必修1：函数的概念和图象(苏教版)

2.1.1函数的概念和图象（一）

学习目标：

使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法；理解静与动的辩证关系. 教学重点：

函数的概念，函数定义域的求法. 教学难点：

函数概念的理解. 教学过程： 一、情境设置

问题一：在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的？ （几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述）.

设在一个变化的过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量.

我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：

问题二：y ＝1（x ∈R ）是函数吗？

问题三：y ＝x 与y ＝x 2

x

是同一个函数吗？

（学生思考，很难回答） 显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念（板书课题）. 二、学生活动

在现实生活中，我们可能遇到下列问题：

⑴估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示，你能根据这个表说出我国人口变化情况吗？

⑵一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y ＝4.9x 2

.若一物体下落2s ，你能求出它下落的距离吗？

⑶

①上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？

②在什么时刻，气温为0℃？

③在什么时刻内，气温在0℃以上？

问题四：在上述例子中，是否确定了函数关系？为什么？ 三、建构数学

问题五：如何用集合的观点来阐述上面三个例子中的共同特点？

对于集合A 中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B 中都有惟一的数和它对应. 问题六：如何用集合的观点来理解函数的概念？ 结论：函数是建立在两个非空数集之间的单值对应. 反思：⑴结论是否正确地概括了例子的共同特征？ ⑵比较上述认识和初中函数概念是否有本质上的差异？

⑶正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数是否也具有上述特征？ 问题七：如何用集合的语言来阐述上面三个例子中的共同特点？

对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 和它对应，记作：f ：A →B.

函数的定义

设A 、B 是非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为

y ＝f(x)，x ∈A

其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数的定义域. 强调：

⑴集合A 与集合B 都是非空数集； ⑵对应法则的方向是从A 到B ； ⑶强调“非空”、“每一个”、“惟一”这三个关键词. 说明：

⑴“单值对应”是函数对应法则的根本特征；

⑵“箭头图”给出了“单值对应”从一个集合到另一个集合的方向性； ⑶“输入”与“输出”的关系. 学生练习P29习题2.1⑴T10 反思：回答问题二、问题三

函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题. y=1（x ∈R ）是函数，因为对于实数集R 中的任何一个数x ，按照对应关系“函数值是1”，在R 中y 都有惟一确定的值1与它对应，所以说y 是x 的函数.

Y ＝x 与y ＝x

2

x 不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y ＝x 的定义域是R ，

而y ＝x 2

x 的定义域是{x|x ≠0}. 所以y ＝x 与y ＝x

2

x

不是同一个函数.

问题九：理解函数的定义，我们应该注意些什么呢？

（教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结） 注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.

②符号“f:A →B ”表示A 到B 的一个函数，它有三个要素；定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.（定义域→优先，对应法则→核心）

③集合A 中数的任意性，集合B 中数的惟一性.

④f 表示对应关系，在不同的函数中，f 的具体含义不一样. ⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f 与x 的乘积.

在研究函数时，除用符号f(x ）表示函数外，还常用g(x) 、F(x)、G(x)等符号来表示. 若A 是函数y ＝f （x ）的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应.我们将所有输出值y 组成的集合{y|y ＝f(x)，x ∈A }称做函数的值域. 四、数学运用

例1求下列函数的定义域.

(1)f(x)＝1x －2 (2)f(x)＝3x ＋2 (3)f(x)＝x ＋1 ＋1

2－x

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y ＝f(x)，而没有

指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合.

解：(1)x －2≠0，即x ≠2时，1

x －2 有意义

∴这个函数的定义域是{x ｜x ≠2} (2)3x ＋2≥0，即x ≥－2

3 时3x ＋2 有意义

∴函数y ＝3x ＋2 的定义域是[－2

3

，＋∞）

(3) ⎩⎨⎧x ＋1≥02－x ≠0 ⇒

⎩⎨⎧x ≥－1

x ≠2

∴这个函数的定义域是{x ｜x ≥－1}∩{x ｜x ≠2}＝[－1，2）∪（2，＋∞）. 注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.

从上例可以看出，当确定用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R ；

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

(3)如果f （x ）是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；

(4)如果f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；

(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.

例2 试比较下列两个函数的定义域与值域：

⑴f(x)＝(x －1)2

＋1,x ∈{－1,0,2,3}；

⑵f(x)＝(x －1)2

＋1,x ∈R.

解：⑴函数的定义域为{－1,0,2,3}， ∵f(－1)＝[(－1)－1]2

＋1＝5，

同理f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，

∴这个函数的值域为{1,2,5}. ⑵∵函数的定义域为R ，∴(x －1)2

＋1≥1， ∴这个函数的值域为{y|y ≥1}.

变：f(x)＝(x －1)2

＋1, x ∈[－1，4] 解：画出f(x)＝(x －1)2

＋1, x ∈[－1，4]的图象， 如图所示，得y ∈[1,10]

问题十：比较两个函数定义域，你对函数有什么新的认识？ 学生练习：P28练习T1,2,3