必修1：函数的概念和图象(苏教版)
《函数的概念和图象》示范公开课教案【高中数学苏教版】
第5章函数概念与性质5.1 函数的概念和图象第2课时函数的概念和图象1. 了解构成函数的要素；2. 理解函数图象是点的集合，能熟练作出一些初等函数的图象；3.能求简单函数的定义域和值域．教学重点：熟练作出一些初等函数的图象．教学难点：求简单函数的定义域．课件．PPT一、新课导入问题1：1. 函数定义中的“三性”是指哪些？2．函数的三要素是指什么？师生活动：学生先回忆总结，老师补充．预设的答案：1.函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．2.定义域、值域与对应关系．【想一想】初中如何求一个函数中自变量的取值范围的？高中又如何求出函数的定义域？设计意图：承上启下，引入新课．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数的概念和图象．（板书：5.1.1函数的概念和图象）【探究新知】问题2：画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题． (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：抛物线f (x )＝－x 2＋2x ＋3的顶点为(1，4)和x 轴交点为(－1，0)，(3，0)，和y 轴交点为(0，3)得函数图象如图．(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)． (2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． 问题3：如何求函数23()112x f x x x =+-的定义域． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由23()112x f x x x =++-可得：12010x x ->⎧⎨+≠⎩， 解得：12x <，且1x ≠- ， ∴函数23()112x f x x x =+-的定义域为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故答案为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．追问：（1）已知()y f x =的定义域为[0,1]，求函数2(1)y f x =+的定义域；（2）已知(21)y f x =-的定义域为[0,1]，求()y f x =的定义域；预设的答案：（1）∵2(1)y f x =+中的21x +的范围与()y f x =中的x 的取值范围相同．∴2011x +≤≤，∴0x =，即2(1)y f x =+的定义域为{0}．（2）由题意知(21)y f x =-中的[0,1]x ∈，∴1211x --≤≤． 又(21)y f x =-中21x -的取值范围与()y f x =中的x 的取值范围相同， ∴()y f x =的定义域为[1,1]-． 问题4：求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象，可得函数的值域为[2,6)．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 作出下列函数的图象．(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)∵x∈Z且|x|≤2，∴x∈{－2，－1，0，1，2}．∴图象为一直线上的孤立点(如图(1))．(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5．所画函数图象如图．∵x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))．反思与感悟：作函数y＝f(x)的图象分两种类型：(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则通过描出y＝f(x)的图象上的一些关键点画出y＝f(x)的图象；(2)若y＝f(x)不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表，描点、连线，这些基本步骤作出y＝f(x)的图象．设计意图：明确函数的图象的画法．例2. 求下列函数的定义域：(1)y＝2(1)11xxx+-+；(2)y5x-.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足10,10,xx+≠⎧⎨-⎩≥解得x≤1且x≠－1，即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足50,||30.xx-⎧⎨-≠⎩≥解得x≤5且x≠±3，即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．设计意图：明确函数的定义域的求法．例3. 求下列函数的值域：(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝213xx+-．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y＝213xx+-＝2(3)73xx-+-＝2＋73x-，显然73x-≠0，所以y≠2．故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．设计意图：明确函数的值域的求法．【课堂小结】1．板书设计：5.1.1函数的概念和图象1. 函数的图象的画法例12. 求函数的定义域例23. 求函数的值域例32．总结概括：问题：1.求函数的定义域应关注哪些问题？2. 求函数值域的方法是什么？3.如何求复合函数定义域？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设的答案：1.求函数的定义域应关注四点：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0．(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2. 求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．3.（1）已知()f x 的定义域为[,]a b ，求(())f g x 的定义域：解不等式()a g x b ≤≤即可得解；（2）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：求出()y g x =在[,]a b 上的值域即可得解；（3）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求(())f h x 的定义域：先用类型二求出()f x 的定义域，再用类型一求出(())f h x 的定义域．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的概念与图象的有关知识． 布置作业： 【目标检测】1. 函数()1x f x 的定义域为（ ）A ．()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭设计意图：巩固函数的定义域的求法。
新教材苏教版高中数学必修一 知识点09 函数的表示方法
高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册）知识点9函数的表示方法教材知识梳理函数的表示法-------理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．函数三种表示法的优缺点比较：求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．例题研究一、求函数的解析式题型探究例题1已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R 均满足：2()()31f x f x x --=+，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()1f x x =+ B ．()1f x x C ．()1f x x =-+ D ．()1f x x =--【答案】A【分析】利用构造方程组的方法，解出()f x 的解析式． 【详解】由2()()31f x f x x --=+，可得2()()31f x f x x --=-+ ①又4()2()62f x f x x --=+①，+①②得：()333f x x =+，解得()1f x x =+故选：A【点睛】考查函数解析式的求法，考查学生计算能力，属于基础题． 例题2如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．31(02)2y x x =-≤≤B ．331(02)22y x x =--≤≤ C ．31(02)2y x x =--≤≤ D ．11(02)y x x =--≤≤【答案】B【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可． 【详解】当0≤x≤1时，设f （x ）=kx ，由图象过点（1，32），得k=32，所以此时f （x ）=32x ； 当1≤x≤2时，设f （x ）=mx+n ，由图象过点（1，32），（2，0），得3202m n m n ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得3m 23n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以此时f （x ）=3-x 32+．函数表达式可转化为：y ＝32 32-|x －1|(0≤x≤2) 故答案为B【点睛】考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得．跟踪训练训练1已知()f x 是一次函数，且(1)35f x x -=-，则()f x 的解析式为（ ） A ．()32f x x =+ B ．()32f x x =-C ．()23f x x =+D ．()23f x x =-【答案】B【分析】设()f x kx b =+，（0k ≠），利用()135f x x -=-两边恒等求出k 即可得结果． 【详解】设()f x kx b =+，（0k ≠）①()()1135f x k x b x -=-+=-， 即35kx k b x -+=-，所以35k b k =⎧⎨-=-⎩，解得3k =，2b =-，①()32f x x =-，故选B ．【点睛】考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式. 训练2设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x -=，且当[)2,0x ∈-时，()2(2)f x x x =-+．若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则m 的取值范围是（ ） A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据题设条件可得当)12,2k k x +⎡∈⎣时，()10,2k f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中*k N ∈，结合函数在[)0,2上的解析式和函数在[)2,-+∞的图象可求m 的取值范围. 【详解】当[)2,0x ∈-时，()2()212f x x =-++，故()[]2()2120,2f x x =-++∈，因为(2)2()f x f x -=，故当[)0,2x ∈时，[)22,0x -∈-，()()()[]1220,12f x f x x x =-=--∈，同理，当[)2,4x ∈时，()()1120,22f x f x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦， 依次类推，可得当)12,2k k x +⎡∈⎣时，()10,2k f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中*k N ∈. 所以当2x ≥时，必有3()4f x ≤. 如图所示，因为当[)0,2x ∈时，()f x 的取值范围为[]0,1， 故若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则0m ≥， 令232402x x x ⎧-+≤⎪⎨⎪≤<⎩，322x ≤<或102x ≤≤，结合函数的图象可得32m ≥， 故选：D.【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.