2019年八年级数学上册第一章《勾股定理》第一节《探索勾股定理》习题三(含答案)

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北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末练习题含答案解析 (31)

一、选择题1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A．5，12，14B．6，8，10C．7，24，25D．8，15，172.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )A．5，12，13B．1，2，√7C．√3，√5，2D．4，5，63.在Rt△ABC中，∠C=90∘．若AC=5，BC=12，则AB的长为( )A．5B．13C．12D．154.以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是()A．5，12，13B．3，5，2√7C．6，9，14D．4，10，135.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是( )A．2，2，3B．3，4，5C．5，12，13D．1，√2，√36.如图，AD=1，点M表示的实数是( )A．√10B．−√10C．3D．−37.在下列各组数中，是勾股数的是( )A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，68.在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10cm，AB边上的高为4cm，则Rt△ABC的周长为( )cm．A．24B．6√5C．3√5+10D．6√5+109.在△ABC中，如果AC2−AB2=BC2，那么( )A．∠A=90∘B．∠B=90∘C．∠C=90∘D．不能确定哪个角是直角10.已知直角三角形两边的长分别为6和8，则此三角形的周长为( )A．14B．14+2√7C．24或14+2√7D．14或7+2√5二、填空题11.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=8，∠B=90∘，将△ABC折叠，使得点A与BC边的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长为．12.如图，在△ABC和△EDB中，∠C=∠EBD=90∘，点E在AB上，若△ABC≌△EDB，AC=4，BC=3，则DE=．13.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长是．14.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为．15.三角形三边长分别为2，√2，√2，那么它们所对的内角的度数分别为．16.如图，每个小正方形的边长是1，A，B，C，D，E是小正方形的顶点，则∠DAB+∠ECB的值为．17.根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法简称“无字证明”，下图是一幅“无字证明”的图形，请同学们根据图中的字母写出你能验证的定理：三、解答题18.已知AD是△ABC的边BC上的高，AD=2√6，CD=2√2，BC=2AC．求AB的长．19.如图，要从电线杆C处离地面B处8m向地面A处拉一条长10m的电缆，求地面电缆固定点A到电线杆底部B的距离．20.如图，一块铁皮，经测量∠A=∠B=∠E=90∘，AB=12，DE=7，BC=6，CD=13．求这块铁皮的面积．21.如图，在铁路线CD附近有两个村庄A，B，到铁路的距离分别是2km和1km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且CD=4km．现在要在铁路线旁建一个农副产品收购站E，使A，B两村到E站的距离相等．(1) 请利用尺规作图确定站E的位置．（不写作法，保留作图痕迹）(2) 求出CE长度．22.如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，试求(a+b)2的值．23.判断以线段a，b，c为边组成的三角形是不是直角三角形，其中a=√6，b=1，c=√5．24.已知：如图，在△ABC中，∠C=90∘，若AC=6，AB=8，求BC的长．25.如图，在边长为1的正方形网格上，有一个△ABC，它的各个顶点都在格子上，△ABC是直角三角形吗？为什么？答案一、选择题1. 【答案】A【知识点】勾股逆定理2. 【答案】A【知识点】勾股逆定理3. 【答案】B【解析】∵∠C=90∘，AC=5，BC=12，∴AB=√AC2+BC2=√52+122=13．【知识点】勾股定理4. 【答案】A【解析】【分析】先分别求出两个小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．【解析】解：A、52+122=132，即以5、12、13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；B、32+52≠(2√7)2，即以3、5、2√7为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、62+92≠142，即以6、9、14为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、42+102≠132，即以4、10、13为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．【知识点】勾股逆定理5. 【答案】A【知识点】勾股逆定理6. 【答案】A【解析】如图所示：∵AD=1，AB=3，∠CBA=90∘，∴BC=1，由勾股定理得：AC=√32+12=√10，∴AM=AC=√10．【知识点】勾股定理7. 【答案】C【解析】A．12+22=5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意．B．22+32=13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意．C．32+42=52，是勾股数，故本选项符合题意．D．42+52=41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．【知识点】勾股逆定理8. 【答案】D【解析】由勾股定理得AC2+BC2=AB2=100，由三角形的面积公式可知，12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CD=20，∴2⋅AC⋅BC=80，则(AC+BC)2=AC2+BC2+2⋅AC⋅BC=180，解得AC+BC=6√5，∴Rt△ABC的周长=AC+BC+AB=6√5+10．【知识点】勾股定理9. 【答案】B【解析】∵AC2−AB2=BC2，∴AC2=BC2+AB2，∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，∴∠B=90∘．【知识点】勾股逆定理10. 【答案】C【解析】设Rt△ABC的第三边长为x，①当8为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x=√62+82=10，此时这个三角形的周长=6+8+10=24；②当8为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=√82−62=√64−36=2√7，此时这个三角形的周长=6+8+2√7=14+ 2√7，故选：C．【知识点】勾股定理二、填空题11. 【答案】3【解析】∵AB=BC=8，D是BC的中点，∴BD=CD=4，由折叠知DF=AF，∴设BF=x，则AF=8−x，在Rt△DBF中，DF2=BD2+BF2，∴(8−x)2=42+x2，解得：x=3，即BF=3．【知识点】勾股定理之折叠问题12. 【答案】1【解析】在Rt△ACB中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，由勾股定理得：AB=5，∵△ABC≌△EDB，∴BE=AC=4，∴AE=5−4=1．【知识点】勾股定理、全等形的概念及性质13. 【答案】5或√7【解析】当长是3和4的两边是两条直角边时，第三边是斜边=√32+42=5；当长是3和4的两边一条是直角边，一条是斜边时，则长是4的一定是斜边，第三边是直角边=√42−32=√7．故第三边长是：5或√7．【知识点】勾股定理14. 【答案】100【解析】由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64=100．【知识点】勾股定理15. 【答案】90∘，45∘，45∘【知识点】勾股逆定理16. 【答案】45∘【知识点】勾股逆定理17. 【答案】a2+b2=c2．【解析】由两图算两次面积，左图为a2+b2，右图为c2∴a2+b2=c2．【知识点】勾股定理三、解答题18. 【答案】分两种情况：①如图1，∠ACB为锐角，点D在边BC上，∵AD⊥BC，AD=2√6，CD=2√2，∴AC=√AD2+CD2=4√2，∵BC=2AC，∴BC=8√2，∴BD=BC−CD=6√2，∴AB=√AD2+BD2=4√6；②如图2，∠ACB为钝角，点D在BC的延长线上，同①可得AC=4√2，BC=8√2，∴BD=BC+CD=10√2，∴AB=√AD2+BD2=4√14．综上所述，AB的长为4√6或4√14．【知识点】勾股定理19. 【答案】AB=√AC2−BC2=√100−64=√36=6.【知识点】勾股定理的实际应用20. 【答案】铁皮面积为186．提示：补成矩形．【知识点】勾股定理21. 【答案】(1) 如图所示：点E即为所求；(2) 连接AE，BE，设CE=x km，则DE=(4−x)km，∵AC⊥CD，BD⊥CD，△ACE和△BDE都是直角三角形，在Rt△ACE中，AE2=22+x2，在Rt△BDE中，BE2=12+(4−x)2，由（1）得：AE=BE，∴22+x2=12+(4−x)2，解得：x=138，∴E点在距离C点138km处．【知识点】勾股定理的实际应用、作线段的垂直平分线22. 【答案】∵大正方形的面积是100，∴直角三角形的斜边的平方是100，∵直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，∴a2+b2=100，∵大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形的面积之和，小正方形的面积是4，ab=100−4，即2ab=96，∴4×12∴(a+b)2=a2+2ab+b2=100+96=196．【知识点】勾股定理、完全平方公式23. 【答案】∵a2=(√6)2=6，b2=1，c2=(√5)2=5,∴a2=b2+c2，∴由a，b，c为边能够组成斜边为a的直角三角形．【知识点】勾股逆定理24. 【答案】在△ABC中，∠C=90∘，AC=6，AB=8，由勾股定理可得BC=√AB2−AC2=√82−62=√28=2√7.所以BC的长为2√7．【知识点】勾股定理25. 【答案】△ABC是直角三角形，理由如下：∵AB2=5，AC2=20，BC2=25，∴AB2+AC2=BC2．由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．【知识点】勾股逆定理、勾股定理。

八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理勾股定理教材习题解析素材(新版)北师大版

勾股定理1．解析：主要考查利用勾股定理求直角三角形的边长．各小题答案依次是：（1）；（2）；（3）．2．解析：本题是勾股定理在实际问题中的应用．相当于已知直角三角形的两直角边的长，求斜边长．根据勾股定理得折断处到木杆顶端的长为加上3，可知木杆折断之前应为8m．答案是：8m．3．解析：本题是几何问题，主要考查利用勾股定理求直角三角形的边长．根据勾股定理得答案是：2.5．4．解析：本题考查勾股定理在实际问题中的应用．求两孔中心的距离相当于已知直角三角形两直角边的长，求斜边的长．依题意知，根据勾股定理得．于是，两孔中心的距离为43.4mm．5．解析：本题主要考查利用勾股定理解决实际应用问题．相当于已知直角三角形的斜边与一条直角边，求另一条直角边．根据勾股定理得，故点A到电线杆底部B的距离是4.9m．6．解析：本题考查利用勾股定理画出长为（为正整数）的线段．利用勾股定理可以发现，直角边长为2，4的直角三角形的斜边长为．由此可以依照如下方法在数轴上画出表示的点．如图，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点．7．解析：本题主要考查利用勾股定理求解含特殊角的直角三角形的边长问题．（1）是直角三角形中30°角所对的直角边，故，根据勾股定理得；（2）容易推出图形是等腰三角形，两直角边相等，故于是，，8．解析：本题主要考查三角形的面积公式和利用勾股定理求直角三角形的边长．各小题答案如下：（1）；（2）根据勾股定理得；（3）由可得，．9．解析：本题主要考查勾股定理的应用．实际是利用勾股定理求等腰三角形底边上的高．根据勾股定理得，故高的长为82mm．10．解析：本题主要考查勾股定理在实际问题中的应用．题给图形是截面图，抽象成数学问题，相当于求解直角三角形的边长问题．设水的深度为尺，则芦苇的长度为尺，根据勾股定理得解得于是，水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺．11．解析：本题考查特殊直角三角形边之间的数量关系及勾股定理的应用．直角三角形中，30°角所对直角边的长等于斜边的一半，设，则，根据勾股定理得，解得所以斜边的长12．解析：主要考查正方形的面积公式和勾股定理的应用．先根据面积关系确定大正方形的边长，然后根据勾股定理得到分割的方法．因为5个小正方形的面积之和为5，所以大正方形的面积为5，可得大正方形的边长为，容易发现，直角边的长为2，1的直角三角形的斜边长为，这就提示我们，分割和拼接方法分别如图1和图2所示．13．解析：本题主要考查勾股定理的应用．由勾股定理得到，直角边上的两个半圆的面积的和等于斜边上半圆的面积．运用上述结论可得，阴影部分的面积就是直角三角形的面积．证明如下：，，．因为根据勾股定理得所以14．解析：本题主要考查勾股定理的应用、全等三角形的判定方法及等腰直角三角形的性质．证明如下：证法一：如图1，连接BD．又在Rt中，得即证法二：如图2，作由题给条件可知，在Rt中，根据勾股定理得在等腰Rt和等腰Rt中，根据勾股定理得，又而。

