高一数学天天练20 解斜三角形
高三数学解斜三角形试题答案及解析
高三数学解斜三角形试题答案及解析1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）【答案】60【解析】，，.【考点】解三角形.2.在中，内角所对边长分别为，，．（1）求；（2）若的面积是１，求．【答案】（1）（2）【解析】（1）由，，可得，；，由正弦定理，，则，故，．由，．（2）由的面积是１，可得，得．．3.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．【答案】（1）14海里/小时（2）【解析】(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20海里，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28海里．所以渔船甲的速度为＝14海里/小时．(2)在△ABC中，因为AB＝12海里，∠BAC＝120°，BC＝28海里，∠BCA＝α，由正弦定理，得.即sinα＝.4.一人在海面某处测得某山顶C的仰角为α(0°＜α＜45°)，在海面上向山顶的方向行进mm后，测得山顶C的仰角为90°－α，则该山的高度为________m．(结果化简)【答案】mtan2α【解析】由题意知∠CAB＝α，∠CDB＝90°－α，∠CDA＝90°＋α，且AD＝m，则∠ACD＝90°－2α.由正弦定理得，即，即AC＝，所以山高BC＝ACsinα＝＝mtan2α5.在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()．A．B．3C．D．7【答案】A【解析】S＝×AB·AC sin 60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，所以BC＝.6.在所对的边分别为且.（1）求；（2）若,求面积的最大值.【答案】（1）；（2）面积的最大值为．【解析】（1）求，首先利用三角形内角和等于对其转化成单角，再利用倍角公式进行恒等变化得，由已知，带入即可；（2）若,求面积的最大值，由已知，可求出，可利用，因此求即可，又因为，可想到利用余弦定理来解，由余弦定理得，，利用基本不等式可求出的最大值，从而得面积的最大值．试题解析：（1）6分（2）即，，面积的最大值为 12分【考点】三角恒等变换，解三角形7.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且。
高一数学解斜三角形 试题
解 斜 三 角 形一、根本知识：〔1〕掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵敏选用正弦定理、余弦定理解斜三角形． 〔2〕能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数． 〔3〕能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题． 二、例题分析：例1 在△ABC 中，a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C 及b分析 两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．解 ∵∠A=30°，a ＜c ，c ·sinA=3 3 2＜a ， ∴此题有两解．sinC=csinA a = 33×123 = 32 ， ∴∠C=60°，或者∠C=120°．∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a 2+b 2 =6． 当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．点评 两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论． 例2 在△ABC 中，acosA=bcosB ，判断△ABC 的形状．分析 欲判断△ABC 的形状，需将式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进展，假设将三角函数换成边，那么可进展代数变形，或者将边换成三角函数，那么可进展三角变换．解 方法一：由余弦定理，得 a ·〔b 2+c 2—a 22bc 〕=b ·〔a 2+c 2—b 22ac 〕，∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 4=0 ． ∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)=0 ． ∴a 2－b 2=0，或者c 2－a 2－b 2=0． ∴a=b ，或者c 2=a 2+b 2．∴△ABC 是等腰三角形或者直角三角形． 方法二：由acosA=bcosB ，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB ．∴sin2A=sin2B ． ∴2A=2B ，或者2A=π－2B ． ∴A=B ，或者A+B=π2．∴△ABC 为等腰三角形或者直角三角形．点评 假设式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或者正弦定理，将角换成边或者将边换成角，然后进展代数或者三角恒等变换．例3 圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积．分析 四边形ABCD 的面积等于△ABD 和△BCD 的 面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需求出∠A 即可．所以，只需寻找∠A 的方程． 解 连结BD ，那么有四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △CDB =12AB ·AD ·sinA+12BC ·CD ·sinC ．·ABCDO∵A+C=180°，∴sinA=sinC．故S=12〔2×4+6×4〕sinA=16sinA．在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2AB·ADcosA=20－16cosA ．在△CDB中，由余弦定理，得BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC．∴20－16cosA=52－48cosC．∵cosC=－cosA，∴64cosA=－32，cosA=－1 2．又∵0°＜A＜180°，∴A=120°．故S=16sin120°=8 3 ．点评注意两个三角形的公用边在解题中的运用．例4墙壁上一幅图画，上端距观察者程度视线b下端距程度视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大．分析如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB最大，所以需寻找∠APB的目的函数．由于有关边长，所以考虑运用三角函数解之．解设观察者距墙壁x米的P处观察，PC⊥AB，AC=b，BC=a(0＜a＜b)，那么∠APB=θ为视角．y=tan θ=tan(∠APC －∠BPC)= tan ∠APC —tan ∠BPC 1+ tan ∠APC ·tan ∠BPC =xax b x a x b ⋅+-1 =b —a x+ab x≤b —a 2ab ， 当且仅当x= abx , 即x=ab 时，y 最大．由θ∈〔0，π2〕且y=tan θ在〔0，π2〕上为增函数，故当且仅当x=ab 时视角最大．点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题． 三、训练反应：1．在△ABC 中，a= 2 ，b=2，∠B=45°，那么∠A 等于 〔 A 〕A ．30°B ．60°C ．60°或者120°D ．30°或者150° 2．假设三角形三边之比为3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角为 〔 C 〕 A ．60° B ． 90° C ． 120° D ． 150° 3．货轮在海上以40千米/小时的速度由B 到C 航行，航向的方位角∠NBC=140°，A 处有，其方位角∠NBA=110°，在C 处观测A 的方位角∠N ′CA=35°，由B 到C 需 航行半小时，那么C 到A 的间隔 是 〔 C 〕 A ．10 6 km B ．10 2 kmC ．10( 6 － 2 ) kmD ．10〔 6 ＋ 2 〕km 4．△ABC 中，tanA+tanB+ 3 = 3 tanAtanB ，sinAcosA= 34，那么该三角形是 〔 A 〕 A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形或者直角三角形5．在△ABC 中，〔b+c 〕∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，那么此三角形的最大内角为 〔 A 〕 A ．120° B ．150° C ．60° D ．90°6．假设A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，那么点P 〔cosB －sinA ，sinB －cosA 〕在 〔 B 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．△ABC 中，假设sinAsinB ＜cosAcosB ，那么△ABC 的形状为 ．钝角三角形8．在△ABC 中，c=10，A=45°，C=30°，那么b= ．5〔 6 + 2 〕9．在△ABC 中，假设sinA ∶sinB ∶sinC=5∶12∶13，那么cosA= ．121310．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，那么∠C 的大小为 ．π611．a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，假设a=4，b=5，s=5 3 ，求c 的长度．21 或者6112．在△ABC 中，sin 2A －sin 2B+sin 2C=sinAsinC ，试求角B 的大小． π313．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且OA=2B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边△ABC点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出这个最 大面积．设∠AOB=θ，θ= 5π6 时，S 最大值 =2+5 34励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
