体内药物浓度的变化
数学建模之体内药物浓度的分布模型
ln 2 k
环境 机体
只输出不 输入房室
x(t)
x(0) D
dx dt 出
情况2 恒速静脉点滴
药物似恒速点滴方式进入体内，即: dx
则体内药物总量满足：
dx dt
kx
K0
dt
（x(0)=0）
K0
（3.13）
这是一个一阶常系数线性方程，其解为：
易见：lim C(t) K0
t
Vk
（第一次） C(t) K0 (1 ekt )
Vk 0≤t≤T1
C(t) K0 (1 ekT1 )ek (tT1)
Vk
T1≤t≤T1 +T2
环境
dx dt
K0
机体
x(t)
x(0) 0
恒定速率 输入房室
dx
dt
出
情况3 口服药或肌注
口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物
D，浓度为D/V，只输出不输入的房室，即系统可看成近似地
满足微分方程：
dx kx 0 dt
（3.12）
其解为：
x(0) D x(t) Dekt
负增长率的Malthus模型
药物的浓度： c(t) D ekt
V
与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需的
时间称为药物的血浆半衰期：
t1
dx dt
出
kx
假设药物均匀分布
环境
药物的输入规律与给药的方式有 关。下面，我们来研究一下在几种常 dx
机体
见的给药方式下体内药体的变化规律。
dt
入
x(t)
dx
பைடு நூலகம்dt
出
微积分的应用雨中行走 药物浓度 水流问题 最速降线
•前表面淋雨量
C2
(v cos
v
u
I )wh(L
/
u)
v cos u I是前面的降雨强度。
v
•总淋雨量(基本模型)
C
C1
C2
wdL [sin
u
h d
(v cos
v
u)]
因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前
面。分两部分计算淋雨量。
取参数v 4m / s, I 2cm / h
第五章 微积分的应用
本章通过用学习过的高等数学知识解决一些简单的问题， 以增加同学们学习数学的兴趣和应用数学的能力。同时，也 通过对其中一些问题的不断深入讨论来体会数学建模没有最 好、只有更好的精神。
1. 雨中行走问题 2. 体内药物浓度的变化 3. 水的流出问题 4. 最速降线问题
1. 雨中行走问题
16
2. 体内药物浓度的变化
医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂量 和服药的时间间隔。超剂量的药物会对患者产生不 良的后果，甚至死亡；剂量不足，则不能达到治疗 的效果。已知患者服药后，随时间推移，药物在体 内被逐渐吸收，发生化学反应，也就是体内药物的 浓度逐渐降低。药物浓度降低的速率与体内当时药 物的浓度成正比。当服药量为A、服药时间间隔为T 时，试分析体内药物的浓度随时间的变化规律。
2）在同样时间内，水从小孔流出的体积为 BS
--- S是从小孔流出的水时在时间段 内流t 经的距离
由质量守恒得
Ah BS
两端同除以 ，t 并令 t取极0 限得
25
可得一阶方程： dh B ds
dt
A dt
由于 ds v， 代入上式得 dt
数学建模
医生给病人开处方的时候必须注明两点：服药的剂量和服药的时间间隔，超剂量的药品会对身体产生不良后果，甚至死亡，而剂量不足，则不能达到治病的目的。
已知患者服药后，随时间推移，药品在体内逐渐被吸收，发生生化反应，也就是体内药品的浓度逐渐降低，药品浓度降低的速度与体内当时药品的浓度成正比。
当服药量为a，服药间隔为T时，试分析体内药品浓度随时间的变化规律。
本题研究服药时间间隔对药物疗效的影响。
一、问题摘要我们知道，患者服药后，随时间推移，药品在体内逐渐被吸收，发生化学反应，也就是体内药品的浓度逐渐降低，药品浓度的变化量与服药量成正比。
医生给病人开处方时，必须注明两点：服药的剂量和服药的时间间隔。
超剂量的药品回对身体产生严重不良后果，甚至死亡，而剂量不足，则达不到治病的目的。
试研究药品在体内浓度的变化规律。
二、问题分析及补充2.1药物浓度变化指数模型患者服药后,随时间推移,药品在体内逐渐被吸收,体内药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比.当服药量为A，初始药物浓度为a，服药间隔为T,体内药的浓度随时间的变化规律分析：浓度方程：dx=−kx,t≠nTdt满足条件：x(0)=a,x(nT)=a+x(nT)解得：x(t)=x(nT)e−k(t−nT),t∈[nT,(n+1)T]在0≤t≤T内，方程的解为x(t)=ae−kx，0≤t<T在T≤t<2T内，方程的解为x(t)=(a+ae−kT)e−k(t−T),T≤t<2T⋯⋯在T≤t<(n+1)T内,方程的解为x(t)=(a+ae−kT+ae−2kT+⋯+ae−nkT)e−k(t−nT),nT≤t<(n+1)T 由于a+ae−kT+ae−2kT+⋯+ae−nkT=a 1−e−(n+1)T1−e−kT→a1−e−kT由此看出，在等间隔服药的情况下，药物的浓度在人体中呈上升趋势，且最后会稳定在一定的水平。