二、分段函数的实际应用题型探究例题1已知21,[1,0)()1,[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，则函数()y f x =-的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】先画函数()f x 的图象，再根据函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，即可选出正确选项.【详解】先画函数21,[1,0)()1,[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩的图象，如下图：因为函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，只有A 选项的图象符合.故选：A.【点睛】考查分段函数的画法，同时考查函数有关对称性的知识，解题的关键是把原函数的图象画出，那么对称函数的图象随之可得.例题2函数22,01()2,123,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=<<⎨⎪≥⎩的值域是（ ）A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0，3]D ．{x |0≤x ≤2或x ＝3}【答案】D【分析】分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集. 【详解】解：当01x ≤≤时，2()2f x x =，其值域为[0,2]， 所以()f x 值域为[0，2]①{3，2}＝{x |0≤x ≤2或x ＝3}. 故选：D【点睛】考查求分段函数的值域，分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集，属于基础题.跟踪训练训练1设{},()max ,,,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则函数22()max{,1}=--f x x x x 的单调增区间为（ ）A ．1[1,0],[,)2-+∞B ．1(,1],[0,]2-∞-C ．1(,],[0,1]2-∞- D ．1[,0],[1,)2-+∞ 【答案】D【分析】由221x x x -=-，解出x 的值，作出两个函数的图像，当1≥x 或12x ≤-时，{}222()max ,1f x x x x x x =--=-据此可得此时函数的递增区间，当{}22211,(),112x f x max x x x x -<<=--=-，据此可得此时函数的递增区间，综合即可得到结论. 【详解】由221x x x -=-得2210x x --=，解得1x =或12x =-，当1≥x 或12x ≤-时，{}222()max ,1f x x x x x x =--=-此时函数的递增区间为[1,)+∞, 当{}22211,(),112x f x max x x x x -<<=--=-，此时函数的递增区间为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 综上所述函数的递增区间为1[,0],[1,)2-+∞. 故选：D【点睛】考查函数单调区间，解题的关键是掌握函数单调性及单调区间的求法，属于中档题. 训练2设定义在R 上的函数()y f x =，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”.关于函数()221f x x x =--的2界函数，结论不成立的是（ ）A ．()()()()22 00f f f f = B ．()()()()22 11f f f f = C ．()()()()2222f f f f = D ．()()()()2233f f f f = 【答案】B【分析】先求得函数()f x 的“2界函数”，然后对四个选项逐一进行排除，由此得到正确选项. 【详解】令2212x x --=，解得1x =-或3x =，根据“p 界函数”的定义，有()222,321,132,1x f x x x x x >⎧⎪=---≤≤⎨⎪<-⎩，所以()()()22012f f f =-=，()()()2012ff f =-=，故A 选项成立；()()()22122f f f =-=，()()()2127f f f =-=，故B 选项不成立；()[]22212f f f ⎡⎤=-=⎣⎦，()()()2212f f f =-=，故C 选项成立； ()()()22231f f f ==-，()()()2321f f f ==-，故D 选项成立.故选：B.【点睛】考查新定义函数的概念及应用，考查分段函数求值，考查分析问题和解决问题的能力.属于中档题.解题的突破口在于理解新定义的函数：新定义的函数关键是函数值大于p ，或者函数值小于或等于p ，也就是先要求得函数值等于p 时对应x 的值，由此写出分段函数“p 界函数”.三、函数三种表示法题型探究例题1某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据学生的走法情况，先跑步（快速），再步行（慢速），从离校的距离与出发时间的函数图象来看，先陡后平缓，且y 随着x 的增大而减小，由此可作出判断. 【详解】由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭， 后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大， 最后距离为0，故符合要求的图象为D 选项中的图象. 故选：D.【点睛】考查实际问题中函数图象的识别，属于基础题. 例题2已知函数()y f x =，用列表法表示如下：则(2)[(2)]f f f -+-=（ ） A ．4- B ．0C ．2D ．3【答案】D【分析】根据表格中自变量x 和函数值y 的对应关系，代入数据，即可得答案.【详解】由表格可得：(2)1f -=，所以[(2)](1)2f f f -==，所以(2)(2)3f f +-=故选：D跟踪训练训练1已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠⎪⎝⎭，则()2f -= A ．72-B ．92C ．72D ．92-【答案】C【分析】令1x x=-，代入解析式，通过解方程组即可求得()f x -的解析式，进而求得()2f -的值． 【详解】由()()112?1f f x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭, 可得()12? f x xf x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2), 将(1)x ⨯+(2)得:()2222f x x x-=-⇒()21,f x x x -=-()722f ∴-=, 故选C ．【点睛】考查了函数解析式的求法，方程组法在解析式求法中的应用，属于中档题． 训练2如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数(0)ky k x=≠的图像的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的解析式是（ ）A ．1y x =-B ．1y x=C ．2y x=- D ．2y x=【答案】A【分析】本题首先可设矩形的长为a 、宽为4a，然后结合图像得出点P 的坐标为2,2a a，最后根据点P 在反比例函数(0)ky k x=≠上即可得出结果. 【详解】设矩形的长为a ，则矩形的宽为4a，结合图形可知，点P 的坐标为2,2a a， 因为点P 在反比例函数(0)ky k x=≠上， 所以22a a k=-，解得1k =-，1y x =-，故选：A.【点睛】考查反比例函数解析式的求法，能否根据图像和矩形面积确定点P 坐标是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查计算能力，是简单题.综合式测试一、单选题1．已知函数2221,0()log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则下列判断正确的个数为（ ） ①122x x +=-； ①341x x =；①212≤-x x ；①431≤-x x . A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先画出()f x 的图象如图所示，令()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知当1t =时，21x x -和43x x -都取得最大值，从而可求得最值，12,x x 关于二次函数221y xx =++的对称轴1x =-对称，可得122x x +=-，由34()()f x f x =可得2324log log x x -=，化简可得341x x =【详解】解：令()()()()1234f x f x f x f x t ====，即函数()f x 的图象与直线y t =有4个不同的交点，()f x 的图象如图所示，由图可知(0,1]t ∈，12,x x 关于二次函数221y x x =++的对称轴1x =-对称，则122x x +=-，所以①正确；当1t =时，21x x -取得最大值，且此时212x x -=，故212≤-x x ，所以①正确； 因为34()()f x f x =，所以2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，234log ()0x x =，所以341x x =，所以①正确；因为当1t =时，43x x -取得最大值，此时2324log log 1x x -==，解得341,22x x ==，所以此时43132122x x -=-=>，所以①错误， 所以正确的有①①①，共3个， 故选：C【点睛】考查函数和方程的应用，解题的关键是正确画出函数图象，利用数形结合的思想求解，属于中档题2．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当(]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）. A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【分析】求出()f x 在[2，4]上的值域，利用()f x 的性质得出()f x 在[2-，0]上的值域，再求出()g x 在[2-，1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围【详解】解：当[2,4]x ∈时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<≤⎪⎩，可得()f x 在[2，3]上单调递减，在(3,4]上单调递增，()f x ∴在[2，3]上的值域为[3，4]，在(3,4]上的值域为11(3，9]2，()f x ∴在[2,4]上的值域为[3，9]2，(2)2()f x f x +=，11()(2)(4)24f x f x f x ∴=+=+， ()f x ∴在[2,0]-上的值域为3[4，9]8，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[2-，1]上的值域为[21a -+，1]a +，∴3214918a a ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得18a ；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[2-，1]上的值域为[1a +，21]a -+，∴3149218a a ⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，解得14a -；当0a =时，()g x 为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，a 的范围是18a 或14a -． 故选：D ．【点睛】考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．3．