北师大版八年级第一章勾股定理练习题【带答案解析】

北师⼤版⼋年级第⼀章勾股定理练习题【带答案解析】第⼀章勾股定理分节练习第1节探索勾股定理⼀、求边长问题. ★★★题型⼀：已知直⾓三⾓形的两边，求第三边.1、【基础题】求出下列两个直⾓三⾓形中x和y边的长度.、【基础题】（1）求斜边长为17 cm，⼀条直⾓边长为15 cm的直⾓三⾓形的⾯积.（2）已知⼀个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平⽅是________.、【综合Ⅰ】已知⼀个等腰三⾓形的两腰长为5 cm，底边长6 cm，求这个等腰三⾓形的⾯积.、【综合Ⅰ】如图，有两棵树，⼀棵⾼10⽶，另⼀棵⾼4⽶，两树相距8⽶，⼀只⼩鸟从⼀棵树的树梢飞到另⼀棵树的树梢，问⼩鸟⾄少飞⾏（）A．8⽶ B．10⽶C．12⽶D．14⽶、【综合Ⅰ】强⼤的台风使得⼀根旗杆在离地⾯9⽶处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12⽶处，求旗杆折断之前有多⾼？、【综合Ⅱ】如图，某储藏室⼊⼝的截⾯是⼀个半径为 m的半圆形，⼀个长、宽、⾼分别是 m、1 m、 m的箱⼦能放进储藏室吗？题型⼆：⽤“勾股定理 + ⽅程”来求边长.2、【综合Ⅱ】⼀个直⾓三⾓形的斜边为20 cm，且两直⾓边的长度⽐为3∶4，求两直⾓边的长.【综合Ⅱ】如图，⼩明想知道学校旗杆的⾼，他发现旗杆顶端的绳⼦垂到地⾯还多1⽶，当他把绳⼦的下端拉开5⽶后，下端刚好接触地⾯，求旗杆AC的⾼度.、【综合Ⅱ】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了⼀个有趣的问趣，这个问题的意思是：如左下图，有⼀个边长是10尺的正⽅形⽔池，在⽔池正中央有⼀根芦苇，它⾼出⽔⾯1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的⽔⾯，请问这个⽔池的深度和这根芦苇的长度各是多少？【综合Ⅲ】如右上图，有⼀块直⾓三⾓形纸⽚，两直⾓边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直⾓边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．【提⾼题】（2011年北京市竞赛题）两张⼤⼩相同的纸⽚，每张都分成7个⼤⼩相同的矩形，放置如图所⽰，重合的顶点记作A，顶点C在另⼀张纸的分隔线上，若BC＝28，则AB的长是 ______ ．类型三：“⽅程＋等⾯积”求直⾓三⾓形斜边上的⾼.3、直⾓三⾓形两直⾓边分别为5、12，则这个直⾓三⾓形斜边上的⾼为（）.（A）6 （B）（C）（D）⼆、⾯积问题. ★4、【基础题】求出左下图中A、B字母所代表的正⽅形的⾯积.、【综合Ⅰ】如右上图，所有的四边形都是正⽅形，所有的三⾓形都是直⾓三⾓形，请在图中找出若⼲图形，使它们的⾯积之和等于最⼤正⽅形1的⾯积，尝试给出两种⽅案.则正⽅形A ，B ，C ，D 的⾯积之和为___________cm 2.、【综合题】如右上图2，以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直⾓三⾓形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的⾯积为（）.（A ）9 （B ）3 （C ）（D ）5、【综合Ⅲ】如图，在直线l 上依次摆放着七个正⽅形，已知斜放置的三个正⽅形的⾯积分别是1、2、3，正放置的四个正⽅形的⾯积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则1S ＋2S ＋3S ＋4S ＝________三、证明问题 6、【综合Ⅲ】1876年，美国总统加菲尔德利⽤右图验证了勾股定理，你能利⽤左下图验证勾股定理吗？说⼀说这个⽅法和本节的探索⽅法的联系.7、【提⾼题】如右上图，在Rt △ABC 中，∠A ＝ 90，D 为斜边BC 的中点，DE ⊥DF ，求证：222CF BE EF ＋＝.8、【提⾼题】如图，AD 是△ABC 的中线，证明：）＋（＝＋22222CD AD AC AB的尺⼨如图所⽰，这个零件符合要求吗？并求出四边形ABCD 的⾯积. 、【综合Ⅰ】如左下图，6个三⾓形分别标号，哪些三⾓形是直⾓三⾓形，哪些不是，请说明理由.、【综合Ⅰ】如右上图，在正⽅形ABCD 中，4＝AB ，2＝AE ，1＝DF ，图中有⼏个直⾓三⾓形，说明理由. 10、【基础题】下列各组中，不能构成直⾓三⾓形三边长度的是（）（A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，34 （D ）9，40，41 、【基础题】（1）如果将直⾓三⾓形的三条边长同时扩⼤⼀个相同的倍数，得到的三⾓形还是直⾓三⾓形吗？（2）下表中第⼀列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗？任意、【综合Ⅰ】如图，直⾓三⾓形ABC 的周长为24，AB 是斜边且AB ：BC=5：3，则AC ＝（）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12第三节勾股定理的应⽤11、【综合Ⅰ】如左下图，有⼀个圆柱，⾼是12 cm，底⾯半径是3 cm，在圆柱下底⾯的A点有⼀只蚂蚁，它想吃到上底⾯与A点相对的B点处的⾷物，那么它沿圆柱侧⾯爬⾏的最短路程是多少？（的值取3）、【综合Ⅰ】如右上图，有⼀圆柱形油罐，底⾯周长为24 m，⾼为10 m，从A处环绕油罐建梯⼦，梯⼦的顶端正好到达A点的正上⽅B点，问所建梯⼦最短需多长？12、【综合Ⅰ】如左下图，⼀个⽆盖的长⽅体盒⼦的长、宽、⾼分别为8 cm、8 cm、12cm，⼀只蚂蚁想从盒底的A点沿长⽅体的表⾯爬到盒顶的B点，请问蚂蚁爬⾏的最短路程是多少？、【综合Ⅱ】如右上图，长⽅体的长为15，宽为10，⾼为20，点B离点C的距离是5，⼀只蚂蚁如果要沿着长⽅体的表⾯从点A 爬到点B，需要爬⾏的最短路程是多少？13、【基础题】⼀艘帆船由于风向的原因先向正东⽅向航⾏了160千⽶，然后向正北⽅向航⾏了120千⽶，这时它离出发点有多远？、【基础题】甲、⼄两位探险者到沙漠进⾏探险，某⽇早晨8：00甲先出发，他以6 km／h 的速度向正东⾏⾛，1⼩时后⼄出发，他以5 km／h的速度向正北⾏⾛，上午10：00时，甲⼄⼆⼈相距多远？14、【基础题】如左下图，⼀座城墙⾼⽶，墙外有⼀条宽为9⽶的护城河，那么⼀个长为15⽶的云梯能否到达墙的顶端？、【综合Ⅰ】如右上图，⼀架云梯长25⽶，如图斜靠在⼀⾯墙上，梯⼦底端离墙7⽶.（1）这个梯⼦的顶端距地⾯有多⾼？（2）如果梯⼦的顶端下滑了4⽶，那么梯⼦的底部在⽔平⽅向也滑动了4⽶吗？、【综合Ⅰ】如右上图，在四边形ABCD 中，AD ＝4 cm ，CD ＝3 cm ，AD ⊥CD ，AB ＝12 cm ，BC ＝13 cm ，求四边形ABCD 的⾯积. 16、【综合Ⅲ】如图，Rt△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使点A 与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（） A.35 B. 25C. 4D. 517、【综合Ⅰ】将⼀根长24 cm 的筷⼦置于底⾯直径为5 cm 、⾼为12 cm 的圆柱形⽔杯中，那么筷⼦露在⽔杯外⾯的长度 h （cm ）的取值范围是、【提⾼题】装修⼯⼈购买了⼀根装饰⽤的⽊条，乘电梯到⼩明家安装，如果电梯的长、宽、⾼分别是 m 、 m 、 m ，那么能放⼊电梯内的⽊条的最⼤长度⼤约是多少⽶？你能估计出装修⼯⼈买的⽊条⾄少是多少⽶吗？、【综合Ⅰ】如图，⼩⽅格是边长为1的正⽅形，求ABCD的⾯积.19、【提⾼题】如右上图，是由5个边长相同的⼩正⽅形组成的⼗字，A、B、C均在顶点上，则∠BAC＝．⼀、求边长问题. ★★★题型⼀：已知直⾓三⾓形的两边，求第三边. 1、【答案】 x ＝10，y ＝12 【总结】知道直⾓三⾓形的两边，可以求出第三边，这是勾股定理最常见的应⽤，也是基本的题型。

北师大版初二上学期数学第一章探索勾股定理(含答案)

《1.1 探索勾股定理》一、选择题。

1．直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则下列关于a，b，c三边的关系式不正确的是（）A．b2=c2﹣a2B．a2=c2﹣b2C．b2=a2﹣c2D．c2=a2+b22．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25C．斜边长为25 D．三角形的面积为203．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）A．48 B．60 C．76 D．804．在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5，BC=12，则AB的长为（）A．5 B．12 C．13 D．156．若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S 1，右边阴影部分面积为S2，则（）A．S1=S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．无法确定8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A ．B ．C ．D ．9．直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为（）A ．12B ．10C ．8D ．6二、填空题。