浓度变化曲线如图示：（其中原方程解中：K=0.1，A=0.1;T=8）注：解题及编程参考自《数学建模》，高等教育出版社。
[管理]血药浓度随时间变化的规律及药动学参数
![[管理]血药浓度随时间变化的规律及药动学参数](https://img.taocdn.com/s3/m/4efc5e3ae3bd960590c69ec3d5bbfd0a7956d576.png)
血药浓度随时间变化的规律及药动学参数血药浓度随时间变化的规律及药动学参数（一）药时曲线用药后药物在体内的浓度可因转运或转化以致随时间而变化，药效也随着浓度而变化，如以曲线表示，则前者称时量关系曲线（Time-concentration Relationship Curve），后者为时效关系曲线（Time-response Relationship Curve）。
以非静脉一次给药为例，药物的时量关系和时效关系经历以下三个阶段：潜伏期－持续期－残留期。
潜伏期：用药后到开始出现作用的时间，反映药物的吸收和分布；持续期：药物维持有效浓度的时间；残留期：药物浓度已降至最小有效浓度以下时，但尚未从体内完全消除的时间。
（三）药物的消除动力学：血药浓度不断衰减的动态变化过程。
药物的消除：药物经生物转化和排泄使药理活性消失的过程。
药物的消除动力学有两种：1、一级消除动力学：指单位时间内药物按恒定的比例消除。
即血液中药物的消除速率与血中的药物浓度成正比，机体的血药浓度高，其单位时间内消除的药量多，消除速度随血药浓度下降而降低。
在血药浓度下降以后，药物的消除仍然按比率消除，故又称之为药物的恒比消除。
大多数药物按此方式消除。
如每小时消除1/2。
2、零级消除动力学：指单位时间内药物按恒定数量进行的消除。
即不论血浆药物浓度高低，单位时间内消除的药物量不变。
故又称之为药物的恒量消除。
常为药量过大，超过机体最大消除能力所致。
如每小时消除100mg/h。
（三）药物的消除动力学：血药浓度不断衰减的动态变化过程。
药物的消除：药物经生物转化和排泄使药理活性消失的过程。
药物的消除动力学有两种：1、一级消除动力学：指单位时间内药物按恒定的比例消除。
即血液中药物的消除速率与血中的药物浓度成正比，机体的血药浓度高，其单位时间内消除的药量多，消除速度随血药浓度下降而降低。
在血药浓度下降以后，药物的消除仍然按比率消除，故又称之为药物的恒比消除。
大多数药物按此方式消除。
药动学与药效学理论的简介
5.351±0.533 1.084±0.177 65.18±4.96
6.12
—
20.73
12.1±4.1
1.3±0.71
—
9
喹诺酮类抗生素的给药方案
❖ PK/PD疗效预测指标 ▪ Cmax/MIC >8 ▪ AUC0-24/MIC
AUC0-24/MIC
革兰氏阴性菌 革兰氏阳性菌 ＞125～250 ＞30～175
不同给药间隔对不同细菌的T>MIC %
750mg/Q8h
1125mg/Q12h
71.6%
55%
60.5%
40.3%
52.7%
35.2%
2250mg/Qd
33.8% 20.1% 17.6%
17
头孢呋辛的给药方案
❖ 头孢呋辛的两种不同给药方案
以1500mg·d-1持续静脉滴注给药与750mg/Tid静脉注射相比，两种给药方案获 得的稳态血药浓度相似，总体治愈率相同，但日均费用有明显差异。 β-内酰胺类抗生素的持续静脉滴注更能体现用药的经济学原则。
5
依据PK/PD理论制定给药方案
浓度依赖性抗生素——氨基糖苷类给药方案的制定 合适的给药剂量 恰当的给药间隔 耳、肾毒性
6
庆大霉素的给药方案
❖ 一日一次大剂量给药
氨基糖苷类临床有效率由Cmax/MIC 决定，当Cmax/MIC>8～12时，临床 有效率>90%
❖ 间隔24h给药，减少细菌耐 药性
MIC(mg/L)
0.25 1 1
MPC(mg/L)
达稳后Cmax mg/L
达稳后Cmin mg/L
1
5.351±0.533 1.084±0.177
体内药物分析
一 体内样品的种类 二 体内样品的采集与制备 三 体内样品的贮存与处理
一 体内样品的种类
血液、尿液、唾液、头发、脏器组织、乳汁、精液、 脑脊液、泪液、胆汁、胃液、淋巴液、粪便等 尿液——主要用于药物剂量回收研究、药物肾清除率和生
物利用度等研究，以及测定代谢物类型等
脑脊液——怀疑药物损血脑屏障
二 体内样品的采集与制备
（一）冷藏与冷冻
取样后最好立即进行分析，不能立即分析的，则短期内冷
藏(4℃)，长期冰冻(-20℃或-80～70℃) 。
全血未经分离，不宜直接冷冻保持。 尿液是很好的细菌生长液，若需收集24小时或更长时间的 样品或不能立即测定的，应置冰箱冷藏或加防腐剂（1%甲苯、 过饱和氯仿等）保存。 注意：避免将样品反复解冻-冷冻-解冻 ——冷冻前分装成若干小份贮存
采取：动物应在代谢笼中进行，通过笼下漏斗接收。
药物可以原型（母体药物）或代谢物及其缀合物形式从尿中
排出。尿中药物大多呈缀合状态，测定前要将缀合的药物游离。
（三）唾液：
优点：样品易得，取样无痛苦，尤易为儿童接收。
