等腰三角形的性质及应用讲义
探索等腰三角形学习等腰三角形的性质和应用
探索等腰三角形学习等腰三角形的性质和应用等腰三角形是我们学习中的一个重要几何形状，它具有独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨等腰三角形的定义、性质以及在实际生活和其他学科中的应用。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出以下性质：1. 等腰三角形的底角（底边两侧的角）是相等的；2. 等腰三角形的两条腰（边长相等的两条边）是相等的；3. 等腰三角形的顶角（底边上的角）与底角互补，其度数等于180减去底角的度数。
二、等腰三角形的应用1. 几何学中的应用等腰三角形在几何学中有广泛的应用。
首先，等腰三角形的性质可以帮助我们解决一些三角形的计算问题。
例如，如果我们知道等腰三角形的底边和顶角的度数，我们可以利用等腰三角形的性质计算出腰的长度和底角的度数。
这样，我们就可以在解决几何问题时更加方便快捷地得到答案。
其次，等腰三角形还可以用来证明其他几何定理。
例如，在证明等边三角形的性质时，可以利用等腰三角形的性质来推导等边三角形每个角度均为60度的结论。
除了这些基本应用外，等腰三角形还可以帮助我们研究其他几何形状的性质，如正多边形等。
2. 物理学中的应用等腰三角形在物理学中也有应用。
例如，在力学中，我们常常需要分解一个力为两个分力，使其作用在不同的方向上。
如果已知力的大小和夹角，我们可以利用等腰三角形的性质来计算出分力的大小和方向，从而解决相应的物理问题。
3. 工程学中的应用在工程学中，等腰三角形的性质被广泛应用于建筑和设计中。
例如，在建筑设计中，设计师常常使用等腰三角形的概念来确定建筑物的结构和比例。
此外，等腰三角形的特性还可以为工程学中的制造和加工提供便利。
例如，在机械加工中，我们可以利用等腰三角形的性质来确定零件的尺寸和角度，从而保证机械装配的准确性和稳定性。
总之，等腰三角形是几何学中一个重要的概念，它具有独特的性质和广泛的应用。
通过学习等腰三角形的定义、性质以及应用，我们可以更好地理解和应用几何学中的相关知识，同时也能够将等腰三角形的原理运用到实际生活和其他学科中，为问题解决提供帮助。
初二等腰三角形讲义
课 题等腰三角形教学目的1、 熟练掌握等腰三角形的性质和判定2、 熟练等腰三角形“三线合一”的性质3、 会运用性质和判定解决实际问题重点、难点重点：等腰三角形的性质难点：“三线合一”的应用教学内容基础知识巩固：1．等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.2．等腰三角形的性质：1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
3．等腰三角形的判定：ABC1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
等腰三角形一个性质的证明及其应用
等腰三角形一个性质的证明及其应用等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高是由等腰三角形定义导出的一个重要性质，它的证明方法包括截长补短法和面积法.本文就这个性质的证明及应用略谈浅见.等腰三角形是一种特殊的三角形，因此它具备一般三角形不具备的特殊性质，譬如等腰三角形最典型的一个特性，就是在这个三角形中有两条边相等.我们运用等腰三角形的这个特性可以进一步研究探讨，从而得到如下一个性质.一、性质等[WTBX]腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.三、性质的两个推论推论1：等腰三角形底边延长线上的一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.推论2：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于一边上的高.上述两结论的证明仍然可以用上面的面积法证明，这里略去证明过程.四、性质的应用对于等腰三角形的这个性质和推论，在解决某些填空或选择题是可以直接应用，在解决某些解答题时需要先进行性质的证明.分析：根据矩形的性质可知△AOD是等腰三角形，所以本题即求其底边上任意一点到两腰的距离之和，结合原始结论知这里的EG+EH就等于Rt△ADC中AC边上的高，由此可以迅速得到本题的答案是2.4.应用2：如图3，在正方形ABCD的对角线BD上取BE=BC，连接CE，P是CE上任意一点，PQ⊥BC，PR⊥BD，Q、R是垂足.求证：PQ+PR=12BD.分析：本题初次入手感觉很困难，但如果根据BE=BC，可知△BEC是等腰三角形，因为PQ⊥BC，PR⊥BD，则PQ+PR即为底边上任意一点到两腰的距离之和，结合性质可以知道PQ+PR=CO，而CO又是等腰直角△BCD斜边上的高，所以CO=12BD，由此PQ+PR=12BD得证.五、反思教者在教学过程中，通过对上述问题的研究，充分挖掘基本图形的性质，发挥习题功能，深入剖析，引导学生探究发现相关重要结论，为解决其他问题提供思路，找到解决问题的突破口.作为教者要不断给学生提供创造性因素，开展尝试和探究，经历“再发现，再创造”的过程，这样才能有利于发展和提高学生的解题能力及触类旁通的能力.。
倍思教育讲义-----___等腰三角形
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm 13、如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对
△ADE的形状最准备的判断是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确
CD的夹角是多少度？
2、．已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC、△ABD的周长 分别是20cm和16cm，求AD的长．
3、如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是 CD的中点．
求证：AF⊥CD.
4、如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，且 ∠ABD=∠ACE，
等腰三角形
一、知识要点：
1.等腰三角形的性质： （1）性质定理内容：等腰三角形的两个底角相等．（简写：等边对 等角） （2）定理的作用是证明同一个三角形中的两个角相等． （3）性质定理的推论1：等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂 直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互 相重合． （4）推论1的作用：可证明角相等，线段相等或线段垂直． （5）性质定理的推论2：等边三角形的每条边相等，每个角都等 于． （6）等腰直角三角形的两个底角都等于． （7）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为直角或钝角，但顶角都 可以． 2．等腰三角形的判定 （1）定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边 也相等．简写成“等角对等边”．（此定理可用来证明同一个三角形中 的线段相等） （2）推论1：三个角相等的三角形是等边三角形．
定形状 二、填空题 1、等腰△ABC的底角是60°，则顶角是________度． 2、等腰三角形“三线合一”是指___________． 3、等腰三角形的顶角是n°，则两个底角的角平分线所夹的钝角是 _________． 4、△ABC中，AB=AC．点D在BC边上
八年级上册数学讲义等腰三角形
13.3等腰三角形-13.4最短路径1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角__________（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互__________（简写成“三线合一”）．等腰三角形的其他性质：（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．（2）等腰三角形两底角的平分线相等．（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．2．等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定义法：有两边__________的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对__________”）．数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等边三角形及其性质等边三角形的概念：三边都相等的三角形是__________三角形．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于__________．【注意】（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；K—重点分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．2．等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．【例1】如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠CC．△ABC是等腰三角形D．△ABC是等边三角形60︒【例2】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是30︒60︒A．B．150︒30︒150︒C．D．或【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．二、等边三角形的性质和判定判定等边三角形时常用的选择方法：若已知三边关系，一般选用（1）；若已知三角关系，一般选用（2）；若已知该三角形是等腰三角形，一般选用（3）．【例4】下列推理中，错误的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形【例5】如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．