10．在Rt △ABC 中，∠B=90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a=12，b=13，则c 的值为______．11．甲船以15海里/时的速度离开港口向北航行，乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距______海里．12．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，分别以BC 、AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1、S 2、S 3，若S 2=4，S 3=6，则S 1=______．13．如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm 和12cm ，那么这个直角三角形的面积是______．14．如图，∠MCF=∠FCD ，∠MCE=∠ECB ，EF=10cm ，则CE 2+CF 2=______．15．在直角三角形ABC 中，∠C=90°，BC=12，AC=9，则AB=______．16．等腰△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=12cm ，则BC 边上的高是______cm ．17．如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt △ABF 中，∠AFB=90°，AF=4，AB=5．四边形EFGH 的面积是______．18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．三、解答题。

八年级上册数学第一章勾股定理同步练习(含答案)

第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 .4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8．2．2.5m．C F60cm．3．134．D．5．25km．6．4．7．3 cm．1.1 探索勾股定理第2课时验证勾股定理1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？2.下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案1.（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC =(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+722.①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.1.2 一定是直角三角形吗1.如图在∆ABC 中, BAC = 90, AD BC 于D , 则图中互余的角有 A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为3.已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2222+=+。

2019年八年级数学上册第一章《勾股定理》第一节《探索勾股定理》习题二(含答案)

2019年八年级数学上册第一章《勾股定理》《探索勾股定理》同步练习二1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于（）讲完知识点梳理后作做问题延伸题（举一反三）：BE 的长？求折痕DE 的长？A. 425B. 322C. 47D. 352.如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC•于M ，交AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，求AB 的长．3.折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。

4.如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积5.如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少？（举一反三：题干不变，求折痕EF 的长？）利用直角三角形ABE 可求得BE ，也就是DE 长，构造EF为斜边的直角三角形，进而利用勾A BF股定理求解．6.如图，在长方形ABCD中，将∆ABC沿AC对折至∆AEC位置，CE与AD交于点F。

（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长（举一反三：试说明EF=DF．)7.如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．（原题图不标准重新画一个图）习题答案1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于（）讲完知识点梳理后作做问题延伸题（举一反三）：BE 的长？求折痕DE 的长？A. 425B. 322C. 47D. 35解：由题意得DB=AD ；设CD=xcm ，则 AD=DB=（8-x ）cm ， ∵∠C=90°， ∴，解得x=，即CD=cm ．故选C ．2.如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC•于M ，交AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，求AB 的长．解：连接AM∵MN 是AB 的垂直平分线，∴△AMN ≌△BMN ，∴MA = MB ，∠B = ∠BAM ∵MB = 2MC ，∴MA = 2MC ，∴∠CAM = 30°，即∠CMA = 60°∵∠CMA = ∠B + ∠BAM 且∠B = ∠BAM ，∴∠B = 30°，∴AB = 2AC = 16折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。

八年级数学上册《第一章探索勾股定理》练习题-带答案(北师大版)

八年级数学上册《第一章探索勾股定理》练习题-带答案(北师大版)一、选择题1.下列三角形中，可以构成直角三角形的有( )A.三边长分别为2，2，3B.三边长分别为3，3，5C.三边长分别为4，5，6D.三边长分别为1.5，2，2.52.如图，直角△ABC的周长为24，且AB：AC＝5：3，则BC＝( )A.6B.8C.10D.123.下列各组数为勾股数的是( )A.6，12，13B.3，4，7C.4，7.5，8.5D.8，15，164.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是( )A.a＝15，b＝8，c＝17B.a＝9，b＝12，c＝15C.a＝7，b＝24，c＝25D.a＝3，b＝5，c＝75.若直角三角形的三边长分别为6、10、m，则m2的值为( )A.8B.64C.136D.136或646.直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的13，斜边长为10，则它的面积为( )A.10B.15C.20D.307.如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是( )8.直角三角形的三边为a﹣b，a，a＋b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为( )A.61B.71C.81D.91二、填空题9.若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积．10.在Rt△ABC中，∠C＝90o， AC＝6，BC＝8，则AB边的长是 .11.已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别4cm2和15cm2，则正方形③的面积为．12.如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和12，则b的面积为____.13.若直角三角形的两小边为5、12，则第三边为．14.如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为______.三、解答题15.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…a，b，c根据你发现的规律，请写出(1)当a＝19时，求b、c的值；(2)当a＝2n＋1时，求b、c的值；(3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由.16.如图，在△ABC中，AB＝AC＝26，边BC上的中线AD＝24．求BC的长度．17.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°.请完成以下任务.(1)尺规作图：①作∠A的平分线，交CB于点D；②过点D作AB的垂线，垂足为点E.请保留作图痕迹，不写作法，并标明字母.(2)若AC＝3，BC＝4，求CD的长.18.如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D为AB边上的一点(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)若DE＝13，BD＝12，求线段AB的长．19.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积.20.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边中点，过D点做DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE＝4，FC＝3，求EF长.参考答案1.D.2.B3.D4.D5.D.6.B7.A.8.C.9.答案为：24.10.答案为：10.11.答案为：19．12.答案为：1713.答案为：13.14.答案为：1515.解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1 ∵a＝19，a2＋b2＝c2∴192＋b2＝(b＋1)2∴b＝180∴c＝181；(2)通过观察知c﹣b＝1∵(2n＋1)2＋b2＝c2∴c2﹣b2＝(2n＋1)2(b＋c)(c﹣b)＝(2n＋1)2∴b＋c＝(2n＋1)2又c＝b＋1∴2b＋1＝(2n＋1)2∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1；16.解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线∴AD⊥BC，BD＝DC．∴AD2＋BD2＝AB2∵AD＝24，AB＝26∴BD2＝100∵BD＞0∴BD＝10∴DC＝10∴BC＝BD＋DC＝20．17.解：(1)如图所示：①AD是∠A的平分线；②DE是AB的垂线；(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝5由作图过程可知：DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°∵S△ACD ＋S△ABD＝S△ABC∴12AC•CD＋12AB•DE＝12AC•BC∴12×3×CD＋12×5×CD＝12×3×4，解得：CD＝32.18.证明：(1)∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形∴CE＝CD，AC＝BC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠B＝∠BAC＝45°∴∠ACE＝∠BCD＝90°﹣∠ACD在△ACE和△BCD中∴△ACE≌△BCD；(2)解：∵△ACE≌△BCD∴AE＝BD，∠EAC＝∠B＝45°∵BD＝12∴∠EAD＝45°＋45°＝90°，AE＝12在Rt△EAD中，∠EAD＝90°，DE＝13，AE＝12 由勾股定理得：AD＝5∴AB＝BD＋AD＝12＋5＝17．19.解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB∴DE＝CD又∵CD＝3∴DE＝3；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8 ∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10∴S△ADB ＝12AB·DE＝12×10×3＝15.20.解：连接BD．∵D是AC中点∴∠ABD＝∠CBD＝45°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC ∵∠EDB+∠FDB＝90°，∠FDB+∠CDF＝90°∴∠EDB＝∠CDF在△BED和△CFD中∠EBD＝∠C,BD＝CD,∠EDB＝∠CDF∴△BED≌△CFD(ASA)∴BE＝CF；∵AB＝BC，BE＝CF＝3 ∴AE＝BF＝4在Rt△BEF中，EF＝ 5.。

(必考题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》测试(含答案解析)(3)

