中，电子的运动受到禁带的限制，电子无法自由流动。
绝缘体的电子云密度较低，并且在外部电场的作用下电子不易受到偏离。
例如，塑料、橡胶等材料都属于绝缘体。
3. 半导体半导体是介于导体和绝缘体之间的一类固体材料。
在半导体中，电子运动的特性介于导体和绝缘体之间。
半导体的电导率可以通过人为控制或外部条件的改变而变化。
例如，硅、锗等材料常被用作半导体组件的基础材料。
二. 导电机制导电机制是固体中电流传输的基本原理。
不同类型的固体导电机制有所不同，下面将介绍几种常见的导电机制。
1. 金属导电金属导电是指金属中的自由电子在外部电场的作用下发生的电流传输。
金属中的自由电子可以在金属晶格中自由运动，形成连续的电子云。
当外部电场施加在金属上时，电子受到电场力的作用而发生偏离，从而形成电流。
2. 离子导电离子导电是指在某些离子化合物中，离子在晶格中的传输导致电流的形成。
离子导电主要是通过正、负离子在晶格中的移动来实现的。
经典的离子导电材料包括氧化物、硫化物等。
3. 电子空穴导电电子空穴导电是半导体中电流传输的一种机制。
在半导体材料中，电子和空穴是主要的载流子。
电子在导带中移动，而空穴在价带中移动。
固体物理电场中的自由电子23页PPT
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
清华大学固体物理：第一章 自由电子论
1 金属中自由电子的量子态
金属中的传导电子好比理想气体，相互之间没有相互作用，各自独立地在平均势场中运动，通常取
平均势场为能量零点。要使自由电子逸出体外，必须克服电子的脱出功，因此金属中自由电子的能态，
可以从在一定深度的势阱中运动的粒子能态估算，通常设势阱深度是无限的，设金属中自由电子的平均
势能为零，金属外电子的平均势能为无穷大，则金属中自由电子的薛定谔方程为：
(1) 在两次碰撞间隙，忽略给定电子和其它电子及离子的相互作用。没有外加电磁场时，电子作匀速直 线运动，在有外加电磁场时，电子受电磁力，运动遵从牛顿运动定律。忽略其它电子和离子产生的复杂 的附加场。在两次碰撞间隙，忽略电子－电子之间的相互作用称为独立电子近似；忽略电子－离子之间 的相互作用称为自由电子近似。
x21 x y22 y
0 0
d
2 3 z
dz 2
k z2 3
z
0
(1.2.4)
这样问题简化为三个一维无限深势阱中粒子的量子态。设金属体是边长为 L 的立方体，周期性边界条件
为：
x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L x, y, z
i
0
0 1
2
2
(1.1.26)
介质的复数折射率定义为：
n~ ~r12 n i
(1.1.27)
这里 n 是通常的折射率， 是消光系数。在光学实验中，通常不直接测量 n 和 ，而是测量反射率 R 和
吸收系数。它们之间的关系为：
R
n n
12 12
2 2
(1.1.28)
低频时 1 ， ~r i r " ，因此：
H Ex
自由电子与电子能带理论的解释
自由电子与电子能带理论的解释自由电子理论是固体物理学中的一个重要概念，它被广泛运用于描述和解释物质的电子结构和导电性质。
在这个理论中，电子被认为是不受束缚的，它们可以在一个无限深势阱中自由移动。
在固体中，电子受到其他原子核电荷的吸引，同时与其他电子之间的相互作用也不可忽视。
自由电子理论假设固体中的价电子（最外层电子）可以忽略其他电子和原子核之间的相互作用，从而成为类似自由粒子的行为。
这个假设为我们提供了描述固体中电子的简单模型，它可以用来解释电子的运动和导电性质。
自由电子理论对于描述导电性质而言是非常有效的。
在固体中，电子可以上升到更高的能级，或者从高能级下降到低能级。
当电子遇到外电场时，它们可以自由地加速或减速，并且在导体中形成电流。
这就是为什么金属具有良好导电性质的原因。