缺点：药物浓度变化大
采取：漱口15分钟，收集自然流出或经舌在口内搅动流出
的唾液。也可采取物理、化学方法刺激使唾液流出。
制备：采取后，立即测量除去泡沫部分的体积。
分层→离心→取上清液
（四）组织：
药物动物实验、服用药物过量中毒死亡时使用组织
常用的脏器组织有：胃、肝、肾、心、、肺、脑等 制备：组织样品在测定之前，需先加入一定量水或缓冲液匀浆 均匀化。 处理：沉淀蛋白、酸水解或碱水解 、酶水解（枯草菌溶素）
三、体内样品的贮存
（三）分离与浓集
目的：从大量共存物中分离出所需要的微量组分 方法：
药物缓释系统的体内外评价
药物缓释系统的体内外评价药物缓释系统是一种广泛应用于药物输送领域的技术，它能够控制药物在体内的释放速率，以实现长效治疗或减少药物剂量频次。
因此，对于药物缓释系统的体内外评价变得尤为重要。
本文将就药物缓释系统的体内外评价方法、重要性以及相关研究进行探讨。
一、体内评价方法1. 药物释放试验在体内评价药物缓释系统的性能时，最重要的是确定药物是否可以以预期的速率释放。
药物释放试验通常使用离体释放试验和体外/体内药物释放动力学模型来进行。
离体释放试验是一种常用的评估药物缓释系统释放性能的方法。
在实验中，药物缓释系统被置于适当的缓冲介质中，通过采集样品并测量药物浓度来评估药物释放速率。
体外/体内药物释放动力学模型是一种更贴近实际的体内释放评价方法。
这种方法通过使用动力学方程模拟药物在体内的释放行为，结合体外实验数据，可以提供更准确的药物释放速率及释放机制信息。
2. 药物代谢和负荷监测为了评价药物缓释系统在体内的药物释放效果，需要同时对药物的代谢和负荷进行监测。
通过采集体内样品，如血液、尿液等，可以监测药物浓度的变化以及相关的药物代谢产物。
3. 影像学评价某些情况下，药物缓释系统的体内评价可以通过影像学方法进行，如放射性示踪剂技术、磁共振成像等。
这些方法可以帮助观察药物缓释系统在体内的分布、药物释放位置以及释放速率等信息。
二、重要性药物缓释系统的体内外评价对于药物研发和临床应用都具有重要意义。
1. 导向药物设计通过对药物缓释系统的体内评价，可以了解药物在体内的释放规律，进而指导药物的设计。
合理的药物缓释系统可以提高药物的治疗效果，降低剂量频次，减轻患者的痛苦和不适。
2. 评估药物安全性药物缓释系统的体内外评价也能够帮助评估药物的安全性。
通过监测药物浓度的变化以及相关的代谢产物，可以确定药物的代谢途径和药物的副作用。
3. 改进药物疗效通过对药物缓释系统的体内评价，有助于了解药物的释放速率和释放位置是否符合治疗要求。
药理
1）、兴奋性改变：
(1)兴奋性：指机体感受刺激产生反应的能力。
兴奋（亢进）：使机体器官原有功能的提高。
抑制（麻痹）使机体器官原有功能降低。过度兴奋转入衰竭，是另外一种性质的抑制。
(2)兴奋药：使兴奋性增高，功能增强, 如尼可刹米兴奋呼吸指数使呼吸增强。
第一章 药理学总论--绪言
熟悉药理学的性质和任务。了解药理学的发展历程。
一.药理学的研究对象及学科任务
药物：指用以防治及诊断疾病的物质，凡能影响机体器官生理功能及（或）细胞代谢活动的化学物质都属于药物范畴，也包括避孕药及保健药。
药理学：研究药物与机体（包括病原体）相互作用的规律及其原理的科学。
清除率（clearance）：单位时间内有多少毫升血浆中所含药物被机体清除。
最大效应（maximal effect）：随着剂量和浓度的增加，药效也随之增加，当效应增加到一定程度后，若继续增加药物浓度或剂量而其效应不再继续增加，这一药理效应的极限称为最大效应。
效价效应量）的相对浓度或剂量，其值越小则强度越大。
（2）赫氏反应：表现为全身不适，寒战，发热，咽痛，肌痛，心跳加快等症状
（3）其他 肌注可产生局部疼痛，红肿或硬结；剂量过大或静脉给药过快时可对大脑皮层产生直接刺激作用，鞘内注射可引起脑膜或神经刺激症状；大剂量青霉素钾盐或钠盐静滴可引起明显的水电解质紊乱，特别是在肾功能下降的病人可引起高钾血症或高钠血症，甚至引起心脏功能抑制。
３．18世纪后期英国工业革命带动了自然科学的发展。其中有机化学的发展为药理学提供了物质基础，从植物药中得到纯度较高活性成分的药物，如依米丁、奎宁、士的宁、可卡因等。以后始人工合成新药，如德国微生物学家P.Ehrlich筛选出治疗梅毒有效的新胂凡纳明(914)。
医用高等数学试题
医用高等数学试题1. 建模与微分方程某医院整理了一组病人的实验数据，发现他们在被注射某种药物后，体内药物浓度的变化可以用以下微分方程描述：\[ \frac{{dC}}{{dt}} = -kC \]其中，\( C \) 表示病人体内的药物浓度，\( t \) 表示时间，\( k \) 为常数。
请回答以下问题：a) 请解释该微分方程中各个参数的物理含义，并说明其单位。
b) 利用该微分方程及已知条件，求解出药物浓度 \( C \) 与时间 \( t \) 的关系式。
c) 若某位病人的初始药物浓度为 100 mg/L，且经过 2 小时后浓度下降至 50 mg/L，请计算该药物的半衰期。