三、含30°角的直角三角形的性质含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．【例6】在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6 cm，那么CE等于A．4 cm B．2 cmC．3 cm D．1 cm四、最短路径问题通常利用轴对称变换将不在一条直线上的两条或多条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的选择.【例7】公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P（如图所示）．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．801．等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是A ．B ．或C ．或D ．80︒80︒20︒80︒50︒20︒2．一个等边三角形的对称轴共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．6条3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上，且BD =BC =AD ，则∠A 等于A ．30°B ．40°C ．45°D ．36°4．如图，在△ABC 中，∠B =30°，ED 垂直平分BC ，ED =3．则CE 长为A ．6B ．9C ．3D ．85．如图，△ABC 是等边三角形，P 为BC 上一点，在AC 上取一点D ，使AD =AP ，且∠APD =70°，则∠PAB 的度数是A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°6．如图，在中，为的中点，，则__________．ABC △AB AC D =，BC 35BAD ∠=︒C ∠=7．等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16 cm 和12 cm ，则等腰三角形的底边长为______．分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8．如图，在△ABC 中，D 在边AC 上，如果AB =BD =DC ，且∠C =40°，那么∠A =__________°．9．如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ，试说明：AO ⊥BC ．10．如图，在△ABC 中，，是边上的中线，于，试说AB AC =AD BC BE AE ⊥E 明．CBE BAD ∠=∠11．已知在△ABC 中，AB =5，BC =2，且AC 的长为奇数．（1）求△ABC 的周长；（2）判断△ABC 的形状．12．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =40°，分别以AB ，AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ，且AB =AD ，AC =AE ，∠BAD =∠CAE =90°．。
人教版八年级数学上册 等腰三角形的性质 讲义
等腰三角形的性质知识点一、等腰三角形的概念与性质顾名思义，至少有两边相等的三角形叫等腰三角形，这两条边就是等腰三角形的“腰”，另一边叫做“底边”腰和底边的夹角叫做“底角”，两腰的夹角叫做“顶角”如图，过等腰三角形ABC的顶点A，作垂线AD⊥BC于D，则△ADB与△ADC有什么关系？为什么？等腰三角形性质总结：1、两腰相等2、两底角相等3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（简称：三线合一）例1、等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A、50°，50°，80°B、80°，80°，20°C、100°，100°，20°D、50°，50°，80°或80°，80°，20°例2、等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ）A 、40°，40°B 、100°，20°C 、50°，50°D 、40°，40°或100°，20°例3、一个等腰三角形的一边是6，周长是12，则它的三边长分别为_____________1、已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（ ）A 、55°，55°B 、70°，40°C 、55°，55°或70°，40°D 、以上都不对2、在下列命题中，正确的是（ ）A 、等腰三角形是锐角三角形B 、等腰三角形两腰上的高相等C 、两个等腰直角三角形全等D 、等腰三角形的角平分线是中线3、已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为6cm ，则它的周长为（ ）A 、11cmB 、17cmC 、16cmD 、16cm 或17cm4、在ABC ∆中，x BC AC AB ==,，若ABC ∆的周长为24，则x 的取值范围是（）A 、121≤≤xB 、120≤<xC 、120<<xD 、126<<x5、三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形6、若△ABC三条边的长度分别为m,n,p,且()02=-+-pnnm，则这个三角形为（）A．等腰三角形 B.等边三角形C．直角三角形 D.等腰直角三角形7、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.8、有一个内角为140°的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.9、如果△ABC中，AB=AC，它的两边长为2cm和4cm，那么它的周长为________.10、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为cm10，那么它的三边长为______.11、如果等腰三角形的周长为cm18，那么它的底边x的取值范围是_______.12、已知等腰三角形的一个顶角与一个底角的和为︒110，则其顶角的度数为______.13、等边三角形的周长为cm15，则它的边长为________14、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度.15、如图，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，BD=5cm，那么BC的长为_________.16、如图，D是等腰三角形ABC的腰AC上一点，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F，若∠BDE=158°，则∠DEF=_____.17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
等腰三角形的性质与判断及应用
等腰三角形的性质与判定知识梳理:1．等腰三角形的概念：有相等的三角形，叫做等腰三角形，叫做腰，另一条边叫做．两腰所夹的角叫做，底边与腰所夹的角叫做．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个相等，也可以说成．这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。
(2) 三线合一: 即．这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。
(3)等腰三角形是图形．除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。
①等腰三角形两腰上的中线相等②等腰三角形两腰上的高相等③等腰三角形两底角的平分线相等3．等腰三角形的判定：(1)有相等的三角形是等腰三角形．(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等．简写成．4、有关等腰三角形周长的计算给出三角形中两边的数据求周长时，一定要考虑对某一边有两种可能情况：一它可能是腰，二它可能是底。
最后确定具体是腰还是底，就要看得出的三边关系是否符合：任两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
如：已知等腰三角形的两边分别是3cm，5cm，则周长此时有两种情况：11cm或13cm。
当腰长为3cm时，周长为：3cm+3cm+5cm=11cm；当腰长为5cm时，周长为：3cm+5cm+5cm=13cm。
若两边分别是4cm，8cm，则周长只有一种结果，长为20cm（8cm做腰，4cm做底）。
另一种可能是以4cm做腰，8cm做底，此时，4cm+4cm=8cm，不符合任两边之和大于第三边的三角形三边关系，故不能考虑在内。
【例题讲解】例1：已知：如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证：CE＝CB。
例2：如图，已知点D，E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE。
例3：如图，点D ，E 在AC 上，∠ABD ＝∠CBE ，∠A ＝∠C ，求证：BD ＝BE 。
2019届中考数学一轮复习讲义第27讲等腰三角形
2019届中考数学一轮复习讲义考点二十七：等腰三角形聚焦考点☆温习理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2:等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45 °②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则b<a2④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠ A ,底角为∠ B、/ C，则∠ A=180—2 ∠ B，/ B= ∠180 AC=—22、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