(完整版)解斜三角形
解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素 题型二：判断三角形的形状 题型三：解决与面积有关问题 题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。
分析： 由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。
【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯． 又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。
高一数学解斜三角形试题答案及解析
高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为、、，、、成等比数列，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】由于、、成等比数列，，由正弦定理得. 由于，，由余弦定理推论得.【考点】余弦定理的应用.2.在△ABC中，a＝4，b＝4，角A＝30°，则角B等于 ()．A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解析】D由正弦定理得，由于，，符合大边对大角.【考点】正弦定理的应用.3.已知中，的对边分别为且.（1）判断△的形状，并求的取值范围；（2）如图，三角形的顶点分别在上运动，，若直线直线，且相交于点，求间距离的取值范围.【答案】（1）为直角三角形，；（2）.【解析】（1）法一，根据数量积的运算法则及平面向量的线性运算化简得到，从而可确定，为直角三角形；法二：用数量积的定义，将数量积的问题转化为三角形的边角关系，进而由余弦定理化简得到，从而可确定为直角，为直角三角形；（2）先引入，并设，根据三角函数的定义得到，进而得到，利用三角函数的图像与性质即可得到的取值范围，从而可确定两点间的距离的取值范围.试题解析：(1)法一：因为所以即所以，所以所以是以为直角的直角三角形法二：因为所以是以为直角的直角三角形即(2)不仿设，所以所以.【考点】1.平面向量的数量积；2.余弦定理；3.三角函数的应用.4.边长为2的等边三角形，求它水平放置时的直观图的面积 .【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系故直观图△A/B/C/的面积为.【考点】斜二测画法，直观图5.座落于我市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔AB高度为150米，某大楼CD高度为90米，从大楼CD顶部C看天宁宝塔AB的张角，求天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离BD．【答案】180米．【解析】本题难点在于选择函数解析式模型,是用余弦定理解三角形,还是取直角三角形表示边.如用余弦定理解三角形,则得,解此方程成为难点;如构造直角三角形就会减少运算量,即作CE AB于E,构造直角三角形CBE和直角三角形CAE,利用两角和的正切公式得到关于BD的方程,解此方程的运算量要少得多.将一个已知角分为两个角的和,这种思维不常见,须多加注意,深刻体会.试题解析：解：如图作CE AB于E．因为AB∥CD，AB=150，CD=90，所以BE=90，AE=60．设CE=，，则． 2分在和中，， 4分因为，所以． 8分化简得，解得或（舍去）． 10分答：天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离为180米． 12分【考点】两角和的正切公式,函数与方程.6.已知为的内角，且，则 .【答案】或【解析】依题意可知，且在单调递增，所以当时，，当时，，所以，即，综上可知或.【考点】1.三角形内角的取值范围；2.正弦函数的单调性.7.已知的周长为，且，（Ⅰ）求边AB的长；（Ⅱ）若的面积为，求角C的度数。
高一数学解斜三角形测试题
高一数学解斜三角形测试题Final revision by standardization team on December 10, 2020.第一章 解斜三角形 正弦定理、余弦定理例1在ABC ∆中，已知,30,10,50===A c a 则=∠B ( )° ° ° °或15°变式1-1在ABC ∆中，若045,25,50===A b a 则=∠B .变式1-2（06江苏）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ . 变式1-3在等腰三角形ABC 中，已知2:1sin :sin =B A ，底边10=BC ，则ABC ∆的周长是 .例2在ABC ∆中，已知三边c b a 、、满足ab c b a c b a 3)()(=-+⋅++, 则=∠C ( ) ° ° ° °变式2-1若平行四边形两条邻边的长度分别是4cm 和4cm ，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 .变式2-2（06山东）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , A =3π,a =3,b =1，则c = （ ） A ．1 C.3—1 D.3变式2-3边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为( )° ° ° °例3在ABC ∆中，若2cos 2cos 2cos C c B b A a==，则ABC ∆的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形变式3-1在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形变式3-2在ABC ∆中，A 为锐角，2lg sin lg 1lg lg -==⎪⎭⎫ ⎝⎛+A c b ，则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形例4在ABC ∆中，若,2,2,300===∠AC AB B 则ABC ∆的面积是 .变式4-1（06上海）在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .变式4-2在ABC ∆中，0007050sin 2,10sin 4=∠==C b a ，则ABC ∆的面积为（ ） 81. 41 C. 21 D.1 例5（06天津）在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △，求最小边的边长．变式5-1（06浙江）已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．变式5-2（06全国Ⅰ）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =，5c =，求b ．6（06山东）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若25=⋅CA CB ，且9a b +=，求c ．变式6-1（09浙江理）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满cos2A =，3AB AC ⋅=．（Ⅰ）求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若6b c +=，求a 的值．变式6-2（09北京理）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b ==. （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.变式6-3（09安徽理）在∆ABC 中，31sin ,2==-B A C π.（Ⅰ）求A sin 的值；（Ⅱ）设，求∆ABC 的面积.变式6-4（09江西理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A B C A B+=+,sin()cos B A C -=.（Ⅰ）求,A C ；（Ⅱ）若3ABC S ∆=,求,a c .正弦定理、余弦定理的应用例1（09辽宁理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
高一数学解斜三角形试题答案及解析
高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，由得，即，由于为三角形的内角，故，即，因此三角形为等边三角形.【考点】判定三角形的形状.2.在中，若，则△ABC的面积是= ( )．A．9B．9C．18D．18【答案】A【解析】在中，,是等腰三角形，，由三角形的面积公式得．考点:解三角形．3.已知中，的对边分别为且.（1）判断△的形状，并求的取值范围；（2）如图，三角形的顶点分别在上运动，，若直线直线，且相交于点，求间距离的取值范围.【答案】（1）为直角三角形，；（2）.【解析】（1）法一，根据数量积的运算法则及平面向量的线性运算化简得到，从而可确定，为直角三角形；法二：用数量积的定义，将数量积的问题转化为三角形的边角关系，进而由余弦定理化简得到，从而可确定为直角，为直角三角形；（2）先引入，并设，根据三角函数的定义得到，进而得到，利用三角函数的图像与性质即可得到的取值范围，从而可确定两点间的距离的取值范围.试题解析：(1)法一：因为所以即所以，所以所以是以为直角的直角三角形法二：因为所以是以为直角的直角三角形即(2)不仿设，所以所以.【考点】1.平面向量的数量积；2.余弦定理；3.三角函数的应用.4.边长为2的等边三角形，求它水平放置时的直观图的面积 .【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系故直观图△A/B/C/的面积为.【考点】斜二测画法，直观图5.已知为的内角，且，则 .【答案】或【解析】依题意可知，且在单调递增，所以当时，，当时，，所以，即，综上可知或.【考点】1.三角形内角的取值范围；2.正弦函数的单调性.6.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，则∠B的范围是()A．(0，] B．(0，]C．[，π) D．[，π)【答案】B【解析】根据题意，由于a、b、c成等差数列，则可知2b=a+c,结合余弦定理可知得到cosB ,故可知得到∠B的范围是(0，],故选B.【考点】等差数列点评：主要是考查了等差数列的运用，以及解三角形的综合运用，属于基础题。
解斜三角形(含答案)
S ABC
1 2
AC
AB sin
A
1 2
23
解法二：由 sin A cos A 计算它的对偶关系式 sin A cos A 的值。
sin A 2 1 2
2sin Acos A 1 2
0 A 180,sin A 0,cos A 0.
45 )
1 .