一、选择题1．已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为（） A ．20B ．40C ．80D ．1002．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（） A ．2mB ．2.5cmC ．2.25mD ．3m3．如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（）A ．1 条B ．2条C ．3条D ．4条4．如图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 是BC 上一点，AD ＝BD ，若AB ＝8，BD ＝5，则CD ＝（）A ．2.1B ．1.4C ．3.2D ．2.45．下列各组数据中，是勾股数的是（）A ．3，4，5B ．1，2，3C ．8，9，10D ．5，6，96．下列以a ，b ，c 为边的三角形，不是直角三角形的是（）A ．1,1,2a b c ===B ．1,3,2a b c ===C ．3,4,5a b c ===D ．2,2,3a b c ===7．如图，在ABC 中，13,17,AB AC AD BC ==⊥，垂足为D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于（）A ．93B ．30C ．120D ．无法确定 8．一个直角三角形的两条边分别是9和40，则第三边的平方是（） A ．1681B ．1781C ．1519或1681D ．15199．如图，在矩形OABC 中，点B 的坐标是(2,5)，则,A C 两点间的距离是（）A ．26B ．33C ．29D ．5 10．已知Rt ABC 的两直角边分别是6cm ，8cm ，则Rt ABC 的斜边上的高是（）A ．4.8cmB ．2.4cmC ．48cmD ．10cm 11．下列各组数是勾股数的是（）A ．4，5，6B ．5，7，9C ．6，8，10D ．10，11，1212．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，则小正方形的面积为（）．A ．21cmB ．22cmC ．42cmD ．23cm二、填空题13．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8．现将ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ．则CECB的值是__________．14．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若图2中阴影部分的面积是5，则两个较小正方形重叠部分的面积为____.15．一个直角三角形，一边长5cm ，另一边长4cm ，则该直角三角形面积为____ 16．在平面直角坐标系中，若点M （2，4）与点N （x ，4）之间的距离是3，则x 的值是_____．17．如图，ABC 中，90C ∠=︒，D 是BC 边上一点，17AB cm =，10AD cm =，8AC cm =，则BD 的长为________.18．若一个直角三角形的两条直角边长分别是4和6，则斜边长为__________． 19．如图，它是四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短的直角边长为a ，较长的直角边为b ，那么+a b 的值为__________．20．如图，Rt ABC 中，9,6,90AB BC B ==∠=︒，将ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为,MN 则线段BN 的长为________．三、解答题21．已知ABC ∆中，ACB ∠=90°，如图，作三个等腰直角三角形ACD ∆，EAB ∆，FCB ∆，AB ，AC ，BC 为斜边，阴影部分的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ．（1）当AC =6，BC =8时， ①求1S 的值；②求4S -2S -3S 的值；（2）请写出1S ，2S ，3S ，4S 之间的数量关系，并说明理由．22．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝AC ＝6，D 是AB 边上任意一点，连接CD ，以CD 为直角边向右作等腰直角△CDE ，其中∠DCE ＝90°，CD ＝CE ，连接BE ．（1）求证：AD ＝BE ；（2）当△CDE 的周长最小时，求CD 的值；（3）求证：2222AD DB CE +=．23．已知：在ABC ∆中，点E 在直线AC 上，点,,B D E 在同一条直线上，且BA BD =，.BAE D ∠=∠（问题初探）（1）如图1，若BE 平分ABC ∠，求证：180AEB BCE ∠+∠=︒．请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程．（变式再探）（2）如图2，若BE 平分ABC ∆的外角ABF ∠，交CA 的延长线于点E ，问：AEB ∠和BCE ∠的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由．（拓展运用）（3）如图3，在()2的条件下．若,1AB BC CD ⊥=，求EC 的长度．24．阅读材料，并解决问题．有趣的勾股数定义：勾股数又名毕氏三元数．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为勾股数．一般地，若三角形三边长a ，b ，c 都是正整数，且满足222=a b c +，那么数组()a b c ，，称为勾股数．公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数()3，4,5以外，还提到()5，12,13，()7，24,25，()8，15,17，()20，21,29等勾股数．数学小组的同学研究勾股数时发现：设m ，n 是两个正整数，且m n >，三角形三边长a ，b ，c 都是正整数．下表中的a ，b ，c 可以组成一些有规律的勾股数()a b c ，，．mnabc2 1345 3 2 5 12 13 4 1 15 8 17 4 3 7 24 25 5 2 21 20 29 5 4 9 40 416 1 35 12 37 651160617 2 45 28 53 7 4 33 56 65 76138485通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数()a b c ，，可以写成()2222mn b m n -+，，．解答下列问题：（1）表中b 可以用m ，n 的代数式表示为_____________．（2）若4m =，2n =，则勾股数()a b c ，，为______________．（3）小明通过研究表中数据发现：若1c b -=，则勾股数的形式可表述为()211k b b ++，，（k 为正整数），请你通过计算求此时的b ．(用含k 的代数式表示b )25．如图所示，在一棵树的1?0?米高的 B?处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20?米的 A?处．另一只猴子爬到树顶 D?处后顺绳子滑到 A?处，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高．26．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，∠C ＝60°，BC ＝CD ＝6，现将梯形折叠，点B 恰与点D 重合，折痕交AB 边于点E ，则CE ＝_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，已知三边的平方和可以求出斜边的平方，根据斜边的平方可以求出斜边长．【详解】解：∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，又∵已知三边的平方和为800，则斜边的平方为三边平方和的一半，即斜边的平方为，800÷2=400，∴斜边长=400=20，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用，考查了勾股定理的定义，本题中正确计算斜边长的平方是解题的关键．2．A解析：A【分析】设水池的深度BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】解：在直角△ABC中，AC＝1.5m．AB﹣BC＝0.5m．设水池的深度BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m．根据勾股定理得出：∵AC2+BC2＝AB2，∴1.52+x2＝（x+0.5）2，解得：x＝2．故选：A．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理，列出方程，是解题的关键．3．B解析：B【分析】由勾股定理求出a、b、c、d，即可得出结果．【详解】∵223213+=d=2，+=，22+=223451417∴长度是无理数的线段有2条，故选B．【点睛】本题考查了勾股定理、无理数，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．4．B解析：B【分析】设CD=x ，在Rt △ACD 和Rt △ABC 中，利用勾股定理列式表示出AC 2，然后解方程即可．【详解】解：设CD=x ，则BC=5+x ，在Rt △ACD 中，AC 2=AD 2-CD 2=25-x 2，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2-BC 2=64-（5+x ）2，所以，25-x 2=64-（5+x ）2，解得x=1.4，即CD=1.4．故答案为：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，熟记定理并在两个三角形列出等式表示出AC 2，然后列出方程是解题的关键．5．A解析：A 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：A 、222345+=，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； B 、222123+≠，不能构成三角形，故不是勾股数； C 、2220981，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D 、222569+≠，不能构成直角三角形，故不是勾股数．故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，熟悉相关性质是解题的关键．6．D解析：D 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项分别进行判定，则可得出结论．【详解】解：A 、因为12＋12）2，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；B 、因为122＝22，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；C 、因为32＋42＝52，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；D 、因为22＋22≠32，所以此三角形不是直角三角形，故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．7．C解析：C 【分析】由,AD BC ⊥结合勾股定理可得：2222,AC AB DC BD -=-2222MC MB DC BD -=-，再把已知线段的长度代入计算即可得到答案．【详解】解：,AD BC ⊥222222,,AB AD BD AC AD DC ∴=+=+22222222,AC AB AD DC AD BD DC BD ∴-=+--=-1713AC AB ==，，22221713304120DC BD ∴-=-=⨯=，,AD BC ⊥222222,,MC MD DC BM BD DM ∴=+=+22222222120.MC MB MD DC DM BD DC BD ∴-=+--=-=故选：.C 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解决问题是解题的关键．8．C解析：C 【分析】由题意可分当第三边为直角边时和当第三边为斜边时，然后利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：当第三边是直角边时，第三边的平方是402﹣92＝1519；当第三边是斜边时，第三边的平方是402+92＝1681；故选：C ．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．9．C解析：C 【分析】根据矩形的性质可得OB ＝AC ，根据勾股定理即可求出答案．【详解】在矩形OABC 中， OB ＝AC ，∵B （2，5），∴OB ==AC OB ==故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理．10．A解析：A 【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上的高，即可．【详解】∵Rt ABC 的两直角边分别是6cm ，8cm ，∴斜边cm ， ∴斜边上的高=68=4.810⨯cm ，故选A 【点睛】本题主要考查求直角三角形斜边上的高，掌握勾股定理以及“面积法”是解题的关键．11．C解析：C 【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数a 、b 、c 叫做勾股数，逐一进行判断即可．【详解】解：A. 222456+≠，故此选项错误； B. 222579+≠，故此选项错误； C. 2226810+=，故此选项正确； D. 222101112+≠，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股数的概念，熟记勾股数的概念是解题的关键．12．C解析：C 【分析】结合题意，得小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长；结合直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm，即可得到小正方形的边长及其面积．【详解】结合题意，可知：小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长∵直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm∴小正方形的边长=5cm-3cm=2cm∴小正方形的面积=222=4cm故选：C．【点睛】本题考查了正方形、直角三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形的性质，从而完成求解．二、填空题13．