学！科网推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形推论2 :有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二•等边三角形1•定义三条边都相等的三角形是等边三角形• 2.性质:3•判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.三.线段垂直平分线1•定义垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线2•性质线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等3•判定到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上名师点睛☆典例分类考点典例一、等腰三角形的性质【例1】（2018黑龙江齐齐哈尔中考模拟）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的和谐分割线”.如图，线段CD是ABC的和谐分割线”，ACD为等腰三角形，CBD和ABC相【解析】试题分析：T △比CDS AEA∙G∕∙Z⅛CD=Z44h ,'∕Δ⅛CD是等腰三角形，,∕Z ADC>Z BCD J.'.Z AD OZA J即AC≠CD,①⅛AC?=AJ）时’ ZACD=ZADC=^ =67, .∖ZACE=670+4S C=113° *■②当DADC 时，ZCD=ZjL= 46 Q R √.ZACB=46" +46' =93Q J 故答案为M时或财-考点：1∙相似三角形的性质；2.等腰三角形的性质.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和相似三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键.【举一反三】如图，AD , CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC , ∠ CAD=20 ,则∠ ACE的度数是( )A. 20 °B. 35 °C. 40 °D. 70 °【来源】浙江省湖州市2018年中考数学试题【答案】B【解析】分析；先⅛据等腰三角形的⅛m及三角形内角和定S⅛⅛ZCAfr=2ZCADM0% ZB=ZACH £( IS^ZCAB) =70°.再禾U用角平分线定义即可得出ZX*E W√ACB=3實.徉解::AD 是∆ABC 的中线』AB-AC J. ZaAD=20%/.ZCAB=2ZQAD=40S ZB=ZACB=I (IS^-ZCAB) =70t.ICE是AABC的甬平分线，∕÷ ZACE=i ZACB=JS ci.Z故选:B.点睛：本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70是解题的关键.考点典例二、等腰三角形的多解问题1【例2】(2018黑龙江绥化中考模拟)在等腰ABC中，AD BC交直线BC于点D ,若AD -BC ,2则ABC的顶角的度数为 ____________ .【答案】30°或150°或90°. 【解析】 试题分析：①BC 为腰,1∙∙∙ AD 丄 BC 于点 D , AD= BC ,/∙∠2②BC 为底，如图3,CAD= - ×80 °90 °2腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论. 【举一反三】（湖南省衡阳市船山实验中学 2017-2018学年八年级上期末模拟）等腰三角形的一个内角为 70°它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（）ACD=30° ,如图1 , AD 在△ABC 内部时, 顶角∠ C=30 ,如图2，AD 在△ABC 外部时,顶角∠ ACB=180 - 30o=150°,∙∙∙ AD 丄 BC 于点 D , AD= I BC,∙∙∙ AD=BD=CD , ∙∙∙ ∠ B= ∠ BAD , ∠ C= ∠ CAD , /. ∠ BAD+ ∠【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边∙顶角∠ BAC=90 ,来源学科网ZXXMA. 35 °B. 20 °C. 35 °或20 °D. 无法确定【答案】C【解析】70°是顶角，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是35° 70°是底角，顶角是40°它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是20°.故选C.考点典例三、等边三角形的性质与判定【例3】已知:在附鳥中,悴F T&I,为的中点V-銅，：■,垂足分别为点,且册•罔•求证:1是等边三角形.【来源】浙江省嘉兴市2018年中考数学试题【答案】证明见解析MMfi】分析；由等腥三角形的性质得SUZR=NG再用HL证明I∆CTF,得到厶IYG从而得到ZAQNG即可得到结论，徉解:「密FU /.Z5=ZC.∖'DElAB f DFLBC J ,\ZD£^=ZDFO90&.丁D为的卫匚中⅛jλΣfA=DC.又YDE=D F, -IR L AAE实RlACDF (HL),--ZJi=N方-ΞZ^C?：-AA^C是等边三角形- 点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质•解题的关键是证明∠ A=∠ C.【举一反三】(重庆市江津区2017-2018学年八年级上学期期末模拟 )如图所示，AABC为等边三角形，P为BC上一点，Q为AC上一点，AQ=PQ , PR=PS, PR⊥ AB于R, PS⊥ AC于S, ?则对下面四个结论判断正确的是()①点P在∠ BAC的平分线上，②AS=AR , ③QP// AR , ④厶BRP^Δ QSP.A.全部正确；B.仅①和②正确；C.仅②③正确；D.仅①和③正确【答案】A【解析】试题解析：∙∙∙PR⊥ AB于R, PS⊥ AC于S.∙∙∙∠ARP= ∠ ASP=90 .∙∙∙ PR=PS, AP=AP..∙. Rt △A RP也Rt AASP.∙∙∙ AR=AS ,故（2）正确，∠ BAP= ∠ CAP..AP是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确.∙AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点.∙∙∙ AQ=PQ.∙点Q是AC的中点.∙PQ是边AB对的中位线.∙PQ // AB ,故（3）正确.∙.∙∠ B= ∠ C=60 ,∠ BRP= ∠ CSP=90 , BP=CP.•••△ BRPQSP,故（4）正确.•全部正确.•故选A.考点典例四、线段垂直平分线的性质运用【例3】.如图，MM中，川,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:①作的平分线交•于点；②作边的垂直平分线，'与！相交于点；③连接•，'.请你观察图形解答下列问题：（1） __________________________________________ 线段PA^B^C之间的数量关系是（2）若曲吭-潜，求的度数.【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题【答案】（1）•：'「二-b 二V; （2）80°【解析】分析：（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC;（2）根据等腰三角形的性质得：∠ ABC= ∠ ACB=70 ,由三角形的内角和得：∠BAC=180 -2 ×0°=40°，由角平分线定义得：∠ BAD= ∠ CAD=20 ,最后利用三角形外角的性质可得结论.详解：（1）如图，PA=PB=PC ,理由是：∙∙∙ AB=AC , AM 平分∠ BAC ,∙∙∙ AD是BC的垂直平分线，∙∙∙ PB=PC ,∙∙∙ EP是AB的垂直平分线，∙PA=PB,∙PA=PB=PC ;故答案为：PA=PB=PC ;⑵ 丁AE=AG/.Z ABC-Z ACE-VO O J.∖ ZBAC=I 80o-2^70c=40e,TANl 平分ZBAC,.,.ZBAD=ZCAD=2fl D,TPA=PB=PG・∖ ZABP= Z BAP=ZACP»20C,/. ZBPc=ZABP-Z BAC+Z ACP=20 i→0fr-2 =So S.点睛：本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键.【举一反三】（2018广西钦州市中考模拟）如图，在△ABC中，∠ ACB=90 ,分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB ）为半径作弧，两弧相交于点M和点N ,作直线MN 交AB于点D ,交BC于点巳若AC=3 , AB=5 ,则DE等于（）A. B. C.D.【答案】C【解析】根据勾股定理求出BC ,根据线段垂直平分线性质求出AE=BE ,根据勾股定理求出AE ,再根据勾股定理求出DE 即可.解：在RtABC 中，由勾股定理得：BC==4,连接AE，从作法可知：DE 是AB 的垂直评分线，根据性质AE=BE ，在Rt △ACE 中，由勾股定理得AC +CE =AE+ （4-AE ）即3=AE解得：AE=在Rt △ADEAD= AB=勾股定理得) DE +(=(解得：DE=故选C.课时作业☆能力提升一、选择题1. （2018年湖北省松滋市初级中学数学中考模拟试题（一））如图，在△ABC中，AB=AC , AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若ΔABC与ΔEBC的周长分别是40，24,则AB为（）S CA. 8B. 12C. 16D. 20【答案】C【解析】试题解析：∙∙∙DE是AB的垂直平分线，ME = RE :的周长任「Δ EHC的周长I = EE + EC + IiC =AE^ Ec [ IiC = AC + 甘：.∙. I总盒强:的周长—M 泪的周长=AB ,∣ΛZP=40-24=16.故选C.点睛：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.2. （2017黑龙江大庆）如图，ΔABD是以BD3. 