自由电子理论可以用来解释导体中的电子运动和导电现象，尽管它忽略了许多真实物质之间的相互作用。
然而，自由电子理论也有一些限制。
首先，它无法解释像绝缘体和半导体这样的材料的导电性质。
这些材料中的电子在价带和导带之间存在能隙，只有当光子提供足够的能量时，电子才能从价带跃迁到导带，形成电流。
自由电子理论无法描述这种现象。
为了解决这个问题，人们发展出了电子能带理论。
根据电子能带理论，固体中的电子在能量空间中被分布为一系列能带，每个能带可以容纳一定数量的电子。
其中，价带是最低能级的能带，它容纳了价电子；而导带是更高能级的能带，它容纳了自由电子。
能带之间的间隙被称为能隙。
电子能带理论在解释固体的导电性质时更加准确。
对于绝缘体而言，价带和导带之间的能隙非常大，因此电子无法跃迁到导带中。
这导致了绝缘体的低导电性质。
而半导体中的能隙比较小，一些电子可以通过吸收热量或光子来跃迁到导带，形成电流，使半导体表现出可变的导电性。
电子能带理论还可以解释为什么金属具有良好的导电性。
在金属中，导带与价带之间没有明显的能隙，因此即使不需要外电场的加速，电子也可以自由地在导带中移动和形成电流。
固体物理 第一章第四节 电场中的自由电子 一、准经典模型 二、电子的动力学方程 三、金属的电导率
所以，附加速度
则电流密度
v
eE m
ne2 J nqv E E m
ne2 m
所以，电导率为
b).另一种说法认为，只有费米面附近的电子 ky 才对金属的电导有贡献 E 如图所示，在外场作用下， 费米球从红色位置向蓝色 位置平移。
kx
由于I区和II区均位于原来的 红色球内,且关于 ky – kz 面对 称。所以它们的传导作用被抵 消。只剩下费米面附近未被
由于驰豫时间，相当于相继两次散射间的 平均时间，则单位时间内电子与金属离子的碰 撞几率为-1
dt 时间内，电子受到碰撞的几率为 dt 1 2.模型的适用性 由于金属中电子的平均自由程(mean free path) 的室温值约10 nm(低温下会更长一些),远大于 量子力学中测不准原理得到的坐标不确定度,因 此,在很多问题中,经典近似是很好的近似。
所以，自由电子在外场下的动力学方程为
设外场作用下电子的漂移速度(drift velocity) 为vd(t),则动量 p(t ) mvd (t ) 从而，自由电子在外场下的动力学方程变为
dvd (t ) vd (t ) m F (t ) m dt
阻尼力
下面我们利用该方程讨论电子的输运行为
那么，在弛豫时间内费米球中心在k空间的 位移为: eE k
费米球在外场作用下产生刚性移动示意图
ky
ky
kx
E
kx
t0
t
k
eE
从0 时刻,费米球中心逆电场方向移动为 讨论：
1). 不加外场时，费米球的中心和K空间的原 点重合；整个费米球对原点对称。此时，如果 有一个电子有速度V,就有另一个电子有速度-V, 因此金属内净电流为零。
固体物理中的导电性
固体物理中的导电性导电性是固体物理中一个重要的概念，它指的是物质中电流的传导能力。
在固体物理学中，许多实际应用都依赖于材料的导电性质，比如电子器件、电力传输等。
本文将对导电性的基本原理、常见的导电材料以及导电性在实际中的应用进行探讨。
一、导电性的基本原理导电性的基本原理是固体中存在自由电子，它们能够在外加电场的作用下流动。
在固体中，电子的运动受到晶格的束缚，只有当电子获得足够的能量时，才能克服晶格的束缚并流动。
因此，导电性与固体材料的特殊结构和电子能带结构密切相关。
固体导电材料可分为金属导体和半导体两类。
金属导体通常由金属元素组成，其晶体结构特点是存在密堆排列的离子核心，并有许多松散的价电子。
这些自由电子能够在电场的驱动下自由流动，使金属具有极好的导电性能。
半导体材料在绝对零度时是绝缘体，几乎没有自由电子；但在受到热激发或掺杂等因素的影响下，半导体中会出现少数载流子（电子或空穴），从而导致材料出现导电性。