2. 曲线拟合与概率某药物在人体内的分布情况可以用以下方程描述：\[ C(t) = \frac{{A \cdot e^{-k_1 \cdot t}}}{{1 + k_2 \cdot t}} \]其中，\( C(t) \) 为药物浓度，\( t \) 为时间，而 \( A \)，\( k_1 \)，\( k_2 \) 均为常数。
某研究小组通过实验得到了一组药物浓度的数据，并希望通过曲线拟合来估计未知的参数值。
请回答以下问题：a) 解释方程中各个参数的物理含义，并说明其单位。
b) 利用已有的实验数据，通过最小二乘法拟合曲线，求解未知参数的数值，并给出拟合的曲线方程。
c) 对于拟合得到的曲线方程，若药物浓度 \( C(t) \) 达到峰值后开始下降，在什么条件下浓度可以收敛到接近零的稳定值？3. 概率与统计某医院对一种特定疾病的诊断准确率进行了研究。
根据数据统计，一个人真正患有该疾病的概率为 0.05，而经过医院的诊断，诊断结果显示该人患有该疾病的概率为 0.98。
进一步，研究还发现该医院通过这种诊断方法错误地将一些没有该疾病的人诊断为患有该疾病，错误率为 0.03。
请回答以下问题：a) 若一个人在该医院被诊断患有该疾病，那么他真正患有该疾病的概率是多少？b) 若一个人在该医院被诊断不患有该疾病，那么他实际上可能患有该疾病的概率是多少？c) 利用统计学相关知识，你认为在这种情况下，该医院的诊断方法的可靠性如何评价？有何改进的建议？4. 误差分析与可行性研究某医疗设备用于测量患者体内某种物质的浓度，设备测得的浓度值与实际浓度存在误差。
各药物在体内各组织的浓度
维酸、替卡西林/克拉维酸、哌拉西林/三唑
巴坦、氯霉素、两性霉素B、异烟肼、甲硝
唑、伊曲康唑口服液
可应用，治疗量需减少
肾
功 青霉素、羧苄西林、阿洛西林、头孢唑
能 啉、头孢噻吩、头孢氨苄、头孢拉定、
减 退
头孢呋辛、头孢西丁、头孢他啶、头孢 唑肟、头孢吡肟、氨曲南、亚胺培南/西 司他丁、美罗培南、氧氟沙星、左氧氟
炎症时脑 脊液中浓 度不高
苄星青霉素、链霉素、庆大霉素、妥布霉 素、大环内酯类、林可霉素、氯林可霉素、 褐霉素、多粘菌素、二性霉素B、酮康唑
可应用，按原治疗量或略减量
肾
功 红霉素、阿奇霉素等大环内酯类、利福平、
能 克林霉素、多西环素、氨苄西林、阿莫西
减 退
林、哌拉西林、美洛西林、苯唑西林、头 孢哌酮、头孢曲松、头孢噻肟、头孢哌酮/ 舒巴坦、氨苄西林/舒巴坦、阿莫西林/克拉
胆汁中浓度较 高(胆汁浓度 高于血浓度的 倍数)
氨苄青霉素(1～2)硫苯咪唑 青霉素(10)乙氧萘青素(40)氧 哌嗪青霉素(10～15)头孢羟 唑(3～4)头孢唑啉(3)头孢雷 特(2.7) 头霉甲氧噻吩(2.8)头孢哌酮 (8～12)头孢甲肟(2.5～3)头 孢三嗪(10)噻肟单酰胺菌素 (1～2)四环素(5～10)强力霉 素(10～20)红霉素(8～25)氯 林可霉素(2.5～3)利福平(100) 环丙沙星(8)
红霉素、四环素、强力 霉素、甲砜霉素、复方 新诺明、氟喹诺酮类、 利福平、抗菌增效剂、 头孢二代、头孢三代
乳汁中浓度较 高(＞血浓度 的50%)
胆汁中浓 度较高
氨苄青霉素、羧苄青霉 素、氨基糖甙类、氯霉 素、氯林可霉素、红霉 素、四环素、磺胺类、 异烟肼、甲硝唑
美洛西林、哌拉西林、头 孢孟多、头孢唑林、头孢 西丁、头孢哌酮、头孢曲 松、氨曲南、红霉素、克 林霉素、环丙沙星
药物代谢动力学参数
药物血浆蛋白结合的特点
1．以白蛋白为主。
2．结合型药物无药理活性(暂时)。
3．结合是可逆的：结合具有饱和性，达饱和后，继续增加药物剂量，可使游离药物浓度迅速增加，引起毒性反应。
4．竞争性抑制现象：药物与血浆蛋白结合特异性较低，而与药物结合的血浆蛋白结合位点有限，两个药物可能竞争与同一个蛋白结合而发生置换现象，使其中一种或两种游离药物浓度增高，使药理作用增强或中毒。
药物不良反应及其分类
不良反应：指不符合用药目的并为病人带来不适或痛苦的反应，包括副作用、毒性反应、后遗效应、停药反应、变态反应、继发反应、特异质反应等。
1．副作用在治疗剂量下发生的与治疗目的无关的作用。由于药物的广泛作用引起，单用难以避免。
2．毒性反应长期或大量应用时，药理作用过强引起的伤害性反应(可避免)；
急性毒性反应：可测LD50；
慢性毒性反应(蓄积中毒)：长期毒性试验；
特殊毒性反应：致畸、致癌、致细胞突变作用；长期应用应用引起胎儿畸形、组织恶变和细胞突变。
药物代谢动力学参数
1．血药浓度一时间曲线下面积：以时间为横坐标，血药浓度为纵坐标得到反映血浆药物浓度动态变化的曲线，曲线与坐标轴围成的面积称为血药浓度一时间曲线下面积，反映药物在体内的吸收、分布、代谢和排泄过程。
2．峰浓度：为血药浓度的峰值；与给药剂量成正比。
3．达峰时间：为达到峰浓度所需要的时间；与吸收和消除速率有关。
7．效能药物与受体结合产生效应的能力，用最大效应表示，也称效能。
8．半数有效量ED50对半数动物有效的剂量。
药物的体内过程
(二)影响分布的因素
1.药物的理化性质和体液pH 2.药物与血浆蛋白的结合 3.药物与组织的亲和力 4.血脑屏障与胎盘屏障 5.体重与药物分布浓度的关系
三、药物的代谢及影响因素