【分析】先设CE=x再根据图形翻折变换的性质得出AE=BE=8-x再根据勾股定理求出x的值进而可得出的值【详解】解：设CE=x则AE=8-x∵△BDE是△ADE翻折而成∴AE=BE=8-x在Rt△B解析：7 24【分析】先设CE=x，再根据图形翻折变换的性质得出AE=BE=8-x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出CECB的值．【详解】解：设CE=x，则AE=8-x，∵△BDE是△ADE翻折而成，∴AE=BE=8-x，在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2，即（8-x）2=62+x2，解得x=74，∴CECB =746=724，故答案为：7 24．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，熟知“折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等”的知识是解答此题的关键．14．5【分析】根据勾股定理可知大正方形面积等于两个小正方形面积和再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积【详解】解：由图可知阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积+重叠部分面积根据勾股定解析：5【分析】根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积．【详解】解：由图可知，阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积+重叠部分面积，根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，所以阴影部分面积=重叠部分面积，故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是树立数形结合思想，知道大正方形面积等于两个小正方形面积和，通过面积和差得出阴影部分面积等于重叠部分面积．15．10或6【分析】分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可【详解】解：当5为直角边时4也为直角边则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；当5为斜边时由勾股定理得另一直角边为=3则该直角三角形解析：10或6【分析】分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可．【详解】解：当5为直角边时，4也为直角边，则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；当5，则该直角三角形的面积为3×4÷2=6，综上，该直角三角形的面积为10或6，故答案为：10或6．【点睛】本题考查直角三角形的面积、勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解答的关键．16．﹣1或5【分析】根据点M（24）与点N（x4）之间的距离是3可以得到|2-x|=3从而可以求得x的值【详解】解：∵点M（24）与点N（x4）之间的距离是3∴|2﹣x|＝3解得x＝﹣1或x＝5故答案为解析：﹣1或5【分析】根据点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，可以得到|2-x|=3，从而可以求得x的值．【详解】解：∵点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，∴|2﹣x |＝3，解得，x ＝﹣1或x ＝5，故答案为﹣1或5．【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．17．9cm 【分析】由可知为直角三角形利用勾股定理可分别计算求得BC 和CD 从而完成BD 求解【详解】∵∴同理∴故答案为：【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长解析：9cm【分析】由90C ∠=︒可知ABC 为直角三角形，利用勾股定理，可分别计算求得BC 和CD ，从而完成BD 求解．【详解】∵90C ∠=︒∴15BC ==同理6CD ===∴1569BD BC CD =-=-=故答案为：9cm ．【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长．18．【分析】直接根据勾股定理求解可得【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6∴斜边长为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理在任何一个直角三角形中两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方即如果直解析：【分析】直接根据勾股定理求解可得．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6，∴故答案为：【点睛】本题考查勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2． 19．5【分析】根据题意结合图形求出ab 与a2+b2的值原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值【详解】解：根据题意得：c2=a2+b2=134×ab=13-1=12即2ab=12则（a+b ）2=a2解析：5【分析】根据题意，结合图形求出ab 与a 2+b 2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：c 2=a 2+b 2=13，4×12ab=13-1=12，即2ab=12，则（a+b ）2=a 2+2ab+b 2=13+12=25，则a+b=5故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20．4【分析】根据题意设BN=x 由折叠DN=AN=9-x 在利用勾股定理列方程解出x 就求出BN 的长【详解】∵D 是CB 中点BC=6∴BD=3设BN=xAN=9-x 由折叠DN=AN=9-x 在中解得x=4∴BN解析：4【分析】根据题意，设BN=x ，由折叠DN=AN=9-x ，在Rt BDN 利用勾股定理列方程解出x ，就求出BN 的长．【详解】∵D 是CB 中点，BC=6∴BD=3设BN=x ，AN=9-x ，由折叠，DN=AN=9-x ，在Rt BDN 中，222BN BD DN +=，()22239x x +=-，解得x=4∴BN=4．故答案是：4．【点睛】本题考查折叠的性质和勾股定理，关键是利用方程思想设边长，然后用勾股定理列方程解未知数，求边长．三、解答题21．（1）① 9；② 9；（2）4123S S S S =++，见解析【分析】（1）①在等腰直角三角形ACD ∆中，根据勾股定理AD =CD = ②设5BEG S S ∆=，则()45235423++BEA BFC S S S S S S S S S S ∆∆-=+-=--，利用勾股定理得出52AE BE ==，42CF BF ==即可求解；（2）设5BEG S S ∆=，假设一个等腰直角三角形的斜边为a ，则面积为214a ，利用勾股定理得出222AC BC AB +=，则222111444AC BC AB +=，即ABE ADC BFC S S S =+△△△，依此即可求解．【详解】解：（1）①ACD ∆是等腰直角三角形，AC =6，∴AD =CD =32，11323292S ∴=⨯⨯=； ②ACB ∠=90°，AC =6，BC =8，∴AB =10，EAB ∆和FCB ∆是等腰直角三角形，∴52AE BE ==，42CF BF ==，设5BEG S S ∆=()4523542311++52524242922BEA BFC S S S S S S S S S S ∆∆-=+-=--=⨯⨯-⨯⨯=；（2）设5BEG S S ∆=，如图，等腰直角三角形的面积公式12ABC S AB CD =⋅=214a ，∵等腰直角三角形ACD ∆，EAB ∆，FCB ∆，∴222111,,444ADC BFC ABE S AC S BC S AB ===△△△， ∵222AC BC AB +=，∴222111444AC BC AB +=，即ABE ADC BFC S S S =+△△△， ∴451253S S S S S S +=+++，∴4123S S S S =++．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，有一定难度，解题关键是将勾股定理和直角三角形的面积公式进行灵活的结合和应用．22．（1）见解析；（2）32；（3）见解析【分析】（1）先判断出∠ACD=∠BCE ，得出△ADC ≌△CBE （SAS ），即可得出结论；（2）先判断出DE=2CD ，进而得出△CDE 的周长为（2+2）CD ，进而判断出当CD ⊥AB 时，CD 最短，即可得出结论；（3）先判断出∠A=∠ABC=45°，进而判断出∠DBE=90°，再用勾股定理得出BE 2+DB 2=DE 2，即可得出结论．【详解】证明：（1）∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2．∵BC ＝AC ，CD ＝CE ，∴△CAD ≌△CBE ，∴AD ＝BE ．（2）∵∠DCE =90°，CD =CE ． ∴由勾股定理可得CE 2DC ．∴△CDE 周长等于CD +CE +DE =22CD CD =(22)CD +．∴当CD 最小时△CDE 周长最小．由垂线段最短得，当CD ⊥AB 时，△CDE 的周长最小．∵BC ＝AC ＝6，∠ACB ＝90°，∴AB ＝2．此时AD ＝CD ＝11623222BD AB ==⨯ ∴当CD 32=时，△CDE 的周长最小．（3）由（1）易知AD ＝BE ，∠A ＝∠CBA ＝∠CBE ＝45°，∴∠DBE ＝∠CBE ＋∠CBA ＝90°．在Rt △DBE 中：222BE BD DE +=．222AD BD DE ∴+=在Rt △CDE 中：222CD CE DE +=．222CE CE DE ∴+=∴2222AD BD CE +=．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出CD ⊥AB 时，CD 最短是解本题的关键．23．（1）见解析（2）BEC BCE ∠=∠；理由见解析（3）12+【分析】（1）根据ASA 证明ABE DBC ∆≅∆得BE=BC ，得BEC BCE ∠=∠，进一步可得结论；（2）根据ASA 证明ABE DBC ∆≅∆得BE=BC ，得ABE BCE ∠=∠；（3）连结AD ，分别求出∠AEB=∠ADE=∠ACB=22．5°,再证明AE=CD ，∠ADC=90°，由勾股定理可得AC ，由EC=EA+AC 可得结论．【详解】解：（1）证明BE 平分ABC ∠，,ABE DBC ∴∠=∠在ABE ∆和DBC ∆中，BAE D BA BDABE DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABE DBC ASA ∴∆≅∆，,BE BC ∴=,BEC BCE ∴∠=∠180AEB BCE AEB BEC ∴∠+∠=∠+∠=︒；()2BEC BCE =∠∠．理由：BE 平分ABF ∠，,ABE EBF CBD ∴∠=∠=∠在ABE ∆和DBC ∆中，BAE D BA BDABE DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABE DBC ASA ∴∆≅∆，,BE BC ∴=BEC BCE ∴∠=∠．()3连结AD ，AB BC ⊥，45ABE EBF CBD ∴∠=∠=∠=︒，ABE DBC ∆≅∆，,BAE BDC ∴∠=∠且E E ∠=∠，45,ABE ACD ∴∠=∠=︒由()2得BE BC =，22.5BCD BCE BEC ∴∠=∠=∠=︒，,AB BD =22.5,BAD BDA ∴∠=∠=︒,BEC BDA ∴∠=∠,45,AE AD DAC ACD ∴=∠=︒=∠1,CD =221,112AD AE AC ∴===+=12EC ∴=+【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接AD 是解答此题的关键．24．（1）2b mn =；（2）(12,16,20)；（3）222b k k =+【分析】（1）根据表格中提供的数据可得答案；（2）把4m =，2n =代入()22222m n mn m n -+，，即可求解；（3）根据勾股定理求解即可；【详解】（1）∵4=2×2×1，12=2×3×2，8=2×4×1，24=2×4×3，…，∴2b mn =，故答案为：2b mn =；（2）当4m =，2n =时，a=m 2-n 2=42-22=12，2b mn ==2×4×2=16，c=m 2+n 2=42+22=20，∴勾股数()a b c ，，为(12,16,20)，故答案为：(12,16,20)；（3）根据题意，得222(21)(1)k b b ++=+，∴22244121k k b b b +++=++，解得222b k k =+．【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．25．这棵树的高为15?米【分析】设树高为x 米，则可用x 分别表示出CD ，利用勾股定理可得到关于x 的方程，可求得x 的值．【详解】解：设树高为x 米，由题意得，BC 10=米，CD x =米，()BD 10x =-米，AC 20=米，在Rt ADC 中， AD ==∵两只猴子所经过的距离相等，BC CA BD DA +=+，即102010x +=-15x =，即树高15米．答：这棵树的高为15米．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，用树的高度表示出CD ，利用勾股定理得到方程是解题的关键．26．【分析】连接DE ，BD ，由题意可证△BCD 是等边三角形，可得BD ＝BC ＝6，∠DBC ＝60°，由直角三角形的性质可求AD ＝3，AB ＝BE ＝，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，连接DE ，BD ，∵∠BCD＝60°，BC＝CD＝6，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝6，∠DBC＝60°，∵∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAB＝90°，∠ABD＝30°，∠ADB＝∠DBC＝60°，∴AD＝1BD＝3，AB3＝32∵折痕交AB边于点E，∴BE＝DE，∵∠DBE＝∠BDE＝30°，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2AE，∴BE＝2AE，∵AE+BE＝AB＝3∴BE＝3∴EC22+3，BC BE+＝3612故答案为：3【点睛】本题考查了折叠和勾股定理的应用，解题的关键是掌握折叠的性质和勾股定理．。

