直线的倾斜角与斜率导学案电子教案
3.1.1《直线的倾斜角与斜率》导学案
反思：直线倾斜角的范围？鱼知水恩，乃幸福之源也。
鱼离不开水，人离不开亲人和朋友，当你处于逆境和灾难时，帮助你一臂之力，渡过难关的人，都是你的亲人和朋友。
吃水不忘挖井人，度过苦难，不能忘记援助过你的人。
知恩图报，善莫大焉。
一个人要想获得幸福，必须懂得感恩。
生活需要一颗感恩的心来创造，一颗感恩的心需要生活来滋养。
一饭之恩，当永世不忘。
顺境里给你帮助的人，不能全部称作朋友，但是能够在你逆境时依然愿意援助你，走出困境的人，一定是你要用一生去感谢和珍惜的人。
唐代李商隐的《晚晴》里有这样一句诗：天意怜幽草，人间重晚晴。
久遭雨潦之苦的幽草，忽遇晚晴，得以沾沐余辉而平添生意。
当一个人闯过难关的时候，一定要记住那些支撑你，陪你一起走过厄运的朋友和亲人，这个世界谁也不亏欠谁，帮你是情分，不帮你是本分。
如古人所说：淡看世事去如烟，铭记恩情存如血。
学会感恩父母养育之恩，学会感恩朋友的帮助之情，生活里做一个有情有义的人。
你要知道，父母，永远是你最亲近的人，是最爱你的人，不管他们的方法怎么错误？可是爱你的心，都是一样的。
千万不要因为自己一时的私心，而忘记感恩。
我们常常希望别人都对自己有情有义，可是想得到别人你真情，首先你必须先付出真情。
你帮助别人，不要记在心里，别人帮助你，你要懂得感恩和感动，而不是当做理所当然。
你要知道别人帮你是情分，不帮你是本分。
侍父母，要孝顺，对朋友，要真诚。
不管你生活的精彩或者混沌，孝顺父母，颐养天年。
一父养十子，十子养一父。
在这个美好的时代，中华很多的美德都在逐渐消失，做子孝为天，但是总有一些人，自己活在天堂，硬生生的把父母扔进地狱。
鱼知水恩，乃幸福之源也。
鱼离不开水，人离不开亲人和朋友，当你处于逆境和灾难时，帮助你一臂之力，渡过难关的人，都是你的亲人和朋友。
吃水不忘挖井人，度过苦难，不能忘记援助过你的人。
知恩图报，善莫大焉。
一个人要想获得幸福，必须懂得感恩。
生活需要一颗感恩的心来创造，一颗感恩的心需要生活来滋养。
《直线的倾斜角与斜率》导学案(人教A版必修2)
问题导入：（ 1）经过两点有且只有 ( 确定 )一条直线 . 那么 , 经过一点 P 的直线 l 的位置
能确定吗 ? 如图 , 过一点 P 可以作无数多条直线 a,b,c, …易见 ,答案是否定的 .这些直线有什 么联系呢 ?
Y
ab
c
O
P
X
它们都经过点 P.
(2)它们的 ‘倾斜程度 ’不同 . 怎样描述这种 ‘倾斜程度 ’的不同 ? 新授课阶段
4．2x－ y－ 11＝ 0 【解析】 易知 AB 边的中点坐标为 D (4，－ 3)，因为 AB 边上的中线
所在的直线经过点
C、 D，由两点式得，
y －
－3－11＝
x－6，化简得 4－6
2x－ y－11＝ 0。
5．B 【解析】 注意到直线过原点时截距相等，都等于 0 和不过原点时倾斜角为
两种情况，所以这样的直线有 2 条．故选 B 。
解 : 直线 AB 的斜率 k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3, 直线 PQ 的斜率 k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1·k2 = -1 所以 AB ⊥PQ. 课堂小结
1.直线的倾斜角和斜率的概念；
2.直线的斜率公式及其灵活运用。
3.直线的位置关系的条件的运用。
拓展提升 1．C 【解析】 由已知可得 tan α＝－ tanπ3＝－ 3，因为 α∈ [0，π)，所以 α＝23π.故选 C。
1.直线的倾斜角的概念
当直线 l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线 l
之间所成的角 α叫
做直线 l 的倾．斜．角．.特别地 ,当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , 规定 α = 0 °．
问 : 倾斜角 α的取值范围是什么 ?
直线的倾斜角与斜率 学案 导学案 课件
倾斜角与斜率第1课时【使用说明与学法指导】1.先精读一遍教材,用红色笔对重点内容进行勾画；再针对导学案二次阅读并解决预习探究案中的问题；训练案在自习或自主时间完成。
2. 预习时可对合作探究部分认真审题，做不完或者不会的正课时再做，对于选做部分BC 层可以不做。
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题并记录下来，准备课上讨论质疑。
【学习目标】1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.2.理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．3.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．【学习重点】直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.【学习难点】直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.【知识链接】1：一次函数的图象的形状是---（一条直线）2：确定一次函数的图象的条件是---（两个点）3：锐角正切函数的定义--- （对边比邻边）【预习案】大家想一下当一高一矮两人抬一根圆木，会出现什么现象？（倾斜）本节课我们就重点研究有关直线的倾斜问题.问题1、对平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由那些条件确定？（两点）问题2、一点能确定一条直线吗？经过一点的直线的位置能够确定吗？它的位置会怎样？（观察可以发现过一点有无数条直线并且它们发生了不同程度的倾斜）直线在倾斜时与那个量有关？怎样描述直线的倾斜程度呢？问题3、什么是直线的倾斜角？它的范围怎样？写出并背熟，记牢倾斜角及范围！α当直线L与x轴垂直时, =问题4、除了倾斜角还有其他确定直线倾斜程度的量吗？什么是直线的斜率？只有倾斜角或斜率能确定一直线的位置吗?若不能还需要加什么条件？问题5、直线的倾斜角和斜率有什么关系？它们是一一对应的吗？（牢记公式）【温馨提示】（1）平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有，倾斜角为90°的直线没有斜率，在使用斜率来研究直线时，经常要对直线是否有斜率分情形讨论. （2）倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率等于倾斜角的正切值，在以后的学习中将体会到，研究直线时，使用斜率常常比使用倾斜角更方便.问题6、阅读教材83---84页探究如何由直线上的两点求直线的斜率呢？计算公式如何？（牢记公式）【探究案】探究1：例1：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB、BC、CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.探究2：例2：在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1、 -1、2及-3的直线L1、L2、L3、L4【课堂小结】我的疑问：（至少提出一个有价值的问题）今天我学会了什么？。
《直线的倾斜角与斜率》导学案
《直线的倾斜角与斜率》导学案《直线的倾斜角与斜率》导学案一、教学内容分析“直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门，担负着开启全的重任，因此在本时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法。
本时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。
二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。
倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。
而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。
因此，坐标法和斜率是本时的核心概念。
据此确定本时的教学重点是：使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。
理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。
二、教学目标分析1 理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。
2 理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。
3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学化教育。
三、教学问题诊断分析平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。
事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。
在教学中应注意引导学生认识到这种联系。
函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。
它们都体现了数形结合思想，但角度不同。
学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。
直线的倾斜角与斜率导学案
【思考6】(1)倾斜角是 的直线有斜率吗？
(2)直线的倾斜角与斜率有怎样的对应关系？
(3)能否用斜率表示直线的倾斜程度呢？
●探究任务2～直线倾斜角的计算
【探究】由于两点可以确定一条直线，这时直线的倾斜角与斜率都是确定的，那么，如何由直线上的两点坐标计算直线的斜率呢？