2
又 0 A 180 , A 45 60 , A 105.
tan A tan(45 60 ) 1 3 2 3 , 1 3
sin A sin105 sin(45 60 ) sin 45 cos 60 cos 45 sin 60 2 6 . 4
题型 2：三角形面积
例 2．在 ABC 中， sin A cos A 2 ， AC 2 ， AB 3 ，求 tan A 的值和 ABC 的面积。
2 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。
sin A cos A 2 cos( A 45 ) 2 , 2
cos(A
2bc 2
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∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。
∴ b sin B =sinA= 3 。
c
2
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
题型 4：正、余弦定理判断三角形形状
例 3．在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长，已知 a、b、c 成等比数列，且
b sin B a2－c2=ac－bc，求∠A 的大小及 c 的值。
高一下数学同步训练：解斜三角形测试(B卷)(附答案) (1)
高一数学同步检测二十 解斜三角形测试(B 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项)1．如下图，为了测量隧道口AB 的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据A ．α、a 、bB ．α、β、aC ．a 、b 、γD ．α、β、b 答案：C解析：根据实际情况，α、β都是不易测量的数据，而C 中的a 、b 、γ很易测量到，并且根据余弦定理能直接求出AB 的长．2．若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则内角C 等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案：B解析：∵S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24＝12absinC ，∴有a 2＋b 2－2absinC ＝c 2＝a 2＋b 2－2abcosC. ∴sinC ＝cosC.∴C ＝45°.3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sinBsinC ＋sin 2C ，则A 等于 A ．30° B ．60° C ．120°D ．150° 答案：C解析：由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cosA ＝a 2＋b 2－c 2 2bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴A ＝120°.4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定 答案：A解析：设原直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其中c 为斜边长，增加的长度为x ，新的三角形的最大角为C ，∵cosC ＞0，∴C 为锐角． ∴新的三角形为锐角三角形．5．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cosB 等于A.53 B.54 C.55 D.56 答案：B6．在△ABC 中，若sinA a ＝cosBb，则角B 的 值为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案：B∴cosB ＝sinB.从而tanB ＝1. 又0°<B<180°，∴B ＝45°.7．R 是△ABC 的外接圆半径，若ab ＜4R 2cosAcosB ，则△ABC 的外心位于 A ．三角形的外部 B ．三角形的边上C ．三角形的内部D ．三角形的内部或外部，但不会在边上 答案：A解析：由ab ＜4R 2cosAcosB ， 得4R 2sinAsinB ＜4R 2cosAcosB ， ∴cos(A ＋B)＞0.∴A ＋B ＜π2.∴C ＞π2，△ABC 为钝角三角形．故三角形的外心位于三角形的外部．8．已知△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinBsinC的值为A.85B.58C.53D.35答案：D解析：由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cosA ，∴72＝52＋AC 2＋2×5×12AC.∴AC ＝3或AC ＝－8(舍去)． 由正弦定理，得9．如图，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(α＜β)，则A 点离地面的高AB 等于A.asinαsinβsin(β－α)B.asinαsinβcos(α－β)C.acosαcosβsin(α－β)D.acosαcosβcos(α－β) 答案：A解析：在△ADC 中，DC ＝a ， ∠DAC ＝β－α，∠ACD ＝180°－β，10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝2，B ＝45°，则角A 等于A ．30°B ．30°或105°C ．60°D ．60°或120° 答案：D第Ⅱ卷(非选择题 共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上) 11．在锐角△ABC 中，已知||＝4，||＝1，△ABC 的面积为3，则·的值为__________．答案：212．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积为__________． 答案：23或313．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a ＋b ＋c)·(sinA ＋sinB －sinC)＝3asinB ，则C ＝______.答案：60°解析：由正弦定理，得(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，展开整理，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 2 2bc ＝－ab 2ab ＝12，∴C ＝60°.14．在△ABC 中，tanB ＝1，tanC ＝2，b ＝100，则a ＝______. 答案：605解析：∵tanB ＝1，∴B ＝45°，sinB ＝22.三、解答题(本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分8分)隔河看到两目标A 、B ，但不能到达，在岸边选取相距3千米的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求A 、B 之间的距离．答案：解：∵∠ACD ＝75°＋45°＝120°，∠ADC ＝30°， ∴∠CAD ＝30°.∴AC ＝CD ＝ 3. 在△ACD 中，∴A 、B 间的距离为5千米．16.(本小题满分8分)在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sinC ＝2sinA. (1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．答案：17．(本小题满分9分)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2bsinA. (1)求角B 的大小；(2)求cosA ＋sinC 的取值范围．答案：解：(1)由a ＝2bsinA ，根据正弦定理，得sinA ＝2sinBsinA ，所以sinB ＝12.由△ABC 为锐角三角形，得B ＝π6.(2)cosA ＋sinC ＝cosA ＋sin(π－π6－A)＝cosA ＋sin(π6＋A)＝cosA ＋12cosA ＋32sinA18．(本小题满分9分)在△ABC 中，已知a(bcosB －ccosC)＝(b 2－c 2)cosA ，试判断△ABC 的形状．答案：解法一：根据余弦定理，得去分母，得b2(a2＋c2－b2)－c2(a2＋b2－c2)＝(b2－c2)(b2＋c2－a2)．整理，得(b2－c2)(b2＋c2－a2)＝0，因此b＝c或b2＋c2＝a2.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法二：根据正弦定理，得sinA(sinBcosB－sinCcosC)＝(sin2B－sin2C)cosA⇒sinAsin2B－sinAsin2C＝[(1－cos2B)－(1－cos2C)]cosA⇒cos2BcosA＋sin2BsinA＝cos2CcosA＋sin2CsinA⇒cos(2B－A)＝cos(2C－A)．∵－π<2B－A<π，－π<2C－A<π，∴2B－A＝2C－A或2B－A＝A－2C.整理，得B＝C或B＋C＝A.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．19．(本小题满分10分)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．答案：解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1(km)．又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝AB.。
