多自由度自由振动算例

例题3 求图示结构的频率和振型，EI=常数
m/2 m
L
L
解：1）两个动力自 由度，三个质点的共 同水平位移和质点m 的竖向位移。
L/2
m/2
L/2
2）用刚度法建立方程
原理：时刻 t 2个质点受力平衡
mm21yy21
(t) (t)

K11 y1 (t) K 21 y1 (t)
m21m1A1 1mA1
12mA2
22 A2

0 0


1
2
m11
m12 0
m 21 m 22
1 0.96
EI mL3
2 1.76
EI mL3
A1 1.0 9.11T
A2 1.0 0.11T
K11
6i/L
4i/L
6i/L
MΔ图
D
r11
2i/L
4i/L
4i/L
A 2i/L
B 2i/L
2i/L M
4i/L
C M图
VBC
K21
K11

8i L2
K11
K21 0
VAC
VBA
3) 方程的解 类似的过程求出K22
K 22

7.5i L2
1
K11 m
4) 振型
2
K 22 m
A1 1.0 0.0T
2 0.657
EI mL3
A2 1.0 3.368T
振型图
A1 1.0 0.168T A2 1.0 3.368T
0.168
1.0
3.368
1.0
3.368
0.168
例题6
EI
EI
EI EA
EI
EI
EA
EI
EI
EI
EA=
EI
EI
EI
EA=
EI
EI
B
C
NBC
VCD
my1(t)
D O
3EI L3
y1 t
EA L

y1
t


y2 t
my1t 0
my2 (t)
再取如图所示为研究对象
mdx
NBC
mdx
O
EA
L

y1
(t
)

y2 (t)L

my2 t L
2
l 0
mdx
y2 (t) L

x

K12 y2 (t) K 22 y2 (t)

0 0
1
K12
K11
K21
K11

48EI L3
K 22

6EI L3
1 K22
K12=K21 = 0
3）方程的解
m1

m 2

m

m 2

2m
y1(t) = A1sin（ωt + φ）
y2 (t) = A2sin（ωt + φ）
m2 m
多自由度自 由振动例题
重 点：频率、振型 振型图
难 点： 振动方程的建立
例题1
求图示结构体系的自振频率和振型，已知K= 数
EI L3
，EI=常
m
Km
L
L
L
L
解：1）两个动力自由度 2）柔度法求解 求单位力作用于质点时在质点处产生的位移δij
求柔度系数
P=1
L
L
M1
M2
11

L3 EI
12
EI
EA
EI
EI
EI
EA
EI
EI1=∞
EI
EI
EA
EI
EI
EI
EA
EI
EI1=∞
求图示结构的频率和振型，已知A= I ，杆长都是L ， 2L2
质点的质量都是m
1
EI
EI
A
EI
EI1=∞
2
解：1）两个动力自由度， 附加支杆1与2 ，如图
2）用刚度法 建立振动方程
K11
mm21yy21
y1 (t )
解：1）两个动力自由度，质点的水平位移和竖向位移
2）用刚度法 建立振动方程
原理：时刻 t 2个质点受力平衡
mm21yy21
(t) (t)

K11 y1 (t) K21 y1 (t)

K12 y2 (t) K22 y2 (t)

0 0
K21
支杆1移动1
2i/L
21

5L3 12 EI
22

13 L3 12 EI
3）振动方程
y1t my1(t)11 my2 t12 y2 t my1(t) 21 my2 t 22
P=1
L/2/
4) 方程的解
y1(t) = A1sin（ωt + φ） y2 (t) = A2sin（ωt + φ）
x

0
设 y1(t) = A1sinωt y2 (t) = A2sinωt
4EI


L3
EI L3 A1

m 2

A1

EI L3
A2

EI L3

5 3
m 2

A2

0 0
1 2.042
EI mL3
A1 1.0 0.168T
K11 y1 (t) K21 y1 (t)

K12 y2 (t) K22 y2 (t)

0 0
K11 2m
K12
0
K 21
K 22 2m
{A}1={1，-0.022}T
{A}2={1，44.7}T
1
EI
EI
A 0.022
EI
1 44.7
如果：
EI
EI
K11
EI A
K12 1
{A}1={1，0.022}T
{A}2={1，- 44.7}T
1
EI
EI
A 0.022
EI
1 44.7
2
K21
K22
K11=50EI/10L3 K22=50EI/L3
K12=K21= - EI/L3
mm21yy21
(t) (t)

K11 y1 (t) K21 y1 (t)

K12 y2 (t) K22 y2 (t)

0 0
K11 2m
K12
0
K 21
K 22 2m
K 21

EI 2L3
K12
25EI K22 2L3
3) 频率
3EI/L2 +3EI/L·1/L
K22
K11 m 2
K12
0
K 21
K22 m 2
1 2.296
EI mL3
2 3.54
EI mL3
4) 振型
A1 1.0 0.07T A2 1.0 14.47T
3）方程的解
y1(t) = A1sin（ωt + φ） y2 (t) = A2sin（ωt + φ）
1 2
1 0.5125
EI mL3
2 3.024
EI mL3
4）振型
A1 1.0
1
2.712 T
2.712
A2 1.0 0.2458 T
1 0.2458
(t) (t)

K11 y1 (t) K21 y1 (t)
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K12 y2 (t) K22 y2 (t)

0 0
1 6i/L
RP
6i/L
K21 支杆1 发生单位位移
MΔ图
i
2i
r11 4i
K11 6 i / 5L
18 i / 5L
M
M图
K21
由M图容易得 到
53EI K11 10L3
A2 0.0 1.0T
例题5
求图示结构的频率和振型，已知A= I L2
B
A
m
C
，杆长都是L，m
m
=L
∞m
mm
EI L
∞
L
L
y2 t
y1 t
解：1）两个动力自由度，质 点C的水平位移和点B的水平 位移，如图
2）用刚度法 写振动方程
y2 t
y1 t
取C为研究对象
5）振型图
1
0.07 第一振型
1
14.47 第二振型
EI
EI
A
EI
EI1=∞
K11
EI
EI
A
EI K21
1
2 K12
1
2 K22
K11
EI
EI
A
EI
K12 1
2
K21
K22
K11=50EI/10L3 K22=50EI/L3
K12=K21= EI/L3
mm21yy21
(t) (t)

2）柔度法建立方程
求单位力作用于质点时在质点处产生的位移δij
L
P=1
L/2
P=1
M1
M2
11

7 L3 6EI
22

5L3 24 EI
12
21

5L3 12 EI
y1t my1(t)11 my2 t 12 y2 t my1(t) 21 my2 t 22
5）振型图
A1 1.0 9.11T
A2 1.0 0.11T
1.0
1
0.11
9.11
例题2
求图示结构的频率和振型，已知K= 2EI L3
m EI1=∞
2m
K
EI
EI
L
y1 t
y2 t
L
L/2
解：1）两个动力自由度，两质点的共同水平位移及2m质点的 竖向位移
K11 2m 2
K12
0
K 21
K 22 m 2
1 2.45
EI mL3
2 4.90
EI mL3
4）振型
A1 1.0 0.0T
A2 0.0 1.0T
1 1
例题4
求图示结构的频率和振型，杆长都是L，EI1=∞，EI=常数。
EI1
m
y2 (t)