参数方程教案
高中数学选修4--4参数方程教案
第二章 参数方程【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
第一课时 参数方程的概念一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α2．分析探究理解： （1）、斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα （2）、抽象概括：参数方程的概念。
说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
（3）平抛运动：为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== （4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。
（二）、应用举例：例1、已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)（1）判断点1M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。
分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。
学生练习。
反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。
例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为60πrad/s,试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。
参数方程的概念(教案)
参数方程的概念(教案)第一章：引言1.1 目的：使学生理解参数方程的概念，并了解其在实际问题中的应用。
1.2 内容：引入参数方程的概念。
举例说明参数方程在实际问题中的应用。
1.3 教学方法：通过讲解和举例，引导学生理解参数方程的概念，并激发学生对参数方程应用的兴趣。
1.4 教学工具：投影仪、黑板、教学PPT。
第二章：参数方程的定义2.1 目的：使学生理解参数方程的定义，并能正确写出参数方程。
2.2 内容：讲解参数方程的定义。
引导学生通过示例写出参数方程。
2.3 教学方法：通过讲解和示例，引导学生理解参数方程的定义，并培养学生的实际操作能力。
2.4 教学工具：黑板、教学PPT。
第三章：参数方程的图像3.1 目的：使学生能绘制参数方程的图像，并理解参数方程与普通方程的区别。
3.2 内容：讲解参数方程的图像特点。
引导学生通过绘制参数方程的图像，理解参数方程与普通方程的区别。
3.3 教学方法：通过讲解和绘图，引导学生理解参数方程的图像特点，并通过对比加深对参数方程与普通方程区别的理解。
3.4 教学工具：投影仪、黑板、教学PPT。
第四章：参数方程的应用4.1 目的：使学生了解参数方程在实际问题中的应用，并能解决相关问题。
4.2 内容：举例说明参数方程在实际问题中的应用。
引导学生通过参数方程解决实际问题。
4.3 教学方法：通过讲解和示例，引导学生了解参数方程的应用，并培养学生的实际问题解决能力。
4.4 教学工具：黑板、教学PPT。
第五章：总结与拓展5.1 目的：使学生对参数方程的概念和应用有一个全面的理解，并激发学生对参数方程进一步学习的兴趣。
5.2 内容：对本章内容进行总结。
提出与参数方程相关的拓展问题。
5.3 教学方法：通过总结和提问，帮助学生巩固所学内容，并激发学生的学习兴趣。
5.4 教学工具：黑板、教学PPT。
第六章：简单曲线族的参数方程6.1 目的：使学生了解简单曲线族的参数方程，并能识别和应用。
《参数方程的概念曲线的参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程的概念-曲线的参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的概念1.1 参数方程的定义解释参数方程的概念，强调参数方程与普通方程的区别。