【思考7】(1)当直线 与 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？
(3)根据倾斜角的定义，你能说出倾斜角的取值范围吗？
【思考4】(1)任何一条直线都有倾斜角吗？
(2)倾斜程度不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
(3)倾斜程度相同的直线的倾斜角有什么关系？
(4)在直角坐标系中，由一点和倾斜角能否确定一条直线的位置呢？
【思考5】在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？
固原五中高一年级数学导学案
班级____________ 小组______________ 姓名___________ 学号____________
课题
直线的倾斜角与斜率（一）倾斜角与斜率
学习目标
正确理解直线倾斜角和斜率概念；掌握直线的倾斜角和斜率的关系及取值范围；会求直线的倾斜角和斜率；提高同学们的观察、探索能力；进一步体会数形结合思想.
A. B.
C. D.
4.经过两点 的直线 的倾斜角等于 ，则 _______.
合作探究，归纳展示
一、学始于疑
初中我们已经知道，一次函数 的图象是直线，其中系数 具有怎样的几何意义？它是怎样衡量直线在平面直角坐标系中的位置呢？
二、质疑探究
●探究任务1～直线的倾斜角与斜率的概念
【思考1】对于平面直角坐标系中的一条直线 ，它的
2.在直角坐标系中，任何一条直线与 轴都有一个相对倾斜度，可以有一个什么几何量来反映一条直线与 轴的相对倾斜程度呢？
直线的倾斜角和斜率的导学案
2、 斜率： （1） 定义： （2） 理解：
引导学生利用数 形结合思想来描 述直线的倾斜 度。
探索描述直 线的倾斜程 度的代数表 示， 由此引出 斜率概念。 培养学生文 字语言和数 学语言的相 互转化。
① 口答下列直线的斜率
a 30 , k a 45 , k a 60 , k a 120 , k a 150 , k
《直线的倾斜角和斜率》教学方案
教师姓名 课题 课型 直线的倾斜角和斜率 直线的倾斜角与斜率，是解析几何的重要概念之一。直线的斜率是后继内 教材解析 容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及 讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。因此，正确 理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。初步渗透解析几何的 基本思想和基本研究方法。 1.知识与技能： 理解直线的倾斜角和斜率的概念， 掌握过两点的直线的斜率公式。 教学目标 2.过程与方法：培养学生的数形结合思想 3.情感和目标：通过创设问题情景和多媒体教学，让学生在参与中感受和体验数 学美，激发学生的学习兴趣和求知欲。 教学重点 教学难点 教学资源 教学方法 直线倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式。 倾斜角概念形成，斜率概念的理解。 多媒体教学。 问题驱动法。 教学内容与步骤 师生活动 简单介绍解析几何 的来源于背景 设计意图 激发学生兴 趣，激发学生 的求知欲 新授课 课时数 1（40 分钟）
（2） 范围：
利用课件演示倾 斜角的范围，体 倾斜角的意义 ：体现了直线对 x 轴正方向的 现直线与角度的 一一对应。 倾斜程度。
在日常生活中， 同学们有没有遇到过具有倾斜程 度的模型？（——滑梯，山坡，楼梯。 ）还有没 引导学生在生活 中举例，如：冲 有表示倾斜程度的量？ 浪、上楼梯等，
教案直线的倾斜角与斜率教案
3.1.1直线的倾斜角与斜率教案一、教学目标（1）知识与技能：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。
理解直线倾斜角的唯一性。
理解直线斜率的存在性。
斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。
（2）过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想和数形结合思想。
（3）情感态度与价值观：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于实际生活，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。
二、教学重点与难点重点：直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式。
难点：用代数方法推导斜率的过程。
三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。
即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
四、教学过程（一）创设情境，揭示课题问题1、（出示幻灯片）给出的两点相同吗？从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。
从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的方向（倾斜角、倾斜程度）问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。
在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。
选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？（教师引导学生选取不同的方向来描述角）。
数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x 轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α，叫做直线l的倾斜角。
直线的倾斜角和斜率教学教案
直线的倾斜角和斜率一教学教案教学目标(1)了解直线方程的概念.(2)正确理解直线倾斜角和斜率概念.理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率.(3)理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.(4)通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探究能力，运用数学言语表达能力，数学交流与评价能力.(5)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，援助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.教学建议1.教材分析(1)知识结构本节内容首先依据一次函数与其图像一一直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而完成了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式.这些充分表达了解析几何的思想方法.(2)重点、难点分析①本节的重点是斜率的概念和斜率公式.直线的斜率是后继内容展开的主线,无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及商量直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用.因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键.②本节的难点是对斜率概念的理解.学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不简单接受.2.教法建议(1)本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立.相应的教学过程也有三个阶段①在教学中首先是创设问题情境，然后通过商量明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在商量中逐渐明确倾斜角的概念.②本节的难点是对斜率概念的理解.学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样.学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗.再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪要解决这些问题，就要求教师援助学生认识到在直线的方程中表达的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程(一次函数的形式，下同)中X的系数恰好就是直线倾斜角的正切.为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计：(1)α变化一直线变化一中的系数变化(同时注意的变化(2)中的系数变化一直线变化一Q变化(同时注意的变化〕.运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中系数与倾斜角正切的内在关系，这对援助学生理解斜率概念是极有好处的.③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作肯定的复习打算.④在学习直线方程的概念时要通过举例清楚地指出两个条件，最好能用充要条件表达直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系.为将来学习曲线方程做好打算.