已知函数()22log (1),142,1x x f x x x x ⎧-<=⎨-+-≥⎩，则方程121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】由()1f x =可得13,1,1,2x x x x ===-=，而由121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，然后分别解这四个方程，可得答案 【详解】解：当1x <时，令()1f x =，则2log (1)1x -=，解得1x =-或12x =， 当1≥x 时，令()1f x =，则2421x x -+-=，解得1x =或3x =，因为121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 所以121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=， 由121x x+-=-，得210x x -+=，此时2(1)40∆=--<，方程无解； 由1122x x +-=，得22520x x -+=，此时2(5)42290∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，分别2x =或12x =；由121x x+-=，得2310x x -+=，此时2(3)41150∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，即为x =由123x x+-=，得2510x x -+=，此时2(5)411210∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，即为52x =， 所以方程121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根的个数为6， 故选：B【点睛】考查函数与方程的应用，解题的关键是由()1f x =可得13,1,1,2x x x x ===-=，从而可得121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，然后解方程可得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题4．已知函数()1212,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，且()0f m =，则不等式()f x m >的解集为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞【答案】C【分析】分0m ≤和0m >解方程()0f m =，求出m 的值，然后分0x ≤和0x >解不等式()f x m >，即可得出结果. 【详解】当0m ≤时，()1202mf m =+>，方程()0f m =无解； 当0m >时，令()12log 0f m m ==，解得1m =，合乎题意.下面解不等式()1f x >.当0x ≤时，令()1212xf x =+>，得出122x >，解得1x >-，此时，10-<≤x ；当0x >时，令()11221log 1log 2f x x =>=，解得12x <，此时，102x <<. 因此，不等式()f x m >的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】考查分段函数方程与分段函数不等式的求解，在解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，选择合适的解析式进行计算，考查分类讨论思想的应用与运算求解能力，属于中等题.5．已知2(),()32,()2()()g x f x x g x x x F x f x ⎧=-=-=⎨⎩， ()()()()f x g x f x g x ≥<,则()F x 的最值是( )A ．最大值为3，最小值－1 B．最大值为 C ．最大值为3，无最小值 D ．既无最大值，又无最小值【答案】B【分析】根据函数表达式画出各自图象，()F x 其实表示的是(),()f x g x 较小的值.【详解】如图，在同一坐标系中画出(),()f x g x 图象，又()F x 表示两者较小值，所以很清楚发现()F x 在A 处取得最大值23+222=3+2A A A x x x x y x =-⇒= B.【点睛】取两函数较大值（较小值）构成的新函数问题，有效的手段就是构建图象，数形结合.6．已知函数f (x )＝2,02,0x x a x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ①R)，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A【分析】由题意，函数()f x 的解析式，可得()12f -=，进而求解()(1)f f -的值，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()2,02,0x x a x f x x -⎧⋅≥=⎨<⎩，则()(1)122f ---==， 则()2(1)(2)241f f f a a -==⋅==，所以14a =，故选A. 【点睛】考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理选择相应的对应法则求解是解答的关键.7．已知f （x ）=21102(1)0x x x x ⎧+≤⎪⎨⎪-->⎩，，使f （x ）≥–1成立的x 的取值范围是A ．[–4，2）B ．[–4，2]C ．（0，2]D ．（–4，2]【答案】B 【解析】①f （x ）≥–1，①01112x x ≤⎧⎪⎨+≥-⎪⎩或()2011x x >⎧⎪⎨--≥-⎪⎩，①–4≤x ≤0或0<x ≤2，即–4≤x ≤2．故选B ． 8．已知函数()()()()()()()()()2,32,2,,,g x f x g x f x x g x x x F x f x g x f x ⎧≥⎪=-=-=⎨≥⎪⎩则（ ） A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x的最大值为2C ．()F x 的最大值为7-，无最小值D ．()F x 的最大值为3，最小值为1-【答案】C【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值，所以由232||2x x x -=-得2x =2x =结合函数图象可知当2x =()F x 有最大值7- 故选：C ．【点睛】考查了函数的图象，以及函数求最值，同时考查了分析问题的能力和作图的能力． 二、填空题9．设函数()f x 对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，且()12(13)f x x x =--≤≤，则使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为____．【答案】416【分析】由题可得(2014)173f =，根据13,233()333,123n n nn n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩分情况讨论可求解.【详解】对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，()33x f x f ⎛⎫∴=⎪⎝⎭， 22201420142014(2014)333333n n f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当6n =时，[]620141,33∈， 662014(2014)3121733f ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，13,233()333,123n n n n n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩，当13173233n n x x +⎧-=⎪⎨≤≤⎪⎩时，113173233n n n x x ++⎧=-⎨⨯≤≤⎩，当6n =时，x 取得最小正值为556； 当3173123n n x x ⎧-=⎪⎨≤<⎪⎩时，3173323n n nx x ⎧=+⎨≤<⨯⎩，当5n =时，x 取得最小正值为416， 综上，使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为416.故答案为：416.【点睛】考查分段函数的应用，考查函数性质等基础知识，解题的关键是由已知得出13,233()333,123n n n n n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩.10．已知函数2223,2()log ,2x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为__________． 【答案】[2,3) 【分析】函数()f x 有最小值，所以求出1a ≥，则有101a<≤，代入()f x 求出()f x 的取值范围. 【详解】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当x 2>时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥．101a∴<≤，21112[2,3)fa a ⎛⎫⎛⎫∴=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：[2,3).【点睛】考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值； （2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.11．已知函数211,0,22()13,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为_____________.【答案】,162⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件作出函数图象求解出1x 的范围，利用()()12f x f x =和换元法将()12x f x ⋅变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围. 【详解】由解析式得()f x 大致图象如下图所示：由图可知：当12x x <时且()()12f x f x =，则令211322x ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，解得：14x =， 111,42x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，又()()12f x f x =，221221333,124x x x ⎛⎫⎡⎫∴+=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，()2222121332x f x x x ⎛⎫∴⋅=⋅- ⎪⎝⎭，令2233,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()2211113,124164x f x g t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫⋅==-=--∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎭， ()31,162g t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，即()2131,162x f x ⎡⋅⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：,162⎪⎢⎣⎭【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误. 12．定义在R 上函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.若当x ①[),m +∞时，()116f x ≤，则m 的最小值等于________． 【答案】154． 【分析】转化条件为在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，作出函数的图象，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，当[)1,2x ∈时，故()()()11112322f x f x x =-=--， 当[)2,3x ∈时，故()()()11112524f x f x x =-=--⋅⋅⋅， 可得在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦， 所以当4n ≥时，()116f x ≤， 作函数()y f x =的图象，如图所示，当7,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，由()()11127816f x x =--=得154x =， 由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤，所以m 的最小值为154． 故答案为：154. 【点睛】考查了分段函数解析式的求解及图象的应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题. 