三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理
【学习内容分析】
“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。

它是线面垂直性质的延伸。

利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。

所以在立体几何中有核心定理的作用。

【课程目标】
一. 知识与技能目标
理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。

二. 过程与方法目标
1 通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。

三．情感、态度和价值观目标
3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。

【教学重点和难点】
一. 教学重点
定理的理解和运用
二．教学难点
如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。

【教学方法】
以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。

【教学过程】
一复习引入：
1. 复习提问
1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念；
设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。

）
2.有意设疑，引入新课。

平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。

那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢？
学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角
板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。

经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边 垂直时便与斜边垂直。

启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题：
平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书）
设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性， 我通过提出问题，创设情景，弓I 导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力）
二、新课讲授：
由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。

PO ⊥α, PA 与α斜交于点 A , AO ⊥ a ,问PA 与a 所成的角； 显然 PO ⊥α 一 PO a
a ' OA a
PO OA=O 即：PA
与a 所成的角为900
三垂线定理来源于“线面垂直”，抓住平面α的垂线 PO , 才是抓住了定理的实质与关键，
并启发学生猜想逆命题的真假,
本质很容易得出三垂线定理的逆定理。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它 和这条斜线在平面内的射线垂直。

（板书）
设计意图（1证明命题。

通过对猜想得到的命题的论证，加深学生对命题内容的认识，使 学生的思维提高到演绎推理的水平上来。

我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结，
帮助学生理清证明的基本思路， 培养学生相互转化的数学思想。

2.利用命题变换，培养学生思 维的灵活性，进一步深化对定理的学习和理解。

3利用列表对比教学法， 强化对三垂线定理及 其逆定理内容的理解和记忆。

） 剖析命题
（1 ）•三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系，平面内的直线与平面 的斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价，本质就是线面垂直的定义。

（2）.通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结： 一找垂面：即先确定平面及平面的垂线： 二找斜线：接着确定平面的斜线：
三定射影：由上面的垂足和斜足确定斜线的射影；
四证直线：即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。

（板书）
设计意图（为了加深对定理的理解，为灵活应用定理奠定基础，帮助学生化解难点，揭示定 理的应用方法。

）
三讲解例题
a 平面POA PA 平面POA
例1•已知：点O 是ABC 的垂心，P O 平面ABC ,垂足为0,求证：PA BC . 证明：•••点0是
ABC 的垂心，
∙∙∙ AD BC
又∙.∙
PO
平面
ABC
,垂足为0
PAI 平面 ABC A
所以，由三垂线定理知，PA BC .
例2•如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等， 那么这点在平面内的射影在这
个角的平分线上•
已知：∠ BAC 在 α 内，P , PE AB 于 E , PF AC 于 F 且 PE=PF PO 求证：0在∠ BAC 的平分线上（即∠ BA0=∠ CAO ） 证明：连接0E, OF ∙ PO
∙ E0, FO 分别为PE , PF 在上的射影 ∙ PE=PF ∙ OE=OF ∙ PEAB, PF AC ∙ OE AB , OF AC （三垂线定理的逆定理 ） ∙ 0到∠ BAC 两边距离相等 ∙ 0在∠ BAC 的平分线上 变式：
已知：
BA
C 在平面
内，点
P ,PE AB I PF AC, PO
,垂足分别为 E,F,O,PE
求证：BAO CAO .
证明.∙.∙ PE AB,PF AC,PO
...AB OE , AC 0F
（三垂线定理逆定理）
...PE
PF, PA PA ∙ Rt PAE Rt AOF
? • • ?
BAO CAO
推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线, 如果斜线的这个角两边夹角相等，
那么
斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线
例3•在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱 PA PB, PC 两两垂直，H 是厶ABC 的垂心 求证:（1）PH 底面ABC （2） △ ABC 是锐角三角形
证明：（1）略
PF
∙ AE AF ,又∙ AO AO ,∙ Rt AOE Rt AOF
P
A
B
θ
D
C
P
⑵设AH 与直线BC 的交点为E ,连接PE 由⑴知PH 底面ABC
∙∙∙ AE 为PE 在平面 ABC 的射影，
由三垂线定理：PE BC
∙∙∙ PB PC 即厶BPC 是直角三角形，BC 为斜边
∙ E 在BC 边上 由于AE BC,故B ∠ C 都是锐角 同理可证：∠ A 也是锐角
ABC 为锐角三角形
设计意图（为了培养学生灵活应用定理的能力，帮助学生掌握重点，化解难点，我精选 了三条有层次的、由易到难的例题，通过引导学生观察，分析后，我用设问的方法，深入浅 出地引导学生寻找证题的基本思路，
确定适应定理的“四线一面”，然后，由学生板书解答后,
我再较正学生的证明过程，进一步培养学生的书面语言表达能力和逻辑推理能力。

）
四小结：
知识：三垂线定理以及逆定理 问题：平面中斜线和射影的垂直问题 方法：空间垂直与平面垂直互相转化 思想：转化思想
五作业：
1.边长为a 的正六边形 ABCDEF 在平面 内，PA ⊥ , PA=a,则P 到CD 的距离为 _, P 至U BC 的距离
为 ________________________ .
2.AC 是平面 的斜线，且 AO=a, AO 与 成60o 角，OC , AA Z 丄于A z , ∠ A OC=45o ,
7 ιf 14 2
2a, a a,—
2 ; 2 4 4 5 J ■
ABCD 是矩形，AB=a, AD= b , PA 平面 ABCD,
PA=2c, Q 是 PA 的中点.
BQD 的距离.
六板书设计： 七教学后记
本节课采用教师为主导学生为主体的启发式教学方式，学生反映较好，定理记得牢，理 解深刻，应用灵活，不仅让学生学习了新的知识，而且培养了能力。

从学生的课后作业 看，书写规范，推理正确，取得较好的教学效果，圆满完成本节课的教学任务。

则A 到直线OC 的距离是
,∠ AOC 的余弦值是
3•如图，已知
求 答案：1.
(1) Q 到
D。