已知 汀 口耽：，用尺规作图的方法在 冋上确定一点冈，使Un ,则符合要求的作图痕迹是ΔBCD 中，∠ DBC=90° ∠ BCD=60° DC 中点为E , AD 与BE 的延长线交于点 F ,则∠ AF B 的度数为（）A. 30 °B.15 °C.45 °D.25 °【答案】B【解析】解：τ∠ DBC=90° E 为 DC 中点，∙∙∙ BE=CE=CD ,τ∠ BCD=60° Λ∠ CBE=60° ∕∙∠ DBF=30°∙∠ ABF=75° ∙∠ AFB=180° - 90° - 75°=15° 故选B .为斜边的等腰直角三角形, •••△ ABD 是等腰直角三角形，∙∠ ABD=45° , A.【答案】D【解折】分析：夷使PZPC=BC,必有PA=PB,所以选项中只有作AB 的中垂线才能满足遗个条件，故D 正确. 详解：D 选项中作的是AB 的中垂线，.∖PA=PB.'.PB-PC-BC J∕r PA+PC=BC故选D*点睛：本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据中垂线的性质得出 PA=PB .4.（河北省故城县运河中学 2017-2018学年八年级（上）期末）等边三角形的边长为 2,则该三角形的面积为（）A. D. 3 【答案】CB.C.【解析】如图，作CD丄AB ,贝U CD是等边△ABC底边AB上的高,根据等腰三角形的三线合一，可得AD=I ,所以，在直角ΔADC中，利用勾股定理，可求出CD= =面积计算公式，解答，代入出S AABC = ×2×故选：C．5. （2017-2018 学年苏州市工业园区金鸡湖学校期末复习）如图，在于占4八、、于占4八、、边的中点，连接则下列结论①②为等边三角形.下面判断正确是( )A. ①正确B. ②正确C. ①②都正确D. ①②都不正确【答案】C【解析】试题解析：①∙∙∙BM丄AC于点M, CN丄AB于点N , P为BC边的中点,PN= ∙∙∙ PM=PN ,正确；②∙∙∙∠ A=60 , BM 丄AC 于点M , CN 丄AB 于点N ,∙∠ ABM= ∠ ACN=30 ,在 AABC 中，∠ BCN+ ∠ CBlvF 180° -60 °-30 °×2=60° , •••点P 是BC 的中点，BM 丄AC , CN 丄AB , ∙ PM=PN=PB=PC ,∙∠ BPN=2 ∠ BCN , ∠ CPM=2 ∠ CBM ,∙∠ BPN+ ∠ CPM=2 (∠ BCN+ ∠ CBM ) =2×60°=120° , ∙∠ MPN=60 ,•••△ PMN 是等边三角形，正确； 所以①②都正确.PM= BCBC ,故选C .6.在平面直角坐标系中，点 A （ J2 ,迈）,B （ 3J2 , 3丿2 ）,动点C 在X 轴上，若以A 、B 、C 三点为 顶点的三角形是等腰三 角形，则点C 的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 5【答案】B . 【解析】试爾分析:SC≡√∕AB 所在的M ⅛⅛Sy = X ,Λ⅛ AB 的中垂线所在的直线野二 V 丁点BZCgZ 的中点坐 ⅛⅛（2∙d, 2 如 把 x=2√∑,产 2√Σ 代AF = -K+占，解得 b=4√2, …朋的中垂线所在的S÷⅞≡y = -χ+4√2 , .'.C 1 ¢4^, O ）J決点启为圆^以期的长为半^画弧P 与-轴的交点为点55 ^B √（3√2 -√2）z + （3√2 -√2）z =4, V3√2>4,圆心，以朋的长九半径画弧 与耳轴沒有交点.综上，可得若以久趴€三点为顶点的三角形是等腰三角形P 则点f 的个数为取故选亠考点：1.等腰三角形的判定；2•坐标与图形性质；3•分类讨论；4 •综合题；5•压轴题.7（浙江省上杭县西南片区 2017-2018学年八年级上册期末模拟 ）如图，在 MBC 中，∠ B= ∠ C, AD 为AABC 的中线，那么下列结论错误的是（）A. AABD ACDB. AD为ΔABC的高线C. ADD. ΔABC是等边三角形为ΔABC的角平分线【答案】D【解析】试题解析：τ∠ B= ∠ C, ∙∙∙ AB=AC ,∙∙∙ AD是△ABC的中线，∙AD丄BC ,∠ BAD= ∠ CAD ,即AD是ΔABC的高，AD为△ABC的角平分线,∙∠ADB= ∠ ADC=9°0 ，在ΔABD和ΔACD中•••△ ABD BΔ ACD ,即选项A、B、C 都正确，根据已知只能推出AC=AB ，不能推出AC、AB 和BC 的关系，即不能得出△ABC 是等边三角形，选项D 错误，故选D ．二、填空题8. （2018广州市黄埔区中考数学一模）如图，已知ΔABC和ΔAED均为等边三角形，点D在BC边上，DE 与AB相交于点F,如果AC=12 , CD=4 ,那么BF的长度为__.答案】解析】试题分析：△ABC 和△AED 均为等边三角形，~ ?ACD, 又2017-2018 学年八年级上期末模拟 ）已知：点 P 、Q 是 △ABC 的边 BC 上的两个 ,∠BAC 的度数是（ ） 9. （ 山西省汾西县双语学校点，且 BP=PQ=QC=AP=AQA. 100 °B. 120 °C.130 °D. 150【答案】B【解析】VPctAP=AQ l l.∖ ZAP Q= ZPAQ= ZAQP=605,ZAP=BP,.∖Z B-Z TAB J Z,∖PQ-Z B÷ZPAB-SO C）,∖ZB=ZTAB=SO fi,同理ZQAC=ZC=30%.∖ZBAoZPAQ十ZPAB十ZQAOl2'O HS.故选B. I10.（浙江省宁波市东方中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）等腰△ABC ,其中AB=AC=17cm , BC=16cm ,则三角形的面积为___________ cm2.【答案】120 【解析】利用等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高的重合的性质，勾股定理求出三角形的高AD= =15cm ，再利用三角形面积公式求S AABC = BC?AD=×16×15=120cm2故答案为：120.11.（浙江省宁波市李兴贵中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°则等腰三角形顶角的度数是________[来]【答案】50或130【解析】首先根据题意画出图形,一种情况等腰三角形为锐角三角形，①如图 1 ,∙∙∙ BD 丄AC , ∠ ABD=40 ,∙∙∙∠A=50 ,即顶角的度数为50°.另一种情况等腰三角形为钝角三角形，②如图2,∙∙∙ BD 丄AC , ∠ DBA=40∙∙∙∠ BAD=50 ,∙∙∙∠ BAC=130 .故答案为：50或130.12.（浙师大附属秀洲实验学校 2017-2018学年九年级下学期第三次模拟 ）已知□ ABCD 中，AB=4, ABC 与 EDC 的角平分线交AD 边于点E , F ，且EF=3,则边AD 的长为 ___________________ .【答案】5或11;【解析】∙∙∙ BE 平分∠ ABC,∙∠ ABE= ∠ CBE ,•••四边形ABCD 是平行四边形，∙ AD // CB , CD=AB=4 ,∙∠ AEB= ∠ CBE∙∠ ABE= ∠ AEB ,∙ AE=AB=4 ,同理：DF=CD=4 ,分两种情况：∙ AD=AE+EF+DF=4+3+4=11∙ AF=1 , ∙ AD=AF+DF=1+4=5; ①如图1所示：∙∙∙ EF=3②如图2所示:■/ EF=4 ,AE=DF=4综上所述: AD的长为11或5;故答案为：5或11.13. （2017新疆建设兵团第15题）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD , CB=CD ,对角线AC , BD 相交于 点0,下列结论中：① ∠ ABC= ∠ ADC ；② AC 与BD 相互平分；③ AC ，BD 分别平分四边形 ABCD 的两组对角；1④ 四边形ABCD 的面积S= AC?BD .2试题解析：①在 △ABC 和ΔADC 中,AB AD∙∙∙ BC CD ,AC AC•••△ ABC ADC ( SSS),∙∙∙∠ ABC= ∠ ADC ,故①结论正确；②•••△ ABC BΔ ADC ,∙∠ BAC= ∠ DAC ,∙∙∙ AB=AD ,• OB=OD , AC 丄 BD ,而AB 与BC 不一定相等，所以 AO 与OC 不一定相等,故②结论不正确； ③由②可知：AC 平分四边形 ABCD 的∠ BAD 、/ BCD,1 而AB 与BC 不一定相等，所以 BD 不一定平分四边形 ABCD 的对角; 故③结论不正确；④∙∙∙ AC 丄 BD ，［来源学科网］•••四边形ABCD 1 1 1的面积 S=SSS 3 2 BD ?A O + 2 BD ?CO = 2 BD ?（AO+CO ）=AC?BD . 2故④结论正确；所以正确的有：①④考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质.14.等腰三角形 中，顶角为 ，点在以为圆心，'长为半径的圆上，且为 _________ .【来源】2018年浙江省绍兴市中考数学试卷解析【答案】 或【解析】【分析】画出示意图，分两种情况进行讨论即【解答】如图：分两种情况进行讨论■■■ ^PBC = ^ABP + ^ABC= Ilo Dl 同理：^AffP r ^^BAC ）J-ABP a■ 2.BAC = 40\ LABC = tβo"-+t>*1 Λ ^P I ffC = ^AeC-= 30°.故答案为：3^或】1孑【点评】考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，注意分类讨论思想在数学中的应用15. （2017广西贵港第16题）如图，点P 在等边 ABC 的内部，且PC 6,PA 8,PB 10 ,将线段PC绕点C 顺时针旋转60o得到P'C ,连接AP',则Sin PAP'的值为 ___________________ . 【答案】35∙∙∙ CP=CP =6,∠ PCP =60°•••△ CPP 为等边三角形，• PP =PC=6•••△ ABC 为等边三角形，• CB=CA , ∠ ACB=60 ,∙∠ PCB= ∠ P' CA在△PCB 和 ΔP ,CA 中 PC PCPCB PCACB CAτ 62+82=102,• PP 2+AP 2=P'A,∙ PB=P A=10,［来源学。
等腰三角形的性质与应用
等腰三角形的性质与应用等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些特殊的性质和应用。