通过实际例子展示参数方程的形式。
1.2 参数方程的应用探讨参数方程在实际问题中的应用，如物理、工程等领域。
分析参数方程的优势和局限性。
第二章：曲线的参数方程2.1 曲线参数方程的定义解释曲线参数方程的概念，强调参数方程与曲线方程的关系。
通过实际例子展示曲线参数方程的形式。
2.2 曲线参数方程的应用探讨曲线参数方程在几何、物理、工程等领域中的应用。
分析曲线参数方程的优势和局限性。
第三章：参数方程的图像3.1 参数方程图像的绘制介绍如何绘制参数方程的图像，强调参数方程与图像之间的关系。
通过实际例子展示参数方程图像的绘制方法。
3.2 参数方程图像的特点分析参数方程图像的特点，如曲线的形状、斜率等。
探讨参数方程图像在解决问题中的应用。
第四章：参数方程的变换4.1 参数方程的变换公式介绍参数方程的变换公式，强调变换公式的应用和意义。
通过实际例子展示参数方程的变换过程。
4.2 参数方程的变换应用探讨参数方程的变换在几何、物理、工程等领域中的应用。
分析参数方程的变换的优势和局限性。
第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在实际问题中的应用分析参数方程在实际问题中的应用，如物体运动、曲线变形等。
探讨参数方程在解决问题中的优势和局限性。
5.2 参数方程在数学研究中的应用介绍参数方程在数学研究中的应用，如代数方程的求解、几何问题的研究等。
强调参数方程在数学研究中的重要性。
第六章：参数方程与极坐标方程的转换6.1 极坐标方程的基本概念回顾极坐标方程的定义和基本性质。
强调极坐标方程与直角坐标方程之间的关系。
6.2 参数方程与极坐标方程的转换方法介绍如何将参数方程转换为极坐标方程。
通过实际例子展示参数方程与极坐标方程之间的转换过程。
第七章：参数方程在几何中的应用7.1 参数方程与几何图形的性质探讨参数方程在描述几何图形方面的优势。
《参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的基本概念1.1 参数方程的定义与形式引导学生了解参数方程的定义，理解参数方程与普通方程的区别。
举例说明参数方程的形式，如圆的参数方程、直线的参数方程等。
1.2 参数方程的应用场景通过实际问题引入参数方程的应用，如物体的运动轨迹、几何图形的构造等。
引导学生理解参数方程在实际问题中的优势。
第二章：参数方程的求解方法2.1 参数方程的求解步骤介绍参数方程求解的一般步骤，如确定参数的范围、求解参数的值等。
通过具体例子演示参数方程的求解过程。
2.2 参数方程的图像分析引导学生了解参数方程的图像特征，如曲线的变化趋势、交点等。
通过绘制参数方程的图像，帮助学生直观理解参数方程的性质。
第三章：常见参数方程的类型及解法3.1 三角函数型参数方程介绍三角函数型参数方程的特点和解法，如正弦曲线、余弦曲线等。
通过例题讲解三角函数型参数方程的求解方法。
3.2 反比例函数型参数方程介绍反比例函数型参数方程的特点和解法，如双曲线等。
通过例题讲解反比例函数型参数方程的求解方法。
第四章：参数方程与普通方程的互化4.1 参数方程与直角坐标方程的互化引导学生了解参数方程与直角坐标方程的关系，掌握互化的方法。
通过例题演示参数方程与直角坐标方程的互化过程。
4.2 参数方程与极坐标方程的互化引导学生了解参数方程与极坐标方程的关系，掌握互化的方法。
通过例题演示参数方程与极坐标方程的互化过程。
第五章：参数方程在实际问题中的应用5.1 参数方程在物理学中的应用通过实际问题引入参数方程在物理学中的应用，如抛物线运动、电磁波等。
引导学生理解参数方程在物理学中的重要作用。
5.2 参数方程在工程中的应用通过实际问题引入参数方程在工程中的应用，如优化问题、设计问题等。
引导学生理解参数方程在工程中的实际意义。
第六章：参数方程的优化问题6.1 参数方程优化问题的定义与特点引导学生了解参数方程优化问题的定义，理解优化问题的实际意义。
参数方程的概念(教案)