药物的代谢是指药物在体内发生 的化学变化过程。多数药物经过代谢 后失去活性，并转化为极性高的水溶 性代谢物而利于排出体外。也有些药 物在体内几乎不被代谢，以原形药物 排出。
3.吸收环境
口服给药时，胃的排空功能、肠蠕动的快 慢、pH值、肠内容物的多少和性质均可 影响药物的吸收。如胃排空迟缓、肠蠕动 过快或肠内容物多等均不利于药物的吸收。
二、药物的分布及影响因素
(一)药物的分布
药物被吸收之后，经血液循环到 达各组织器官的过程称为分布。药 物在体内的分布是不均匀的，血流 丰富的组织，药物分布得快而且量 多。一般地说，药物的分布与药物 作用关系密切，分布浓度高者，药 物在此部位的作用也较强，但有的 药物并非如此，如吗啡作用于中枢， 却大量分布于肝；强心甙作用于心 脏，却主要分布于骨骼肌和肝。
第五节 药物的体内过程
药物的体内过程表现为药物 在体内的吸收、分布、代谢和排 泄四个阶段，生物转化和排泄又 合称为消除，它们可影响血浆中 药物的浓度，直接表现为药物作 用随时间变化的规律。
一、药物的吸收及影响因素
(一)吸收 药物从给药部位进入血液循环的过程
称为吸收。其吸收快、慢、难、易，可 受多种因素影响。 1.消化道的吸收 （1）口服给药 这是最常用的给药方法。 因此，有些口服的药物在首次通过肝时 即发生转化灭活，使进入体循环的药量 减少、药效降低，这种现象称为首过效 应。首过效应较多的药物不宜口服给药。
3.乳汁排泄
药物经简单扩散的方式自乳汁排 泄。由于乳汁略呈酸性，又富含脂质， 所以脂溶性高的药物和弱碱性药物如 吗啡、阿托品等可自乳汁排出，故授 乳妇女用药应予注意，以免对婴幼儿 引起不良反应。
药物在体内的分布(1)
k
Vk
t
Vk
设 得为出对。T于2，其多则后次在T点2第时滴一间体，类的不次内内似情同设的可况。点为点初讨 ， 第滴情滴始论 区 二称结况时药以 别 次为束1物间后 只 点稳。时态浓各 在 滴为故血度次 初 起病T药：不点 值 ，1人，浓为滴 上 患体度两零时 的 者内次。的点药滴物之浓间度的可间由隔上时式间
dx dt
出
kx
假设药物均匀分布
环境
药物的输入规律与给药的方式有
关。下面，我们来研究一下在几种常 d x
机体
见的给药方式下体内药体的变化规律。 d
t
入
x (t)
dx d t 出
药物总量 图3-8
情况1 快速静脉注射
在快速静脉注射时，总量为D的药物在瞬间被注入体内。
设机体的体积为V，则我们可以近似地将系统看成初始总量为
我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度C(t)，当然也容
易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据 不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。
图3-9
新药品、新疫苗在临床应用前必须经过较长时间的基础研究、小 量试制、中间试验、专业机构评审及临床研究。当一种新药品、新疫 苗研制出来后，研究人员必须用大量实验搞清它是否真的有用，如何 使用才能发挥最大效用，提供给医生治病时参考。在实验中研究人员 要测定模型中的各种参数，搞清血药浓度的变化规律，根据疾病的特 点找出最佳治疗方案（包括给药方式、最佳剂量、给药间隔时间及给 药次数等），这些研究与试验据估计最少也需要数年时间。在2003 年春夏之交的SARS（非典）流行期内，有些人希望医药部门能赶快 拿出一种能治疗SARS的良药或预防SARS的有效疫苗来，但这只能 是一种空想。SARS的突如其来，形成了“外行不懂、内行陌生”的 情况。国内权威机构一度曾认为这是“衣原体”引起的肺炎，可以用 抗生素控制和治疗。但事实上，抗生素类药物对SARS的控制与治疗 丝毫不起作用。以钟南山院士为首的广东省专家并不迷信权威，坚持 认为SARS是病毒感染引起的肺炎，两个月后（4月16日），世界卫 生组织正式确认SARS是冠状病毒的一个变种引起的非典型性肺炎 （注：这种确认并非是由权威机构定义的，而是经对猩猩的多次实验 证实的）。发现病原体尚且如此不易，要攻克难关，找到治疗、预防 的办法当然就更困难了，企图几个月解决问题注定只能是一种不切实 际的幻想。
主要研究药物的体内过程及体内药物浓度随时间变化的规律
二、载体转运 特点：需要载体参与,故有饱和限
速及竞争抑制.
〔一〕主动转运〔active transport〕
特点：〔1〕药物逆浓度差转运 〔2〕耗能 〔3〕需要载体 〔4〕有饱和限速及竞
争性抑制
主动转运方式影响药物的排泄较 大,与药物的吸收关系不大.如青霉素 从肾小管的主动排泌等都属于这种转 运类型.与丙磺舒合用时,可发生竞争 性抑制.
图3-8 血管外单次用药的时间-药物浓度曲线图
mg/l
血
药 浓
最低中毒浓度
度
药峰浓度
安 全
范
围
最低有效浓度
转化排泄过程
潜伏期
药峰时间 持续期
残留期
时间
一次给药的药时曲线
二、药物消除类型
药物消除：指生物转化和排泄的统称.
一级动力学消除〔恒比消除〕：单位时 间内按血药浓度的恒比进行消除.消除 速度与血药浓度成正比.