三、解答题13．根据下列条件，求函数()f x 的解析式；（1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+；（2）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭； （3）已知等式()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f =；（4）知函数()f x 满足条件()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对任意不为零的实数x 恒成立 【答案】（1）()27f x x =+；（2）3()3(2f x x x x =-≥或2)x ≤-；（3）()21f x x x =++；（4）1()2(0)f x x x x=-≠.【分析】（1）设函数()f x kx b =+，结合等式()()3121217f x f x x +--=+，利用一次项系数和常数项分别相等列出方程组解出k b 、的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）用配凑法根据232321111113x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,然后换元1t x x =+可得出函数()y f t =的解析式，利用双勾函数求出1t x x=+的取值范围，即为函数()y f x =的定义域； （3）由已知令x y =，则有()()()021f f x x x x =--+且()01f =，化简即可求得结果；（4）将1x代入等式()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，与原式列方程組解出函数()y f x =的解析式. 【详解】（1）设()(0)f x kx b k =+≠，则[][]3(1)2(1)3(1)2(1)5217f x f x k x b k x b kx b k x +--=++--+=++=+所以2,517k b k =⎧⎨+=⎩解得：2,7k b =⎧⎨=⎩所以()27f x x =+；（2）232321111113x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦33311113f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，令1t x x=+，由双勾函数的性质可得2t ≤-或2t ≥， 3()3f t t t =-∴，3()3(2f x x x x =-≥∴或2)x ≤-（3）因为()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f = 令x y =则()()()021f f x x x x =--+，又因为()01f = 所以()()()01=1f f x x x =-+，即()22+1f x x x =+（4）将1x代入等式()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，联立12()313()2f x f x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，变形得：14()2613()2f x f x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1()2(0)f x x x x=-≠ 【点睛】考查求函数解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法.14．若函数f (x )()()2211,02,0b x b x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩，满足对于任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，g (x )=23x +.（1）求b 的取值范围；（2）当b =2时，写出f [g (x )]，g [f (x )]的表达式.【答案】（1）12b ≤≤；（2）()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩；[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【分析】（1）先利用已知条件判断函数单调性，再根据分段函数单调性列条件计算即得结果；（2）先讨论()g x 的符号，再代入分段函数()f x 解析式中，即得[]()f g x 的解析式；利用分段函数()f x 的解析式，直接代入()g x 的解析式，即得[]()g f x 的解析式.【详解】解：（1）因为任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，故设任意的12x x <时，有()()12f x f x <，即分段函数()f x 在R 上单调递增，故当0x >时，()()211f x b x b =-+-单调递增，即210b ->，即12b >； 当0x ≤时，()2()2f x x b x =-+-单调递增，即对称轴202bx -=≥，即2b ≤； 且在临界点0x =处，左边取值不大于右边取值，即01b ≤-，即1b ≥ . 综上，b 的取值范围是12b ≤≤；（2）当b =2时，231,0(),0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，又()23g x x =+， 故当()230g x x =+>时，即32x >-时，()()3231610f g x x x ⎡⎤=++=+⎣⎦， 当()230g x x =+≤时，即32x ≤-时，[]()2()23f g x x =-+， 故()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩； 当0x >时，()31f x x =+，则[]()(31)2(31)365g f x g x x x =+=++=+， 当0x ≤时，2()f x x =-，则[]22()()23g f x g x x =-=-+，故[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【点睛】关键点点睛：：要讨论分段函数的自变量所在的取值区间确定对应的关系式，进而代入，以突破难点.15．已知函数()f x 的解析式为()()()()350501281x x f x x x x x ⎧+≤⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩，（1）求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; （2）若()2f a =，求a 的值;（3）画出()f x 的图象，并求出函数的值域;【答案】(1)3-;(2) 1a =-或3;(3)答案见解析，值域为(],6-∞;【分析】(1)先求出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而可求出12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)按0a ≤，01a <≤，1a >三种情况进行讨论，分别由()2f a =列出关于a 的方程，进而可求出a 的值.(3)画出分段函数的图象后，由图象可求出函数的值域.【详解】(1)解：因为1012<<，所以111122f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)解：当0a ≤时，()352f a a =+=，解得1a =-；当01a <≤时，()52f a a =+=， 解得3a =-，不符合题意；当1a >时，282a -+=，解得3a =，综上所述，1a =-或3.(3)解：如图所示，当1x =时，函数最大值为6，无最小值，所以值域为(],6-∞.【点睛】考查了分段函数函数值的求解，考查了分段函数图象.。
高中数学函数的概念和图象 函数的对称性苏教版必修一
函数的对称性目的:1,进一步熟悉函数奇偶性的对称关系2,理解相关点法的意义及步骤3,掌握函数图象关于x=a,y=b,点(a,0)的对称规律与特征备注：本节是一个课件过程：复习:1，偶函数的图象关于______________对称(y轴)2，奇函数的图象关于_____________对称(原点)问题:一般的如x=a,y=b,点(a,0)的对称性又如何？1、关于直线x=a的对称特征⑴y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x)，反之也成立练习：已知定义在实数集上的函数f(x)满足f(5-x)=f(5+x),若f(x)在（5，+∞）上单调增，则f(x)在（-∞，5）上的单调性如何？由此你得到什么结论？解：单调减关于x=a对称的图形在对称轴两侧对称区间上单调性相反⑵求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析式解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意一点，则它关于直线x=a的对称点（x1,y)在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为所求结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称2、关于直线y=b对称⑴函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是_____________（答：y=-f(x)）⑵求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而y1-b=b-y 故y1=2b-y,于是y=2b-f(x)结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则f(x)+g(x)=2b反之也成立3、关于点(a,0)对称练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析式(答：y=-f(2a-x))结论：⑴-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称⑵一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0总结：本节主要说明了以下几个对称问题：⑴y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x)，反之也成立；关于x=a对称的图形在对称轴两侧对称区间上单调性相反；y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称⑵f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则f(x)+g(x)=2b反之也成立⑶-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称；一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0课上练习1，已知函数y=|x+1|-|x-2|画出其图象，说明它关于哪个点对称（不必证明），并指出函数的最值。
5.1函数的概念和图象(第1课时函数的概念)课件高一上学期数学(1)
【课标要求】1.会用集合语言和对应关系刻画函数.2.理解函数的概念，了解构成函数的要素.3.会求简单函数的定义域与值域.
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 函数的概念
概念
给定两个非空实数集合 和 ，如果按照某种对应关系 ，对于集合 中的每一个实数 ，在集合 中都有唯一的实数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数
跟踪训练1（1） 下列图形中不是函数图象的是( )
A
A. B. C. D.
（2）下列各组函数表示同一个函数的是( )
BCD
D
C
4
5
6
7
7
6
4
5
3
4
5
6
4
6
5
4
C
A.3 B.4 C.5 D.7
BCD
1
2
3
4
5
2
3
4
2
3
BCD
A.2 B.3 C.4 D.5
（1）函数的表示：与用哪个字母表示无关；
（2）解析式的化简：在化简解析式时，必须是等价变形.
题型分析·能力素养提升
【题型一】函数的概念
例1（1） 下列各组函数是同一个函数的是( )
C
规律方法 1.判断一个对应关系是否为函数的方法
2.判断两个函数是否为同一个函数的注意点 （1）先求定义域，定义域不同则不是同一个函数; （2）若定义域相同，再看对应关系是否相同.