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1节探索勾股定理课后练习

第一章勾股定理第1节探索勾股定理课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13B．26C．34D．472．下列说法正确的是（）．A．若a、b、c是ABC的三边长，则222+=a b cB．若a、b、c是Rt ABC△的三边长，则222+=a b cC．若a、b、c是Rt ABC△的三边长，90A∠=︒，则222+=a b cD．若a、b、c是Rt ABC△的三边长，90C∠=︒，则222+=a b c3．如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为()A．9B．8C．27D．454．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（） A ．25 B ．14C ．7D ．7或25 5．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，正方形,AEDC BCFG 的面积分别为25和144，则AB 的长度为（）A ．13B ．169C ．12D ．56．在中Rt ABC △，90C ∠=︒，若4AC =，3BC =，则AB 的长为（）A ．5B ．5C ．6D ．77．在Rt ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ，C ∠的对边，若90A ∠=︒，则（） A ．222+=a b cB ．222b c a +=C ．222a c b +=D ．b a c +=8．△ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（）A ．a b c +=B ．a b c +>C ．a b c +<D ．222+=a b c9．在Rt △ABC 中，若斜边AB ＝3，则AC 2+BC 2等于( )A ．6B ．9C ．12D ．1810．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =，则点C 到 AB 的距离是（）A ．94B ．1225 C ．365 D ．334 评卷人得分二、填空题 11．在直角三角形ABC 中，△C=90°，BC=12，AC=9，则AB=______．12．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，此时甲、乙两人相距______km ．13．在由小方格组成的网格中，我们发现对直角三角形的三边，有“直角三角形两直角边的平方和等于______”结论成立，并通过拼图证明是正确的，我们把它叫做______定理．14．等腰三角形ABC的面积为212cm，底上的高3cmAD，则它的周长为______ cm．15．（1）如图所示，已知两个正方形的面积分别是144和36，则正方形A的面积为________；（2）如图所示，已知两个正方形的面积分别是225和81，则正方形B的面积为________.16．如图所示，图1中x的值为_______，图2中的y的值为_______.17．如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是____m．18．若直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为15cm，则面积为______．19．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__________cm2．评卷人得分三、解答题20．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，求()2a b+的值．21．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯．问：红地毯至少需要多少米？22．如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？23．如图所示，3AC =，2BC =，5AD =，求正方形BEFD 的面积.24．规范表达（严格按格式）：如图，已知△A=90°，AC=5，AB=12，BE=3.求长方形的面积.25．已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm 和10 cm ，求这个三角形的面积.参考答案：1．D【解析】【分析】根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，故可得到以斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和.【详解】由勾股定理得：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+52=34，同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=22+32=13，△正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=47．故选D．【点睛】此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键.2．D【解析】【分析】根据勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即可解答.【详解】解：由勾股定理，A、没有确定直角和斜边，故A 错误；B、没有确定斜边，故B错误；C、斜边为a，则222a b c=+，故C错误；D、90C∠=︒，则a与b为直角边，c为斜边，则222+=a b c，故D正确；故选择：D.【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理.3．A【解析】【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4=x-3，求出即可．【详解】△正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，△根据图形得：2+4=x−3．解得：x=9．故选A．【点睛】本题考查了勾股定理，根据图形推出四个正方形的关系是解决问题的关键．4．D【解析】【分析】根据勾股定理可以得到解答．【详解】解：由勾股定理知，第三边的长的平方为22437-=，+=或者223425故选D．【点睛】本题考查勾股定理的应用，注意第三边的平方既可能是已知两边的平方和，也可能是已知两边的平方差．5．A【解析】【分析】由正方形的面积公式可知AC2=25，BC2=144，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，由此可求AB2．即可得出AB的长．【详解】解：△在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，又△AC2=144，BC2=25，△AB2=25+144=169，△AB=169=13．故选A．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．6．B【解析】【分析】Rt△ABC，△C＝90°，则根据勾股定理AB2＝AC2＋BC2即可求AB的长度．【详解】在直角△ABC中，△C＝90°，由勾股定理可得222224325AB AC BC=+=+=，所以5AB=．故选B．【点睛】本题考查勾股定理在直角三角形中的运用，本题中正确的运用勾股定理是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，△△A=90°，△b2+c2=a2．故选B．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．本题易忽视90A ∠=︒，受思维定式的影响，想当然地认为C ∠为直角，从而错选A.解答此类简单题时，一定不能掉以轻心，8．B【解析】【详解】对于任意一个三角形，三角形的三边关系满足：两边之和大于第三边.故选B.点睛：本题主要考查了三角形的三边关系，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，特别要注意，不要把三角形看成是一个直角三角形，误认为三角形的三边满足勾股定理，很容易错选为D.9．B【解析】【分析】利用勾股定理将AC 2+BC 2转化为AB 2，再求值．【详解】△Rt △ABC 中，AB 为斜边，△AC 2+BC 2＝AB 2，△AB 2+AC 2＝AB 2＝32＝9．故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出AC 2+BC 2＝AB 2是解决问题的关键．10．C【解析】【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB 的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C 到AB 的距离．【详解】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：2215AB AC BC=+=，过C作CD△AB，交AB于点D，又S△ABC=12AC•BC=12AB•CD，△91236155AC BCCDAB⋅⨯===，则点C到AB的距离是365．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定AB为斜边．11．15【解析】【详解】2291215AB=+=12．5【解析】【详解】试题解析：如图，在Rt△OAB中，90AOB∠=，△OA=4千米，OB=3千米，△225AB AO BO=+=千米.所以甲、乙两人相距5千米.故答案为5.13．斜边的平方勾股【解析】【分析】根据勾股定理的内容，即可得到答案.【详解】解：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，我们把这个定理叫做勾股定理.故答案为斜边的平方，勾股.【点睛】本题考查了勾股定理的内容和证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理.14．18【解析】【分析】首先根据面积即可求得三角形的底边．根据等腰三角形的三线合一，即可求得底边的一半．再运用勾股定理求得等腰三角形的腰长，从而求得等腰三角形的周长．【详解】设底为a,则12a⋅3=12，a=8，△BD=2a=4,根据勾股定理得,AB=22AD BD+=2234+=5cm，△腰为5，△周长为5+5+8=18cm.【点睛】本题考查勾股定理和等腰三角形的三线合一，解题的关键是掌握勾股定理和等腰三角形的三线合一.15．（1）180（2）144【解析】【分析】（1）根据正方形面积可以求得两条直角边的平方，斜边的平方根据勾股定理就可以计算出来，进而可得答案；（2）根据正方形面积可以得斜边的平方和一条直角边的平方，则另一条直角边的平方根据勾股定理就可以计算出来，进而可得答案．【详解】（1）如图，根据题意，CD2=144，DF2=36，且△CDF=90°，△CF2= CD2+ DF2=144+36=180故A的面积为180.（2）如图，根据题意MN2=81，ML2=225，且△MNL=90°，△NL2=ML2-MN2=225-81=144故B的面积为144.【点睛】本题考查勾股定理，在本题中每一条边所对正方形的面积正好等于该边的平方，而三边的平方符合勾股定理.16．413【解析】【分析】（1）先根据勾股定理计算出x的平方，再计算x；（2）先根据勾股定理计算出y的平方再计算y.【详解】（1）因为图1为直角三角形，所以根据勾股定理x2+32=52，即x2=52-32=16，所以x=4；（2）因为图2为直角三角形，所以根据勾股定理y2=52+122=169,所以y=13.【点睛】本题考查勾股定理，在直角三角形中已知两直角边可根据勾股定理求出斜边（或斜边的平方）.17．12【解析】【详解】△直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，△另一直角边长=2215912-=，故梯子可到达建筑物的高度是12m．故答案是：12．18．260cm【解析】【分析】先根据勾股定理求出另一条直角边的长度，然后利用直角三角形面积公式算出即可.【详解】∵直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为15cm，∴另一直角边长为：2217158-=cm，∴直角三角形面积为：11582⨯⨯=60 2cm，故答案为260cm.【点睛】本题主要考查了勾股定理，根据直角三角形的两条边长求出另一条直角边长度是解题的关键.19．17【详解】试题解析：根据勾股定理可知，△S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，△S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．△正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）.20．25【解析】【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．【详解】解：根据勾股定理可得：a2+b2=13，ab×4=13-1=12，即：2ab=12，四个直角三角形的面积是：12则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．【点睛】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．21．需要爬行的最短路径是17cm.【解析】【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．【详解】根据勾股定理,楼梯水平长度为2213512（米），则红地毯至少要12+5=17米长，故答案为17m.【点睛】本题考查生活中的平移现象和勾股定理，解题的关键是掌握平移的性质和勾股定理. 22．（1）5；（2）24.【详解】试题分析：根据勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方直接进行计算即可．试题解析：解：（1）根据勾股定理得：x 2＝32＋42＝9＋16＝25，解得：x ＝5或x ＝－5（舍去），则x ＝5；（2）根据勾股定理得：252＝72＋x 2，即x 2＝576，解得：x ＝24或x ＝－24（舍去），则x ＝24．23．12BEFD S =正方形.【解析】【分析】在Rt ABC ∆中根据勾股定理计算出AB 2的长度，在Rt ABD ∆中根据勾股定理计算出BD 2，从而得出正方形BEFD 的面积.【详解】在Rt ABC ∆中，根据勾股定理，得22222329413AB AC BC =+=+=+=.在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，得222251312BD AD AB =-=-=.所以212BEFD S BD ==正方形. 【点睛】本题考查用勾股定理计算线段的长度，在本题中利用勾股定理计算线段的长度时，可只求线段的平方.24．39【解析】【详解】试题解析：在RtΔABC 中，利用勾股定理BC 的长，再求出长方形BCDE 的面积即可.试题解析：在RtΔABC中，△A=90°，AB=12，AC=5，△BC=2222AC AB+=+=51213△长方形BCDE的面积=13×3=39.25．48cm2【解析】【详解】试题分析：先根据题意画出图形，再根据勾股定理得出三角形的高，即可求解其面积．如图：等边△ABC 中BC="12" cm，AB="AC=10" cm作AD△BC，垂足为D，则D为BC中点，BD="CD=6" cm在Rt△ABD中，AD2=AB2－BD2=102－62=64△AD="8" cm△S△ABD=BC·AD=×12×8=48(cm2)考点：本题考查的是勾股定理点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.。

新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》同步练习及答案—1.1探索勾股定理(1)

新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》同步练习及答案—1.1探索勾股定理（1）专题一有关勾股定理的折叠问题1. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（）A．3cm B．4cmC．5cm D．6cm2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G 点，求∠DKG的度数．3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN 沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是_______________．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________；（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．（不要求证明）①②③专题二勾股定理的证明4．在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+ S″与S的关系（如图3）．5.如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）．参考答案：1．A 【解析】设CN=x cm，则DN=（8-x）cm. 由折叠的性质知EN=D N=（8-x）cm，而EC=12BC=4 cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3．故选A．2．解：∵DF=12CD=12DG，∴∠DGF=30°．∵∠EKG+∠KGE=90°，∠KGE+∠DGF=90°，∴∠EKG=∠DG F=30°．∵2∠DKG+∠GK E=180°，∴∠DKG=75°．3．解：（1）根据折叠的性质知：△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP．∴AM=PM，∠A=∠CPM，PN=NB，∠B=∠CPN. ∴∠MPN=∠A+∠B=90°，PM=PN=AM=BN.故△PMN是等腰直角三角形，AM2+B N2=MN2（或AM=BN=22MN）．（2）AM2+BN2=M N2.证明:如图,将△AC M沿CM折叠，得△DCM，连DN，则△ACM≌△DCM，∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM. 同理可知∠DCN=∠BCN，△DCN≌△BCN，DN=BN，而∠MDC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°，∴∠MDN=90°，∴DM2+DN2=MN2，故AM2+BN2=MN2．（3）AM2+BN2=MN2；解法同（2）．4．解：探究1：由等边三角形的性质知：S′=34a2，S″=34b2，S=34c2，则S′+ S″=34（a2+b2）.因为a2+b2=c2，所以S′+ S″=S．探究2：由等腰直角三角形的性质知：S′=14a2，S″=14b2，S=14c2．则S′+S″=14（a2+b2）.因为a2+b2=c2，所以S′+S″=S．探究3：由圆的面积计算公式知：S′=18πa2，S″=18πb2，S=18πc2．则S′+ S″=18π（a2+b2），因为a2+b2=c2，所以S′+ S″=S．5．解：（1）如图所示，根据正方形的面积可得（a+b）2=4×12ab+c2，即a2+b2=c2．（2）如图所示．。