吸收
药物
中央室
消除
分布
周边室
四、药动学的主要参数
〔一〕药峰时间〔Tmax〕和药峰浓度〔Cmax〕
药峰时间是指用药以后,血药浓度达到峰值所 需的时间.药峰浓度是指用药后所能达到的最高血 药浓度.
〔二〕时量曲线下面积AUC〕
是指由坐标横轴与时-药浓度曲线围成的 面积.它代表一段时间内,血液中的药物的相 对累积量,也是研究药物制剂的一个重要指 标.
三、房室模型的基本概念
房室模型：药代动力学研究中采用的一种 数学模型.
1. 一室开放模型：是假定机体是由一个房 室组成,且药物在其中的消除速率也始终一 致的模型.即给药后,药物可立即均匀分布 到全身,并以一定速度再从中消除.
2. 二室开放模型
药物浓度在人体内的变化
血液中药物浓度的动态变化一、摘要将人体看作中心室，室内血药浓度是均匀的。
点滴静脉注射后，浓度立即上升；然后迅速下降。
当浓度太低时，达不到预期的治疗效果；当浓度太高，又可能导致药物中毒或副作用太强。
临床上，每种药物有一个最小有效浓度c1和一个最大有效浓度c2。
设计给药方案时，要使血药浓度保持在c1~c2之间。
在已给的点滴静脉注射的给药方式下，拟合出血药浓度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律，其为指数变化，w(t)=（D/v)*exp（-b*t）且（b=c/v；c>0）关键词：血药浓度拟合二、问题重述对病人注射某种药物时，由于注射药物的时间过长，体内的血液总量视为不变的；假设注射的速率为kmg/min，人体吸收和排泄引起血液中药物的减少率正比于药物的浓度，试建立数学模型说明血液中药物浓度动态。
三、问题分析（1）吸收方面:点滴注射药物的摄入量；（2）排泄方面：①在人体点滴注射药物前，通过皮试说明患者对该药剂不过敏，所以体内就含有一定量的该药物。
②在静脉注射时，随着血液循环，伴随着与病菌有关的一系列新陈代谢从而反应消耗掉一部分药物。
③在注射这段时间中，人可能会在输液过程中去上厕所，从而随着尿液排出一定的药物。
四、问题假设为简化问题的研究，我们给出如下的假设：（1）将人体看作中心室，室内血药浓度是均匀的。
（2）人体在整个输液过程中血液总量保持不变，计为v.(3)通过皮试说明患者对该药剂不过敏，所以体内就含有一定量的该药物。
设为D（4）由于点滴注射时间相当长，以至于血液中药物浓度随时间的增减变化过程可以认为是连续的，并且是充分光滑的。
w=w(t)表示时刻t血液中的药物浓度。
在初始时刻t0=0,w(0)=D/v(5)假设与病菌有关的一系列新陈代谢从而反应消耗掉一部分药物不计。
（6）假设中途上厕所排泄少量的药物也不计。
（7）假设单位时间内毛孔排出的药物量计为r。
（8）同理假设单位时间通过呼吸排出药物的量为p。
药物稳态浓度
药物稳态浓度
药物稳态浓度是指在多次给药后，经过一定时间，药物在体内的浓度达到一个相对稳定的水平。
此时，药物的消除速度与给药速度相等，血药浓度在一定范围内波动。
药物稳态浓度的形成是一个时间依赖性的过程。
一般来说，在首次给药后，药物在体内会经历一个吸收、分布和消除的过程。
随着给药次数的增加，药物在体内逐渐积累，直到达到一个稳定的状态。
这个过程通常需要经过 4-5 个半衰期。
药物稳态浓度的意义在于它可以提供一个稳定的药物暴露水平，从而更好地预测药物的治疗效果和不良反应。
稳态浓度还可以帮助医生调整给药剂量和频率，以达到最佳的治疗效果。
需要注意的是，药物稳态浓度并非一成不变的，它会受到许多因素的影响，如药物的清除率、给药剂量、给药间隔、个体差异等。
因此，在临床实践中，需要根据患者的具体情况和药物的特性来调整给药方案。
总之，药物稳态浓度是评估药物治疗效果和安全性的重要指标之一，对于合理用药和个体化治疗具有重要意义。
体内药物浓度的变化
体内药物浓度的变化体内药物浓度的变化摘要本⽂研究体内药物浓度变化的相关问题。
在这个问题的研究中，我们采⽤了典型的房室模型。
将⼈体看作是⼀个单房室系统，并且针对⼏种不同的给药⽅式分别进⾏了讨论：针对第⼀种⼀次性给药的⽅式，将⼈体看作是只输出不输⼊的房室模型，第⼀次给药之后就不再有输⼊，从⽽构建常微分⽅程来求解；针对第⼆种等间隔服药的情况，药物以近似脉冲的⽅式进⼊⼈体，从⽽构建常微分⽅程来求解；针对第三种恒速静脉点滴的情况，药物以近似恒速的⽅式进⼊⼈体，从⽽构建常微分⽅程来求解。
在各步骤的求解中，都是将⼈体看做房室模型，通过构造常微分⽅程来模拟求解关键词：药物浓度变化房室模型常微分⽅程⼀、问题重述医⽣给病⼈开处⽅时必须注明两点:服药的剂量和服药的时间间隔.超剂量的药品会对⾝体产⽣严重不良后果,甚⾄死亡,⽽剂量不⾜,则不能达到治病的⽬的.已知患者服药后,随时间推移,药品在体内逐渐被吸收,发⽣⽣化反应,也就是体内药品的浓度逐渐降低.药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正⽐.当服药量为A、服药间隔为T,试分析体内药的浓度随时间的变化规律.体内药物浓度的变化问题是分析病⼈进药之后，药物在体内被吸收，药物浓度在⾎液之中含量上升，⽽作⽤在⼈⾝之后时间段内药物浓度在体内变化的情况。
讨论问题：1、⼀次性注射的情况下，药物浓度在⼈体内如何变化?2、等间隔服药的情况下，药物浓度在⼈体内如何变化？3、恒速静脉点滴的情况下，药物浓度在⼈体内如何变化？⼆、问题分析实际上，体内药物浓度的变化是⼀个很复杂的问题，涉及到很多因素。
在本⽂讨论的⽅法中，主要采⽤的是房室模型，就是忽略诸多的次要因素，只考虑⼀些最重要的影响作⽤最⼤的因素，以此来简化问题。