这种导电性的强弱可以通过控制温度、掺杂浓度和外加电场等手段进行调节。
二、常见的导电材料1. 金属导体金属导体是最常见的导电材料，常见的有铜、铝、银等。
它们具有良好的导电性能，广泛应用于电线、电缆、电器元件等领域。
2. 半导体材料半导体材料包括硅、锗等。
通过控制半导体材料中的杂质浓度，可以使其成为P型或N型半导体。
P型半导体中的导电性主要由空穴贡献，N型半导体中的导电性主要由自由电子贡献。
两种半导体的结合形成PN结，是半导体器件的基本组成单位。
3. 导电陶瓷材料导电陶瓷材料具有介于金属和绝缘体之间的导电性能。
它们广泛应用于电子元器件、热敏电阻和气体传感器等领域。
三、导电性在实际中的应用导电性的应用非常广泛，下面我们以电子器件和电力传输为例，展示导电性在实际中的重要性。
1. 电子器件导电性是电子器件中的基本要求之一。
例如，在集成电路中，导电材料用于连接电子元器件之间的导线和接触点，以实现电路的导电和信号传输。
自由电子模型在固体物理学中的应用
自由电子模型在固体物理学中的应用自由电子模型是固体物理学中的重要理论之一，它可以帮助我们理解固体的电子结构和导电性质。
在这篇文章中，我们将探讨自由电子模型的基本原理以及其在固体物理学中的应用。
首先，让我们来了解一下自由电子模型的基本原理。
根据这个模型，固体中的原子贡献到电子结构的唯一方式是通过它们最外层的价电子。
在自由电子模型中，我们假设固体中的电子几乎完全自由地运动，就像在真空中一样。
这意味着电子之间没有相互作用，也没有受到晶格的束缚。
通过这个简化的模型，我们可以解释许多固体的重要性质。
首先是电子的能带结构。
当我们考虑到每个原子贡献的电子数时，我们可以得到能量与动量的关系。
这个关系被描述为能带结构，指的是一段能量范围内允许存在电子的能量带。
在能带结构中，我们可以看到费米能级的存在。
费米能级是指在绝对零度时，处于占据态和空位态之间的能级。
它决定了固体的导电性质。
当我们加入能量到系统中，例如通过温度，电子将从占据态变为空位态。
费米能级以上的电子可以参与传导，而以下的不能。
这解释了为什么某些固体是良好的导体，而其他的是绝缘体或半导体。
与能带结构相关的一个重要现象是禁带。
禁带是指能带之间的能量范围，其中不存在电子能级。
这解释了为什么某些固体无法导电，因为它们的能带结构中没有可用的电子态。
此外，自由电子模型还可以解释电子在固体中的运动性质，如电子的有效质量和迁移率。
有效质量指的是在固体中运动的电子与在真空中自由运动的电子之间的等效质量。
迁移率是描述电子运动难易程度的物理量。
虽然自由电子模型是一个简化的模型，但它为我们提供了理解固体物理学中的许多现象的基本框架。
它为我们提供了解释导电性、光学性质、热导率和磁性等多种性质的途径。
然而，我们也必须意识到自由电子模型的局限性。
它忽略了电子之间的相互作用和晶格的影响，这在某些情况下可能是不合适的。
因此，在更加复杂的系统中，我们需要借助其他更精确的理论和模型来深入研究固体物理学的问题。
固体物理第一章第二节 自由电子气体的热性质
2
6
Q( )(k BT ) 2
准确到二级近似，略去高次项得：
I Q( )+
2
6
Q( )(k BT ) 2
取：
H g ( )
则：I = n
此外,我们已知,化学势 和T0时的费米 能量0F非常接近,所以，我们可以将Q()在0F 附近展开，即
1 0 0 Q( ) Q( )+( - )Q( ) ( - F ) 2 Q( F )+ 2
0 F 0 F 0 F
此外,对于I=n有：
0 F
H ( ) g ( )
0 F
（1） 代入下式，并只取到一级近似
1 0 0 Q( ) Q( )+( - )Q( ) ( - F ) 2 Q( F )+ 2
0 F 0 F 0 F
0 0 0 Q F H ( F ) g ( F )
d Q( ) Q( ) ( g ( )) 0 F d
0 F
代入
I Q( )+