八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理训练(pdf,含解析)(新版)北师大版

1　探索勾股定理基础闯关全练拓展训练1.如图,已知三个正方形中的两个正方形的面积分别为S1=25,S3=169,则另一个正方形的面积S2为 .2.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm)计算知两圆孔中心A和B的距离为 .3.(2016江西宜春高安期中)已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14,c=10,则Rt△ABC的面积等于 .能力提升全练拓展训练1.(2017湖北孝感云梦期中)有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形(如图1),其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,生出了4个正方形(如图2),如果按此规律继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”.在“生长”了2 017次后形成的图形中所有正方形的面积和是( )A.2 015B.2 016C.2 017D.2 0182.(2015贵州遵义中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)),图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若正方形EFGH 的边长为2,则S 1+S 2+S 3= .3.已知:如图,以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若AB=3,则图中阴影部分的面积为 .三年模拟全练拓展训练1.(2016福建泉州永春第一次月考,9,★☆☆)直角三角形的两直角边长分别为5厘米、12厘米,则斜边上的高是( )A.6厘米B.8厘米C. 厘米D. 厘米 801360132.(2016安徽芜湖南陵期中,4,★☆☆)已知x 、y 为正数,且|x 2-4|+(y 2-3)2=0,如果以x 、y 为直角边长作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边长为边长的正方形的面积为( )A.5B.25C.7D.153.(2016广西防城港期中,13,★★☆)如图,长方体的长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、12 cm,则BD'= .五年中考全练拓展训练 1.(2013贵州安顺中考改编,6,★★☆)如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,则小鸟飞行( )A.8米B.10米C.12米D.14米2.(2016湖南益阳中考,20,★★☆)在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程. 作AD⊥BC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD→根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”,建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形的面积核心素养全练拓展训练　在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠ACB=90°,如图①,则根据勾股定理,得a2+b2=c2.若△ABC 不是直角三角形,如图②和图③所示,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.1探索勾股定理基础闯关全练拓展训练1.答案144解析由S1+S2=S3得S2=S3-S1=169-25=144.2.答案100 mm解析在Rt△ABC中,∵AC=120-60=60(mm),BC=140-60=80(mm),∴AB2=AC2+BC2=10 000,∴AB=100 mm,∴两圆孔中心A和B的距离为100 mm.3.答案24解析在△ABC中,∠C=90°,∴a2+b2=c2,即(a+b)2-2ab=c2,∵a+b=14,c=10,∴196-2ab=100,即ab=48,ab=24.则Rt△ABC的面积为12能力提升全练拓展训练1.答案D设正方形A,B,C围成的直角三角形的三条边长分别是a,b,c.如图,根据勾股定理,得a2+b2=c2,一次“生长”后,S A+S B=S C=1.第二次“生长”后,S D+S E+S F+S G=S A+S B=S C=1,推而广之,“生长”了2 017次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2 018×1=2 018.故选D.2.答案12解析设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2且a2+b2=c2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=3×22=12.3.答案92解析因为△ACH为直角三角形,所以AH 2+HC 2=AC 2.又因为AH=HC,所以AH 2=12AC 2,所以S △ACH =12AH·HC=12AH 2=14AC 2.同理,S △BCF =14BC 2,S △ABE =14AB 2.在Rt△ABC 中,AC 2+BC 2=AB 2,AB=3,故阴影部分的面积为S △ACH +S △BCF +S △ABE=14AC 2+14BC 2+14AB 2=14(AC 2+BC 2+AB 2)=14×2AB 2=12×9=92.三年模拟全练拓展训练1.答案D ∵直角三角形的两直角边长分别为5厘米、12厘米,又52+122=132,∴斜边长为13厘米,∴斜边上的高=5×1213=6013(厘米).故选D.2.答案C 依题意得x 2-4=0,y 2-3=0,∴x 2=4,y 2=3,∴正方形的面积=x 2+y 2=4+3=7.故选C.3.答案13 cm 解析连接BD,则BD 2=32+42=25,∴BD=5 cm,故BD'2=52+122=169,∴BD'=13 cm.五年中考全练拓展训练1.答案B 如图,设大树高AB=10米,小树高CD=4米,过C 点作CE⊥AB 于E,则四边形EBDC 是长方形,连接AC,∴EB=CD=4米,EC=BD=8米,AE=AB-EB=10-4=6(米).∵在Rt△AEC 中,AC 2=AE 2+EC 2=100,∴AC=10米.故选B.2.解析设BD=x,则CD=14-x.由勾股定理得AD 2=AB 2-BD 2=152-x 2,AD 2=AC 2-CD 2=132-(14-x)2,∴152-x 2=132-(14-x)2,解得x=9.∴AD=12.∴S △ABC =12BC·AD=12×14×12=84.核心素养全练拓展训练解析若△ABC 是锐角三角形,则有a 2+b 2>c 2;若△ABC 是钝角三角形,∠C 为钝角,则有a 2+b 2<c 2.证明:当△ABC 是锐角三角形时,过点A 作AD⊥CB,垂足为D.设CD=x,则有DB=a-x.根据勾股定理,得b 2-x 2=c 2-(a-x)2,即b 2-x 2=c 2-a 2+2ax-x 2,所以a 2+b 2=c 2+2ax.因为a>0,x>0,所以2ax>0.所以a 2+b 2>c 2.当△ABC 是钝角三角形,且∠C 为钝角时,过点B 作BD⊥AC,交AC 的延长线于点D.设CD=x,则BD 2=a 2-x 2,根据勾股定理,得(b+x)2+a 2-x 2=c 2,即b 2+2bx+x 2+a 2-x 2=c 2,所以a 2+b 2+2bx=c 2.因为b>0,x>0,所以2bx>0,所以a 2+b 2<c 2.。

北师大版八年级上册数学课本课后练习题答案(整理版)

[标签:标题]篇一：北师大版八年级上册数学课本课后练习题答案八年级上册数学课后练习题答案（北师大版）第一章勾股定理课后练习题答案说明：因录入格式限制，“√”代表“根号”，根号下内用放在“（）”里面；“⊙”，表示“森哥马”，，¤，♀，∮，≒，均表示本章节内的类似符号。

1．l探索勾股定理随堂练习1．A所代表的正方形的面积是625；B所代表的正方形的面积是144。

2．我们通常所说的29英寸或74cm的电视机，是指其荧屏对角线的长度，而不是其长或宽，同时，因为荧屏被边框遮盖了一部分，所以实际测量存在误差．1．1知识技能1．(1)x=l0；(2)x=12．2．面积为60cm：，(由勾股定理可知另一条直角边长为8cm)．问题解决12cm。

21．2知识技能1．8m(已知直角三角形斜边长为10m，一条直角边为6m，求另一边长)．数学理解2．提示：三个三角形的面积和等于一个梯形的面积：联系拓广3．可以将四个全等的直角三角形拼成一个正方形．随堂练习12cm、16cm．习题1．3问题解决1．能通过。

．2．要能理解多边形ABCDEF’与多边形A’B’C’D’E’F’的面积是相等的．然后剪下△OBC和△OFE，并将它们分别放在图③中的△A’B’F’和△D’F’C’的位置上．学生通过量或其他方法说明B’E’F’C’是正方形，且它的面积等于图①中正方形ABOF和正方形CDEO的面积和。

即(B’C’)=AB+CD：也就是BC=a+b。

，222222 这样就验证了勾股定理l．2 能得到直角三角形吗随堂练习l．(1) (2)可以作为直角三角形的三边长．2．有4个直角三角影．(根据勾股定理判断)数学理解2．(1)仍然是直角三角形；(2)略；(3)略问题解决4．能．1．3 蚂蚁怎样走最近13km提示：结合勾股定理，用代数办法设未知数列方程是解本题的技巧所在习题1．5知识技能1．5lcm．问题解决2．能．3．最短行程是20cm。

北师大版八年级上第一章勾股定理(附习题和答案)

第一章勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C点与A 点重合，则EB 的长是（）． A ．3 B ．4 C 5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBAC A B ED 练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c ---=，则三角形的形状是（）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只CABDS 3S 2S 1C B A 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62+，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积。

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)

第一章勾股定理知识点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2） 1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系：； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：；（给出证明） ⑷三边之间的关系：。

知识点二：验证勾股定理知识点三：勾股定理证明（等面积法）例1。

已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

证明：例2。

已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

证明：知识点四：勾股定理简单应用在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c (2) 已知：b=5，c=13，求a知识点五：勾股定理逆定理如果三角形的三边长为c b a ,,，满足222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形．bbbaB利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 与22a b +，并验证是否相等。

若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。

若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。

1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是三角形. 知识点六：勾股数（1）满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是（）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,15 1. 若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7知识点七：确定最短路线1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm, 有一只甲虫从A 出发，沿表面爬到C '，最近距离是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .知识点八：逆定理判断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定． 2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对知识点九：勾股定理应用题1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ABCD A 'B 'CD 'ABC5米3米2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.3.一根直立的桅杆原长25m ，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m 处，则桅杆断后两部分各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2+ n 2, m 2– n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为（）A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，水平距离AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2a +2b +2c 的值是（）A 、6B 、8C 、10D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43C 、0.2，0.3，0.4D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求；勾股定理的逆定理的作用是用来证明．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ．5.在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝，b ＝12，则 c ＝．6.△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，则高AD= ，S △ABC = 。