高一数学解斜三角形试题答案及解析
高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在中，内角的对边分别为，，，，则等于（）A．1B．C．D．2【答案】A.【解析】由正弦定理得.【考点】正弦定理的应用.2.△ABC中，若，则△ABC的形状为．【答案】等腰三角形【解析】由余弦定理可知,代入中得,因此答案是等腰三角形.【考点】余弦定理及其变形应用3.在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.【答案】【解析】中由余弦定理可求，由同角间的基本关系式可求得，在中由正弦定理，可得AB的值.试题解析：解：在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos ADC==,ADC="120°," ADB=60°在△ABD中，AD="10," B="45°," ADB=60°，由正弦定理得,∴AB=. 12分【考点】余弦定理，正弦定理.4.边长为2的等边三角形，求它水平放置时的直观图的面积 .【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系故直观图△A/B/C/的面积为.【考点】斜二测画法，直观图5.已知ABC中，,, 则= .【答案】【解析】根据题意，由于ABC中，,,则有正弦定理可知，由于b<a,则可知B<A,因此可知=，故答案为。
【考点】解三角形点评：主要是考查了解三角形的运用，属于基础题。
6.在中，，，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，有正弦定理得得【考点】解三角形点评：解三角形时常用正余弦定理实现边与角的互相转化，本题中用到了正弦定理7.在中，内角的对边分别为．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为钝角，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）3（Ⅱ）【解析】（1）由正玄定理，设所以又：A+B+C=因此（2）由，得c=3a由题意【考点】解三角形点评：解三角形时常借助于正弦定理，余弦定理，实现边与角的互相转化8.如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?【答案】：乙船每小时航行海里．【解析】如图，连结，由已知，，，又，是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．【考点】解三角形的实际运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理的运用，属于中档题。
高一数学解斜三角形试题答案及解析
高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为、、，、、成等比数列，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】由于、、成等比数列，，由正弦定理得.由于，，由余弦定理推论得.【考点】余弦定理的应用.2.△ABC中，若，则△ABC的形状为（）.A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】由正弦定理及,得;则，即;又因为A,B是三角形的内角，,即三角形为等腰三角形.【考点】正弦定理、三角形形状的判定.3.在△ABC中，a＝4，b＝4，角A＝30°，则角B等于 ()．A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解析】D由正弦定理得，由于，，符合大边对大角.【考点】正弦定理的应用.4.在中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则 = ．【答案】【解析】由三角形内角和定理可知,又∠A：∠B：∠C=1：2：3,所以,由正弦定理可知,因此答案为.【考点】内角和定理与正弦定理5.如图，小岛A的周围3.8海里内有暗礁.一艘渔船从B地出发由西向东航行，观测到小岛A在北偏东75°，继续航行8海里到达C处，观测到小岛A在北偏东60°.若此船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？【答案】此船继续前行没有触礁的危险【解析】根据已知条件可知，，可得边长，构造直角三角形用三角函数即可求得点到的距离，若此距离大于就没有触礁的危险，否则就会有触礁的危险。
试题解析：解法1在中，,所以. 4分又已知，所以=8. 8分过点作⊥BC,垂足为D,在直角三角形中，＞3.8 11分所以此船继续前行没有触礁的危险 12分解法2 过点A作AD ⊥,垂足为D,由已知，BC=8，∠BAD=75°, ∠CAD=60° 4分在直角三角形ABD中，，在直角三角形ACD中，同法可得, 8分所以BC=BD-CD=，所以＞3.8 11分所以此船继续前行没有触礁的危险 . 12分【考点】解三角形问题。
答案高一数学下析及解斜三角形解析及
高一数学下第5章《解斜三角形》解析及答案巩固基础 一、自主梳理1.正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,b 2=a 2+c 2-2accosB,cosA=bc a c b 2222-+.3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr(S=2cb a ++,r 为内切圆半径)=R abc4(R 为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2BA +,sin 2C =cos 2BA +……在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ，可求出角C ，再求b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C. (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B bsin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =B bsin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.二、点击双基1.在△ABC 中，A=60°，a=433,b=42，则B 等于( )A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对解析：sinB=a A b sin =342324 =22,又∵b<a,∴B<A.∴0°<B<60°.故B=45°.答案：C2.△ABC 中，a=2bcosC ，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 解析：由正弦定理得sinA=2sinBcosC, 即sin(B+C)=2sinBcosC. ∴sin(B-C)=0.又∵-π<B -C<π，∴B-C=0. 答案：A3.设A 是△ABC 最小内角，则sinA+cosA 的取值范围是( )A.(-2，2)B.［-2,2］C.(1，2)D.(1,2］解析：∵0°<A≤60°,∴45°<A+45°≤105°. ∴sinA+cosA=2sin(A+45°)∈(1,2］. 答案：D4.(2006山东潍坊检测)在△ABC 中，cos 22A =c cb 2+(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC的形状为( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析：∵cos 22A =2cos 1A +,∴2cos 1A +=c c b 2+,即cosA=c b.又∵cosA=bc a c b 2222-+,∴c b =bc a c b 2222-+,即a 2+b 2=c 2.∴△ABC 为直角三角形.故选B.答案：B5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_________________________.解析：由已知得(b+c)2-a 2=3bc,∴b 2+c 2-a 2=bc.∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A=3π.答案：3π训练思维6、△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c,如果a 2=b(b+c),求证:A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角,二是角化边. 证明：用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a 2=b(b+c)中,得 sin 2A=sinB(sinB+sinC)⇒sin 2A-sin 2B=sinBsinC⇒22c o s 1A --22cos 1B-=sinBsin(A+B) ⇒21(cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B)⇒sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B).