(2)本节内容在教学中宜采纳启发引导法和商量法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式.学生在积极思维的根底上，进行充分的商量、争辩、交流、和评价.倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在商量、交流、评价中完成的.在此过程中学生的思维和能力得到充分的开展.教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价.教学设计例如直线的倾斜角和斜率教学目标：(1)了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，(2)理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.(3)培养学生观察、探究能力，运用数学言语表达能力，数学交流与评价能力.(4)援助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.教学重点、难点：直线斜率的概念和公式教学用具：计算机教学方法：启发引导法，商量法教学过程：(一)直线方程的概念如图1,对于一次函数，和它的图像一一直线有下面关系：(1)有序数对(0,1)满足函数，则直线上就有一点A,它的坐标是(0,1).(2)反过来，直线上点B(1,3),则有序实数对(1,3)就满足.一般地，满足函数式的每一对，的值，都是直线上的点的坐标(，)；反之，直线上每一点的坐标都满足函数式，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对X,y的值为坐标的点构成的.从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程，这样满足一次函数的每一对，的值“变成了〃二元一次方程的解，使方程和直线建立了联系.定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的全部点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线.以上定义改用集合表述：，的二元一次方程的解为坐标的集合，记作.假设(1) (2),则.问：你能用充要条件表达吗？答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是…….（问题1）请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同.99过定点，方向不同.如何确定一条直线？两点确定一条直线.还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？学生：思考、回忆、答复：这条直线的方向，或者说倾斜程度.（导入）今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向.（问题2）在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？商量之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的.学生：展开商量.学生商量过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导.通过商量认为：应选择α角来刻画直线的方向.依据三角函数的知识，说明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角.从而得到直线倾斜角的概念.（板书）定义：一条直线1向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角.（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角.）特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0。
直线的倾斜角与斜率 学案 导学案 课件
位置由哪些条件确定呢？[问题2]直线的倾斜角是如何定义的？给出直线的倾斜角的定义，指出倾斜角的意义：作出图中直线的倾斜角[问题3]由定义，倾斜角的范围是什么？ [问题4]直线的斜率是如何定义的？[问题5]直线的斜率能否反映直线的倾斜程度？【模块二】：直线的倾斜角和斜率的关系 [问题6]是否所有的直线都有斜率？ [问题7]根据斜率定义的过程，你能否将斜率坐标化？即:已知直线l 上两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) （其中x 1≠x 2）的坐标，如何求出直线P 1 P 2的斜率k ？ 【模块三】：直线的倾斜角与斜率的计算 练1已知直线的斜率，求其倾斜角. ⑴ 0k =；⑵1k =；⑶3k =-；⑷k 不存在.练2 （1）α∈[30°，60°)，求k ∈ （2）α∈（30°，120°]，求k ∈ （3）k ∈[-1，3]，求α∈【模块四】：本节知识小结 1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线倾斜角的范围是[0,180°)2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵ 利用直线上两点1p (),11y x ,),(222y x p 的坐标义，取值范围，能够找出[问题2]中的倾斜角。
让学生感受概念形成过程。
【针对模块二】 让学生通过区分，明白所有直线都有倾斜角，但根据定义倾斜角为90°的直线没有斜率， 根据斜率定义：除90°以外直线的倾斜角与斜率一一对应。
过两点的直线斜率的计算公式注意(21x x ≠)，让学生严谨地思考问题。
【针对模块三】要求学生能够独立作出斜率k 关于倾斜角α的函数关系图 像，并发现图像的特点。
【针对模块四】 学生自己总结梳理知识结构，教师做智慧型指导。
注意直线倾斜角、斜率、斜率。
直线的倾斜角与斜率导学案
直线的倾斜角与斜率导学案Prepared on 24 November 20203.1.1直线的倾斜角与斜率【学习目标】1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件。
2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.【重点】直线的倾斜角和斜率的应用，两条直线平行和垂直的条件。
【难点】斜率概念理解与斜率公式的灵活运用，启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．一、自主学习新知1：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做 .关键：① ；② ；③ .注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 .试试：请描出下列各直线的倾斜角.反思：直线倾斜角的范围新知2：一条直线的倾斜角()2παα≠的 叫做这条直线的斜率.记为k= .试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为⑴当0o α=时，则k ；⑵当090o o α<<时，则k ；⑶当90oα=时，则k；⑷当090180oα<<时，则k .新知3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y12()x x≠的直线的斜率公式：k= .练习：1．已知直线的倾斜角(90)οαα≠，则直线的斜率为；已知直线上两点1122(,),(,)A x yB x y且12x x≠，则直线的斜率为 .2. 若直线l过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l的斜率为 ,倾斜角为 .3．斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则a、b的值分别为 .4．已知12,l l的斜率都不存在且12,l l不重合，则两直线的位置关系 . 5．已知一直线经过两点(,2),(,21)A mB m m--，且直线的倾斜角为60ο，则m= .问题1：特殊情况下的两直线平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为，两直线位置关系是 .(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为，另一条直线的倾斜角为，两直线的位置关系是 .问题2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线1l和2l的斜率为1k和2k.两条直线平行的情形．如果21//ll，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗新知1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率；反之，如果它们的斜率相等，则它们，即12//l l注意，上面的等价是在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．两条直线垂直的情形.如果12l l⊥，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗新知2：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率；反之，如果它们的斜率，则它们互相垂直.即12l l⊥二、典型例题例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.动手试试练. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴(2,3),(1,4)A B -； ⑵(5,0),(4,2)A B -.