Q( )(k BT ) 2 得到： 6
2 0 F
2
其中
d 2 u u0 ( ) g ( ) [ g ] 0 (kBT ) F 6 d
0 F 0 F
1.计算单位体积电子的能量
自由电子气体在一般温度下单位体积的总能 量（内能）为：
u g ( ) f ( )d
０
这又是费米积分形式
I H ( ) f ( )d
０
且我们已知上式近似为
I Q( )+
0 F
2
6
0 F
Q( )(k BT ) 2
固体物理阎守胜第一章_金属自由电子气体模型
费 米 球
费米面： 费米能， 费米动量， 费米速度， 费米温度
2 kF EF 2m 2
pF kF
vF
kF m
TF
EF kB
由于
N 2
1 4 3 V 4 3 kF 2 3 kF k 3 8 3
N k 3 3 2 n V
3 F 2
自由电子气体模型中仅有的一个独立参量：
k2 E (k ) 2m
2
皆与波矢有关
p k
p k v m m
Born-von Karman边界条件
( x, y, z ) ( x L, y, z ) ( x, y, z ) ( x, y L, z ) ( x, y, z ) ( x, y, z L)
2. 对于电子受到的散射或碰撞，简单地用弛豫时间 描述。在dt时间内，电子受到碰撞的几率为 dt / ， 大体
相当于相继两次散射间的平均时间。
在外加电场E情况下，自由电子的运动满足含时 薛定谔方程
2 2 e (r , t ) i (r , t ) 2m
固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚 性的物质，包括晶体、准晶体和非晶态固体。 固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子 组成？它们是怎样排列和结合的？这种结构是如何 形成的？在特定的固体中，电子和原子取什么样的 具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动 形态有什么联系？各种固体有哪些可能的应用？探 索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。
(1.1.3)
•自由电子近似使 V (r ) 为常数势，可简单地取为零。 则方程（1.1.3）成为：
2
2m
2 (r ) E (r )
固体物理学：自由电子费米气体
14
不足之处： 获得的平均自由程和热容与实验结果严重不符，实验 上热容仅是理论值的1%(电子参与导电过程，但对热 导好像没有参与，为什么？）；在处理磁化率等问题 上也遇到根本性的困难。
不足之处产生的原因分析
经典理论在微观世界的不适用
15
量子力学对金属中电子的处理
2）忽略了电子与电子之间的库仑排斥相互作用， 成为独立电子近似（independent electron approximation）。
7
3） 传导电子简单地随机的和正离子实相碰撞(受正 离子实的散射)且碰撞是瞬时的，每次碰撞都急剧地 改变传导电子的速度，但碰后电子的速度只与碰撞 地点的温度有关，而与碰前速度无关。电子只是通 过碰撞与周围环境达到热平衡。在相继的两次碰撞 之间，电子做直线运动，遵循牛顿第二定律，称为 碰撞近似（collision approximation）。
12
3）金属的比热
特鲁德模型将金属中的电子视作经典粒子。根据经典的能 量均分定律：
—— 每个电子具有3个自由度，每个自由度具有kBT/2的 平均能量
—— 设单位体积内的电子数为n，则电子气系统的内能密
度为
U
3 2
nkBT
电子气的热容：
C Classical v
3 2
nkB
高温下与晶格振动的贡献相当， 这与实验结果不符。
4）一个电子与离子实两次碰撞之间的平均时间间隔 称为弛豫时间，它与电子的速度和位置无关，称为 弛豫时间近似（relaxation approximation）。