因为A 、B 、C 为三角形的三内角,所以sin(A+B)≠0.所以sin(A-B)=sinB.所以只能有A-B=B,即A=2B. 讲评：利用正弦定理,将命题中边的关系转化为角间关系,从而全部利用三角公式变换求解.链接·聚焦7、(1)该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理,由a 2=b(b+c),得 cosA=bc a c b 2222-+=bc c b b c b 2)()(22+-+=b b c 2-,cos2B=2cos 2B-1=2(ac b c a 2222-+)2-1=222)(2)(c c b b c c b ++-1=b bc 2-.所以cosA=cos2B.因为A 、B 是△ABC 的内角,所以A=2B.(2)该题根据命题特征,能否构造一个符合条件的三角形,利用几何知识解决?解：由题设a 2=b(b+c),得c b a+=a b , ①做出△ABC,延长CA 到D,使AD=AB=c,连结BD.①式表示的即是DC BC =BC AC,所以△BCD ∽△ABC.所以∠1=∠D.又AB=AD,可知∠2=∠D,所以∠1=∠2. 因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1, 所以A=2B.讲评：近几年的高考题中,涉及到三角形的题目,重点考查正弦、余弦定理,考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.8、（2004全国高考卷Ⅱ）已知锐角△ABC 中,sin(A+B)=53,sin(A-B)=51.(1)求证:tanA=2tanB; (2)设AB=3,求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形,以(1)为铺垫,解决(2).(1)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51,∴B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51cos cos 52cos sin 51sin cos cos sin 53sin cos cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=2.∴tanA=2tanB.(2)解：2π＜A+B ＜π,∴sin(A+B)=53.∴tan(A+B)=-43,即B A B A tan tan 1tan tan -+=-43.将tanA=2tanB 代入上式整理得2tan 2B-4tanB-1=0,解得tanB=262±(负值舍去).得tanB=262±,∴tanA=2tanB=2+6.设AB 边上的高为CD,则AB=AD+DB=A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB=3得CD=2+6,∴AB 边上的高为2+6.讲评：本题主要考查三角函数概念,两角和与差的公式以及应用,分析和计算能力.9、 如图，有两条相交成60°角的直路EF 、MN ，交点是O.起初，阿福在OE 上距O 点3千米的点A 处；阿田在OM 上距O 点1千米的点B 处.现在他们同时以4千米/时的速度行走，阿福沿EF 的方向，阿田沿NM 的方向.(1)求起初两人的距离；(2)用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离； (3)什么时候他们两人的距离最短？ 解：(1)∵AB 2=OA 2+OB 2-2OA·OBcos60°=7, ∴起初他们两人的距离是7千米.(2)设他们t 小时后的位置分别是P 、Q ，则AP=4t,BQ=4t. 下面分两种情况讨论:当0≤t≤43时，PQ 2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°. ① 当t>43时，PQ 2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°. ②由①②综合得PQ 2=48t 2-24t+7,即PQ=724482+-t t .(3)∵PQ 2=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4,∴当t=41时，即在第15分钟时他们两人的距离最短.链接·拓展本题还可以转化为坐标运算，从而避免分类讨论.提示：以O 为坐标原点，OE 所在直线为x 轴建立坐标系，则t 时刻P(3-4t,0),Q(21(1+4t), 23(1+4t)).状元训练复习篇10.在△ABC 中，下列三式AB ·>0,BA ·>0,·>0中能够成立的不等式个数( )A.至多1个B.有且仅有1个C.至多2个D.至少2个解析：原条件可转化为cosA>0,cosB>0,cosC>0.而A 、B 、C 是三角形的内角，∴A+B+C=π最多一个钝角. 答案：D11.在△ABC 中，a=80,b=100,A=45°，则此三角形解的情况是( )A.一解B.两解C.一解或两解D.无解 解析：∵bsinA=502,∴a>bsinA. 答案：B12（理）在△ABC 中，若A=60°,b=1,S △ABC =3，则C B A c b a sin sin sin ++++的值为( ) A.3326 B.3392 C.339 D.3313解析：∵S △ABC =21bcsinA,∴51bcsinA=3.∴c=4.∴a 2=b 2+c 2-2bccosA=13.∴a=13.∴C B A c b a sin sin sin ++++=A asin =3132=3392.答案：B13、(文)(2004浙江高考)在△ABC 中,“A ＞30°”是“sinA ＞21”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中,A ＞30°⇒0＜sinA ＜1sinA ＞21;sinA ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.答案：B14.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c,若三角形的面积S=41(a 2+b 2-c 2),则∠C 的度数是_______________________.解析：由S=41(a 2+b 2-c 2)得21absinC=41·2abcosC.∴tanC=1.∴C=45°.答案：45°15.在△ABC 中,若∠C=60°,则c b a ++c a b +=____________________. 解析：c b a ++c a b+=))((22c a c b bc b ac a +++++=222c bc ac ab bcac b a ++++++. (*)∵∠C=60°,∴a 2+b 2-c 2=2abcosC=ab.∴a 2+b 2=ab+c 2.代入(*)式得22c bc ac ab bcac c ab ++++++=1.答案：116.在△ABC 中，c=22,a>b,∠C=4π,且有tanA·tanB=6,试求a 、b 以及此三角形的面积.思路分析：由已知可求出tanA+tanB,这样便可求得tanA 和tanB 的值，只要求出sinA 、sinB 利用正弦定理可求得a 、b.解：∵tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =-tanC(1-tanAtanB)=-tan 4π(1-6)=5,又∵tanA·tanB=6且a>b,则tanA>tanB.∴tanA=3,tanB=2.而0<A<2π,0<B<2π,∴sinA=10103,sinB=552.由正弦定理得a=C A c sin sin =5106,b=C Bc sin sin =2255222∙=558,S △ABC =21absinC=524.17.(2006北京海淀模拟)(理)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin 2C=3cosC,c=7,又△ABC 的面积为233.求：(1)角C 的大小； (2)a+b 的值.解：(1)由已知得2(1-cos 2C)=3cosC,cosC=21或cosC=-2(舍),在△ABC 中，C=60°.(2)∵S △ABC =21absinC=233,∴21absin60°=233.∴ab=6.又∵c 2=a 2+b 2-2abcosC, ∴(7)2=a 2+b 2-2abcosC. ∴a 2+b 2-ab=7.∴a 2+b 2=13.∴a+b=ab b a 222++=1213+=5.18(文)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为233,且c=7,3cosC-2sin 2C =0.求：(1)角C 的大小； (2)a 、b 的值.解：(1)由已知得2(1-cos 2C)=3cosC,cosC=21或cosC=-2(舍),在△ABC 中，C=60°.(2)∵S △ABC =21absinC=233,∴21absin60°=233.∴ab=6.又∵c 2=a 2+b 2-2abcosC, ∴(7)2=a 2+b 2-2abcosC. ∴a 2+b 2-ab=7.∴a 2+b 2=13.∴a+b=ab b a 222++=1213+=5.∴a=2,b=3或a=3,b=2.加强篇19、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,依次成等比数列，求y=BB Bcos sin 2sin 1++的取值范围. 