体内药物浓度的变化

体内药物浓度的变化

摘要

本文研究体内药物浓度变化的相关问题。

在这个问题的研究中，我们采用了典型的房室模型。将人体看作是一个单房室系统，并且针对几种不同的给药方式分别进行了讨论：

针对第一种一次性给药的方式，将人体看作是只输出不输入的房室模型，第一次给药之后就不再有输入，从而构建常微分方程来求解；

针对第二种等间隔服药的情况，药物以近似脉冲的方式进入人体，从而构建常微分方程来求解；

针对第三种恒速静脉点滴的情况，药物以近似恒速的方式进入人体，从而构建常微分方程来求解。

在各步骤的求解中，都是将人体看做房室模型，通过构造常微分方程来模拟求解

关键词：药物浓度变化房室模型常微分方程

一、问题重述

医生给病人开处方时必须注明两点:服药的剂量和服药的时间间隔.超剂量的药品会对身体产生严重不良后果,甚至死亡,而剂量不足,则不能达到治病的目的.已知患者服药后,随时间推移,药品在体内逐渐被吸收,发生生化反应,也就是体内药品的浓度逐渐降低.药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比.当服药量为A、服药间隔为T,试分析体内药的浓度随时间的变化规律.

体内药物浓度的变化问题是分析病人进药之后，药物在体内被吸收，药物浓度在血液之中含量上升，而作用在人身之后时间段内药物浓度在体内变化的情况。

讨论问题：

1、一次性注射的情况下，药物浓度在人体内如何变化?

2、等间隔服药的情况下，药物浓度在人体内如何变化？

3、恒速静脉点滴的情况下，药物浓度在人体内如何变化？

二、问题分析

实际上，体内药物浓度的变化是一个很复杂的问题，涉及到很多因素。在本文讨论的方法中，主要采用的是房室模型，就是忽略诸多的次要因素，只考虑一些最重要的影响作用最大的因素，以此来简化问题。

药物进入机体之后形成血药浓度(单位体积血液的药物量)，在给药方案的设计中，应该使药物浓度始终保持在一个合适的有效范围内，既使药物浓度达到一个最有效的水平，又可以防止浓度过高而对人产生副作用。我们借鉴药物动力学中的有关知识，建立房室模型，模拟药物在体内吸收、分布和排除过程，我们建立的房室模型属于机体的一部分，药物在一个

房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移

，利用这些规律来对问题进行模拟求解。 确定了以上这些基本问题之后，就通过高等数学中的常微分方程来模拟药物浓度在体内的变化。

三、模型假设

1、假设药物的分解排出速率与药物当前的浓度成正比；

2、假设药物从服用到到达体液的过程中没有损失，即被完全吸收；

3、假设药物在人体的体液中是均匀分布的；

四、符号说明

x(t) t 时刻人体内的药物浓度值 v(t) t 时刻人体内药物消耗速率

k 药物消耗速率与人体内药物浓度的比例系数 A 每次的注射量

v 0 恒速静脉点滴时体内药物浓度的增量 T 每次等间隔服药的时间

五、模型建立

假设注射药物后完全吸收，那么每次增量就是a ，随着时间的推移，药物浓度会下降，若一次性注射则药物递降至无，若等间隔服药则药物浓度会在服药期上升，若恒速注射则药物浓度可能最终恒速变化。

一次注射药物后，体内浓度为a ，此时为零时刻 则： x(0)=a

根据药物在人体内的消耗与人体内药物浓度成正比，列出方程

v dt

x

=d v=kx(t) 得：

)(d t kx dt

x

= 求解上述方程： x （t ）=C*kt

e

将x(0)=a 代入得C=a

因此一次服药后浓度变化方程为kt

e a t x *)(=

六、模型分析

分三种情况来对模型进行分析：

1、一次性注射的情况：

一次性注射情况即最简单的服药模型，如同上述解答，那么我们将代入实际数值来用Matlab 模拟作图

令a=0.1，k=-0.1，代入作图 执行程序结果如下：

10

20

30

40

50

60

70

80

00.010.020.030.040.050.060.070.080.09

0.1

上图即一次性服药情况下，人体内药物浓度的变化曲线。从图中可以看出，随着时间的推移，人体内的药物浓度最终会为0。

2、等间隔服药的情况：

考虑到等间隔服药的脉冲性得到： 其中T 为每次服药之间的间隔时间

nT t kx dt dx

≠-=,

)()(,)0(-+==nT x a nT x a x

在区间[nT,(n+1)T]上求解方程得到

])1(,[,)()()(T n nT t e nT x t x nT t k +∈=--

在0≤t ＜T 内，方程的解为

T t 0,)(＜≤=-kt ae t x

在T ≤t ＜2T 内，方程的解为

T T e ae a t x T t k kT 2t ,)()()(＜≤+=---

在T T 3t 2＜

≤内，方程的解为 T e ae ae a t x T t k kt kt 3t 2,)()()2(2＜≤++=----

……在T n nT )1(t +≤＜内，方程的解为

T n nT e ae ae ae a t x nT t k nkT kt kt )1(t ,)()()(2+≤+⋯⋯+++=-----＜

由于

kT kT T n k nkT

kt

kt

e a

e e a ae

ae

ae

a --+-----→

--=+⋯⋯+++111)1(2

由此看出，在等间隔服药的情况下，药物的浓度在人体中呈上升趋势，且最后会稳定

在一定的水平，当T=8，k=0.1，a=0.1时，利用Matlab 编程得出数值计算结果如下：

运算得到体内药物的浓度应该维持在0.0817-0.1816的浓度范围。 运算得到的示意图如下：

020406080100120