8
特鲁德模型的应用
1）金属的直流电导金属晶体内的电子运动类 似理想气体分子的运动，因此电流密度为
固体物理学 自由电子论
§1. 金属自由电子论的物理模型 1.Drude的金属自由电子论
Drude的经典理论将自由电子看 作是经典离子气体，服从波尔兹曼分 布(速度分布)，与中性稀薄气体一样 去处理，认为电子之间无相互作用， 同时也不考虑原子实势场的作用，这 样一个简单的物理模型处理金属的许 多动力学问题是很成功的。
f ( T )D( )d N
0
当T《 TF时:
u
F
[1
2
12
(
kBT
F
)2
]
0(kB
T
F
)4
与处理点阵振动的热能相仿，由
电子气的轨道密度D(ε)可求出电子气
的内能，轨道密度定义为：
在能量ε附近，单位能量间隔中
的轨道数定义为轨道密度度，在dε能
量间隔中的轨道数为D(ε)dε，色散
关系为：
2 k 2
k2
2 2m
(k2x
k
2 y
kz2 )
这就是色散关系，能量随波矢的变化是抛物
线函数。
对于一个三维晶体，需要的量子数为：
(1)波矢k（三个分量kx、ky、kz）
(2)自旋量子数
ms
1 2
给定了 k 就确定了能级，k 代表同能级上
自旋相反的一对电子轨道。
在波矢空间自由电子的等能面是一个球面
εk
2 2m
此时 k(r) eikr （省去了归一化常数）， 波矢 Kx.K y.KZ 取一系列分立值：
kx
2π L
nx
ky
2π L
ny
0. 1. 2......
kz
2π L
nz
将 (r) eikr ei(k xxk y yk zz) k 代回薛定锷方程可求出能级：
固体物理电场中的自由电子共23页文档
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
Байду номын сангаас
23
自由电子能量公式
自由电子能量公式自由电子是没有受限束缚的电子，它能在固体中自由运动。
自由电子能量是描述自由电子在固体中运动能量的物理量，被广泛应用于固体物理学、半导体物理学、电子学等领域。
经典力学视角下，自由电子的能量可以由经典力学中的动能和势能来描述。
根据经典力学的基本原理，动能可以表示为自由电子的速度的平方乘以质量的一半。
自由电子的速度可以由动量除以质量得到，其中动量等于自由电子质量乘以速度。
因此，自由电子的动能可以写为：Ek=(1/2)*m*v^2其中，Ek表示自由电子的动能，m表示自由电子的质量，v表示自由电子的速度。
在这个公式中，我们可以看到自由电子的动能与速度的平方成正比。
这表示自由电子的动能随着速度的增加而增加，也就是说，速度越快的自由电子具有更高的动能。
除了动能之外，自由电子还受到固体中的势能的影响。
势能可以看作是自由电子与固体中其他粒子之间相互作用的结果。
由于触发了自由电子的势能将导致电子的速度改变，所以势能也可以被看作是改变电子速度的能量。
因此，自由电子的能量可以表示为动能和势能之和：E=Ek+Ep其中，E表示自由电子的能量，Ek表示自由电子的动能，Ep表示自由电子的势能。
量子力学视角下，自由电子的能量可以由量子力学的波动性来描述。
根据量子力学的基本原理，自由电子具有离散的能级。
自由电子能量可以通过解薛定谔方程得到。
薛定谔方程描述了自由电子的波函数，它是一个复数函数。
自由电子的能量可以通过解薛定谔方程得到的波函数的特征值（即能级）来描述。
薛定谔方程可以写为：Hψ=Eψ其中，H表示自由电子的哈密顿算符，ψ表示自由电子的波函数，E 表示自由电子的能级。
自由电子的哈密顿算符可以表示为动能算符加上势能算符之和：H=T+V其中，T表示动能算符，V表示势能算符。
动能算符可以表示为动量算符的函数，而势能算符可以表示为位置算符的函数。
根据动量算符和位置算符的具体形式，可以将动能算符和势能算符写为不同的形式。
固体物理学6自由电子论