参数方程的概念(教案)第一章：参数方程的引入1.1 参数方程的定义与意义解释参数方程的概念，强调参数在方程中的作用举例说明参数方程与普通方程的区别和联系1.2 参数方程的表示方法介绍参数方程的表示方法，包括曲线方程和参数方程的转换演示如何将普通方程转换为参数方程，以及反之第二章：参数方程的图像2.1 参数方程的图像特点分析参数方程图像的性质，如曲线的形状、方向等举例说明不同类型的参数方程产生的图像特点2.2 参数方程图像的绘制方法介绍参数方程图像的绘制方法，包括直接绘制和变换法演示如何利用图形软件或手工绘制参数方程图像第三章：参数方程的应用3.1 参数方程在几何中的应用探讨参数方程在几何领域中的应用，如圆的参数方程、双曲线的参数方程等举例说明参数方程在几何问题解决中的作用3.2 参数方程在物理中的应用介绍参数方程在物理学中的应用，如质点运动轨迹的参数方程举例说明参数方程在物理问题解决中的作用第四章：参数方程的转换与化简4.1 参数方程的转换探讨参数方程之间的转换方法，如代数法、三角法等举例说明如何将一个参数方程转换为另一个参数方程4.2 参数方程的化简介绍参数方程化简的方法和技巧，如消元法、代入法等举例说明如何将复杂的参数方程化简为简单的形式第五章：参数方程的解法5.1 参数方程的解法概述解释参数方程的解法概念，强调解法的重要性和方法举例说明参数方程解法的基本步骤和注意事项5.2 参数方程的解法实例通过具体实例演示参数方程解法的具体步骤和技巧探讨不同类型的参数方程解法方法和解的意义第六章：参数方程与直角坐标系的转换6.1 参数方程与直角坐标系的转换方法介绍参数方程与直角坐标系之间的转换方法演示如何将参数方程转换为直角坐标方程，以及反之6.2 转换过程中应注意的问题探讨在转换过程中可能遇到的问题及解决方法举例说明转换过程中可能出现的困难和解决方法第七章：参数方程在优化问题中的应用7.1 参数方程在优化问题中的应用概述解释参数方程在优化问题中的应用，强调其作用和意义举例说明参数方程在优化问题解决中的作用7.2 参数方程在实际优化问题中的应用探讨参数方程在实际优化问题中的应用，如曲线拟合、参数优化等举例说明参数方程在实际优化问题解决中的作用第八章：参数方程在工程中的应用8.1 参数方程在工程中的应用概述介绍参数方程在工程领域中的应用，如电路设计、机械设计等举例说明参数方程在工程问题解决中的作用8.2 参数方程在特定工程问题中的应用探讨参数方程在特定工程问题中的应用，如antenna design、optimal control 等举例说明参数方程在特定工程问题解决中的作用第九章：参数方程在科学研究中的应用9.1 参数方程在科学研究中的应用概述解释参数方程在科学研究中的应用，强调其作用和意义举例说明参数方程在科学研究问题解决中的作用9.2 参数方程在特定科学研究领域中的应用探讨参数方程在特定科学研究领域中的应用，如astrophysics、biological modeling 等举例说明参数方程在特定科学研究问题解决中的作用第十章：参数方程的综合应用与实践10.1 参数方程在综合应用中的实例分析通过具体实例分析参数方程在综合应用中的重要作用强调参数方程在实际问题解决中的灵活运用10.2 参数方程实践操作与练习指导学生进行参数方程实践操作，如绘制图像、解决实际问题等提供参数方程练习题目，让学生巩固所学知识重点和难点解析重点环节一：参数方程的定义与意义重点关注参数方程的概念和作用，理解参数在方程中的重要性。
《参数方程》教案(新人教选修
《参数方程》教案（新人教选修）第一章：参数方程简介1.1 参数方程的概念引导学生了解参数方程的定义和特点举例说明参数方程在实际问题中的应用1.2 参数方程的表示方法介绍参数方程的表示方法，包括参数和变量的关系练习将直角坐标方程转换为参数方程第二章：参数方程的图像2.1 参数方程的图像特点分析参数方程图像的性质和特点举例说明参数方程图像的形状和变化趋势2.2 参数方程的图像绘制学习如何绘制参数方程的图像练习绘制不同类型的参数方程图像第三章：参数方程的应用3.1 参数方程在几何中的应用利用参数方程解决几何问题，如计算线段长度、角度等举例说明参数方程在圆锥曲线中的应用3.2 参数方程在物理中的应用介绍参数方程在物理学中的应用，如描述物体的运动轨迹练习解决物理问题，如求解物体在参数方程下的速度和加速度第四章：参数方程的转换4.1 参数方程与直角坐标方程的转换学习如何将参数方程转换为直角坐标方程练习将参数方程转换为直角坐标方程，并解决相关问题4.2 