例2、已知(2,3),(4,0),(3,1),(1,2)A B P Q ---，试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.例3．已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2),D(2,3), 试判断四边形ABCD 的形状,并给出证明.例4．已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB 与PQ 的位置关系.例5.已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC 的形状.三、总结提升（一）学习小结1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是 .2.直线斜率的求法：⑴ ；⑵ ；⑶ 当直线的倾斜角90οα= 3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：1212//l l k k ⇔=12,l l 5．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在.(二) 课堂检测1. 下列叙述中不正确的是（ ）.A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o 或90οD ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α2. 经过(2,0),(5,3)A B --两点的直线的倾斜角（ ）.A ．45οB ．135οC ．90οD ．60ο3. 过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )..4 C 或3 或44. 下列说法正确的是（ ）.A ．若12l l ⊥，则121k k =-B ．若直线12//l l ，则两直线的斜率相等C ．若直线1l 、2l 的斜率均不存在，则12l l ⊥D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行5. 经过(,3)m 与(2,)m 的直线l 与斜率为4-的直线互助垂直，则m 值为（）. A ．75- B ．75 C ．145- D ．145。
直线的倾斜角和斜率导学案
一、（一）考纲点击理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（二）考情聚焦：1、直线的倾斜角、斜率问题是最基本问题，是高考中常考的热点知识。
2、主要以选择、填空题的形式出现属于中低档题目。
3.、常与平面向量结合、线性规划、与圆锥曲线、导数体现知识的交汇。
二、重点：直线的倾斜角与斜率的概念过两点的直线斜率公式。
难点：对直线倾斜角与斜率概念的理解，以及之间的关系。
三、教学过程三、教学过程（一）学习目标：1. 2.3. 4.（二）双基研习•面对高考基础梳理（三）考点探究•挑战高考考点一、倾斜角和斜率的概念1.判断下列命题的对错。
(1)任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；. ( )(2)平行于x轴的直线倾斜角是0或π；. ( )(3)直线的斜率的范围是(－∞，＋∞）；. ( )(4)过原点的直线，斜率越大越靠近y轴。
( )(5)两直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等. ( )(6)两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等. ( )(7)一条直线向上的方向与x轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角；( )(8)直线l的倾斜角要么是锐角，要么是钝角；( )（9）已知直线l经过()111,P x y，()222,P x y两点，则直线l的斜率2121y ykx x-=-；( )考点二、已知倾斜角求斜率1.已知2如果三点A（5，1），B（a，3），C（－４，2）在同一直线上，确定常数a的值.考点三、已知斜率求倾斜角1.直线L的斜率为k，倾斜角是α，若－1＜k＜1，则α的取值范围是 .2.直线x sin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是()A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B．(0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π考点四、知识的交汇1.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )A．1 B.12C．－12D．－12.已知实数x，y满足222(11)y x x x=-+-≤≤，试求32yx++的最大值和最小值．五：通过本节课的学习你有哪些收获？还有哪些困难？可以从知识，方法，数学思想，经验等方面谈谈。
《直线的倾斜角及斜率》导学案.
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5.已知直线斜率的绝对值等于 1,则直线的倾斜角是 6.设直线的斜率是 k ,且 1 k
.
3 ,求直线倾斜角 的取值范围.
第四层级
总结评价与反思
【思维导图】
4
0
【应用二】 已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 ( 1,1), ( 2,2), 若直线 l 经过定点 A(0,1, ) 且与线段 PQ 有交点,求直 线 l 的斜率 k 的取值范围.
【应用三】 已知直线 l 经过 A( 2,1), B (1, m )(m R ) 两点,求直线 l 的倾斜角的取值范围.
2
3西双版纳州民族中学郑从胜第三层级 1.下列说法中,正确的是( )
技能应用与拓展【固学区】
【课后作业】
A.直线的倾斜角为 ,则此直线的斜率为 tan . B.有倾斜角的直线都有斜率. C.若直线的倾斜角为 ,则 sin 0 . D.任一直线都有倾斜角,但它不一定有斜率. 2.如图,直线 l1 , l2 , l3 的斜率分别为 k1 , k 2 , k3 ,则成立的是( A. k1 k 2 k3 B. k3 k1 k 2 ) C. k1 k3 k 2 D. k3 k 2 k1 1 3.若三点 A( 2,3), B (3,2), C ( , m) 共线,则 m 等于( ). 2 1 1 A.1 B.2 C. D.2 或 2 2 4.直线 l 经过两点 A(3, 3 ), B (6,2 3 ) ,而直线 l1 的倾斜角是直线 l 的倾斜角的 2 倍,则直线 l1 的斜率为
的大小
k 的范围 k 的增减性
0
0
0 90
0
0
90
0
900 1800
直线的倾斜角与斜率教案设计.docx
《直线的倾斜角和斜率》教案一、教学目标（一）知识与技能1、理解直线的倾斜角和斜率的定义，掌握倾斜角与斜率的关系；2、掌握过两点的直线的斜率公式和应用。
（二）过程与方法1、通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，体验用代数方法刻画直线倾斜程度的过程，以提高学生分析、比较、概括，化归的数学能力，培养学生综合运用知识解决问题的能力。
2、、通过对直线斜率公式的分类讨论帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，（三）情感、态度与价值观1、通过对倾斜角等概念的导入让学生体会到数学知识的产生来源于实际问题的需要，从而进一步端正学习态度，激发学习数学的兴趣。
2、在教学过程中对学生装进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学牛勇于探索，勇于创新的科学精神。
二、教学重点直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式。
三、教学难点对直线倾斜角与斜率概念的理解，直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。
四、教学方法发启式教学法、自主研讨法五、教学用具利用多媒体辅助教学六、教学过程（-）情境引入，提出问题播放视频，通过中国著名的水利工程一一三峡大坝，引入迎水坡与背水坡的坡度知识，抽出大坝某处的横断面（梯形）的两条腰，提出问题“腰所在直线的位置怎样确定，如何定量地研究它们的倾斜程度，引入坐标法。
（-）知识探索，分析理解答：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：（1）两点确定一条直线；（2）己知直线上的一个点和这条直线的方向。
通过方法二导出25°角和150°角分别就是直线人和仏的倾斜角，引出直线倾斜角的定义。
（三）师生互动，抽象概括1、直线的倾斜角定义在平面直角坐标系中，对于一条与X 轴相交的直线/,把X 轴（正方向）按逆 时针方向绕着交点旋转到和直线/重合所成的角，叫做肓线/的倾斜角.通常倾斜角 用a 表示.规定:当直线/和x 轴平行时它的倾斜角为0°动画演示倾斜角的变化过程（见课件）由此推导在直角坐标系中，直线绕直线与x 轴交点旋转，它对x 轴正方向有四种'情形。
导学案直线的倾斜角与斜率(1)导学案.doc
3.1.1倾斜角与斜率(1)班级：姓名: _______________一、教学目标1、知识与目标技能(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念(2)理解直线倾斜角的唯一性(3)理解直线斜率的存在性(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式2、过程与方法目标通过过两点的直线斜率公式及其应用，培养学生对数学知识的理解能力，应用能力及其转化能力，通过坐标法的引入，培养学生联系、对应转化等辩证思维。