第六章 自由电子论和电子的输运性质6-1电子气的费米能和热容量自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。
一 费米能量1.模型(索末菲)(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)； (3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。
2.费米分布函数在热平衡时，能量为E 的状态被电子占据的概率是1e 1)(B F )(+=-T k E E E fE F ---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。
它是温度T 和晶体自由电子总数N的函数。
随着T 的增加，f (E )发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在E F附近±k B T 范围内。
3.费米面0.a =T ⎪⎩⎪⎨⎧>=<<=F FF 01)(E E E E E E E f 陡变0.b ≠T ⎪⎩⎪⎨⎧>>=<<=FFF0211)(E E E E E E E fE=EF 的等能面称为费米面。
在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有电子。
T ≠0时，费米球面的半径k F 比绝对零度时费米面半径小，此时费米面以内能量离EF 约k B T 范围的能级上的电子被激发到EF 之上约k B T 范围的能级。
4.求EF 的表达式E~E+dE 间的电子状态数：E E N )d ( E~E+dE 间的电子数：E E N E f )d ()( 系统总的电子数：⎰∞=０E E N E f N )d ()(分两种情况讨论：(1)在T=0K 时，上式变成：⎰=0)d (FE E E N N ０将自由电子密度N(E)=CE 1/2代入得：()23021032d ⎰==FE FE C E CE N ０其中23222π2⎪⎭⎫⎝⎛= m V C c()23023222π232FE m V N ⎪⎭⎫ ⎝⎛=令n=N/V ，代表系统的价电子浓度()32220π32n mE F=金属中一般 n~1028m-3，电子质量m=9×10-31kg ， 自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算NN E E ⎰d ＝０⎰=0023d FE E E NC053F E =由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。
固体物理第5章晶体中电子在电场和磁场中的运动2解读
电子所充满的能带中尽管就每一个电子运动来讲，都对电流有一定 贡献，但-k和k态的电子电流（因为每个态都有电子占据）正好相 抵消，总的电流为零。在存在外电场或者外磁场时同样改变不了这种 状态，如下图
在外电场的作用下，所有电子所处的状态都按：
dk F dt
变化，即k轴上各点均以完全相同的速度运动，因此并不改变均匀填充 各k态的情况（因为各态都填充满），结合上面的分析，同样不产生电 流（这里忽略电场足够强时隧穿效应的影响）。这也是满壳的内层电 子对电流没有贡献的原因。 二、导体和非导体的模型 对于导体，存在处于部分填充的能带上的电子，在无外场时对称 地填充一对对正负的k态上，总电流抵消。但存在外场时，情况就截 然不同。在外场所施加的作用力的影响下，整个电子分布将向一个方 向移动，从而破坏了原来的对称分布，这时电子电流部分抵消，产生 一定的宏观电流。
注意到哈密顿量和x、y无关，因此波函数可以表示为： e 代入薛定鄂方程可以得到：
1 2 ˆ ˆ x eB y ) 2 p ˆy ˆ z2 ] H [( p p 2m
i ( k x xk z z )
( y)
n ( y y0 2 2
