电磁场作业答案

2.6

在圆柱坐标系中电荷分布为P =｛①r∕a, r≤a②0, r>a , r为场点到

常数。求电场强度。

解：电场强度只有沿r方向分量，选取长度为I的圆柱

2.7在直角坐标系中电荷分布为P （X，y，Z）=｛①P 0 ∣ X ∣≤a②O

度。解：电场与y，Z均无关，电场强度只有沿X方向分量,

4 ■J~∙.

E= : EX=

一X

X > O时E X为有限值所以C=O

「0

r a 时］=0

代入（1）得：Er=C

在x=a处E r连续，所以C'二

E r

Z轴的距离，a为

IE dS =2二rlE r

S

(1)

r

rldr

2 二Ir3

3a

代入（1）得: E r

a

r a 时q= QdV= -2:. rldr

0 a

2二

Ia2

3

代入（1）得: E r

a2

I X∣> a求电场强

(1)

代入（1）得:

:?0X

‘0

q

V

2.16已知电场强度为E=3x+4y-5z ,试求点（0,0,0）与点（1,2,1）之间的电

b

b

b

b

压 解：U=E dl = E X dX

E y dy

E Z dZ = 6

a

a

a

a

2.26两同心导体球壳半径分别为a 、b ,两导体之间有两层介质，介电常数 分别为ε 1、ε 2，介质界面半径为C ，内外导体球壳电位分别为 V 和0，求两导 体球壳之间的电场和球壳上的电荷面密度， 以及介质分界面上的束缚电荷面密度。 解：两球壳之间电介质不带电电位分布满足拉普拉斯方程

∖ ⅛ -0

C 1

'

—C1

r

C 2

'

-C 2

代入边界条件

φ I _ —

2 r z b _

b C 1 _

C 1 =V

a

由上式可得:

I I ■ I I ,(…：C) (1-1) S 1Jr 2

a C ；2 c b

■ I

I I I ,(c"b )

2(1j

) (^1)r 2

j

1 a C

C b 在介质与导体分界面上的电荷密度匚=

D n

选取球坐标则有：V 2 =1

：

r 2 ；:r / ；:r

C 2 =0

D Inr Z

C= D 2n

r =C

C

I

C 2

(1 T)J(1 -[) a C ；2 c b

V

1

1 1

)(-) C C b

2

(1 E 1

E 2

(---r-(---)a a C ；2 c b

介质分界面上没有自由电荷感应电荷面密度为:

°s = p 2n

- R n = ® ( E in- E

2n

((I -i ) I 1 一厂(1Jd b

))

a C ；2 C

b ；I aC C b

2.32同轴圆柱形电容器内、外半径分别为 a 、b ,导体之间一半填充介电常 数为ε 1的介质，另一半填充介电常数为ε 2的介质，如图所示，当电压为V 时, 求电容器中的电场和电荷分布。

解：电介质不带电电位分布满足拉普拉斯方程 V 2「= O 电场强度只有沿r 方向分量， 选取圆柱坐标则有:

C

又上r - ,则L=C

r

又因为两极板之间的电压是 V

b

V = J E dl

a

rln b a

在介质与导体分界面上的电荷密度

= D n

ιV b ,r Za a In a

¾V r . r r ^ bln

L(r = b)=

-(---) (--b)b 2 MaC C b

r =C=-OV C

——dr =Cln — a r a

C)

ln b

a

aln_ a

SV .

bln_

J a

导体球壳

电位为0，

点电荷在球壳内所以球壳外电位均

为零 在导体球外距离球心 O 为f 的镜像位置B 处放置一镜像 电荷q'要保持导体球壳C 处 电位为零则有

a Q q

导体球内距离球心r 处的电位为:

4二；0「1 4二；0「2 r 1

= ∖ r 2

d 2

- 2rd CoSr J

其中 ________________________

2 2

r 1 = J r + f - 2rf CoS 日

（2）因为球壳是一等位体，球壳内的电位分布应在第一步计算基础上加上球壳 电位V 。

I

, q

q

球壳内的电位分布为：

V

4"°r 1

4m °r 2

球壳外的电位分布为球心一镜像电荷产

生的电位，并且在求外壳产生的电位为 V ，则有：

q" V

q" F o bV

4 0b

b 球壳外电位分布为："=-

V

r

在；2侧

：?

S =

2.43内外半径分别为 （1）导电球壳电位为 分别求导电球壳内外的电位分

布。 解: （ 1）

a 、

b 的导电球壳内距球心为 d （d

£ =Jr I q'

b