参数方程与其他形式的方程的转换介绍参数方程与其他形式的方程（如极坐标方程）的转换方法练习将参数方程转换为其他形式的方程，并进行问题求解第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在实际问题中的应用分析实际问题，建立合适的参数方程模型练习解决实际问题，如计算曲线的长度、面积等5.2 参数方程在数学竞赛中的应用介绍参数方程在数学竞赛中的应用，如解决综合题练习解决数学竞赛中的参数方程问题第六章：参数方程与曲线积分6.1 参数方程下的曲线积分概念引入曲线积分的概念，解释其在参数方程中的应用举例说明曲线积分的计算方法6.2 参数方程下的曲线积分计算学习如何利用参数方程计算曲线积分练习计算不同类型曲线积分问题第七章：参数方程与曲面面积7.1 参数方程下的曲面面积概念引入曲面面积的概念，解释其在参数方程中的应用举例说明曲面面积的计算方法7.2 参数方程下的曲面面积计算学习如何利用参数方程计算曲面面积练习计算不同类型曲面面积问题第八章：参数方程与优化问题8.1 参数方程在优化问题中的应用引入优化问题的概念，解释参数方程在优化问题中的应用举例说明参数方程在优化问题中的解法8.2 参数方程优化问题的解决方法学习如何利用参数方程解决优化问题练习解决实际优化问题，如最短路径问题等第九章：参数方程与微分方程9.1 参数方程与微分方程的关系解释参数方程与微分方程之间的联系举例说明微分方程在参数方程中的应用9.2 参数方程微分方程的求解方法学习如何利用微分方程求解参数方程练习求解不同类型的参数方程微分方程问题第十章：参数方程的综合应用案例分析10.1 参数方程在工程中的应用案例分析分析实际工程问题，利用参数方程进行问题建模练习解决工程问题，并进行案例分析10.2 参数方程在科学研究中的应用案例分析分析实际科学研究问题，利用参数方程进行问题建模练习解决科学研究问题，并进行案例分析重点和难点解析重点一：参数方程的概念与特点学生需要理解参数方程的定义，即变量与参数之间的关系强调参数方程在解决实际问题中的应用价值重点二：参数方程的图像特点与绘制方法学生应掌握参数方程图像的性质和变化趋势练习将参数方程转换为图像，并分析图像的特点重点三：参数方程在几何和物理中的应用学生需要学会利用参数方程解决几何问题，如计算线段长度、角度等强调参数方程在物理学中的应用，如描述物体的运动轨迹重点四：参数方程的转换方法学生应掌握参数方程与直角坐标方程、极坐标方程等的转换方法练习将参数方程转换为其他形式的方程，并解决相关问题重点五：参数方程在曲线积分、曲面面积和优化问题中的应用学生需要理解参数方程在曲线积分和曲面面积计算中的作用强调参数方程在解决优化问题中的应用，如最短路径问题重点六：参数方程与微分方程的关系和求解方法学生应理解参数方程与微分方程之间的联系练习利用微分方程求解参数方程，并解决实际问题重点七：参数方程的综合应用案例分析学生需要学会将参数方程应用于工程和科学研究问题强调案例分析的重要性，通过实际问题加深对参数方程的理解本教案围绕参数方程的概念、图像、应用和转换等方面进行了详细的讲解和练习。
直线的参数方程教案
直线的参数方程教案直线的参数方程教案一、教学目标1. 知识与技能（1）掌握直线的参数方程的概念；（2）掌握直线的一般方程与参数方程的互相转化方法；（3）能够根据直线的参数方程绘制直线的图像。
2. 过程与方法（1）引导学生通过观察、实验等方式发现直线的参数方程的特点；（2）通过讲解和举例引导学生理解直线的参数方程的定义及其性质；（3）通过练习题巩固学生对直线的参数方程的掌握程度；（4）通过绘制直线的图像帮助学生加深对直线的参数方程的理解。
3. 情感、态度和价值观培养学生观察、发现、分析和解决问题的能力，培养学生的数学思维能力和创新能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点掌握直线的参数方程的概念和性质，掌握直线的一般方程与参数方程的互相转化方法。
2. 教学难点能够根据直线的参数方程绘制直线的图像。