解：∵b 2=ac,∴cosB=ac b c a 2222-+=ac acc a 222-+ =21(c a +a c )-21≥21.∴0＜B≤3π,y=B B Bcos sin 2sin 1++=B B B B cos sin )cos (sin 2++=sinB+cosB=2sin(B+4π).∵4π＜B+4π≤127π,∴22＜sin(B+4π)≤1.故1＜y≤2.20.(全新创编题)某城市有一条公路,自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB,现要修建一条铁路L,L 在OA 上设一站A,在OB 上设一站B,铁路在AB 部分为直线段,现要求市中心O 与AB 的距离为10 km,问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)解：在△AOB 中,设OA=a,OB=b. 因为AO 为正西方向,OB 为东北方向, 所以∠AOB=135°.则|AB|2=a 2+b 2-2abcos135°=a 2+b 2+2ab≥2ab+2ab=(2+2)ab,当且仅当a=b 时,“=”成立.又O 到AB 的距离为10,设∠OAB=α,则∠OBA=45°-α.所以a=αsin 10,b=)45sin(10α-︒,ab=αsin 10·)45sin(10α-︒=)45sin(sin 10α-︒∙ =)sin 2222(sin 100ααα-=)2cos 1(42sin 42100αα--=2)452sin(2400-︒+α≥22400-, 当且仅当α=22°30′时,“=”成立.所以|AB|2≥22)22(400-+=400(2+1)2,当且仅当a=b,α=22°30′时,“=”成立.所以当a=b='3022sin 10︒=10)22(2++时,|AB|最短,其最短距离为20(2+1),即当AB 分别在OA 、OB 上离O 点10)22(2++km 处,能使|AB|最短,最短距离为20(2-1).教学参考一、教学思路1.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边.具体有如下四种方法：①通过正弦定理实施边角转换；②通过余弦定理实施边角转换；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论.2.用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等.3.在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.4.用向量的数量积求三角形内角时，需通过向量的方向判断向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.二、注意问题1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段,通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景,以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.三、参考资料21已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角,y=cotA+)cos(cos sin 2C B A A-+.(1)若任意交换两个角的位置,y 的值是否变化?试证明你的结论.(2)求y 的最小值.解：(1)∵y=cotA+)cos()](cos[)](sin[2C B C B C B -++-+-ππ=cotA+)cos()cos()sin(2C B C B C B -++-+=cotA+C B CB C B sin sin sin cos cos sin +=cotA+cotB+cotC,∴任意交换两个角的位置,y 的值不变化.(2)∵cos(B-C)≤1,∴y ≥cotA+A A cos 1sin 2+=2tan 22tan 12A A-+2tan 2A =21(cot 2A +3tan 2A )≥2cot 2tan 3A A ∙ =3.故当A=B=C=3π时,y min =3.讲评：本题的第(1)问是一道结论开放型题,y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第(2)问实际上是一道常见题:在△ABC 中,求证:cotA+cotB+cotC≥3.22、在△ABC 中,sinA=C B C B cos cos sin sin ++,判断这个三角形的形状.剖析：判断一个三角形的形状,可由三个内角的关系确定,亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题,就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理,可得a=ab c b a ca b a c cb 22222222-++-++,所以b(a 2-b 2)+c(a 2-c 2)=bc(b+c).所以(b+c)a 2=(b 3+c 3)+bc(b+c).所以a 2=b 2-bc+c 2+bc.所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.讲评：恒等变形是学好数学的基本功,变形的方向是关键.若考虑三内角的关系,本题可以从已知条件推出cosA=0.。
解斜三角形简单练习
解斜三⾓形简单练习⼀、⾃主梳理 1.正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin =2R ，其中R 是三⾓形外接圆半径. 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,b 2=a 2+c 2-2accosB,cosA=bc a c b 2222-+.3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S --- =Sr(S=2c b a ++,r 为内切圆半径)=Rabc4(R 为外接圆半径).4.在三⾓形中⼤边对⼤⾓，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三⾓形内⾓的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2B A +,sin2C =cos 2BA +……在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC;(2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三⾓形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等⽐数列. 7.解三⾓形常见的四种类型(1)已知两⾓A 、B 与⼀边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =Ccsin ，可求出⾓C ，再求出b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹⾓A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出⾓B 、C.(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出⾓A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中⼀边的对⾓A ，由正弦定理A a sin =Bbsin ，求出另⼀边b 的对⾓B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，⽽通过A a sin =Bbsin 求B 时，8.⽤向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和⽅向.9.三⾓形的分类或形状判断的思路，主要从边或⾓两⽅⾯⼊⼿.1．已知三⾓形的三边之⽐为3∶4∶37，则最⼤内⾓为． 2．已知))((a c b c b a -+++＝3bc ，则∠A ＝．3．已知三⾓形的⼀个内⾓是45，⼀邻边长是3，对边长为2，则另⼀邻边长为．4．已知a ＝4，b ＝6，B sin ＝43，则∠A ＝． 5．在△ABC 中，已知a ＝12，b ＝43，∠A ＝120，则c ＝，?S ＝．6．已知A sin ＝2C B cos sin ，且a c b c b a -+++＝cb3，则三⾓形形状为．7．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，∠A ＝30，则∠B ＝．8．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，如果三⾓形有解，则∠A 的取值范围． 9．在△ABC 中，若A a cos ＝B b cos ，则△ABC 是．10．在△ABC 中，∠B ＝45，D 是BC 上⼀点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝． 11．已知三⾓形的三条边之⽐为3∶5∶7，且最⼤边长为14，则三⾓形的⾯积为． 12．在锐⾓三⾓形ABC 中，a ＝8，c ＝12，?S ＝243，则三⾓形中最⼩⾓是，它的正弦值等于．⼆．选择题：13．在△ABC 中，A sin +A cos ＝127，则△ABC 是（）（A ）钝⾓三⾓形；（B ）锐⾓三⾓形；（C ）直⾓三⾓形；（D ）正三⾓形． 14．