药物进⼊机体之后形成⾎药浓度(单位体积⾎液的药物量)，在给药⽅案的设计中，应该使药物浓度始终保持在⼀个合适的有效范围内，既使药物浓度达到⼀个最有效的⽔平，⼜可以防⽌浓度过⾼⽽对⼈产⽣副作⽤。
血药浓度问题
血药浓度问题(1)2013年闽南师范大学大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《2013年闽南师范大学大学生数学建模竞赛的选手须知》。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们的竞赛编号为：130148我们的选择题号为： B参赛队员（打印并签名）：队员1：陈怡萍队员2：卓碧连队员3：林炳伟评阅编号：2013年闽南师范大学大学生数学建模竞赛组委会血药浓度问题一、摘要药物在血液中的浓度，即单位体积血液中药物含量（纳克/毫升，1纳克=910-克），简称血药浓度。
药物经口服而进入体内，因代谢而逐步消除药物。
大量的临床实践表明，相同剂量的药物对人不同人有不同疗效。
而药物作用的强度与药物在血浆中的浓度成正比，药物在体内的浓度随着时间而变化。
此建模通过检测部分时间的血药浓度，结合药物代谢动力学的部分公式（），以及问题中的数据可推算出口服一定药物后的最高血药浓度Cmax。
随代谢的进行，体内的血药浓度会逐渐降低，当血药浓度降低到一定值时，为保证药效需要再次服药，模型中给出第二次服药与第一次服药的时间间隔以及第二次服药的药剂量，为病人的再次服药提供了好的参考。
模型中还给出了24小时之内的血药浓度曲线，可以直观地看出血药浓度的变化情况。
二、问题重述10-药物在血液中的浓度，即单位体积血液中药物含量（纳克/毫升，1纳克=9克），简称血药浓度，随着时间而变化。
血药浓度的大小直接影响到药物的疗效。
因此，研究药物在体内吸收、分布和排除的动态过程对于临床医学的发展具有重要的指导意义和实用价值。
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体内药物浓度的变化摘要本文研究体内药物浓度变化的相关问题。
在这个问题的研究中，我们采用了典型的房室模型。
将人体看作是一个单房室系统，并且针对几种不同的给药方式分别进行了讨论：针对第一种一次性给药的方式，将人体看作是只输出不输入的房室模型，第一次给药之后就不再有输入，从而构建常微分方程来求解；针对第二种等间隔服药的情况，药物以近似脉冲的方式进入人体，从而构建常微分方程来求解；针对第三种恒速静脉点滴的情况，药物以近似恒速的方式进入人体，从而构建常微分方程来求解。
在各步骤的求解中，都是将人体看做房室模型，通过构造常微分方程来模拟求解关键词：药物浓度变化房室模型常微分方程一、问题重述医生给病人开处方时必须注明两点:服药的剂量和服药的时间间隔.超剂量的药品会对身体产生严重不良后果,甚至死亡,而剂量不足,则不能达到治病的目的.已知患者服药后,随时间推移,药品在体内逐渐被吸收,发生生化反应,也就是体内药品的浓度逐渐降低.药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比.当服药量为A、服药间隔为T,试分析体内药的浓度随时间的变化规律.体内药物浓度的变化问题是分析病人进药之后，药物在体内被吸收，药物浓度在血液之中含量上升，而作用在人身之后时间段内药物浓度在体内变化的情况。
讨论问题：1、一次性注射的情况下，药物浓度在人体内如何变化?2、等间隔服药的情况下，药物浓度在人体内如何变化？3、恒速静脉点滴的情况下，药物浓度在人体内如何变化？二、问题分析实际上，体内药物浓度的变化是一个很复杂的问题，涉及到很多因素。
在本文讨论的方法中，主要采用的是房室模型，就是忽略诸多的次要因素，只考虑一些最重要的影响作用最大的因素，以此来简化问题。
药物进入机体之后形成血药浓度(单位体积血液的药物量)，在给药方案的设计中，应该使药物浓度始终保持在一个合适的有效范围内，既使药物浓度达到一个最有效的水平，又可以防止浓度过高而对人产生副作用。
我们借鉴药物动力学中的有关知识，建立房室模型，模拟药物在体内吸收、分布和排除过程，我们建立的房室模型属于机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移，利用这些规律来对问题进行模拟求解。
确定了以上这些基本问题之后，就通过高等数学中的常微分方程来模拟药物浓度在体内的变化。
三、模型假设1、假设药物的分解排出速率与药物当前的浓度成正比；2、假设药物从服用到到达体液的过程中没有损失，即被完全吸收；3、假设药物在人体的体液中是均匀分布的；四、符号说明x(t) t 时刻人体内的药物浓度值 v(t) t 时刻人体内药物消耗速率k 药物消耗速率与人体内药物浓度的比例系数 A 每次的注射量v 0 恒速静脉点滴时体内药物浓度的增量 T 每次等间隔服药的时间五、模型建立假设注射药物后完全吸收，那么每次增量就是a ，随着时间的推移，药物浓度会下降，若一次性注射则药物递降至无，若等间隔服药则药物浓度会在服药期上升，若恒速注射则药物浓度可能最终恒速变化。
一次注射药物后，体内浓度为a ，此时为零时刻 则： x(0)=a根据药物在人体内的消耗与人体内药物浓度成正比，列出方程v dtx=d v=kx(t) 得：)(d t kx dtx= 求解上述方程： x （t ）=C*kte将x(0)=a 代入得C=a因此一次服药后浓度变化方程为kte a t x *)(=六、模型分析分三种情况来对模型进行分析：1、一次性注射的情况：一次性注射情况即最简单的服药模型，如同上述解答，那么我们将代入实际数值来用Matlab 模拟作图令a=0.1，k=-0.1，代入作图 执行程序结果如下：102030405060708000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1上图即一次性服药情况下，人体内药物浓度的变化曲线。