0
2
B
4.（多选题）下列四个对应关系，构成函数的是( )
AD
A. B. C. D.
4
（1）求函数的定义域；
B层 能力提升练
高中数学 第2章 函数2.1.1函数的概念和图象(一)配套课件 苏教版必修1
2.1.1 函数的概念和图象(一)
【学习要求】 1．理解函数的概念，明确决定函数的三个要素； 2．学会求某些函数的定义域； 3．掌握判定两个函数是否相同的方法； 4．理解静与动的辩证关系． 【学法指导】 通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要 数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数， 体会对应法则在刻画函数概念中的作用，感受学习函数的必要 性与重要性.
第二十一页，共24页。
练一练•当堂检测(jiǎn cè)、目标达成 落实处 2．下列关于函数与区间的说法正确的是___④_____．(填序号)
①函数定义域必不是空集，但值域可以是空集； ②函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了； ③数集都能用区间表示； ④函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应． 解析 函数的值域不可能为空集，故①错； 当两函数的定义域和值域分别相同时，但两函数的对应法则可 以不同，故②错； 由于整数集没法用区间表示，故③错． 只有④正确．
(3) 若 f(x) 是 偶 次 根 式 ， 那 么 函 数 的 定 义 域 是 ____根__号__(ɡ_ē_n__h_à_o_)_内__的_式__子__不__小__于__零___的实数的集合； (4)若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是 ____使__各__部__分__式__子_都__有__意__义___________的实数的集合(即使每个部 分有意义的实数的集合的交集)； (5)若 f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本 身有意义且符合____实__际__意__义______的实数的集合.
第三页，共24页。
填一填·知识要点(yàodiǎn)、记下 疑难点 2．求函数的定义域实质上是求使函数表达式有意义的自变量的取
高中数学学案：《函数的概念和图象(1)》必修一
备
注
【问题情境】 1. 函数是如何定义的？
2. 函数的三要素分别是什么？值域与函数定义中的集合 B 有什么关 系？什么是相同函数？
3、如何求函数的定义域?可以归纳为哪几种情况？
【我的疑问】
第 1 页共 4 页
1
【自主探究】 例 1 判断下列对应是否为函数： （1） x
备 （2） x Biblioteka y, 这里 y x, x N , y R
2
注
2 , x 0, x R ； x
例 2 已知函数 f ( x) 3x 5 x 2 ，求 f (3), f ( 2 ), f (a), f (a 1) 。
2
例 3 求下列函数的定义域： （1） f ( x)
x 1
（2） g ( x)
1 x 1
第 2 页共 4 页
3、判断下列对应是否为函数： （1） x
1 x, x R 2
（2） x y, 其中 y x , x R, y R （3） t s ，其中 s t , t R, s R
2
（4） x y ，其中 y 为不大于 x 的最大整数， x R, y Z
4、求下列函数的定义域： （1） f ( x) 1 3x （2） f ( x) （3） f ( x) 【回标反馈】
1.5
（2） 若购票钱款为输入值，儿童身高 h 为输出值，则 （3）分别说明（1） 、 （2）中的对应是否为“单值对应” 。 2、判断下列对应是否为集合 A 到集合 B 的函数： （1） A 为正实数集， B R ，对于任意的 x A, x x 的算术平方 根； （2） A = 1,2,3,4, 5 ， B = 0,2,4,6, 8，对于任意的 x A, x 2 x 。
苏教版必修1高中数学函数的概念和图象 学案
函数的概念和图象 学案重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f （x ）”的含义，掌握函数定义域与值域的求法； 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解． 考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；③了解简单的分段函数，并能简单应用；经典例题：设函数f （x ）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域：（1）H （x ）=f （x2+1）；（2）G （x ）=f （x+m ）+f （x －m ）（m ＞0）.当堂练习：1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）A ．(),()f x x g x ==B ．2(),()f x x g x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+- D ．()()f x g x == 2．函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（ ）A ．必有一个B ．1个或2个C ．至多一个D ．可能2个以上3．已知函数1()1f x x =+，则函数[()]f f x 的定义域是（ ）A ．{}1x x ≠B ．{}2x x ≠-C ．{}1,2x x ≠--D ．{}1,2x x ≠-4．函数1()1(1)f x x x =--的值域是（ ） A ．5[,)4+∞ B ．5(,]4-∞ C ． 4[,)3+∞ D ．4(,]3-∞ 5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述： （ ）（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是( )A ．（1），（2），（3）B ．（1），（3），（4）C ．（2），（4）D ．（2），（3）6．在对应法则,,,x y y x b x R y R →=+∈∈中,若25→,则2-→ ，→6．7．函数()f x 对任何x R +∈恒有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，已知(8)3f =，则)f = ．8．规定记号“∆”表示一种运算，即a b a b a b R +∆=+∈，、. 若13k ∆=，则函数()f x k x =∆的值域是___________．9．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是 ．10．函数2522y x x =-+的值域是 ．11． 求下列函数的定义域 ： (1)()121xf x x =-- (2)0(1)()x f x x x +=-12．求函数y x =13．已知f(x)=x2+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)．14．在边长为2的正方形ABCD的边上有动点M，从点B开始，沿折线BCDA向A点运动，设M点运动的距离为x，△ABM的面积为S．（1）求函数S=的解析式、定义域和值域；（2）求f[f(3)]的值．。
苏教版高中数学必修第一册6.3 第1课时 对数函数的概念、图象与性质【授课课件】
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的定义域为 R．
()
(2)y＝log2x2 不是对数函数．
()
[答案] (1)× (2)√
第1课时 对数函数的概念、 图象与性质
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
知识点 2 对数函数的图象与性质 a>1
义
域
为
x0≤x<12
．
第1课时 对数函数的概念、 图象与性质
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函 数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注 意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调 性，有针对性地解不等式.
第1课时 对数函数的概念、 图象与性质
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
(2)f(x)＝ －lg 1－x；
[解] 由－ 1－lgx>10－，x≥0，
得lg 1－x≤0， x<1
⇒0＜1－x≤1， x<1
⇒0≤x<1．
∴函数的定义域为[0,1)．
图 象
0<a<1
第1课时 对数函数的概念、 图象与性质
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
a>1
函数的概念与图象(第一课时)高一数学同步精品课件(苏教版2019必修第一册)
C.x|12≤x<1或x>1 D.x|－1≤x≤12或x>1 (2)已知函数 f(x＋2)的定义域为(－2，0)，则函数 f(2x－2)的定义域为( )
A.(0，2)
B.－12，12
C.(1，2)
D.－12，0
解析 (1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足2x2x－－11≠≥00，，解得xx≥ ≠12±，1，即 x≥12且 x≠1，故选 C. (2)由题意知－2<x<0，∴0<x＋2<2，即f(x)的定义域为(0，2)，∴0<2x－2<2，解 得1<x<2.故f(2x－2)的定义域是(1，2). 答案 (1)C (2)C
【训练3】 求下列函数的值域： (1)f(x)＝x2＋2x＋3，x∈{－1，0，1，2}； (2)f(x)＝x2＋2x＋3. 解 (1)∵函数定义域为{－1，0，1，2}， f(x)＝(x＋1)2＋2. ∴f(－1)＝2，f(0)＝3，f(1)＝6，f(2)＝11， ∴函数f(x)的值域为{2，3，6，11}. (2)f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2， ∵(x＋1)2≥0，∴(x＋1)2＋2≥2，∴f(x)的值域为[2，＋∞).