本文将探讨等腰三角形的几何性质以及其在实际生活中的应用。
一、等腰三角形的性质1. 基本性质：等腰三角形的两条底边相等，两个底角相等。
2. 高度与底边的关系：等腰三角形的高度是底边的垂直平分线。
3. 顶角与底角的关系：等腰三角形的顶角等于底角的平分角。
二、等腰三角形的应用1. 建筑设计：在建筑设计中，等腰三角形常被用于设计门窗的形状。
等腰三角形的稳定性能确保了门窗的结构强度，同时其美学性质使得门窗更加具有艺术感。
2. 地质勘探：在地质勘探中，等腰三角形用于计算山体的高度。
通过测量等腰三角形的底边和底角，并利用三角函数的计算方法，可以准确地计算出山体的高度。
3. 测量工具：等腰三角形在测量工具中也有广泛的应用。
例如，在三角板和直角尺等工具中常用等腰三角形的性质来进行角度测量和边长测量。
4. 汽车制造：在汽车制造中，等腰三角形被运用到车灯设计中。
等腰三角形的对称性和稳定性使得车灯分布均匀，提高了行车安全性。
5. 数学教育：等腰三角形是初等数学中的重要内容之一，通过研究等腰三角形的性质，可以帮助学生建立对几何概念的理解，并培养学生逻辑思维和空间想象力。
综上所述，等腰三角形作为一种特殊的三角形，在几何学和实际应用中具有重要的地位。
通过了解等腰三角形的性质和应用，我们可以更好地理解几何学知识，并将其运用到实际生活和工作中。
无论是建筑设计、地质勘探还是科学测量，等腰三角形都发挥着不可替代的作用。
因此，我们应该不断深化对等腰三角形的研究，充分发挥其在各领域中的应用价值。
等腰三角形的性质与应用
等腰三角形的性质与应用知识点1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形有两边相等；（2）对称性：等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴,或底边上的高所在的直线是它的对称轴,或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴.（3）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（4）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等.知识点2、等腰三角形的判定定理定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.知识点3、等边三角形的性质与判定1.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.拓展：等边三角形是一种特殊的三角形，容易知道等边三角形的三条高（或三条中线、三条角平分线）都相等.知识点4、等腰三角形性质的应用（1）等腰三角形两底角的平分线相等；（2）等腰三角形两腰上的中线相等；（3）等腰三角形两腰上的高相等；（4）等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.知识点5、等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，要视具体情况来定。
经典例题例1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.求证：M是BE的中点.例2.如图，已知：中，，D是BC上一点，且，求的度数.例3.已知：如图，中，于D.求证：.例 4.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个例5.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足.求证：AE＝AF.例6.如图，△ABC中，AB＝AC，D，E分别是BC，AC上的点，∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD＝AE？写出你的推理过程．例7.如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连结D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：(1)△AEF≌△CDE；(2)△ABC为等边三角形．例8.数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB(填“>”、“<”或“=”)．(2)特例启发，解答题目题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“>”、“<”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作交AC于点F（请你完成以下解答过程）例9.如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论．例10.已知为不等边三角形，于D点，求证：D点到AB、AC边的距离必不相等．例11.如图，为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE 与BD相交于点P，于F.求证：BP=2PF.。
等腰三角形(讲义--学生版)
13．3 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质基础题知识点1等边对等角1．已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于( )A．30°B．75°C．150°D．125°2．已知一个等腰三角形的一个底角为30°，则它的顶角等于( )A．30°B．40°C．75°D．120°3．如图所示，射线BA、CA交于点A，连接BC，已知AB＝AC，∠B＝40°，那么x的值是________．#4．等腰直角三角形的底角的度数为________．5．一个等腰三角形中有一个内角为80°，则另外的两个内角的度数为________________．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC.求证：∠ABD＝∠ACD.知识点2三线合一7．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是()A．过顶点的直线B．底边的垂线:C．顶角的角平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线8．(苏州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．60°9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝3 cm.则∠ADB的度数是________，BD的长是________．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝________．：11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．中档题13．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()\A．100°B．80°C．70°D．50°14．(新疆中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数是________．15．(云南中考)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝________．16．(贺州中考)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A 的度数是________．17．如图，AD∥BC，点E在AB的延长线上，CB＝CE，试猜想∠A与∠E的大小关系，并说明理由．]18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点P是AD上的一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：PE＝PF.19．(十堰中考)如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.…20．已知一个等腰三角形的两角分别为(2x－2)°，(3x－5)°，求这个等腰三角形各角的度数．综合题21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA.(1)试求∠DAE的度数；{(2)如果把原题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗为什么参考答案1．B ° °，20°或50°，50° 6.证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵BD ＝CD.∴∠DBC ＝∠DCB.∴∠ABC －∠DBC ＝∠ACB －∠DCB ，即∠ABD ＝∠ACD. ° cm ° 12.∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD 平分∠BAC.∵∠BAC ＝50°，∴∠DAE ＝12∠BAC ＝25°.又∵DE ⊥AC ，∴∠AED ＝90°.∴∠ADE ＝90°－∠DAE ＝90°－25°＝65°. ° ° ° 17.∠A ＝∠E.理由如下：∵CB ＝CE ，∴∠E ＝∠CBE.∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠CBE.∴∠A ＝∠E. 18.证明：在△ABC 中，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 是∠BAC 的平分线．又∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴PE ＝PF. 19.证明：过点A 作AF ⊥BC 于点F.又∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF.∵BD ＝CE ，∴DF ＝EF.∴AD ＝AE. 20.