3^重难点分析重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式4、教学设计问题提出1 ..在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象是什么？其中k, b的几何意义如何？2..在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线，如何区别这些直线的不同位置？知识探究(一)：直线的倾斜角思考1:在直角坐标系中，下图中的四条直线在位置上有什么联系和区别？思考2:在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？思考3:当直线/与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线/向上方向之间所成的角F 列各图中标出的角a 是直线的倾斜角吗?思考4:下图中直线11, 12,，3的倾斜角大致是一个什么范围内的角？思考5:特别地，当直线，与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。
，那么直线的倾斜角 的取值范围是什么？思考6:任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗?思考2:上述两条直线的倾斜角分别与x 的系数有什么关系?思考3:初中学过的“坡度(比)”是什么含义？它能否表示直线的倾斜程度？它与这条直线 的倾斜角之间有什么关系？a 叫做直线，的倾斜角>思考4:我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示，即k=tana,那么任何一条直线都有斜率吗？倾斜角是900的直线(垂直与x轴的直线)没有斜率.思考5:当倾斜角a =0(), 300, 450, 600时，这条直线的斜率分别等于多少？思考6:当a是锐角时，有tan (1800-a ) =-tana.那么当倾斜角a =1200, 1350, 1500时，这条直线的斜率分别等于多少？思考7:倾斜角为锐角、钝角的直线的斜率的取值范围分别是什么？一般地，直线的斜率的取值范围是什么？思考8:斜率相等的直线其倾斜角相等吗？斜率大的直线其倾斜角也大吗?知识探究(三)：直线的斜率公式思考1：在直角坐标系中，经过两点A (2, 4)、B (-1, 3)的直线有几条？直线AB的斜率是多少？思考2:—般地，已知直线上的两点Pl (xl, yl), P2 (x2, y2),且直线P1P2与x轴不垂直，即xl』x2,直线P1P2的斜率是什么？思考3:当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？思考4:当直线P1P2平行于y轴或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？思考5:经过点A (。
直线的倾斜角与斜率教案
3.1.1直线的倾斜角与斜率教学目标:1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．2、理解直线的倾斜角的唯一性.3、理解直线的斜率的存在性.4、斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式．重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式.教学过程：一、复习准备：1.讨论：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢2.在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢二、讲授新课：1.教学直线倾斜角与斜率的概念：我们知道,经过两点有且只有确定一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗如图,过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢1它们都经过点P.2它们的‘倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同引入直线的倾斜角的概念:①直线倾斜角的概念：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.;讨论:倾斜角的取值范围是什么呢0°≤α＜180°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.直线a∥b∥c,那么它们的倾斜角α相等吗答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点P和一个倾斜角α..②直线斜率的概念：直线倾斜角 的正切值叫直线的斜率.常用k 表示,tan k α=讨论:当直线倾斜角为90︒度时它的斜率不存在吗.倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系斜率为正或负时,直线过哪些象限呢 α取值范围是0°≤α＜180°.给定两点P 1x 1,y 1,P 2x 2,y 2,x 1≠x 2,如何用两点的坐标来表示直线P 1P 2的斜率③ 直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点111(,)p x y 与222(,)p x y ,则过这两点的直线的斜率2121y y k x x -=- 思考:1直线的倾斜角α确定后,斜率k 的值与点1p ,2p 的顺序是否有关2当直线平行表于y 轴或与y 轴重合时,上述公式2121y y k x x -=-还适用吗归纳：对于上面的斜率公式要注意下面四点：1当x 1=x 2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α=90°,直线与x 轴垂直；2k 与P 1、P 2的顺序无关,即y 1,y 2和x 1,x 2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;3斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;4当y 1=y 2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°,直线与x 轴平行或重合.2.教学例题:例1．已知A3,2,B-4,1,C0,-1求直线AB 、AC 、BC 的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.例2．在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为1,2,3--的直线123,,l l l .例3．已知三点Aa,2、B5,1、C-4,2a 在同一直线上,求a 的值;27 三.巩固与提高练习:1．教材P86面练习第1、2、3、4题;2．若直线l 向上的方向与y 轴正方向成30°角,则l 的倾斜角为60°、l 的斜率为3;3．已知等边三角形ABC,若直线AB 平行于y 轴,则∠C 的平分线所在的直线的倾斜角为0°, 斜率为0,另两边AC 、BC 所在的直线的倾斜角为120°、60°,斜率为－3、3;4．当且仅当m为何值时,经过两点Am,3、B-m,2m-1的直线的倾斜角为60°四.小结:倾斜角、斜率的概念,斜率的计算公式.五:作业习案十七。
倾斜角与斜率(导学案)-人教A版高中数学选择性必修第一册
2.1.1 倾斜角与斜率1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.掌握倾斜角和斜率之间的关系.4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.重点：理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系难点：过两点的直线斜率的计算公式.一、自主导学一、直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,以x轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角 规定当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线l 的倾斜角为0°记法 α图示范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可点睛：倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 、 二、直线的斜率1.定义与表示定义(α为直线的倾斜角) α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率α=90°直线斜率不存在记法 常用小写字母k 表示,即k=tan α 范围 R作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度2.填表:斜率与倾斜角的对应关系90°;0; (0,＋∞); (－∞,0)3.我们知道,两点也可以唯一确定一条直线。