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1节探索勾股定理课堂练习

第一章勾股定理第1节探索勾股定理课堂练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°．若AB＝10，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）A．100B．120C．140D．1602．在Rt△ABC中，△C＝90°，若角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且a＝7，b ＝24，则c的长为（）A．26B．18C．25D．213．如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1= 36，S2= 64，则S3=（）A．8B．10C．80D．1004．如果直角三角形的两条直角边分别为6，8，则斜边长是（）A．3B．4C．10D．145．在Rt△ABC中，△C＝90°，△A，△B，△C所对的边分别是a，b，c.若a＝5，b＝12，则c的长为()A．119B．13C．18D．1696．如图，在Rt△ABC 中，△C=90°，AC=3，BC=4，则AB 的长为（）A ．5B ．25C ．6D ．57．小米在一个长方形的水池里游泳，长方形的长、宽分别为30米，40米，小米在水池中沿直线最远可以游（）A ．30米B ．40米C ．50米D ．60米8．如图，在直角三角形ABC 中，90,B AB CB ︒∠== ，则以下式子一定成立的是（）A ．222+=a b cB ．()22a c b +=C ．()()2a b a b c +-=D ．222b a = 评卷人得分二、填空题 9．图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_______ ．10．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，AC ＝9，AB ＝15，则点C 到AB 的距离是_______． 11．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，以点A 为圆心，AC 长为半径作圆弧交边AB 于点D ．若3AC =，4BC =．则BD 的长为__________．12．直角三角形的两条直角边分别为6cm和8cm，则这个直角三角形的周长为________cm．13．已知在△ABC中，△A，△B，△C所对的边为a，b，c，△C=90°，c=10，b=8，则a=________．14．在Rt ABC中，90C∠=︒，15AB=，:3:4AC BC=，则这个直角三角形的面积是____．15．如图，在△ABC 中，△ACB＝90°，AC＝6cm，BC=8cm，分别以三角形的三条边为边作正方形，则三个正方形的面S1＋S2＋S3的值为_______．评卷人得分三、解答题16．在Rt△ABC中，△C=90°△若a=40，c=41，则b=；△若c=13，b=5，则a=；△已知a：b=3：4，c=15，则a=；b=．17．求下列直角三角形未知边的长？18．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，若6AC =，8CB =，则AB 上的高CD 是多少？19．如图，在锐角三角形ABC 中，高AD ＝12，边AC ＝13，BC ＝14，求BD 的长．20．如图，在△ABC 中，CD △AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，BD ＝9，（1）求AB 的长；（2）求△ABC的面积．参考答案：1．A【解析】【分析】根据勾股定理求出AC²＋BC²，再根据正方形的面积公式计算即可．【详解】解：在Rt△ABC中，AC²＋BC²＝AB²＝100，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和＝AC²＋BC²＝100，故答案选A．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别为,a b，斜边长为c，那么222+=a b c．2．C【解析】【分析】根据勾股定理即可求解．【详解】解：△在Rt△ABC中，△C＝90°，a＝7，b＝24，△c2＝a2+b2△c＝25．故选：C．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知利用勾股定理的定义．3．D【解析】【分析】由正方形的面积公式可知S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即S1+S2=S3，由此可求S3．【详解】解：△在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，又由正方形面积公式得S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，△S3=S1+S2=100．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．4．C【解析】【分析】根据勾股定理222a b c进行计算求解即可.+=【详解】由题意得，斜边长=226810+=.故选C.【点睛】本题主要考查勾股定理这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，是一道基础题，学生应熟练掌握．5．B【解析】【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理可得c=22a b+，代入数据可得出c的长度．【详解】△三角形ABC是直角三角形，△C=90°△c=22a b+=22+512=169=13故选：B．【点睛】此题考查了勾股定理，根据条件推出斜边是解决问题的关键．6．A【解析】【分析】利用勾股定理求解即可．【详解】解：在Rt△ABC 中，△C=90°， △2222AB AC BC 345=+=+=故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形，掌握公式正确计算是解题关键．7．C【解析】【分析】根据题意可知，在矩形内，最长的线段为其对角线的长度，根据勾股定理进行求解即可.【详解】解：根据题意，长方形的对角线=223040+=50，即沿直线最远可以游50米，故答案为：C.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意得出矩形内最长的线段是其对角线的长度.8．D【解析】【分析】根据勾股定理及AB=CB 即可得出答案．【详解】在Rt ABC 中，由勾股定理可得，222AB BC AC +=，即222c a b +=，又△AB=CB ，即c a =，△222a b =．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．9．36cm2【解析】【分析】利用勾股定理求正方形边长，从而求正方形的面积．【详解】解：由题意可知：正方形的边长为：221086-=△正方形的面积为：6²=36故答案为：36 cm2．【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形，题目比较简单，正确计算是解题关键．10．365【解析】【分析】首先根据勾股定理求出直角边BC的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离【详解】在Rt△ABC中，△C＝90°，则有AC2+BC2=AB2△AC=9，BC=12，△AB=在Rt△ABC中,△C=90°，则有AC2+BC2=AB2，△AC=9，AB=15，△BC=22AB AC=12，△S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅h，△h=12915⨯=365故答案为36 5【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键11．2【解析】【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD=AC，根据BD=AB-AD即可算出答案．【详解】解：△AC=3，BC=4，△AB=222234 5.AC BC+=+=△以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，△AD=AC，△AD=3，△BD=AB-AD=5-3=2．故答案为2．【点睛】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．12．24．【解析】【分析】根据勾股定理求直角三角形的斜边，然后求三角形的周长．【详解】解：△直角三角形的两条直角边分别为6cm和8cm△此直角三角形的斜边长为226+8=10△三角形周长为6+8+10=24故答案为：24．【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形，掌握勾股定理公式正确计算是解题关键．13．6【解析】【分析】根据△C ＝90°，108c b ==，，利用勾股定理即可求解．【详解】解：△△C ＝90°，108c b ==，，△22221086a c b =-=-=，故答案为：6．【点睛】本题考查的是勾股定理的灵活运用，题型比较简单，注意认真计算．14．54【解析】【分析】先根据已知比例式设3AC x =，则4BC x =，再利用勾股定理求出2x 的值，然后利用直角三角形的面积公式即可得．【详解】设3AC x =，则4BC x =由勾股定理得222AC BC AB +=，即()()2223415x x +=解得29x =则ABC 的面积为26911 3465422AC AB x x x ⋅=⨯⨯⨯=== 故答案为：54．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键．15．200【解析】【分析】根据正方形的面积公式和勾股定理，即可得到阴影部分的面积S 1+S 2+S 3的值．【详解】解：△△ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，△AB 2＝AC 2+BC 2＝62+82＝100△S 1+S 2+S 3＝AC 2+BC 2 +AB 2＝62+82+100＝200故答案为：200【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行结合应用． 16．△9；△12；△9；12【解析】【分析】直接根据勾股定理求解即可．【详解】解：△在t R ABC 中，90C ∠=︒，△222a b c +=,（1）△22222414081b c a =-=-=，b >0, △9b =；（2）△22222213512a c b =-=-=，a >0△12;a =（3）△:3:4a b =，△设=3,4a x b x =，又△222+=a b c ，15c =， △222(3)(41)5x x +=，△3x =，△9,12a b ==；故答案为：△9；△12；△9；12.【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=．【解析】【分析】直接根据勾股定理求解即可．【详解】解：△在t R ABC 中，90B ∠=︒，△22AC BC AB =+，又△,12,5AC x BC AB ===，△2212513x =+=．△13AC =.【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．18． 4.8CD =【解析】【分析】先用勾股定理求得AB 的长，再利用面积法求得高CD 的长即可．【详解】Rt△ABC 中，△△C =90°，AC =6，CB =8，△由勾股定理，得22226810ABAC BC ．由面积公式，得1122AC BC AB CD ⨯=⨯，即11681022CD ⨯⨯=⨯⨯， △ 4.8CD =．【点睛】本题考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．【解析】【分析】根据垂直关系在Rt △ACD 中，利用勾股定理求出CD ，已知BC ，再根据线段的和差关系可求BD ．【详解】△AD△BC ，△△ADC ＝90°，在Rt △ACD 中，CD ＝22AC AD -＝221312-＝5，△BC ＝14，△BD ＝BC ﹣CD ＝9．【点睛】本题考查了勾股定理的运用．关键是利用垂直的条件构造直角三角形，利用勾股定理求解．20．（1）AB ＝25；（2）S △ABC ＝150．【解析】【分析】（1）两次用勾股定理，在直角三角形CDB 与直角三角形ADC 中，把CD 计算出来，然后再把AD 计算出来，再计算AD+DB= AB.（2）找准三角形的高为CD ，底为AB ，再计算面积.【详解】（1）△CD△AB ，△△CDB ＝△CDA ＝90°，△CD ＝22BC BD -＝22159-＝12，△AD ＝22AC CD -＝222012-＝16，△AB ＝AD+BD ＝16+9＝25．（2）S △ABC ＝12•AB•CD ＝12×25×12＝150．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形以及三角形的面积计算，需要注意的是，直角三角形中辆直角边的平方和等于斜边的平方，三角形的面积为底乘以高除以2.。

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2019年八年级数学上册第一章《勾股定理》
《探索勾股定理》同步练习三
1.如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的
位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．
（举一反三：若AD=8，AB=4，求重叠部分即△BED的面积？=10)．
2如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC 于F，边AB折叠后与BC边交于点G。

如果M为CD边的中点，求证：
DE：DM：EM=3：4：5
（举一反三：如果DM：MC=3：2，则DE：DM：EM=( ) =8：15：17．）
3.如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与
A点重合，•则折叠后痕迹EF的长为（）
A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77
4.如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A.D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由.
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由.
5.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E.F
分别是AB.AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

习题答案
1.如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD 的面积为________．
（举一反三：若AD=8，AB=4，求重叠部分即△BED 的面积？=10)
S △BED=DE•AB ，所以需求DE 的长．根据∠C′BD=∠DBC=∠BDA 得DE=BE ，设DE=x ，则AE=7-x ．根据勾股定理求BE 即DE 的长．
解：∵AD ∥BC （矩形的性质），
∴∠DBC=∠BDA （两直线平行，内错角相等）；
∵∠C′BD=∠DBC （反折的性质），
∴∠C′BD=∠BDA （等量代换），
∴DE=BE （等角对等边）；
设DE=x ，则AE=7-x ．在△ABE 中，
x2=32+（7-x ）2．
解得x=729． ∴S △DBE=21×729×3=14
87 故答案是：
1487．
2如图5，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G 。

如果M 为CD 边的中点，求证：DE ：DM ：EM=3：4：5
（举一反三：如果DM ：MC=3：2，则DE ：DM ：EM=( ) =8：15：17．）
析：（1）正方形的证明题有时用计算方法证明比几何方法简单，此题设正方形边长为a ，DE
为x ，则根据折叠知道DM=，EM=EA=a-x ，然后在Rt △DEM 中就可以求出x ，这样DE ，
DN ，EM 就都用a 表示了，就可以求出它们的比值了；
解：（1）证明：设正方形边长为a ，DE 为x ，则DM=，EM=EA=a-x
在Rt△DEM中，∠D=90°，
∴DE2+DM2=EM2
x2+（）2=（a-x）2
x=
EM=
DE：DM：EM=3：4：5；
3.如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹EF的长为（B ）
A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77
分析：先连接AF，由于矩形关于EF折叠，所以EF垂直平分AC，那么就有AF=CF，又ABCD 是矩形，那么AB=CD，AD=BC，在Rt△ABF中，（设CF=x），利用勾股定理可求出CF=，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC=5，在Rt△COF中再利用勾股定理可求出OF=，同理可求OE=，所以EF=OE+OF=．
解答：解：连接AF．
∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC，
∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°．
又∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，AB=CD=3，AD=BC=4．
设CF=x，则AF=x，BF=4-x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC2=BC2+AB2=52，且O为AC中点，
∴AC=5，OC=AC=．
∵AB2+BF2=AF2
∴32+（4-x）2=x2
∴x=．
∵∠FOC=90°，
∴OF2=FC2-OC2=（）2-（）2=（）2
∴OF=．
同理OE=．
即EF=OE+OF=．
点评：本题利用了折叠的对应点关于折痕垂直平分，以及矩形性质，勾股定理等知识．4.如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A.D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由.
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.
（1）设两直角边PH，PF能分别通过点B与点C，
∵∠HPF=90°，∴PB2+PC2=BC2=100
又设PA=x，∵∠A=∠D=90°，在△ABP，△PDC中
∴PA2+AB2=PB2，PD2+CD2=PC2
∵PA+PD=AD=10，AB=CD=4
∴x2+16+(10-x)2+16=PB2+PC2=100
化简得:x2-10x+16=0 即(x-5)2＝9，所以x-5＝±3，
解之得:x1=2，x2=8
∵2<10，8<10
∴当PA=2cm或8cm时，三角板两直角边PH，PF分别通过点B，C. （2）如图（2），过点E作EG⊥AD于点G，∴∠PGE=90°
根据题意得：DG=CE=2，EG=CD=4
∵
BE+CE=BC=10
∴BC=8
在△PBE中，∵∠BPE=90°∴PB2+PE2=BE2=64
又∵∠A=∠D=90°∴AP2+AB2=PB2，PG2+PG2+EG2=PE2
而AB=EG=4，设AP=X，则PG=8-x
∴x2+16+(8-x)2+16=64 化简得:x2-8x+16=0
解之得:x1=x2=4
答：当AP=4时，PH经过点B，PF与BC交于点E，且CE=2cm.
5.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E.F分别是AB.AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。