从图中可以看出，随着时间的推移，人体内的药物浓度最终会为0。
2、等间隔服药的情况：考虑到等间隔服药的脉冲性得到： 其中T 为每次服药之间的间隔时间nT t kx dt dx≠-=,)()(,)0(-+==nT x a nT x a x在区间[nT,(n+1)T]上求解方程得到])1(,[,)()()(T n nT t e nT x t x nT t k +∈=--在0≤t ＜T 内，方程的解为T t 0,)(＜≤=-kt ae t x在T ≤t ＜2T 内，方程的解为T T e ae a t x T t k kT 2t ,)()()(＜≤+=---在T T 3t 2＜≤内，方程的解为 T e ae ae a t x T t k kt kt 3t 2,)()()2(2＜≤++=----……在T n nT )1(t +≤＜内，方程的解为T n nT e ae ae ae a t x nT t k nkT kt kt )1(t ,)()()(2+≤+⋯⋯+++=-----＜由于kT kT T n k nkTktkte ae e a aeaeaea --+-----→--=+⋯⋯+++111)1(2由此看出，在等间隔服药的情况下，药物的浓度在人体中呈上升趋势，且最后会稳定在一定的水平，当T=8，k=0.1，a=0.1时，利用Matlab 编程得出数值计算结果如下：运算得到体内药物的浓度应该维持在0.0817-0.1816的浓度范围。
运算得到的示意图如下：0204060801001203、静脉恒速注射的情况：静脉恒速注射时，药物会以一定速率v 0持续注射到人体内，则人体内药物浓度的变化率会有变化，列出方程：0v )(d +=t kx dtx解上述方程得：X=(a+k v 0)* kt e —kv 0 利用Matlab 编程模拟得出如下图形：0204060801001201401601802000.020.040.060.080.10.12从模拟出的图形中可以看出，随着时间的推移，药物浓度会逐渐上升，但是最终会达到一个恒定的浓度，针对这个模型，得出的最终药物浓度维持在0.1而不再变化，这个浓度显然是和滴定的速率是有关的。
七、模型检验1、一次性注射的情况，查阅文献资料的到如下的数据： 此为单次静脉给药PS916血液浓度的观测数据：据此绘出如下图形：比较得，与建立的模型模拟出的一次性服药的情况类似，模型的模拟性较好。
2、等间隔服药模型的检验：查阅文献资料得到等间隔给药后体内药物弄度的变化如下图：与所建立的数学模型进行比较可以看出模型的符合度较高。
3、恒速静脉滴注的模型检验：查阅文献资料得到：m）L-HOP和GEM后血浆中浓度的测定：肝肿瘤患者静脉恒速滴注高剂量（130mg/2将数据进行绘图得到：可以看出在一定时间以后，药物的浓度就稳定，与上面所建立的数学模型符合较好。
八、模型优缺点上文的讨论都是将人体看作是一个较为简单的房室模型，从而将问题简化而忽略诸多的次要因素，只考虑主要因素对人体内药物浓度变化的影响。
这种方法有利于对主要因素的研究从而较易的观察总结规律。
但是实际上人体的实际情况远远要比这种房室模型复杂的多，药物进入血液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交换进入各个器官，而并不是单一的简单的输出和输入。
因此，要建立更接近实际情况的数学模型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关系，这就需要多房室系统模型。
九、参考文献[1]周义仓等，数学建模实验，西安交通大学出版社，第2版，2007年8月。
[2]朱旭等，MATLAB 软件与基础数学实验，西安交通大学出版社，2008年1月。
[3]宋晓坤，奥沙利铂腹腔热灌注安全性考察及药代动力学研究，天津医科大学，2008年5月。
[4]吕志华，海洋多糖药物PS916的荧光标记及其药代动力学研究，中国海洋大学，2008年6月。
[5]陆佳契，髂内动脉灌注甲氨蝶呤在大鼠体内各组织药物浓度监测，复旦大学，2007年4月。
十、附录1、一次性注射情况的程序： t=0:0.1:80x=0.1*exp((-0.1)*t) plot(t,x,'linewidth',2) 运行后的图形如下：102030405060708000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.12、等间隔服药的情况程序： a=0.1 T=8k=0.1n=0q=ap=exp(-k*n*T)t=0;x=ahold onwhile t<100t=t+0.01;if t<(n+1)*Tx=x*exp(-0.01*k)elseif t>=(n+1)*Tn=n+1q=q+a*exp(-n*k*T)p=p*exp(k*T)x=p*q*exp(-k*t)endplot(t,x)end运行后得出的图形如下：0204060801001203、静脉恒速注射情况的程序：v0=0.01k=0.1t=0:0.1:200x=v0/k-0.1*exp(-k*t)plot(t,x)axis([0 200 0 0.12])运行后的图形如下：02040608010012014016018020000.020.040.060.080.10.12（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。