三垂线定理及其逆定理
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三垂线定理及其逆定理
【学习内容分析】
“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。它是线面垂直性质的延伸。利用三垂线定理及其逆定理,可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化,具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。所以在立体几何中有核心定理的作用。
【课程目标】
一. 知识与技能目标
理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。
二. 过程与方法目标
1 通过对定理的学习,培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。
三.情感、态度和价值观目标
3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。
【教学重点和难点】
一. 教学重点
定理的理解和运用
二.教学难点
如何在具体图形中找出适合三垂线定理(或逆定理)的直线和平面。
【教学方法】
以教师为主导,以学生为主体,以能力发展为目标,从学生的认识规律出发进行启发式教学,运用小组学习合作探究。
【教学过程】
一复习引入:
1. 复习提问
1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念;
设计意图(因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础,直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法,因此我用提问的形式让学生温故知新,作好新课的铺垫。)
2.有意设疑,引入新课。
平面的垂线垂直于平面内的每一条直线;平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线,但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢?
学生思考后,我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型(如图),使直尺与三角
板的斜边垂直,引导学生猜想发现规律。经过实验,发现直尺与三角板在平面内的直角边 垂直时便与斜边垂直。
启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来,表达成数学命题:
平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直,那么就和平面的这条斜线垂直(板书)
设计意图(为了唤起学生学习的兴趣,把学生的注意力集中起来,调动学生的思维积极性, 我通过提出问题,创设情景,弓I 导学生观察、猜想,发现新的知识,培养学生的探索能力)
二、新课讲授:
由以上的分析,我们可以抽象出如下的一个图。
PO ⊥α, PA 与α斜交于点 A , AO ⊥ a ,问PA 与a 所成的角; 显然 PO ⊥α 一 PO a
a ' OA a
PO OA=O 即:PA
与a 所成的角为900
三垂线定理来源于“线面垂直”,抓住平面α的垂线 PO , 才是抓住了定理的实质与关键,
并启发学生猜想逆命题的真假,
本质很容易得出三垂线定理的逆定理。
三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它 和这条斜线在平面内的射线垂直。
(板书)
设计意图(1证明命题。通过对猜想得到的命题的论证,加深学生对命题内容的认识,使 学生的思维提高到演绎推理的水平上来。我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结,
帮助学生理清证明的基本思路, 培养学生相互转化的数学思想。 2.利用命题变换,培养学生思 维的灵活性,进一步深化对定理的学习和理解。 3利用列表对比教学法, 强化对三垂线定理及 其逆定理内容的理解和记忆。) 剖析命题
(1 )•三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系,平面内的直线与平面 的斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价,本质就是线面垂直的定义。
(2).通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结: 一找垂面:即先确定平面及平面的垂线: 二找斜线:接着确定平面的斜线:
三定射影:由上面的垂足和斜足确定斜线的射影;
四证直线:即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。
(板书)
设计意图(为了加深对定理的理解,为灵活应用定理奠定基础,帮助学生化解难点,揭示定 理的应用方法。)
三讲解例题
a 平面POA PA 平面POA
例1•已知:点O 是ABC 的垂心,P O 平面ABC ,垂足为0,求证:PA BC . 证明:•••点0是
ABC 的垂心,
∙∙∙ AD BC
又∙.∙
PO
平面
ABC
,垂足为0
PAI 平面 ABC A
所以,由三垂线定理知,PA BC .
例2•如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等, 那么这点在平面内的射影在这
个角的平分线上•
已知:∠ BAC 在 α 内,P , PE AB 于 E , PF AC 于 F 且 PE=PF PO 求证:0在∠ BAC 的平分线上(即∠ BA0=∠ CAO ) 证明:连接0E, OF ∙ PO
∙ E0, FO 分别为PE , PF 在上的射影 ∙ PE=PF ∙ OE=OF ∙ PEAB, PF AC ∙ OE AB , OF AC (三垂线定理的逆定理 ) ∙ 0到∠ BAC 两边距离相等 ∙ 0在∠ BAC 的平分线上 变式:
已知:
BA
C 在平面
内,点
P ,PE AB I PF AC, PO
,垂足分别为 E,F,O,PE
求证:BAO CAO .
证明.∙.∙ PE AB,PF AC,PO
...AB OE , AC 0F
(三垂线定理逆定理)
...PE
PF, PA PA ∙ Rt PAE Rt AOF
? • • ?
BAO CAO
推广:经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线, 如果斜线的这个角两边夹角相等,
那么
斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线
例3•在三棱锥P-ABC 中,三条侧棱 PA PB, PC 两两垂直,H 是厶ABC 的垂心 求证:(1)PH 底面ABC (2) △ ABC 是锐角三角形
证明:(1)略
PF
∙ AE AF ,又∙ AO AO ,∙ Rt AOE Rt AOF
P
A
B
θ
D
C
P