在△ABC 中，∠A ＝60 ，a ＝7，b ＝8，则三⾓形（）（A ）有⼀解；（B ）有两解；（C ）⽆解；（D ）不确定．15．在△ABC 中，A sin ∶B sin ∶C sin ＝2∶3∶4，则ABC ∠cos ＝（）（A ）1611；（B ）－41；（C ）2421；（D ）43． 16．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，∠B ＝30，则△ABC 的⾯积是（）（A ）23；（B ）43；（C ）23或3；（D ）43或23．三．解答题：17．在△ABC 中，若A a cos ?+B b cos ?＝C c cos ?，判断三⾓形形状．解：18．在△ABC 中，已知ab ＝60，?S ＝15，A sin ＝B cos ，求三⾓形的三内⾓．解：19．已知三⾓形三边是三个连续⾃然数，若最⼤⾓是最⼩⾓的两倍，求三边长．解：20．已知三⾓形两边之和为8，其夹⾓为60 ，求这个三⾓形周长的最⼩值和⾯积的最⼤值，并指出⾯积最⼤时三⾓形的形状．解：1.在△ABC中，A=60°，a=433,b=42，则B等于( )A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对2.△ABC中，a=2bcosC，则此三⾓形⼀定是( )A.等腰三⾓形B.直⾓三⾓形C.等腰直⾓三⾓形D.等腰或直⾓三⾓形3.设A是△ABC最⼩内⾓，则sinA+cosA的取值范围是( )A.(-2，2)B.［-2,2］C.(1，2)D.(1,2］在△ABC 中，cos 22A =ccb 2+(a 、b 、c 分别为⾓A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A.正三⾓形B.直⾓三⾓形C.等腰三⾓形或直⾓三⾓形D.等腰直⾓三⾓形 5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_________________________.△ABC 的三个内⾓A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c,如果a 2=b(b+c),求证:A=2B. 剖析：研究三⾓形问题⼀般有两种思路.⼀是边化⾓,⼆是⾓化边.已知锐⾓△ABC 中,sin(A+B)=53,sin(A-B)=51. (1)求证:tanA=2tanB;(2)设AB=3,求AB 边上的⾼.剖析：有两⾓的和与差联想到两⾓和与差的正弦公式,结合图形如图，有两条相交成60°⾓的直路EF 、MN ，交点是O.起初，阿福在OE 上距O 点3千⽶的点A 处；阿⽥在OM 上距O 点1千⽶的点B 处.现在他们同时以4千⽶/时的速度⾏⾛，阿福沿EF 的⽅向，阿⽥沿NM 的⽅向.(1)求起初两⼈的距离；(2)⽤包含t 的式⼦表⽰t ⼩时后两⼈的距离； (3)什么时候他们两⼈的距离最短？1.在△ABC 中，cos （A －B ）＋sin （A ＋B ）=2，则△ABC 的形状是（） A.等边三⾓形 B.等腰钝⾓三⾓形 C.等腰直⾓三⾓形 D.锐⾓三⾓形2.若△ABC 的⾯积为4222c b a -+，则内⾓C 等于（）A.30°B.45°C.60°D.90° 3.△ABC 中，sin 2A =sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A 等于（） A.30° B.60° C.120° D.150°4.如果把直⾓三⾓形的三边都增加同样的长度，则这个新的三⾓形的形状为（） A.锐⾓三⾓形 B.直⾓三⾓形 C.钝⾓三⾓形 D.由增加的长度决定5.在△ABC 中，A 为锐⾓，lg b +lg （c1）=lgsin A =－lg 2，则△ABC 为（） A.等腰三⾓形B.等边三⾓形C.直⾓三⾓形D.等腰直⾓三⾓形6.在△ABC 中，a （sin B －sin C ）＋b （sin C －sin A ）＋c （sin A －sin B ）的值是（） A.21 B.0 C.1 D.π7.R 是△ABC 的外接圆半径，若ab ＜4R 2cos A cos B ，则△ABC 的外⼼位于（） A.三⾓形的外部 B.三⾓形的边上 C.三⾓形的内部 D.三⾓形的内部或外部，但不会在边上 8.若△ABC 的三条边的长分别为3、4、6，则它的较⼤的锐⾓的平分线分三⾓形所成的两个三⾓形的⾯积⽐是（）A.1∶1B.1∶2C.1∶4D.3∶9.如图，D 、C 、B 三点在地⾯同⼀直线上，DC =a ，从C 、D 两点测得A 点的仰⾓分别是β、α（α＜β），则A 点离地⾯的⾼AB 等于（）αβDABCA.)sin(sin sin αββα-aB.)cos(sin sin βαβα-aC.)sin(cos cos βαβα-aD.)cos(cos cos βαβα-a10.在△ABC 中，若cbc B A B A -=+-tan tan tan tan ，这个三⾓形必含有（） A.30°的内⾓ B.45°的内⾓ C.60°的内⾓D.90°的内⾓11.在△ABC 中，tan B =1，tan C =2，b =100，则a =______.12.在△ABC 中，若∠B =30°，AB =23，AC =2，则△ABC 的⾯积为__________. 13.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是⾓A 、B 、C 所对的边长，若（a ＋b ＋c ）·（sin A ＋sin B －sin C ）=3a sin B ，则C =______.14.在△ABC 中，S 是它的⾯积，a 、b 是它的两条边的长度，S =)(422b a +，则△ABC为__________三⾓形.15.（本⼩题满分10分）隔河看到两⽬标A 、B ，但不能到达，在岸边选取相距3千⽶的C 、D 两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD =45°，∠ADC =30°，∠ADB =45°（A 、B 、C 、D 在同⼀平⾯内），求A 、B 之间的距离.A BCD16.（本⼩题满分10分）在四边形ABCD 中，BC =a ，DC =2a ，四个⾓A 、B 、C 、D 度数的⽐为3∶7∶4∶10,求AB 的长.17.（本⼩题满分8分）在△ABC 中，已知cbc B A B A -=+-tan tan tan tan ，求∠A . 18.（本⼩题满分12分）在海岸A 处，发现北偏东45°⽅向，距离A 为（13-）海⾥的B 处有⼀艘⾛私船，在A 处北偏西75°⽅向距离A 为2海⾥的C 处有我⽅⼀艘缉私艇奉命以103海⾥/时的速度追截⾛私船，此时⾛私船正以10海⾥/时的速度从B 处向北偏东30°⽅向逃窜，问缉私艇沿什么⽅向，才能最快追上⾛私船？需要多长时间？19.（本⼩题满分14分）在△ABC 中，已知a 2－a =2（b ＋c ），a ＋2b =2c －3. （1）若sin C ∶sin A =4∶13，求a 、b 、c ；（2）求△ABC 的最⼤⾓的弧度数.。
高三数学解斜三角形试题答案及解析
高三数学解斜三角形试题答案及解析1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于（）A．B．C．D．【答案】 C.【解析】，，，所以.选C【考点】解三角形.2.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x （1）求f(x)的最小正周期及最大值。
（2）设A,B,C为△ABC的三个内角，若cosB=,f()=-，且角A为钝角，求sinC【答案】(1) (2)【解析】(1)f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x=cos2xsin2x+cos4x=sin4x+cos4x=sin(4x+)∴最小正周期T==当4x+=+2k(k∈Z)，即x=+(k∈Z)时,f(x)max故最小正周期为，最大值为。
（2）∵f()=-，∴sin(4×+)=-sin(2A+)=-又A为钝角，所以2A+=，即A=由cosB=得，sinB=又sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+(-)×=3.已知的内角A、B、C所对的边为，, ，且与所成角为.（Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的范围为.【解析】（Ⅰ）由两向量的夹角公式得，将此式变形可得：.这是一个特殊角的三角函数值，再根据角B的范围便可得角B的值.（Ⅱ）由（1）知，，A+C= 这样换掉一个角，可将用一个只含一个角的式子表示出来，从而根据该角的范围便可得这个式子的范围.试题解析：（Ⅰ）与向量所成角为，，又， 6分（Ⅱ）由（1）知，，A+C====，所以的范围为. 12分【考点】1、三角恒等变换；2、向量的运算.4.如图，在中，已知点在边上，,, ,则的长为 .【答案】【解析】，根据余弦定理可得，.【考点】1.余弦定理；2.诱导公式5.已知中，，，设，并记(1)求函数的解析式及其定义域；(2)设函数，若函数的值域为，试求正实数的值【答案】（1)，定义域为；（2）【解析】（1）先由正弦定理求出AB和BC的长，然后由向量的数量积求出函数f(x)的解析式并结合三角形的内角和求出定义域；（2）,故可先求出函数的值域为，而函数的值域为，故有试题解析：（1）由正弦定理知：，，，又,，定义域为 6分(2)，假设存在正实数符合题意，，故，又，从而函数的值域为，令 12分【考点】1 解三角形；2 三角函数的值域6.在中，，，，则的面积为()．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为为三角形的内角，所以，所以三角形的面积，选C.【考点】三角形面积公式.7.在三角形中，.⑴求角的大小；⑵若，且，求的面积.【答案】⑴⑵【解析】(1)利用角的拆分和两角和的正弦公式进行化简整理，然后借助辅助角公式得到求解角C；（2）借助二倍角公式和内角和定理化简为或，然后分别探讨，借助正弦定理和余弦定理进行转化求得，进而求取三角形的面积.试题解析：(1) 由题，则，化简得， (2分)即，，所以， (4分)从而，故. (6分)(2) 由，可得.所以或. (7分)当时，,则,; (8分)当时，由正弦定理得.所以由，可知. (10分)所以. (11分)综上可知 (12分)【考点】1.三角变换公式;2.解三角形.8.已知点在球心为的球面上，的内角所对边的长为，且，球心到截面的距离为，则该球的表面积为 .【答案】【解析】如图，在中，由及余弦定理，得再由正弦定理得在中，由勾股定理得所以该球的表面积为．【考点】考查球的截面的性质、正弦定理、余弦定理及球表面积的计算．9.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且成等差数列。