如果知道直线上的两点,怎么样来求直线的斜率(倾斜角)呢？当α为锐角时,21P QP ∠=α,21x x <,21y y <,在Q P P Rt 21∆中,12121221tan tan x x y y QP QP P QP --==∠=α若为钝角呢？你还能用其它方法推导这个公式吗？三、直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2),则直线的斜率公式为k=y2-y1x2-x1.点睛：1.运用公式的前提是x1≠x2,即直线不与x轴垂直.2.斜率公式与P1,P2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的.3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成k=y2-y1x2-x1.即下标的顺序一致.二、小试牛刀1.下列图中表示直线倾斜角为()2.直线x=1的倾斜角α=.3．思考辨析(1)任一直线都有倾斜角,都存在斜率．()(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.()(3)若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率为k＝tan α.()(4)直线斜率的取值范围是(－∞,＋∞)．()4．一条直线的斜率等于1,则此直线的倾斜角等于________．5．如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k26.已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于()A.2B.1C.12D.不存在一、情境导学交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k=上升高度水平距离=DBAD.k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?二、典例解析例1 已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后,恰好与y轴重合,求直线l转动前的倾斜角是多少?直线的倾斜角的求法求直线的倾斜角主要根据定义,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.跟踪训练1. 设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为()A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°例2 已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?延伸探究1 本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.延伸探究2 若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何?直线斜率的计算方法(1)判断两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在.(2)若两点的横坐标不相等,则可以用斜率公式k=y2-y1(其中x1≠x2)进行计算.x2-x1金题典例光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q,经y轴反射后过点B(4,3),试求点Q的坐标及入射光线的斜率.光的反射问题中,反射角等于入射角,但反射光线的斜率并不等于入射光线的斜率.当镜面水平放置时,它们之间是互为相反数的关系.另外,在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解.跟踪训练2 一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点B(5,7),求点P的坐标.1.若直线l经过第二、第四象限,则直线l的倾斜角范围是()A.0°≤α<90°B.90°≤α<180°C.90°<α<180°D.0°<α<180°2.过点A(-√3,√2)与点B(-√2,√3)的直线的倾斜角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.60°3.过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,那么m的值为()A.1或4B.4C.1或3D.14.光线从点A(-2,√3)射到x轴上的B点后,被x轴反射,这时反射光线恰好过点C(1,2√3),则光线BC所在直线的倾斜角为.5．直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,3)为端点的线段有公共点,求直线l的斜率和倾斜角的取值范围．参考答案：知识梳理 1.答案:C 2.答案:90°3．【解析】 (1)× 倾斜角为90°时,斜率不存在． (2)× 斜率应为－1.(3)× 斜率有可能不存在．(4)√ 4． 答案：45° ∵k ＝tan α＝1.∴α＝45°. 5． 答案：D 由图可知,k 1＜0,k 2＞k 3＞0.故选D. 6. 答案:A 学习过程例1 思路分析:画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角 解:由题意画出如下草图.由图可知: 当α为钝角时,倾斜角为α-90°, 当α为锐角时,倾斜角为α+90°, 当α为直角时,倾斜角为0°.综上,直线l 转动前的倾斜角为{α+90°(0°<α<90°),α-90°(90°≤α<180°).跟踪训练1. 解析:根据题意,画出图形,如图所示:因为0°≤α<180°,显然A,B,C 未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,l 1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l 1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D .答案:D 例2 解:(1)k MN =m -1-1m+1-2m=1,解得m=32.(2)l 的倾斜角为90°,即l 平行于y 轴,所以m+1=2m ,得m=1. 延伸探究1 解:由题意知m -1-1m+1-2m>0,解得1<m<2. 延伸探究2 解:(1)由题意知m -1-2mm+1-3m =1,解得m=2.(2)由题意知m+1=3m ,解得m=12.金题典例 解:(方法1)设Q (0,y ),则由题意得k QA =-k QB .∵k QA =1-y 2,k QB =3-y 4,∴1-y 2=-3-y 4.解得y=53,即点Q 的坐标为0,53,∴k 入=k QA =1-y 2=-13.(方法2)设Q (0,y ),如图,点B (4,3)关于y 轴的对称点为B'(-4,3), k AB'=1-32+4=-13,由题意得,A 、Q 、B'三点共线. 从而入射光线的斜率为k AQ =k AB'=-13.所以,有1-y 2=1-32+4,解得y=53,点Q 的坐标为(0,53).跟踪训练2 解:(方法1)由光的反射原理,知k AP =-k BP ,设P(x,0),则0-3x-(-2)=-0-7x-5,解得x=110,即点P的坐标是(110,0).(方法2)由题意,知x轴是镜面,入射点A(-2,3)关于x轴的对称点为A1(-2,-3),则点A1应在反射光线所在的直线上,即A1,P,B三点共线,即k A1P =k PB,0+3x+2=75-x,解得x=110,即点P的坐标是(110,0).达标检测1.答案:C2.解析:k AB=√3-√2-√2-(-√3)=√3-√2√3-√2=1,故直线的倾斜角为45°.答案:A3.解析:由k=m-4-2-m=1,得m=1.答案:D4.解析:点A(-2,√3)关于x轴的对称点为A'(-2,-√3),由物理知识知k BC=k A'C=2√3-(-√3)1-(-2)=√3,所以所求倾斜角为60°.答案:60°5．【解析】如图所示．∵k AP＝1－02－1＝1,k BP＝3－00－1＝－3,∴k∈(－∞,－3]∪[1,＋∞),∴45°≤α≤120°.。
国家课程校本化：3.1.1直线的倾斜角与斜率(导学案)
第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率一、 课标解读：1. 知识与技能(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2) 理解直线的倾斜角的唯一性与斜率的存在性.(3) 了解斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.2. 情感、态度与价值观(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．二、 自学导引：1. “倾斜角的范围是000180α≤≤.”这句话对吗？为什么？ 解析：当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为00.2. “所有的直线都有倾斜角.”这句话对吗？那么“所有的直线都有斜率.”呢？ 解析：所有的直线都有倾斜角是正确的；所有的直线都有斜率这句话时错误的，因为tan k α=，当090α=时，k 的值不存在.3. 已知平面内两点的坐标，是否一定能求出它的斜率？ 解析：不一定；由斜率公式：212121()y y k x x x x -=≠-可知，当两点的横坐标相等时斜率是不存在的.4. 已知过两点的直线的斜率，如何判断它的倾斜角是锐角，直角或钝角？ 解析：由tan 0k αα=>⇒为锐角；tan 0k αα=<⇒为钝角；0tan =0.k αα=⇒为0三、 典例精析：例1. 已知平面内点A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB 、BC 、CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？ 解：220;84221;0(8)22(2)1;400,AB 0BC 0CA AB BC CA AB BC CA k k k k k k -==----==-----==-=∴<∴>∴直线的倾斜角为零；，直线的倾斜角为钝角；，直线的倾斜角为锐角.例2．已知点A(1,2)，B(x ,3)，C(-3,-1)在一条直线上，试求x 的值.