①当(2x －2)°作为顶角时，即(2x －2)＋2×(3x －5)＝180，解得x ＝24，三角形三个角的度数分别为46°，67°，67°；②当(3x －5)°为顶角时，即(3x －5)＋2×(2x －2)＝180，解得x ＝27，三角形三个角的度数分别为52°，52°，76°；③当以上两个角均为底角时，即2x －2＝3x －5，解得x ＝3，三角形三个内角分别为4°，4°，172°. 21.(1)∵△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝45°.∵BD ＝BA ，CE ＝CA ，∴∠BAD ＝(180°－45°)÷2，∠CAE ＝45°÷2.∴∠DAE ＝90°－∠BAD ＋∠CAE ＝45°.(2)不变．∠DAE ＝90°－180°－∠B 2＋12∠ACB ＝12(∠B ＋∠ACB)＝45°，从上式可看出当AB 和AC 不相等时，∠B ＋∠ACB 也是90°.所以∠DAE 的度数不变．）第2课时 等腰三角形的判定基础题】知识点1等腰三角形的判定1．下面几个三角形中，不可能是等腰三角形的是( )A．有两个内角分别为75°，75°的三角形B．有两个内角分别为110°和40°的三角形C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形D．有一个外角为80°，一个内角为100°的三角形2．如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于()A．3 cm B．4 cm C．cm D．2 cm3．如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为( )（A．3个B．4个C．5个D．6个4．如果一个三角形的一内角的平分线垂直对边，那么这个三角形一定是( )A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形5．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则这个三角形是________三角形．6．在△ABC中，如果∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶3，那么△ABC是________三角形．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形，你添加的条件是________________________．8．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝________．&9．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，△ADE也是等腰三角形吗为什么10．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD，求证：△ABC为等腰三角形．知识点2用尺规作等腰三角形11．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．&中档题12．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的个数有( )A．6个B．7个C．8个D．9个13．在如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()：A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4)C．(2)(3)(4) D．(1)(3)(4)14．如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC＝18，则△CDE的周长是________．15．已知等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连接AD.若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C ＝________．16．如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，ED＝DC.求证：AB＝AC.17．如图所示，一艘轮船在近海处由南向北航行，点C是灯塔，轮船在A处测得灯塔在其北偏西38°的方向上，轮船又从A向北航行30海里到B，测得灯塔在其北偏西76°的方向上．!(1)求∠ACB的度数；(2)轮船在B处时，到灯塔C的距离是多少18．(襄阳中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有成立的情形)'(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．综合题19．已知：D为△ABC所在平面内一点，且DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF. (1)当点D在BC边上时(如图)，判断△ABC的形状(直接写出答案)；(2)当点D在△ABC内部时，(1)中的结论是否一定成立若成立，请证明；若不成立，请举出反例(画图说明)．参考答案1．B 5.等腰 6.等腰 ＝CD 或∠BAD ＝∠CAD cm 9.△ADE 是等腰三角形．理由如下：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.又∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C.∴∠ADE ＝∠AED.∴AD ＝AE.∴△ADE 是等腰三角形． 10.证明：过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，∵AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DF.在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵BD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF(HL)．∴∠B ＝∠C.∴AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形． 11.(1)作线段AB ＝a ；(2)作线段AB 的垂直平分线MN ，与AB 交于点D ；(3)在MN 上取一点C ，使CD ＝b ；(4)连接AC ，BC ，则△ABC 就是所求作的三角形．14．30 °或45° 16.证明：∵AD 平分∠EDC ，∴∠ADE ＝∠ADC.又∵ED ＝DC ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADC.∴∠E ＝∠C.又∵∠E ＝∠B ，∴∠B ＝∠C.∴AB ＝AC. 17.(1)∵∠NAC ＝38°，∠NBC ＝76°，∠NBC ＝∠ACB ＋∠NAC ，∴∠ACB ＝∠NBC －∠NAC ＝76°－38°＝38°.(2)∵∠ACB ＝∠NAC ＝38°，∴AB ＝BC.∵AB ＝30海里，∴BC ＝30海里．即轮船在B 处时，到灯塔C 的距离是30海里． 18.(1)①②；①③.(2)选①③，证明如下：∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB.∵∠EBO ＝∠DCO ，且∠ABC ＝∠EBO ＋∠OBC ，∠ACB ＝∠DCO ＋∠OCB ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴△ABC 是等腰三角形． 19.(1)△ABC 是等腰三角形．(2)如图，当点D 在△ABC 内部时，△ABC 是等腰三角形成立．理由：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°.在Rt △EBD 与Rt △FCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ，DB ＝DC ，∴Rt △EBD ≌Rt △FCD(HL)．∴∠EBD ＝∠FCD.∵DB ＝DC ，∴∠DBC ＝∠DCB.∴∠EBD ＋∠DBC ＝∠FCD ＋∠DCB ，即∠EBC ＝∠FCB.∴AB ＝AC.∴△ABC 是等腰三角形．。
等腰三角形的性质及应用
等腰三角形的性质及应用等腰三角形是指两条边相等的三角形，它具有一些独特的性质和应用。
在本文中，我们将探讨这些性质以及等腰三角形在实际生活中的应用。
一、性质：1. 底角相等性质：等腰三角形的底角（即两条边不等的两个角）相等。
这是等腰三角形最基本的性质之一。
可以通过几何证明得出，但可以从视觉上进行验证。
该性质使得等腰三角形具有一些独特的特征。
2. 对称性质：等腰三角形具有对称性，即以等腰三角形的中线为对称轴，可以将等腰三角形对半折叠。
这意味着等腰三角形的两边和底边分别是相似形状的两边和底边的镜像。
3. 高度性质：等腰三角形的高度是指从顶点到底边上某一点的垂直距离。
等腰三角形的高度与底边的中线重合，且高度分割底边成等分。
这使得等腰三角形的计算和分析更加简单。
二、应用：1. 几何形状：等腰三角形在建筑、工程和地理测量等领域有广泛的应用。
例如，在建筑中，很多屋顶和立柱采用等腰三角形的形状，因为它具有稳定性和美观性。
2. 角度计算：由于等腰三角形具有底角相等的性质，我们可以利用这个性质来计算未知角度的大小。
例如，如果我们知道一个等腰三角形的底角是60度，那么另外两个底角也是60度，因为它们是相等的。
3. 面积计算：等腰三角形的面积可以利用高度和底边长度来计算。
由于高度和底边的关系已经确定（高度分割底边成等分），我们可以直接使用这些值来计算等腰三角形的面积，而不需要使用其他复杂的公式。
三、结论：综上所述，等腰三角形具有底角相等、对称和高度性质等特点。
这些性质使得等腰三角形具有广泛的实际应用，如建筑、工程、地理测量和角度/面积计算等领域。
了解和理解这些性质和应用有助于我们更好地应用等腰三角形的概念，并在实际问题中更加灵活和准确地运用几何知识。
在数学学习中，等腰三角形是基本的几何形状之一。
通过深入理解等腰三角形的性质和应用，我们能够拓宽数学的视野，培养逻辑思维和解决问题的能力。
希望通过这篇文章，读者能够更好地理解等腰三角形，并将其应用于实际生活和学习中。
等腰三角形的性质与计算
等腰三角形的性质与计算等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形有着独特的性质和计算方法。