高一数学下学期解斜三角形习题精选 试题
高一数学下学期解斜三角形习题精选一、选择题1．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，那么∠BAC等于〔〕．A．10° B．50° C．120° D．130°2．假设P的Q的北偏东44°50′，那么Q在P的〔〕A．东偏北45°10′ B．东偏北45°50′C．南偏西44°50′ D．西偏南45°50′3．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，那么塔高为〔〕A．米B．米C．米D．米4．一货轮航行到M处，测得S在货轮的北偏东15°，与S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又得在货轮的东北方向，那么货轮的速度为〔〕A．海里/小时B．海里/小时C．海里/小时D．海里/小时5．如下图，两座A和B与海洋观察站C的间隔都等于a km，A在观察站C的北偏东20°，B在观察站C的南偏东40°，那么A与B的间隔为〔〕A．a km B．km C．km D．2a km6．如下图，D、C、B在地平面同一直线上，，从D、C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，那么A点离地面的高AB等于〔〕A．10m B．m C．m D．m二、填空题7．某人以时速a km向东行走，此时正刮着时速a km的南风，那么此人感到的风向为_______，风速为_______．8．某车向正南方向开了S千米后，向右转角，然后又开了m千米，结果该车离出发地点，，那么9．如下图，为了测量两点A、B〔这两点间不能通视〕间的间隔，在地面上选择适当的点C，测得10．如下图为一角槽，，并量得，那么11．如下图，在加工缝纫机挑线杆时，需要计算A、C两孔中心的间隔．，那么〔保存三位有效数字〕．12．如下图，在平地上有一点A，测得一塔尖C的仰角为45°，向前行进a m到B处又测得塔尖C的仰角为60°，那么塔高是______．三、解答题13．如下图，A、B两点的间隔为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的间隔最短？14．某海轮以30n mile/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为东偏北60°的航行再航行80分钟到达C点．试求P、C间的间隔．15．我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，，目的出现于地面点B处时，测得〔如下图〕．求炮兵阵地到目的的间隔〔结果保存根号〕．16．某渔船在A处测得北45°东的C处有一渔群，离渔船9海里，并发现渔群正沿南75°东的方向以10海里/小时的速度前进，渔船立即以14海里/小时的速度沿直线方向追捕．问渔船应沿什么方向，需多长时间是才能追上鱼群？17．如下图，有两条相交成60°角的直路、，交点是O，甲、乙分别在Ox、Oy上，起初甲位于离O点3km的A处，乙位于离O点1km的B处，后来两人同时用每小时4km的速度，甲沿的方向，乙沿的方向步行．〔1〕起初，两人的间隔是多少？〔2〕用包含t的式子表示t小时后两人的间隔；〔3〕什么时候两人的间隔最短？参考答案一、选择题1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 6．D二、填空题7．东南，km/h 8．9．10．23.45°，67.9° 11． 12．三、解答题13．设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，在中，海里，海里〔〕，，由余弦定理得：∴当〔小时〕时，最小，从而得CD最小，∴航行小时，两船这间间隔最近．14．在中据题意，，，．由正弦定理得．在中据题意，由余弦定理得15．在中，，，，根据正弦定理有，同理，在中，，，，根据正弦定理有．又在中，，根据勾股定理有．所以炮兵阵地到目的的间隔为米．16．设t小时后渔船在B点追上鱼群．由题意，在中，，由正弦定理得，故17．〔1〕设甲、乙两人最初的位置是A、B，那么，∴〔km〕．〔2〕设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，那么．当时，．注意到，上面两式实际上是统一的，所以．即．〔3〕，∴当小时时，即在第15分钟末，PQ最短，最短间隔是2km．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
解斜三角形训练题
(A)等腰三角形(B)等边三角形(C)直角三角形(D)等腰直角三角形
7．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）
(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)由增加的长度决定
8.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2－1和2x+1(x＞1)，则最大角为（）A. 150°B. 120°C. 60°D. 75°
A. B. C. D. 1
12．若 则△ABC为（）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形
13．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）
A．b = 10，A = 45°，B = 70°B．a = 60，c = 48，B = 100°
9．在△ABC中， ，那么△ABC一定是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形
10．在△ABC中，A为锐角，lgb+lg( )=lgsinA=－lg ,则△ABC为（）
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
11．在△ABC中， ，则△ABC的面积为（）
5.在 中，若 ， ， ，则 的面积S=_______
三.解答题:
1.在 中， ， ．
（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）设 ，求 的面积．
2.在 中， ， ．
（Ⅰ）求角 的大小；（Ⅱ）若 最大边的边长为 ，求最小边的边长．
3.已知 的周长为 ，且 ．
（I）求边 的长；（II）若 的面积为 ，求角 的度数．
4.在 中，角 的对边分别为 ．
高一数学暑假练习解斜三角形应用举例
E AC D B30︒ 60︒解斜三角形应用举例一、选择题1．若从A 处望B 处的仰角为α.从B 得望A 处的俯角为β，则,αβ的关系是A ．αβ>B ．αβ=C ．90αβ+=︒D ．180αβ+=︒2．在某测量中，设A 在B 的南偏东3427'︒,则B 在A 的A ．北偏西3427'︒B ．北偏东5533'︒C ．北偏西5533'︒D ．南偏西5533'︒3．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20︒，现要将倾斜角改为10︒,则斜坡要伸长到A ．cos20︒B ．2cos10︒C ．2sin10︒D ．2cos101︒-4．一树干被台风吹断并与地面成30︒角,树干底部与树尖着地处相距20m ，则树干原来的高度为A ．20m B． C． D ．10m二、填空题 5．如图,在200m 高的山顶A 处，测得山下一塔顶C 与塔底D 的俯角分别是30︒、60︒，则塔高为 .6．为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸的标记物C,测得30,75,120CAB CBA AB m ∠=︒∠=︒=，则河的宽度为m 。
7．若在测量中，某斜坡的坡度3:4i =,设α为坡角，那么cos α为 。
8．一架飞机沿水平飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30︒,飞行10000m后到达B,在B处观察目标C的俯角为75︒,这时飞机与目标C的距离为m.三、解答题9．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角ABC∆的两边AB和BC,且120∠=︒，部怎样锯断刀才能使第三边AC最短.ABC参考答案一、选择题1．B2．A3．B4．B二、填空题5．40036．607．458．三、解答题9．只有将木条锯成相等的两段时，才能使第三条边AC最短.。