解： A ，B ，C 在一条直线上，A B B C k k∴= 即321313x x ---=---， 73x ∴=.例3. 光线从点A (2，1)射到y 轴上的点Q ，经y 轴反射后过点B (4，3)，试求 Q 的坐标及入射光线的斜率．解 法一 设Q (0，y )，则由题意得k QA ＝－k QB .∵k QA ＝1－y 2，k QB ＝3－y 4，∴1－y 2＝－3－y 4.解得y ＝53，即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53， ∴k 入＝k QA ＝1－y 2＝－13.法二 如右上图，点B (4，3)关于y 轴的对称点为B ′(－4，3)，k AB ′＝1－32＋4＝－13，由题意得，A 、Q 、B ′三点共线． 从而入射光线的斜率为k AQ ＝k AB ′＝－13.设Q (0，y )，则k 入＝k QA ＝1－y 2＝－13.解得y ＝53，即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53. 四、 自主反馈1. 已知M(a,b)，N(a,c)(b c ≠),则直线MN 的倾斜角是 （ ）A ．不存在 0.45B 0.135C 0.90D2. 已知直线1l 的斜率为1k ，倾斜角为α，直线2l 的斜率为2k ，倾斜角为β，则（ ）12.A k k αβ>⇒> 12.B k k αβ<⇒> 12.C k k αβ<⇒< 12.D k k αβ≠⇒≠3. 若A （3，－2），B （－9，4），C （x ，0）三点共线，则x=（ ）A 、1B 、－1C 、0D 、74. 直线 经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（ ）A 、45°B 、135°C 、45°或135°D 、－45°5. 下列说法正确的有（ ）①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若1 ∥2 ，则k 1=k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行。
(完整版)直线的倾斜角和斜率教案
《直线的倾斜角和斜率》教案教学目的：1.了解“坐标法”2.理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式并牢记斜率公式的特点及适用范围；3.已知直线的倾斜角，求直线的斜率4.已知直线的斜率，求直线的倾斜角5.培养学生“数形结合”的数学思想.教学重点：斜率概念，用代数方法刻画直线斜率的过程.教学难点：1直线的斜率与它的倾斜角之间的关系.2运用两点坐标计算直线的斜率授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体教学过程：一.知识背景与课题的引入1.从本章起,我们研究什么?怎样研究?解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的,解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑,数学从此由常量数学进入变量数学时期.解析几何由此成为近代数学的基础之一.在解析几何学中,我们常常用一种方法:坐标法. 研究几何图形的性质。
坐标法是以坐标系为基础,把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法,它是解析几何中最基本的研究方法.本章首先在平面直角坐标系中,建立直线的方程.然后通过方程,研究直线的交点、点到直线的距离等.2．课题的引入下面就让我们就一起踏着前人的足迹去学习和体会这一门科学的思想方法，用坐标法研究几何问题时,我们首先研究最简单的几何对象——直线，学习直线的倾斜角和斜率.二.新课1问题1对于平面直角坐标系内的一条直线它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗?分析:对,两点可以确定一条直线,过一个点可以画出无数条直线,这些直线都与轴正向成一定的角度,我们把直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,于是可以这样确定一条直线,过个定点,确定一个倾斜角便可以确定一条直线;这种方法与两点确定一条直线的方法是一致的.先固定个点,再确定另外一点相当于确定这条直线的方向,确定了方向也就等同于确定了该直线的倾斜角.注:平行于轴或于轴重合的直线的倾斜角为0°问题2直线倾斜角的范围是多少?这样在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角 ,倾斜角刻画了直线倾斜的程度,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等, 倾斜程度不相同的直线,其倾斜角也不相等.问题3(斜率的概念)日常生活中我们可以用一个比值表示倾斜程度的量: 例如:坡度(比)= 升高量/前进量能否用一个比值刻画斜率呢？如果 是一条直线的倾斜角,我们把倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slop) 记作:tank问题4(1)是不是所有的直线都有倾斜角?是（2）是不是直线都有斜率?倾斜角为90°时没有斜率, 因为90°的正切不存在. ( 是锐角时为正,倾斜角是钝角时为负)反映了直线向右或向左倾斜的程度,特别是倾斜角 是锐角时,斜率的值越大倾斜角也越大,倾斜角是钝角时也同样. 探究：由两点确定的直线的斜率111222(,),(,),l P x y P x y 设直线经过两点求此直线的斜率. 由相似三角形，我们有2121y y k x x(1)当倾斜角为0°时,此公式适用吗？(2)当倾斜角为90°时,此公式使用吗？不适用综上讨论,我们得到经过两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x 的直线的斜率为2121y y k x x 三.练习l l 1(2)已知直线经过点A(0,1)，B(,2)，求的倾斜角的取值范围sin2:l O 例已知直线过原点，且与线段MN 相交,又M(-2,4),N(3,2)(1),OM ON MN 求直线，的斜率.(2),,(4,),.M N P a a 设三点共线求的值(3).l 求直线的斜率的取值范围 11,.l l l l l 11212例：(1)直线的倾斜角＝30直线与垂直，求与的斜率(4).MN l P y 若与交与点（x,y ），求的取值范围x(5)(,)3.l MN P x y l k P 若与交与点，且的斜率 求点坐标,,,.a c a a b c R a b b c b思考：+已知且，求证四.小结1、填表：2、强调斜率公式的应用，能解决哪些类型的问题？五.课后作业:P 练习题1、2、3、4六．教学后记。
2.1.1 倾斜角与斜率(2) 导学案
2．1.1 倾斜角与斜率（2）班级 :高二班姓名:编号: 日期：09.06 【学习目标】掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系．【学习重点】直线的斜率与倾斜角之间的关系【学习难点】直线的斜率与倾斜角之间的变化关系【温故自新】1.直线的倾斜角______________________________________2. 直线的斜率______________________________________3.如何证明三点共线？_______________问题 1.直线的倾斜角α与斜率k存在怎样的函数关系？____________________________【自主合作探究】例1已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1).(1)当m为何值时，直线l的斜率是1?(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？迁移探究1．本例条件不变，试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围．2．若将本例中的“N(2m，1)”改为“N(3m，2m)”，其他条件不变，结果如何？例2已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围．(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．【堂堂清】1.已知M(2m＋3，m)，N(m－2，1).(1) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？(2) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？(3) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？2．若某直线的斜率k∈(－∞，3]，则该直线的倾斜角α的取值范围是()3.直线l1，l2，l3如图所示，则l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为________，倾斜角α1，α2，α3的大小关系为__________．日日清A 组9+1；B 组6+1 评价：基础题：1．已知直线过A (3，m ＋1)，B (4，2m ＋1)两点且倾斜角为5π6，则m 的值为( )A ．－3B ．3C ．－33D ．33 2．若A (－2，3)，B (3，－2)，C ),21(m 三点共线，则实数m 的值为( )A ．12B ．－12C ．－2D ．23．在平面直角坐标系内，正三角形ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则边AC ，AB 所在直线的斜率之和为( )A ．－23B ．0C ．3D ．