本文将介绍等腰三角形的性质，并提供相关计算方法。
一、等腰三角形的性质等腰三角形有以下性质：1. 两边相等：等腰三角形的两条腰（即较短的两边）长度相等。
2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两侧的角）的度数相等。
3. 顶角平分底角：等腰三角形的顶角（即顶点处的角）将两个底角平分。
4. 底角平分顶角：等腰三角形的底角将顶角平分。
二、等腰三角形的计算在解决等腰三角形问题时，我们可以利用以下公式和定理进行计算：1. 底角的计算：等腰三角形的底角等于顶角的补角。
例如，如果顶角的度数为60°，则底角的度数为120°。
2. 顶角的计算：等腰三角形的顶角等于底角的补角。
例如，如果底角的度数为40°，则顶角的度数为140°。
3. 腰长的计算：在已知等腰三角形的底边长度和顶角度数的情况下，可以使用正弦、余弦或正切等三角函数计算腰长。
例如，已知等腰三角形的底边长度为5，顶角的度数为30°，可以使用正弦函数计算腰长：sin(30°) = 腰长/5，进而计算出腰长的值。
三、等腰三角形的应用等腰三角形在几何学、物理学、建筑学等领域有广泛的应用。
以下是一些实际应用的例子：1. 圆锥的侧面：在几何学中，圆锥的侧面通常是由等腰三角形组成的。
2. 建筑物的屋顶：在建筑学中，一些传统的建筑物屋顶的形状往往是等腰三角形，这是为了保持结构的稳定性和美观度。
3. 钢琴弦的调音：调音师在调音钢琴时会利用等腰三角形原理，即只调一个弦，而后一个弦的音高会自动与之相等。
四、总结等腰三角形具有两边相等、两底角相等、顶角平分底角和底角平分顶角的性质。
计算等腰三角形可以利用底角和顶角的度数关系，以及三角函数来计算腰长。
在实际应用中，等腰三角形广泛用于几何学、物理学和建筑学等领域。
等腰三角形的性质与应用
等腰三角形的性质与应用等腰三角形是几何学中常见的一种特殊三角形，它的性质独特，应用广泛。
本文将深入探讨等腰三角形的性质以及在实际问题中的应用。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，有以下几个重要的性质：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即两边长相等的角）相等。
这是等腰三角形最基本的性质之一。
可以通过对角度进行比较或利用对称性来证明。
2. 顶角平分线与底边垂直：等腰三角形的顶角平分线（即连接顶角和底边中点的线段）与底边垂直。
这个性质对于求解等腰三角形的高、应用中的问题都非常有用。
3. 高重合：等腰三角形的高（即从顶点到底边的垂直线段）重合于底边中点。
这意味着等腰三角形的高也是底边上的中线和中位线。
二、等腰三角形的性质证明1. 两底角相等的证明：以等腰三角形ABC为例，设AC=BC，要证明∠ACB = ∠CAB。
证明：由于AC=BC，且直线段AB共线，所以三角形ABC是一个等腰三角形。
根据等腰三角形的定义，两边AC和BC相等，而根据三角形中的一对对应角相等的性质，∠ACB = ∠CAB。
2. 顶角平分线与底边垂直的证明：以等腰三角形ABC为例，设AC=BC，M为底边AB的中点，要证明AM ⊥ BC。
证明：连接AM和BM，由于AC=BC，AM=BM，所以三角形ABM和ACM是等腰三角形。
根据等腰三角形高重合的性质，AM重合于CM，而由高重合又可以得到AM ⊥ BC。
三、等腰三角形的应用1. 求解等腰三角形的高：已知等腰三角形的底边长和顶角，可以利用三角函数的性质来计算等腰三角形的高。
例如，如果已知等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则高h可以通过h = a * sin(θ/2) 来计算。
2. 三角形的构造问题：在一些实际问题中，可以利用等腰三角形的特性来进行三角形的构造。
例如，已知一个角的两条边长相等，可以根据等腰三角形的性质构造出一个等腰三角形。
3. 几何证明问题：在几何证明中，等腰三角形常常可以作为中间步骤，起到简化问题的作用。
等腰三角形的性质和应用
等腰三角形的性质和应用等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
在数学中，等腰三角形有着独特的性质和广泛的应用。
本文将介绍等腰三角形的性质以及在几何学和实际生活中的一些应用。
一、等腰三角形的基本性质等腰三角形的基本性质主要有以下几点：1. 等腰三角形的底角相等：等腰三角形的两个底角是相等的，即两个底边所对的角度相等。
2. 等腰三角形的顶角平分底角：等腰三角形的顶角是底角的平分角，即顶角的度数是底角度数的一半。
3. 等腰三角形的边长关系：等腰三角形的两条等边之间和底边之间有一定的关系。
设等腰三角形的底边长为a，等边长为b，则可以使用勾股定理得出等腰三角形高的长度h为：h = √(b^2 - a^2/4)。
二、等腰三角形的几何性质除了基本性质之外，等腰三角形还具有一些重要的几何性质：1. 等腰三角形的高线重合：等腰三角形的高线是指从三角形顶点到底边上某一点的垂直线段，而等腰三角形的高线三条互相重合于一个点，称为三角形的垂心。
2. 等腰三角形的内切圆：等腰三角形的内切圆是指与等腰三角形的三边相切的圆，且圆心位于等腰三角形的高线上。
3. 等腰三角形的外接圆：等腰三角形的外接圆是指与等腰三角形的三边相切于三个顶点的圆，且圆心位于等腰三角形的高线上。
三、等腰三角形的应用等腰三角形在数学中有着广泛的应用，同时也应用于实际生活中的各个领域。
以下是一些常见的应用：1. 几何学应用：在几何学中，等腰三角形常用于解决角度和长度之间的问题。
例如，通过已知等腰三角形的边长和底角，可以求解其高线的长度和顶角的度数。
2. 建筑设计：等腰三角形的均衡和稳定特性使其在建筑设计中得到广泛应用。
例如，在设计建筑物的三角屋顶时，经常使用等腰三角形的形状。
3. 美术设计：等腰三角形的对称性和美观性，使其成为美术设计中常用的图形元素。
在绘画、雕塑和装饰品设计中，等腰三角形可以被用于创造均衡和吸引人的效果。
4. 金融和经济学：等腰三角形也在金融和经济学领域中得到应用。
《等腰三角形》 讲义
《等腰三角形》讲义一、等腰三角形的定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
例如，在三角形 ABC 中，如果 AB ＝ AC，那么三角形 ABC 就是一个等腰三角形，其中 AB 和 AC 是腰，BC 是底边，∠A 是顶角，∠B 和∠C 是底角。
二、等腰三角形的性质1、两腰相等这是等腰三角形最基本的性质，也是其名称的由来。
2、两底角相等即∠B ＝∠C。
这一性质可以通过全等三角形的证明方法来得出。
3、三线合一等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
例如，在等腰三角形 ABC 中，AD 是底边 BC 上的高，那么 AD 也是底边 BC 上的中线和顶角∠A 的平分线。
4、轴对称性等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高（或顶角平分线、底边上的中线）所在的直线。
三、等腰三角形的判定1、定义法如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
2、等角对等边如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
例如，在三角形 ABC 中，若∠B ＝∠C，则 AB ＝ AC。
四、等腰三角形中的常见辅助线1、作顶角的平分线利用等腰三角形顶角平分线平分顶角且垂直底边的性质。
2、作底边上的高可以利用“三线合一”的性质解决问题。
3、作底边上的中线同样基于“三线合一”的性质。
五、等腰三角形的周长和面积1、周长等腰三角形的周长等于两腰长度之和加上底边长度。
假设等腰三角形的腰长为 a，底边长为 b，那么周长 C ＝ 2a ＋ b。
2、面积等腰三角形的面积可以用多种方法计算。
常见的方法是先求出底边上的高，假设底边长为 b，底边上的高为h，那么面积 S ＝ 1/2 × b × h。
也可以使用海伦公式，但在等腰三角形中相对较少使用。
六、等腰三角形在实际生活中的应用1、建筑设计许多建筑的结构中会包含等腰三角形的元素，以保证结构的稳定性和美观性。
初中数学知识点精讲精析 等腰三角形的性质定理
2.3 等腰三角形的性质定理学习目标1.经历利用等腰三角形的性质加深对轴对称的认识。
2.经历利用轴对称变换推导等腰三角形的性质。
知识详解1.等腰三角形性质1（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
（2）理解：这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便。
（3）适用条件：必须在同一个三角形中。
（4）应用模式：在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.（5）推论：等边三角形的各个内角都等于60°。
2.等腰三角形性质2（1）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质。
（2）含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际上是一组定理，应用过程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一线”，就可以说明是其他的“两线”，性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系，所以应用非常广泛。
（3）对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴。
（4）应用模式：如图，在△ABC中，①∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC（或BD=CD）；②∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC（或AD平分∠BAC）；③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC（或AD⊥BC）．“三线合一”的应用：因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”性质实际的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活。