题型一 函数关系的判断 角度1 由定义判断是否为函数 【例1－1】 判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数.
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ x； (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
二、课堂检测 1.下表表示函数y＝f(x)的x与y的所有对应值，则此函数的定义域为( )
X
－1
0
〖高中数学必修苏教版目录〗
高中数学新课标苏教版教材目录数学1第1章集合§1.1集合的含义及其表示§1.2子集、全集、补集§1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1函数的概念和图象§函数的概念和图象§函数的表示方法§函数的简单性质§映射的概念§2.2指数函数§分数指数幂§指数函数§2.3对数函数§对数§对数函数§2.4幂函数§2.5函数与方程§二次函数与一元二次方程§用二分法求方程的近似解§2.6函数模型及其应用数学2第3章立体几何初步§3.1空间几何体§棱柱、棱锥和棱台§圆柱、圆锥、圆台和球§中心投影和平行投影§直观图画法§空间图形的展开图§柱、锥、台、球的体积§3.2点、线、面之间的位置关系§平面的基本性质§空间两条直线的位置关系§直线与平面的位置关系§平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步§4.1直线与方程§直线的斜率§直线的方程§两条直线的平行与垂直§两条直线的交点§平面上两点间的距离§点到直线的距离§4.2圆与方程§圆的方程§直线与圆的位置关系§圆与圆的位置关系§4.3空间直角坐标系§空间直角坐标系§空间两点间的距离数学3第5章算法初步§5.1算法的意义§5.2流程图§5.3基本算法语句§5.4算法案例第6章统计§6.1抽样方法§6.2总体分布的估计§6.3总体特征数的估计§6.4线性回归方程第7章概率§7.1随机事件及其概率§7.2古典概型§7.3几何概型§7.4互斥事件及其发生的概率数学4第8章三角函数§8.1任意角、弧度§8.2任意角的三角函数§8.3三角函数的图象和性质第9章平面向量§9.1向量的概念及表示§9.2向量的线性运算§9.3向量的坐标表示§9.4向量的数量积§9.5向量的应用第10章三角恒等变换§10.1两角和与差的三角函数§10.2二倍角的三角函数§10.3几个三角恒等式数学5第11章解三角形§11.1正弦定理§11.2余弦定理§11.3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列§12.1等差数列§12.2等比数列§12.3数列的进一步认识第13章不等式§13.1不等关系§13.2一元二次不等式§13.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题§13.4基本不等式选修系列11-1第1章常用逻辑用语§1.1命题及其关系§1.2简单的逻辑联结词§1.3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程§2.1圆锥曲线§2.2椭圆§2.3双曲线§2.4抛物线§2.5圆锥曲线的共同性质第3章导数及其应用§3.1导数的概念§3.2导数的运算§3.3导数在研究函数中的应用§3.4导数在实际生活中的应用1-2第1章统计案例§1.1独立性检验§1.2线性回归分析第2章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理§2.2直接证明与间接证明第3章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充§3.2复数的四则运算§3.3复数的几何意义第4章框图§4.1流程图§4.2结构图选修系列22-1第1章常用逻辑用语§1.1命题及其关系§1.2简单的逻辑连接词§1.3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程§2.1圆锥曲线§2.2椭圆§2.3双曲线§2.4抛物线§2.5圆锥曲线的统一定义§2.6曲线与方程第3章空间向量与立体几何§3.1空间向量及其运算§3.2空间向量的应用2-2第1章导数及其应用§1.1导数的概念§1.2导数的运算§1.3导数在研究函数中的应用§1.4导数在实际生活中的应用§1.5定积分第2章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理§2.2直接证明与间接证明§2.3数学归纳法第3章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充§3.2复数的四则运算§3.3复数的几何意义2-3第1章计数原理§1.1两个基本原理§1.2排列§1.3组合§1.4计数应用题§1.5二项式定理第2章概率§2.1随机变量及其概率分布§2.2超几何分布§2.3独立性§2.4二项分布§2.5离散型随机变量的均值与方差§2.6正态分布第3章统计案例§3.1独立性检验§3.2线性回归分析主要编写人员情况主编单墫副主编李善良陈永高主要编写人员数学与应用数学方面：单墫陈永高苏维宜蒋声丁德成洪再吉许道云孙智伟李跃文王晓谦尤建功秦厚荣唐忠明钱定边傅珏生葛福生夏建国孙智伟汪任观数学教育与数学史方面：李善良赵振威葛军徐稼红周焕山朱家生高中数学教师与教研员：仇炳生冯惠愚张乃达祁建新樊亚东石志群董林伟张松年陈光立陆云泉孙旭东于明寇恒清王红兵卫刚单墫 1943年生，南京师范大学数学系教授，博士生导师，享受政府特殊津贴。
苏教版 高中数学必修第一册 函数的概念和图象(第1课时) 课件1
()
A.[－1，9]
B.[－3，7]
C.[－2，1]
D.－2，12
解析 ∵函数y＝f(x－1)的定义域为[－2，3]，
∴－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2，即函数f(x)的定义域为[－3，2].
∴对函数f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2， 解得－2≤x≤12. 即函数 f(2x＋1)的定义域为－2，12. 答案 D
5.1 函数的概念和图象（第 1课时）
1．函数的概念
一般地，给定两个 非空实数集合
A和
函数的定义
B，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A 中唯一
的
每一个实数x
，在集合 B 中都有
的实数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A
到集合 B 的一个函数
函数的记法
从集合 A 到集合 B 的一个函数通常记为 ___y_＝__f_(x_)_，__x_∈__A____
(4)f(x)＝
xx2和g(x)＝
x x2.