234. (2023西宁阶段练习)如图，在平面直角坐标系中有三条直线l 1，l 2，l 3，其对应的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则下列结论中正确的是( )A. k 3>k 1>k 2B. k 1－k 2<0C. k 2k 3>0D. k 3>k 2>k 15. (多选)(2024大庆外国语学校开学质量检测)在平面直角坐标系中，下列说法中不正确的是( )A. 任意一条直线都有倾斜角和斜率B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大C. 若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan αD. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°6. 斜率为－1a 2＋1(a ∈R)的直线的倾斜角的取值范围是________ 发展题7. 已知点P (x ，－2)在A (－1，1)，B (1，7)两点所连的直线上，则实数x 的值为________．8．已知点A ()2，－3，B ()－3，－2，斜率为k 的直线l 过点P ()1，1，则满足直线l 与线段AB 相交的斜率k 的取值范围是________9．若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是__ __．10．如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求直线l1，l2的斜率．挑战题11．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求y－1x－2的取值范围．。
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直线的倾斜角与斜率
导学案
3.1.1直线的倾斜角与斜率
【学习目标】
1 •理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件。
2•掌握过两点的直线斜率的计算公式；
3•能用公式和概念解决问题.
【重点】直线的倾斜角和斜率的应用，两条直线平行和垂直的条件。
【难点】斜率概念理解与斜率公式的灵活运用，启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.
一、自主学习
新知1:当直线I与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线I向上方向之间所成的角叫做_____________ .
关键：①_______ :②_______ :③________ .
注意:当直线与X轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为______ .
试试：请描出下列各直线的倾斜角
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反思：直线倾斜角的范围?
新知2： 一条直线的倾斜角 (2)的_叫做这条直线的斜率.记为k= ____________ 试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为 ⑴当 0°时，则k
°
;⑵当0
90
°
时，则k
⑶当
90°时，则k
;⑷当90°
180
°
时，则k
新知 3：已知直线上两点
R （X 1, yj P 2（X 2 ,y 2）（x
X 2)
的直线的斜率公式:
k=
练习：
1已知直线的倾斜角
(90 )，则直线的斜率为—；已知直线上两 点A(x“
且冷x ?，则直线的斜率为 __________ .
2. 若直线I 过(—2,3)和(6, - 5)两点，则直线l 的斜率为 ______ ,倾斜角为 —.
3. __________________________________________________________________________ 斜率为2的直线经过(3, 5)、(a,7)、(— 1,b)三点，贝U a 、b 的值分别为 ___________________ . 4•已知I l ,l 2的斜率都不存在且I i ,l 2不重合，则两直线的位置关系 _______________________ . 5 .已知一直线经过两点A(m,2), B( m,2m 1),且直线的倾斜角为60
,则
m ________ .
问题1:特殊情况下的两直线平行与垂直.
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
(1) 当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为 ______ ，两直线位置
关系是 -----
(2) 当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为 —，另一条直线的倾 斜角为
，两直线的位置关系是 ___________ :
冋题2:斜率存在时两直线的平行与垂直.设直线 ^和匚的斜率为k1和k2.
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两条直线平行的情形•如果h 〃l 2，那么它们的倾斜角与斜率是怎么
新知1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率—；反
之，如果它们的斜率相等，贝尼们 _____ ，即ll//l2 ________ -
注意，上面的等价是在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立. 两条直
线垂直的情形•如果l l l 2，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反
新知2:两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率
—；反
之，如果它们的斜率 _________ ，则它们互相垂直•
即 l l I 2
______________ -
、典型例题
判断它们的倾斜角是钝角还是锐角
动手试试
练.求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角
的关系，反过来成立吗? y.
l
1
l
2
1
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过来成立吗?
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1
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甲
例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),
求直线AB, BC, CA 的斜率,并
⑴ A(2,3),B( 1,4)； ⑵ A(5,0),B(4, 2)
例2、已知A(2,3), B( 4,0), P( 3,1),Q( 1,2)，试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论.
例3•已知四边形ABCD勺四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2),
D(2,3),试判断四边形ABCD勺形状，并给出证明.
例4•已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.
例5.已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.
二、总结提升
(一)学习小结
1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是
2•直线斜率的求法：⑴ _____________ ；2）__________ ;（3）当直线的倾斜角90时，直线的斜率 _________ -
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3•直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系:
4. I1//I2 k i k2或lit的斜率都不存在且不重合•
5. I i I2 k i*2 1或k i 0且l2的斜率不存在，或k2 0且l i的斜率不存在.（二）课堂检测
1. 下列叙述中不正确的是（）•
A .若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B.每一条直线都惟一对应一个倾斜角
C .与坐标轴垂直的直线的倾斜角为°°或90
tan
D .若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
2. 经过A（ 2，°），B（ 5,3）两点的直线的倾斜角（）.
A. 45
B. i35
C. 90
D. 60
3. 过点P（- 2,m）和Q（m,4）的直线的斜率等于i,则m的值为（）.
A.i
B.4
C.i 或3
D.i 或4
4. 下列说法正确的是（）.
A .若l i I2，则kiCk2 i
B. 若直线l i //12，则两直线的斜率相等
C .若直线l i、I2的斜率均不存在，则l i I2
D .若两直线的斜率不相等，则两直线不平行
5.经过（m,3）与（2,m）的直线I与斜率为4的直线互助垂直，则
m值为（）
7 7 14 14
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A. -
B. -
C. 14
D.
5 5 5 5
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