【典型例题】例1：等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【解析】因为等腰三角形的两个底角相等，而等腰直角三角形的两个底角互余，所以每个底角等于45°例2：如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE＝AF．如果∠AED＝62º，那么∠DBF＝（）A．62º B．38º C．28º D．26º【答案】C【解析】在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC得∠BAF=∠C=∠CAD=45 º，又∠AED＝62º,∴∠EAC=62º- 45 º=17 º,又CE＝AF，∴△ABF≌△CAE, ∴∠ABF=17 º, ∴∠DBF＝45 º-17 º=28º.例3：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（）A、30ºB、40ºC、45ºD、36º【答案】D【解析】∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD,∠C=∠ABC=∠BDC,设∠A=xº,则∠ABD= xº, ∠C=∠ABC=∠BDC=2 xº, 在△ABC中，x+2x+2x=180,∴x=36，故∠A=36º【误区警示】易错点1：线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是【答案】50°【解析】∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°易错点2：等腰三角形的性质2.如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为（度）．【答案】45【解析】设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y．∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x+y，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解得x=45°，∴∠DCE=45°【综合提升】针对训练1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是．2.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD=3.如图，将等边△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得△ACD ，BC 的中点E 的对应点为F ，则∠EAF 的度数是1.【答案】30°【解析】∵AB=AC ，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=12（180°﹣40°）=70°， ∵BD=BC ， ∴∠CBD=180°﹣70°×2=40°， ∴∠ABD=∠ABC ﹣∠CBD =70°﹣40° =30°2.【答案】18°【解析】∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°． ∵BD ⊥AC 于点D ， ∴∠CBD=90°﹣72°=18°3.【答案】60°【解析】∵将等边△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得△ACD ，BC的中点E 的对应点为F ， ∴旋转角为60°，E ，F 是对应点， 则∠EAF 的度数为：60°【中考链接】（2014年盐城）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）A ． 40°B ． 50°C ． 60°D ． 70°【答案】D【解析】因为等腰三角形的两个底角相等， 又因为顶角是40°， 所以其底角为180402︒-︒ =70°课外拓展黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°，它的腰与它的底成黄金比。
等腰三角形性质及判定 讲义
等腰三角形性质及判定讲义2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°变式已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．类型二、等腰三角形的操作题例2 根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？图1 图2 （1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想：（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想：变式直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A 落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．类型三、等腰三角形性质判定综合应用例3 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F.求证：AF＝EF变式如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．例4 如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥ADAD.于点E.求证：BE＝12变式已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB，CM⊥AD于M.(AB＋AC) ．求证：AM＝12。
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初二数学讲义 等腰三角形的性质及应用
等腰三角形的性质：
性质1▲等腰三角形的两个底角相等。
（简写成: 等边对等角. ）
性质2▲等腰三角形的 、底边上的 、底边上的 互相重合。
（简写成:等腰三角形的“三线合一”）
性质3▲ 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．
用几何符号语言表达：
性质1
性质2
注意：△ABC 中，如果AB ＝AC ，D 在BC 上，那么由条件①∠1＝∠2，②AD ⊥AC ，③BD ＝CD 中的任意一个都可以推出另外两个.（为了方便记忆可以说成“知一求二” ）
等腰三角形的三边的关系，三个内角的关系
1.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( )
A ．9cm Ｂ．12cm Ｃ．15cm Ｄ．12cm 或15cm
2.已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( )
A ．4.8cm
B ．9.6cm
C ．2.4cm
D ．1.2cm
3.若等腰三角形中有一个角等于50︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A ．50︒ Ｂ．80︒ Ｃ．65︒或50︒ Ｄ．50︒或80︒
∵AB ＝AC
∴∠B ＝∠C （等边对等角）
∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，
∴∠1＝∠____，BD ＝_____；（等腰三角形的“三线合一”）
∵AB ＝AC ，∠1＝∠2， ∴AD ⊥_____，BD ＝______；（等腰三角形的“三线合一”） ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴∠1＝∠___，AD ⊥_____.（等腰三角形的“三线合一”）
【例1】如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC
于D，求∠CBD的度数．
【例2】在ABC
∆中，AB AC
=，BC BD ED EA
===．求A
∠的度数．
【例3】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60︒，求三角形三个内角的度数．
【例4】如图所示，已知ABC
∆中，D、E为BC边上的点，且AD AE
=，BD EC
=，求证：AB AC
=．
A
B C
D E
例题精讲
【例5】ABC ∆中，22.5B ∠=︒，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF AC ⊥于F ，交BC 边上的高于G ． 求证：EG EC =．
1.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50︒，求三角形三个内角的度数．
2. 如图，ABC △中，AB AC =，36A ∠=，DE 垂直平分AC ，求BCD ∠的度数.
3. 如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，求证：BD ＝CE 。
巩固练习 G F E D C B A
4.在ΔABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE 。
求证：BD=2CE.
1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC ，在直线BC 或AC 上取一点
P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
2.如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝10厘米，BC ＝8厘米，点D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．
(1)如果点P ，Q 的速度均为3厘米/秒，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等？请说明理由．
(2)若点P 的运动速度为2厘米/秒，点Q 的运动速度为2.5厘米/秒，经过几秒后，△BPD 与△CQP 全等？请说明理由．
拓展拔高 B A
D E C。