[解析] (1)因为yБайду номын сангаасx－1定义域为R，
函数y＝xx2＋－11定义域为{x|x≠－1，x∈R}，
定义域不相同，故不是同一函数．
(2)y＝x0定义域为{x|x≠0，x∈R}，
函数y＝1定义域为R，
定义域不相同，故不是同一函数．
(3)函数f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2对应法则不一致，故不是
函数的定义域 函数的值域
在函数y＝f(x)，x∈A中， 所有的x (输入值)组成 的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域． 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的_每__一__个_ x(输入值)，都有一个y(输出值)与之 对应 ，则将 _所___有__输__出__值__y_组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为 函数的值域
高中数学 第5章 函数概念与性质 5.2 函数的表示方法教学案(含解析)苏教版必修第一册-苏教版高一
5.2 函数的表示方法学习目标核心素养1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点) 通过学习本节内容，进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．观察教材第5．1节开头的3个函数问题，你能说出各种函数表达形式上的特点吗？如何用数学语言来准确地描述函数表示法？你能说出几种函数表示法的优缺点吗？1．函数的表示方法2．分段函数(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(3)有些函数能用三种方法来表示．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ 2．(一题两空)假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2－1，x <0，那么f (x )的定义域为，值域为．{x |x ≠0} {y |y >－1} [定义域为{x |x >0或x <0}＝{x |x ≠0}， 当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>－1，∴值域为{y |y >－1}．]3．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元，试用三种方法表示函数y ＝f (x )．[解] 列表法：笔记本数x 1 2 345钱数y5 10 15 20 25解析法：y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 图象法：求函数解析式(1)f (x )为一次函数，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝－4x ＋6，那么f (x )＝． (2)f (x ＋1)＝x ＋2x ，那么f (x )＝．(3)f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，那么f (x )＝．(4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，假设f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，那么f (x )的解析式为．(5)假设f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2，那么f (x )＝．[思路点拨] (1)(3)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把x ＋1看作一个整体来求解．(4)用待定系数法求解．(5)可以把x －2x看作一个整体来求解．(1)－x ＋3 (2)x 2－1(x ≥1) (3)2x －13或－2x ＋1 (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0x 2＋4x ＋2，x ≤0(5)x 2＋4 [(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)＋b ， f (2x －1)＝a (2x －1)＋b ，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝4ax ＋2b ＝－4x ＋6，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－4，2b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，即函数f (x )的解析式为f (x )＝－x ＋3． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)， 那么x ＝t －1，x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)设所求函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，那么⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1，所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1．(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋4x ＋2，x ≤0.(5)f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2＋4，∴f (x )＝x 2＋4．]求函数解析式的常用方法1待定系数法：函数f x 的函数类型，求f x的解析式时，可根据类型设出其解析式，将条件代入解析式，得到含待定系数的方程组，确定其系数即可.2换元法：令t ＝g x ，注明t 的X 围，再求出f t 的解析式，然后用x 代替所有的t 即可求出f x ，一定要注意t 的X 围即为fx 中x 的X 围.3配凑法：f g x的解析式，要求f x 时，可从f g x的解析式中拼凑出“gx 〞，即用g x 来表示，再将解析式两边的g x 用x 代替即可.4代入法：y ＝f x的解析式求y ＝fg x 的解析式时，可直接用新自变量g x 替换y ＝f x 中的x .[跟进训练]1．(1)f (x )是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，那么f (x )＝．(2)假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＋1x ，那么f (x )＝．(1)x ＋2x(2)x 2－x ＋1(x ≠1)[(1)设f (x )＝k 1x ＋k 2x ，那么⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝k 1＋k 2＝3，f 2＝2k 1＋k 22＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，k 2＝2，∴f (x )＝x ＋2x．(2)令t ＝x ＋1x (t ≠1)，那么x ＝1t －1，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋(t －1)＝t 2－t ＋1，∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．]分段函数[例2] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值．[思路点拨] 要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中．[解] 由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－23．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32， －2<－32<2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝94－3＝－34．1．(变结论)本例条件不变，假设f (a )＝3，某某数a 的值．[解] ①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，所以a ＋1＝3，所以a ＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3， 即a 2＋2a －3＝0．所以(a －1)(a ＋3)＝0，所以a ＝1或a ＝－3． 因为1∈(－2,2)，－3(－2,2)， 所以a ＝1符合题意．③当a ≥2时，2a －1＝3，所以a ＝2符合题意． 综合①②③，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2．2．(变结论)本例条件不变，假设f (m )>m (m ≤－2或m ≥2)，某某数m 的取值X 围． [解] 假设f (m )>m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－2，m ＋1>m 或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1>m ，即m ≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >1，所以m ≤－2或m ≥2．所以m 的取值X 围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的X 围，代入相应的解析式求值．2．分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用X 围；也可先判断每一段上的函数值的X 围，确定解析式再求解．3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值X 围的并集即可． 求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．方程组法求解析式1．解二元一次方程组的主导思想是什么？[提示] 主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，①A －B ＝6，②[提示] 法一(代入消元法)：由②得A ＝B ＋6，代入①得B ＋6＋B ＝4，∴B ＝－1，代入A ＝B ＋6，得A ＝5，∴A ＝5，B ＝－1．法二(加减消元法)：①＋②得2A ＝10，∴A ＝5， ①－②得2B ＝－2，∴B ＝－1．3．探究2中，每个等式右边如果是代数式，如⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝x 2，A －B ＝4x ，能求A ，B 吗？[提示] 能求A ，B ．仍可以采用上述两种方法． 两式相加得2A ＝x 2＋4x ，∴A ＝x 2＋4x2，两式相减得2B ＝x 2－4x ，∴B ＝x 2－4x2．[例3] 求解析式．(1)f (x )＋2f (－x )＝1x，求f (x )；(2)2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )．[思路点拨] 将f (x )与f (－x )，f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f (x )．[解] (1)∵f (x )＋2f (－x )＝1x，①用－x 替换x 得f (－x )＋2f (x )＝－1x，②②×2－①得3f (x )＝－2x －1x ＝－3x ，∴f (x )＝－1x．(2)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x替换x 得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1x．方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数⎝ ⎛⎭⎪⎫f x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，互为相反数(f (－x )，f (x ))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用1x或－x 替换原式中的x 即可．[跟进训练]2．f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x ，那么f (x )的解析式为． f (x )＝－23x －x 3 [因为f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x ，用1x 替换x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x ， 代入上式得f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2f x ＋1x ＋x ，解得f (x )＝－23x －x3．]1．函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法；(5)方程组法等．1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )C[先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C．]2．函数f(3x＋1)＝x2＋3x＋2，那么f(10)＝．20[令3x＋1＝10，∴x＝3，代入得f(10)＝32＋3×3＋2＝20．]3．f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，那么f(x)＝．3x －2 [设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2．]4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)假设f (x 0)＝8，求x 0的值． [解] (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4． (2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)； 当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4．∴x 0＝4．。
第5章-5.1-函数的概念和图象高中数学必修第一册苏教版
D. = 与 =
2
【解析】对于A，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B， = 2 的定义域
是， = ⋅ 的定义域是[0, +∞)，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D， = 的定义域是
， =
2
的定义域是{|
3
1,
2
.
3
.
2
3
2
1
2
D. − , 1
（2）(2024·江西省九江市期中)若函数 + 3 的定义域为[−2,4)，则函数 2 − 3
[, )
的定义域为______.
【解析】由题意知−2 ≤ < 4，则1 ≤ + 3 < 7，即 的定义域为[1,7)，所以
1 ≤ 2 − 3 < 7，解得2 ≤ < 5.
的定义域为
−1
> 0,
题型2 函数的求值问题
例12 已知函数 =
1
1+
≠ −1 , = 2 + 2.
（1）求 2 , 2 , + 1 的值;
【解析】将 = 2分别代入两个函数解析式中，得 2 =
1
1+2
=
1
,
3
2 = 22 + 2 = 6.
将 = + 1代入函数 = 2 + 2，
2 − 1 中,−1 ≤ 2 − 1 ≤ 8，
9
2
解得0 ≤ ≤ ，
9
2
故函数 2 − 1 的定义域为[0, ].
【学会了吗丨变式题】
1.(2024·湖南省长沙市期末)已知函数 =
7.3三角函数的图像和性质课件高中数学苏教版必修第一册
当且仅当x=+2kπ(k∈Z)时,取 当且仅当x=2kπ(k∈Z)时,取得最
最值
得最大值1;当且仅当x=-+2kπ 大值1;当且仅当x=2kπ+π(k∈Z)
(k∈Z)时,取得最小值-1
时,取得最小值-1
奇偶性 奇函数
偶函数
对称轴 x=kπ+,k∈Z
x=kπ,k∈Z
对称
中心
(kπ,0),k∈Z
,k∈Z
3
π
π
kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).