§5-3 导体、半导体和绝缘体的能带论解释
本节将从能带理论的角度对存在大量电子的固体为什么有导体、
半导体和绝缘体之分。 一、满带电子不导电 1 由 En (k ) En (k ) 及 vk ( k E ) k 可以得到同一能带中 k 态和 k 0 0 态具有大小相等方向相反的速度： v(k ) v(k ) 。因此在一个完全为
对于非导体，电子恰好填充满一系列低能级的能带，而高能级能带 没有电子，由于满带电子不产生电流，因此不导电。对于非导体如 果存在一定数量的施主或者受主杂质，或者能级最高的满带和上面 能带的带隙宽度较小，容易使得电子受到热激发迁跃导较高能带从 而能够具有一定的导电性，这部分固体称为半导体； 在金属和半导体之间还存在一种中间情况：导带底和价带顶或 发生交叠或具有相同的能量，在此情况下通常同时在导带中存在一 定量的电子，而在价带存在一定数量的空穴，其导带电子的密度比 普通金属少几个数量级，这种情形称为半金属。 §5－4 在恒定磁场中电子的运动 一、恒定磁场中的准经典运动 准经典运动的基本方程： 1 d k v (k ) k E (k ) (e)v (k ) B dt 由此得到：k空间的速度无外场分量；由于洛伦兹力的方向始终和速度 方向正交而不做功，因此电子的能量E(k)不随时间变化。如下图
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本节主要内容： 一、准经典模型 二、电子的动力学方程 三、金属的电导率
一、准经典模型
准经典模型是在经典模型的基础上稍作改动 建立起来的
1. 经典模型 Drude 把自由电子视为理想气体，用类似
气体动力学的方法讨论金属的电导和热导问题， 其模型可以归纳为三个方面的内容。
该模型虽然很简单，但是能解释金属的很多 性质，下面给出具体内容。
3. 金属电导率的进一步讨论
金属的电导率是固体电子论的一个重要问 题，要严格求解电导率必须先建立非平衡分 布函数的方程，即玻尔兹曼方程。
关于玻尔兹曼方程的建立和求解，是一项很复杂 的工作。本教材的第六章第二节会讨论该问题。
下面我们利用费米球在外场作用下产生刚性移 动这一直观模型来进一步讨论金属的电导率
3. 准经典模型 对外场作用下的电子，采用经典的处理方式，但用 电子的费米速度代替电子的平均热运动速度，这种做 法称为准经典模型。
二、电子的动力学方程
由于假定碰后电子无规取向，所以电子对动量
的贡献仅源于没有发生碰撞的那部分电子。
由假定,dt时间内,电子受到碰撞的几率为： 则电子没有受到碰撞的几率为：1 dt
所以
kF3
3 2
1
4 3
rs3
从而
kF :
1 rs
由测不准关系可得坐标 的不确定程度为：
x h ? p
h 1: hkF kF
rs
对于金属而言,电子坐标的不确定度约为多个离子实间
距(离子实间距和 rs同量级),满足测不准关系.而金属中电 子的平均自由程约为10nm(低温下甚至达到108原子间 距）,远大于坐标的不确定度.所以,在遵循测不准关系的 前提下,电子有确定的坐标和动量.因而,在很多问题中可 采用经典的处理方式。
整理后得到电子的漂移速度为
vvd
e E
m
相应的电流密度
v J
nevvd
ne2
m
v E
又
vv
J E
所以,电导率为 ne2
m
根据实验我们可以测出材料的电导率 然后，代入电导率公式可计算弛豫时间
ne2
m
m
ne2
由弛豫时间，可得到电子的平均自由程：
l vF
对于普通的金属, 的量级约10-14s, l 约10 nm
说明： 按测不准关系 x • p h
动金量属自pv由电h子kv 模型的解表明，电子有确定的
因此,动量的不确定度应远小于金属中电子的 最高动量，也就是要远小于费米动量,动量才会有 确定值。
也就是动量的不确定度 p = hkF
前面我们已知费米波矢
k
3 F
3 2n
电子密度的另一种表示：
1 n
4 3
rs3
