(整理)武汉纺织大学高等数学(下期中试卷)答案.

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一二三四五

全校理工科

高等数学（90）（下）期中试卷

一、填空题(每小题3分，共27分)

1、2

1

1ln

1

y

u x

y

-

=-

+

的定义域为)1,1

(

]1,1

[-

⨯

-；

考点：自然定义域（注意：根式函数的定义域、对数函数的定义域）

2、平行于向量a=}

{6

,7,6-的单位向量是}

{6

,7,6

11

1

-

±；

考点：单位向量（注意：方向相同与相反的区别）

3、点)1,2,1(到平面22100

x y z

++-=的距离为1；

考点：点到平面的距离公式

4、过点)1,1,2(且垂直于向量23

i j k

++的平面方程为7

3

2=

+

+z

y

x；

考点：平面方程（注意：点法式方程）

5、函数2y

x

z+

=在点(1,1)处沿梯度方向的方向导数为5；

考点：方向导数（注意：书上的重要结论——函数在某点处沿梯度方向的方向导数即为在该点梯度的模）

6、交换积分次序：

2

22

12

(,)

x x

x

dx f x y dy

-

-

⎰⎰=⎰

⎰++-2112

1

)

,

(

y

y

dx

y

x

f

dy；

考点：交换积分次序（注意：将

X

D型区域转化为

Y

D型区域）

7、⎰⎰⎰

≤

+

+

Ω

+

+

=

1

2

2

2

2

2

2

)

(

I

z

y

x

dv

z

y

x

：

，则I在球坐标系下的三次积分为⎰

⎰

⎰104

2

sinρ

φ

ρ

θ

φπ

π

d

d

d；考点：球面坐标系

8、椭球面6

3

22

2

2=

+

+z

y

x在点)1,1,1(处的切平面方程是6

3

2=

+

+z

y

x；

考点：空间曲面的切平面方程（注意：空间曲面在某点处的切向量公式）

9、曲线

2220

3

y z x

z

⎧+-=

⎨

=

⎩

在xoy面上的投影曲线的方程为

⎩

⎨

⎧

=

=

+

-

9

2

2

z

x

y

。

考点：空间曲线在坐标面上的投影

√√

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二、计算题（每小题6分，共48分） 1、f 具有二阶连续的偏导数，),(22y x xy f z =，求2z x y ∂∂∂。 解：(1) 212

22122xyf f y xy f y f x z +=⋅+⋅=∂∂； (2)

()()

2222122121121222222x f xy f xy xf x f xy f y yf y x z ⋅+⋅++⋅+⋅+=∂∂∂ 22312221132125222yf x f y x f xy xf yf ++++=。 考点：多元抽象函数的高阶导数 （注意：符号的涵义） 2、求函数ln()y z y

u x y z =的一阶偏导数。 解：原函数变形为z y y z x y u ln ln ln ++=，则 x y u x =， z y z x u y ln ln ++=， z y y u z +=ln 。 考点：多元函数的一阶导数（注意：先应用自然对数的性质变形） 3、从点(0,1,1)-作直线⎩⎨⎧=-+=+07201z x y 的垂线，求垂线的方程。 解：(1)由条件可得，已知直线的方向向量)1,0,2()2,0,1()0,1,0(-=⨯=s

， (2)过点(0,1,1)-垂直于已知直线的平面方程为0)1(1)1(0)0(2=--++-z y x ，即012=+-z x ， (3)取已知直线过定点)3,1,1(-，则该直线的对称式方程为13

0121--=+=-z y x ， 从而其参数式方程为⎪⎩⎪

⎨⎧-=-=+=.

3,1,

21λλz y x (4)将直线的参数式方程代入平面方程得：01)3()21(2=+--+λλ，解得0=λ， 从而已知直线与垂面的交点为)3,1,1(-， (5)所求的垂线的方向向量)2,0,1(=s ，因此所求的垂线方程为2

1

01-=+=z y x 。 考点：过已知点求某直线的垂线（注意：先求过已知点求某直线的垂面方程，然后求垂足，最后利用点向式方程求垂线方程）