6
3
π
π
所以原函数的减区间是[kπ-6,kπ+3](k∈Z).
π
π
(2)y=2sin 4 - =-2sin - 4 .
π
令 z=x- ,则 y=-2sin z,求 y=-2sin z 的减区间,即求 2sin z 的增区间.
4
π
π
所以- +2kπ≤z≤ +2kπ,k∈Z,
(k∈Z)上都是增函数,其值由-1 (k∈Z)上都是增函数,其值由-1
单调性 增大到1;在每一个闭区间
增大到1;在每一个闭区间
[2kπ+,2kπ+] (k∈Z)上都是减函 [2kπ,2kπ+π] (k∈Z) 上都是减函
数,其值由1减小到-1
数,其值由1减小到-1
函数
正弦函数y=sin x
余弦函数 y=cos x
反思感悟与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解思路
1.求形如y=asin x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性
(-1≤sin x≤1)求解.
2.对于形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的函数,当定义域为R时,值域为
苏教版 高中数学必修第一册 指数函数 课件3
化
时， 0<y<1
时， y>1
单调性
在(－∞，＋∞)上是 _增__函__数__
在(－∞，＋∞)上是 __减__函__数___
奇偶性
非奇非偶函数
指数函数图象的应用 命题角度1 指数函数整体图象 例 4 在如图所示的图象中，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与函数 y＝bax 的图 象可能是
√
解析 根据图中二次函数图象可知c＝0， ∴二次函数y＝ax2＋bx，
3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司
2016 年全年投入研发奖金 130 万元．在此基础上，每年投入的研发
奖金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发奖金开始数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2
＝0.30)．
2020 [设第n年开始超过200万元，则130×(1＋12%)n－2 016>200，化简得
指数函数的性质 角度1 函数过定点 【例2－1】 函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.
解析 因为y＝ax的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(－1)＝－ 1，故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1). 答案 (－1，－1)
随堂测试 1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论 正确的是 A.a>1，b<0 B.a>1，b>0 C.0<a<1，b>0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.1.1函数的概念和图象（一）
学习目标：
使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法；理解静与动的辩证关系. 教学重点：
函数的概念，函数定义域的求法. 教学难点：
函数概念的理解. 教学过程： 一、情境设置
问题一：在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的？ （几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述）.
设在一个变化的过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量.
我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：
问题二：y ＝1（x ∈R ）是函数吗？
问题三：y ＝x 与y ＝x 2
x
是同一个函数吗？
（学生思考，很难回答） 显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念（板书课题）. 二、学生活动
在现实生活中，我们可能遇到下列问题：
⑴估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示，你能根据这个表说出我国人口变化情况吗？
⑵一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y ＝4.9x 2
.若一物体下落2s ，你能求出它下落的距离吗？
⑶
①上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
②在什么时刻，气温为0℃？
③在什么时刻内，气温在0℃以上？
问题四：在上述例子中，是否确定了函数关系？为什么？ 三、建构数学
问题五：如何用集合的观点来阐述上面三个例子中的共同特点？
对于集合A 中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B 中都有惟一的数和它对应. 问题六：如何用集合的观点来理解函数的概念？ 结论：函数是建立在两个非空数集之间的单值对应. 反思：⑴结论是否正确地概括了例子的共同特征？ ⑵比较上述认识和初中函数概念是否有本质上的差异？
⑶正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数是否也具有上述特征？ 问题七：如何用集合的语言来阐述上面三个例子中的共同特点？
对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 和它对应，记作：f ：A →B.
函数的定义
设A 、B 是非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为
y ＝f(x)，x ∈A
其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数的定义域. 强调：
⑴集合A 与集合B 都是非空数集； ⑵对应法则的方向是从A 到B ； ⑶强调“非空”、“每一个”、“惟一”这三个关键词. 说明：
⑴“单值对应”是函数对应法则的根本特征；
⑵“箭头图”给出了“单值对应”从一个集合到另一个集合的方向性； ⑶“输入”与“输出”的关系. 学生练习P29习题2.1⑴T10 反思：回答问题二、问题三
函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题. y=1（x ∈R ）是函数，因为对于实数集R 中的任何一个数x ，按照对应关系“函数值是1”，在R 中y 都有惟一确定的值1与它对应，所以说y 是x 的函数.
Y ＝x 与y ＝x
2
x 不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y ＝x 的定义域是R ，
而y ＝x 2
x 的定义域是{x|x ≠0}. 所以y ＝x 与y ＝x
2
x
不是同一个函数.
问题九：理解函数的定义，我们应该注意些什么呢？
（教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结） 注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.
②符号“f:A →B ”表示A 到B 的一个函数，它有三个要素；定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.（定义域→优先，对应法则→核心）
③集合A 中数的任意性，集合B 中数的惟一性.
④f 表示对应关系，在不同的函数中，f 的具体含义不一样. ⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f 与x 的乘积.
在研究函数时，除用符号f(x ）表示函数外，还常用g(x) 、F(x)、G(x)等符号来表示. 若A 是函数y ＝f （x ）的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应.我们将所有输出值y 组成的集合{y|y ＝f(x)，x ∈A }称做函数的值域. 四、数学运用
例1求下列函数的定义域.
(1)f(x)＝1x －2 (2)f(x)＝3x ＋2 (3)f(x)＝x ＋1 ＋1
2－x
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y ＝f(x)，而没有
指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合.
解：(1)x －2≠0，即x ≠2时，1
x －2 有意义
∴这个函数的定义域是{x ｜x ≠2} (2)3x ＋2≥0，即x ≥－2
3 时3x ＋2 有意义
∴函数y ＝3x ＋2 的定义域是[－2
3
，＋∞）
(3) ⎩⎨⎧x ＋1≥02－x ≠0 ⇒
⎩⎨⎧x ≥－1
x ≠2
∴这个函数的定义域是{x ｜x ≥－1}∩{x ｜x ≠2}＝[－1，2）∪（2，＋∞）. 注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.
从上例可以看出，当确定用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R ；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f （x ）是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；
(4)如果f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；
(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.
例2 试比较下列两个函数的定义域与值域：
⑴f(x)＝(x －1)2
＋1,x ∈{－1,0,2,3}；
⑵f(x)＝(x －1)2
＋1,x ∈R.
解：⑴函数的定义域为{－1,0,2,3}， ∵f(－1)＝[(－1)－1]2
＋1＝5，
同理f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，
∴这个函数的值域为{1,2,5}. ⑵∵函数的定义域为R ，∴(x －1)2
＋1≥1， ∴这个函数的值域为{y|y ≥1}.
变：f(x)＝(x －1)2
＋1, x ∈[－1，4] 解：画出f(x)＝(x －1)2
＋1, x ∈[－1，4]的图象， 如图所示，得y ∈[1,10]
问题十：比较两个函数定义域，你对函数有什么新的认识？ 学生练习：P28练习T1,2,3
五、回顾反思
本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.（本小结的内容可由学生自己来归纳）
六、作业
P28习题2.1⑴T1,2,3。