已知金属自由pv电子m费vv 米 h气kv体具有确定的动量
在恒定的外场作用下，电子受力为-eE
由牛顿第二定律
v eE
m
dvv
h
v dk
dt dt
此式说明在外电场的作用下，电子动量的改
变表现为k空间相应状态点的移动，即产生了
费米球的刚性移动。
在k空间移动的速度为
vv dk eE
从而
v dk
v eE dt
dt
假定t时刻电子的平均动量为P(t),经过dt时间没有
受到碰撞的电子对平均动量的贡献为P(t+dt)
没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献应为t
时刻电子的平均动量和 dt时间后动量的变化率
之和，再乘以未被碰撞的电子的几率。
即：
pv(t
dt
)
(1
dt
)
[
pv(t)
v F (t )dt ]
pv(t
dt)
Drude模型：
1). 电子在规则排列的离子实中作无规热运动， 电子气同金属离子相互碰撞达到热平衡
2). 在两次碰撞之间，电子不受到力的作用， 即忽略电子之间的相互作用(独立电子近似) 以及电子和离子实之间的相互作用(自由电 子近似)
3). 定义驰豫时间，借以概括电子和金属离子 的碰撞特征
驰豫时间，相当于相继两次散射间的平均时间
dt h
h
电子之间没有发生碰撞时，对上式积分得
v k
v k (t)
v k (0)
v eE
t
h
心此移式动表为明，在kvK空间，从0t 时刻，费米球中
负号表示费米球沿与外场相反的方向移动
那么，在弛豫时间内费米球中心在k空间的位
移为:
v k
v eE
h
费米球在外场作用下产生刚性移动示意图
ky
ky
v E
kx
2.交变电场情形 此时 E E0eit ; vd vd 0eit
代入电子的动力学方程得
m
dvvd
(t
)
v F (t
)
m
vvd
(t
)
dt
imvd
eE
mvd
整理得
v
vvd
eE m(1 i )
由
v J
nevvd
ne2
m
•1
1 i
•
v E
v
E
得到
ne2 • 1 0 m 1 i 1 i
0 为直流电导率
kx
t 0
t
从0 时刻,费米球中心逆电场方向移动为
讨论：
v k
v
eE
h
1). 不加外场时，费米球的中心和K空间的原点
由于驰豫时间，相当于相继两次散射间的 平均时间，则单位时间内电子与金属离子的碰 撞几率为-1
dt 时间内，电子受到碰撞的几率为
dt • 1
2.模型的适用性
由于金属中电子的平均自由程(mean free path) 的室温值约10 nm(低温下会更长一些),远大于量 子力学中测不准原理得到的坐标不确定度,因此, 在很多问题中,经典近似是很好的近似。
(1
dt
)
[
pv(t
)
v F (t )dt ]
冲量
v F (t
由冲量定理，冲量等于动量的变化
)dt 是对于所有电子而言的，电场力对所
有电子有作用，但是，有贡献的只是未发生碰
撞的电子
整理上式
pv(t
dt)
pv(t)
v F (t )dt
pv(t)
dt
v F (t )dt
dt
取一级近似
pv(t
dt)
pv(t)
m
dvvd
(t)
v F (t )
m
vvd
(t)
dt
阻尼力
下面我们利用该方程讨论电子的输运行为
三、 金属的电导率
1.稳恒电场情形
对于稳恒电场下，电子具有恒定的漂移速度
所以：dvd (t) 0, F eE
dt
m
dvvd
(t)
v F (t )
m
vvd
(t)
dt
把得它到们：代0入 自eE由v 电m 子vvd 在外场下的动力学方v 程
v F (理得
dpv
pv(t dt)
pv(t)
v F(t)
pv(t)
dt
dt
所以，自由电子在外场下的动力学方程为
dpv
v F(t)
pv(t)
dt
设外场作用下电子的漂移速度(drift velocity)为
vd(t),则动量
pv(t) mvvd (t)
从而，自由电子在外场下的动力学方程变为