第2讲 matlab的数值分析

第二讲MATLAB的数值分析

2-1矩阵运算与数组运算

矩阵运算和数组运算是MATLAB数值运算的两大类型，矩阵运算是按矩阵的运算规则进行的，而数组运算则是按数组元素逐一进行的。因此，在进行某些运算（如乘、除）时，矩阵运算和数组运算有着较大的差别。在MATLAB中，可以对矩阵进行数组运算，这时是把矩阵视为数组，运算按数组的运算规则。也可以对数组进行矩阵运算，这时是把数组视为矩阵，运算按矩阵的运算规则进行。

1、矩阵加减与数组加减

矩阵加减与数组加减运算效果一致，运算符也相同，可分为两种情况：

（1）若参与运算的两矩阵（数组）的维数相同，则加减运算的结果是将两矩阵的对应元素进行加减，如

A=[1 1 1;2 2 2;3 3 3];

B=A;

A+B

ans=

2 2 2

4 4 4

6 6 6

（2）若参与运算的两矩阵之一为标量（1*1的矩阵），则加减运算的结果是将矩阵（数组）的每一元素与该标量逐一相加减，如

A=[1 1 1;2 2 2;3 3 3];

A+2

ans=

3 3 3

4 4 4

5 5 5

2、矩阵乘与数组乘

（1）矩阵乘

矩阵乘与数组乘有着较大差别，运算结果也完全不同。矩阵乘的运算符为“*”，运算是按矩阵的乘法规则进行，即参与乘运算的两矩阵的内维必须相同。设A、B为参与乘运算的

=A m×k B k×n。因此，参与运两矩阵，C为A和B的矩阵乘的结果，则它们必须满足关系C m

×n

算的两矩阵的顺序不能任意调换，因为A*B和B*A计算结果很可能是完全不一样的。如：A=[1 1 1;2 2 2;3 3 3];

B=A;

A*B

ans=

6 6 6

12 12 12

18 18 18

F=ones(1,3);

G=ones(3,1);

F*G

ans

3

G*F

ans=

1 1 1

1 1 1

1 1 1

（2）数组乘

数组乘的运算符为“.*”，运算符中的点号不能遗漏，也不能随意加空格符。参加数组乘运算的两数组的大小必须相等（即同维数组）。数组乘的结果是将两同维数组（矩阵）的对应元素逐一相乘，因此，A.*B和B.*A的计算结果是完全相同的，如：

A=[1 1 1 1 1;2 2 2 2 2;3 3 3 3 3];

B=A;

A.*B

ans=

1 1 1 1 1

4 4 4 4 4

9 9 9 9 9

B.*A

ans=

1 1 1 1 1

4 4 4 4 4

9 9 9 9 9

由于矩阵运算和数组运算的差异，能进行数组乘运算的两矩阵，不一定能进行矩阵乘运算。如

A=ones(1,3);

B=A;

A.*B

ans=

1 1 1

A*A

???Error using= =>

Inner matrix dimensions must agree.

3、矩阵除与数组除

矩阵除分为矩阵右除和矩阵左除两种情况。矩阵右除的运算符为“/”，设A、B为两矩阵，则“A/B”是指方程X*B=A的解矩阵X。显然，矩阵右除运算对参与运算两矩阵的维数是有一定要求的，即矩阵A和B的列数必须相等。如

A=[1 1 1 1;2 2 2 2;3 3 3 3];

B=[1 1 1 1];

X=A/B

X=

1

2

X*B

ans=

1 1 1 1

2 2 2 2

矩阵右除允许参与右除运算的矩阵B为标量，这时矩阵右除运算的结果是将矩阵A的每一元素逐一与该标量进行除法运算。如：

A=[2 4 6 8；8 6 4 2]；

B=2；

A/B

ans=

1 2 3 4

4 3 2 1

矩阵左除运算符为“\”，设A、B为两矩阵，则“A\B”是指方程B*X=A的解矩阵X。显然，矩阵左除运算对参与运算两矩阵的维数也有一定要求的，即矩阵A和B的行数必须相等。如

数组右除的运算符为“./”，左除的运算符为“.\”。数组右除和左除的运算结果是完全等效的。设A、B为两同维矩阵，则“A./B”的运算结果是将矩阵A的每一个元素与矩阵B的对应元素相除。应注意的是，参与数组运算的两矩阵（数组）的大小必须相等。

A=[2 2 3 3 4 4;1 1 2 2 3 3;4 4 5 5 6 6];

B=[1 2 3 3 2 2;1 1 1 1 1 1;2 2 5 5 3 3];

A./B

ans=

2 2 1 1 2 2

1 1

2 2

3 3

2 2 1 1 2 2

B./A

ans=

0.5000 0.5000 1.0000 1.0000 0.5000 0.5000

1.0000 1.0000 0.5000 0.5000 0.3333 0.3333

0.5000 0.5000 1.0000 1.0000 0.5000 0.5000

4、常用的矩阵运算函数

（1）用size()函数计算矩阵A 的维数，调用格式：

d=size(A) %将矩阵A 的行数和列数赋给变量d

[m,n]=size(A) %将矩阵A 的行数赋给变量m 、列数赋给变量n

（2）用rand()函数产生随机矩阵，，调用格式：

rand(n) %产生值在0~1之间随机分布的n*n 的随机方阵

rand(m,n) %%生值在0~1之间随机分布的n*m 的随机矩阵

（3）计算矩阵长度（列数）的函数length()，调用格式：

a=length(B) %将矩阵B 的列数赋值给变量a

（4）矩阵元素的求积运算函数prod()，调用格式：

prod(A) %若A 为向量，将计算矩阵A 所有元素之积；若A 为矩阵，将产生一行向

量，其元素分别为矩阵A 的各列元素之积。

prod(A,k) %将对矩阵A 按k 定义的方向进行示积运算，若k=1则按列的方向求积，

若k=2则按行的方向求积。

（5）矩阵元素的求和运算函数sum()，调用格式同prod()函数。

2-2多项式及其运算

MATLAB 提供了标准多项式的常用函数，包括求根、相乘、相除等。

1．多项式的表达与创建

MATLAB 采用将多项式系数按幂次序排列形式的行向量来表征一多项式。设多项式为：

0111a s a s a s a s A n n n n ++++=-- )(

则表征该多项式的行向量表示为：][011a a a a P n n

-=。 因此，在MATLAB 中，创建多项式即可创用建行向量的方法，直接输入按顺序排序的多

项式系数即可。如，输入语句：

A=[1 2 2 1];

即表示创建多项式12223+++s s s ，并赋值给变量A 。

2．多项式求根

函数roots()用于对多项式求根，调用格式：

p=roots(A)

其中A 为表征多项式的行向量，p 返回该多项式的根（用列向量表示）。如

B=[1 3 2]; %创建多项式232++s s