电容和部分电容(静电场)

自学内容：
3.5 静电场的能量和力 3.7 架空地线的作用

作业：
P71 3.2 3.3 3.4 3.6 3.9 3.15
Ckk (k1 k 2 kk kn )
综上所述，多导体系统电荷与电位之间的关系可以通过三种系数 表示，即[]、[]、[C]来表示。C可通过计算得到，也可以直接测量得 到，其主要优点是将场的概念和电路的概念联系起来，静电场问题转化 为静电电容网络问题。
工程上，常引入 等效电容的概念，它是指在多导体静电独立系
矩阵形式
q1 C11U10 C12U12 C1kU1k C1nU1n qk Ck1U k1 Ck 2U k 2 CkkU k 0 CknU kn qn Cn1U n1 Cn 2U n 2 CnkU nk CnnU n 0
21 C12 C21 21 12 11 22 21 ; C11 11 12 21 11 21 C22 21 22
12 22
4. 静电屏蔽
q1 C11U10 C12U12 q2 C21U 21 C22U 20
0号导体 q1 0, U10 0 C12U12 0 C12 0 接地,令
q1 C11U10 ; q2 C22U20
q1只与U10有关， q2只与U20有关，即1号导体与2号 导体之间无静电联系，达到了静电屏蔽的要求。
专题学习
高压送电线路下空间工频电场强度计算
自学与作业
C 4 π 0 a （孤立导体球的电容）
电容的计算
例3-2 两长直圆柱导体的几何轴线重合，它们的 半径分别为R1和R2，两导体间介质为空气。试求 每单位长度内、外导体间的电容。 解：内、外导体间的电场： q E e 2 0 内、外导体间的电压U：

U E dl
l
自有电位系数
kk
k
qk
q j 0 , qk 0
互有电位系数
kj
k
qj
qk 0 , q j 0
电位系数性质
1、由于正电荷所引起的电位均为正，负电荷所引 起的电位均为负，故所有电位系数均为正值； 2、自有电位系数大于与它有关的互有电位系数； 3、电位系数只和导体的几何形状、尺寸、相互位 置以及电介质的介电常数有关。
解：设内导体的电荷为q，则
D dS q ,
S
D
q 4πr
2
er , E
q 4π 0 r
2
er
q 1 1 q ba ( ) 同心导体间的电压 U Edr a 4 π 0 a b 4 π 0 ab

b
球形电容器的电容
b
q 4π 0 ab C U ba
ln b (h a) ln a
多导体系统、部分电容
静电独立系统 — 线性、多导体(三个以上 导体)组成的系统；D线从这个系统中的带 电体发出，并终止于该系统中的其余带电 体，与外界无任何联系，即
q
k 1
n 1
k
0
部分电容
1.已知导体的电荷，求电位和电位系数
以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷的关系为:
电容wenku.baidu.com部分电容
电容
定义
Q C U ( F , μF , pF )
计算电容 Q E U E dl C Q 的步骤 U

电容值的大小将反映两导体能够容纳电荷的能力。 电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导 体周围的介质（介电常数）有关，与Q、Ｕ无关。
试求球形电容器的电容。
10 a0 q0 a1q1 a2 q2
20 b0 q0 b1q1 b2 q2
q0 (q1 q2 )
10 11q1 12 q2
20 21q1 22 q2
以此类推(n+1)个多导体系统只有n个电位 线性独立方程，即:
1 11q1 12 q2 1k qk 1n qn k k1q1 k 2 q2 kk qk kn qn n n1q1 n 2 q2 nk qk nn qn q0 (q1 q2 qk qn )
统中，把两导体作为电容器的两个极板，设在这两个电极间加上已知电 压U，极板上所带电荷q ， q / U 为这两导体的等效电容或工作电容。
静电场问题
静电电容网络
例 :试计算考虑大地影响时，一对架空输电线路的各 个部分电容。如下图所示，已知 a << d, a << h 。
解：根据镜像法，将地面的影响用 镜像电荷-τ1和-τ2代替，然后利用电 轴法，由于a << h，可认为电轴与 导线几何轴线重合，即b=h。
部分电容性质
所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、 尺寸、相互位置及介质的 值有关； 互有部分电容Ckj=Cjk, [C]为对称矩阵； 部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电 力线相连。 C—— 部分电容矩阵，表明导体间电压对导体电荷的贡献；
互有部分电容
自有部分电容
Ck1 k1, Ck 2 k 2 ,, Ckn kn
感应系数
——静电感应系数，表明导体电位对导体电
荷的贡献； kk ——自有静电感应系数，表明导体k上电位 对导体k的电荷贡献； kj ——互有静电感应系数，表明导体j上电位 对导体k电荷的贡献； 的值可以通过给定各导体的电位，求各导体 的电荷来求得。
静电感应系数计算方法
自有感应系数
kk
kk 0
kk kj
jk kj
2.已知带电导体的电位，求电荷和静电感应系数
q 1
1
q1 111 12 2 1k k 1n n qk k11 k 2 2 kk k kn n qn n11 n 2 2 nk k nn n
矩阵形式为
q
电位系数
——电位系数，表明导体电荷对导体电位的
贡献； kk ——自有电位系数，表明导体k上电荷对导 体k电位的贡献； kj ——互有电位系数，表明导体j上电荷对导 体k电位的贡献； 的值可以通过给定各导体电荷,计算各导体的 电位而得。
电位系数计算方法

外层介质的介电常数较小，这样每一层介质所承
受的电场强度比较均匀，使电容器的绝缘性能得 到了改善。
例3-4 试计算不考虑大地影响时的二传输线的电容。设 传输线的轴间距离为2h，导线半径为a。 解：应用电轴法，确定电 轴位置：
b h2 a2
两输电线路表面内侧两点 1和2的电位为： b (h a ) 1 2 ln 2 0 b (h a) 两输电线路间的电压：U 1 2 ln b (h a) 0 b (h a) 两输电线路单 0 0 C 位长度的电容： U b (h a ) 2h
k
qk
qk
q j 0, qk 0
互有感应系数
kj
j
qk 0, q j 0
感应系数性质
(1) kk 0 (2) kj 0 (3) kj 0
j 1 N
1、自有感应系数均为正 值；
2、互有感应系数均为负 值；
3、自有感应系数大于与 它有关的互有感应系数的 绝对值。
R2
R1
单位长度内、外导体间的电容： 2 0 q C U ln( R2 R1 )
R2 Ed ln( ) 2 0 R1 q
电容的计算

对于双层介质的圆柱形电容器中的电场，靠近内 圆柱的介质的最大场强出现在内导体表面处；外 层介质中，最大场强出现在介质分界面上。 对于多层绝缘介质，内层介质的介电常数较大，
(4) kj jk
3.已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容
qk k11 k 22 kkk knn k1 (k 1 ) k 2 (k 2 ) ( k1 k 2 kk kn )k kn ( k n ) Ck1U k1 Ck 2U k 2 CkkU k 0 CknU kn
两导线的电位为（其中 r2 4h 2 d 2 ）
1 2 r2 2h ln( ) ln( ) 11 1 12 2 1 2 a 2 0 d 0 1 ln( r2 ) 2 ln( 2h ) 2 21 1 22 2 2 d 2 a 0 0