三、教学过程1. 导入新课通过展示几何平面坐标系上的一条直线图像，引导学生观察，思考直线的方程与参数方程之间的关系，并提问学生：你对直线的参数方程有什么了解？2. 探究活动（1）教师用实物或几何软件展示一条直线和坐标系，并选取直线上两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)。
（2）教师引导学生观察并发现直线上每个点都可以由参数t确定，并写出该点的坐标为(x, y)，并尝试找出x和y与t之间的关系。
（3）学生根据已知的两个点的坐标、点A和点B的参数t值，写出点A和点B的参数方程。
（4）通过实际计算验证参数方程是否正确。
3. 理论总结通过探究活动，引导学生总结直线的参数方程的定义和性质，并帮助学生理解直线的参数方程与一般方程的转化方法。
4. 拓展（1）教师提问：已知直线的参数方程x = 2 + 3t，y = -1 + t ，如何将其转化为一般方程？（2）学生尝试将参数方程转化为一般方程，并进行实际计算和验证。
5. 练习巩固（1）教师出示几道直线的参数方程的题目，要求学生逐步转化为一般方程，并进行计算验证。
（2）学生独立完成练习题，并核对答案。
参数方程的概念》教案(新人教选修
《参数方程的概念》教案（新人教选修）教学目标：1. 理解参数方程的定义和特点；2. 学会将直角坐标方程转换为参数方程；3. 能够解决实际问题，运用参数方程。
教学重点：1. 参数方程的定义和特点；2. 直角坐标方程与参数方程的转换方法。
教学难点：1. 参数方程的实际应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 相关练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾直角坐标系的定义和特点；2. 提问：能否用直角坐标系表示一个物体的运动轨迹？二、新课讲解（15分钟）1. 引入参数方程的概念，讲解参数方程的定义和特点；2. 举例说明参数方程在实际问题中的应用；3. 讲解如何将直角坐标方程转换为参数方程；4. 引导学生理解参数方程与直角坐标方程之间的关系。
三、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 选几位学生上台板书解题过程，并讲解思路；3. 教师点评解题过程，指出优点和不足。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结参数方程的定义、特点和应用；2. 强调直角坐标方程与参数方程之间的转换方法。
五、课后作业（布置作业）1. 让学生完成课后练习题，巩固所学知识；2. 鼓励学生自主探究，发现参数方程在实际问题中的更多应用。
教学反思：本节课通过讲解和练习，使学生掌握了参数方程的定义、特点和应用，能够将直角坐标方程转换为参数方程。
在教学过程中，注意引导学生主动参与课堂讨论，提高学生的思维能力。
布置课后作业，让学生巩固所学知识，为后续学习打下基础。
六、案例分析：用参数方程解决实际问题（15分钟）1. 引入案例：描述一个物体的运动轨迹，如圆周运动；2. 引导学生将直角坐标方程转换为参数方程；3. 分析参数方程在解决问题中的作用，如简化计算、便于分析物体运动特点等；4. 让学生尝试解决类似案例，给予指导和建议。
七、练习与讨论：探索参数方程的性质（20分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 组织学生进行小组讨论，分享解题思路和心得；3. 教师点评解题过程，指出优点和不足；4. 引导学生总结参数方程的性质，如对称性、周期性等。
数学参数方程教案
数学参数方程教案一、引言数学参数方程是描述曲线或曲面的一种常见方法，通过引入参数来表示曲线上的各个点或曲面上的各个点。
本教案旨在向学生清晰地解释什么是参数方程，以及如何利用参数方程进行数学运算和描述几何形状。
二、理论基础1. 参数方程的定义参数方程是一种表示几何图形上各个点的方法，它通过引入参数来表示，并将几何图形的坐标与参数之间建立关系。
2. 参数方程的优点a) 参数方程可以用简洁的形式表示复杂的曲线或曲面。
b) 参数方程可以描述一些传统的坐标系下难以表达的几何形状。
c) 参数方程可以方便地进行运算和推导，尤其在微积分和向量运算中应用广泛。
三、常见的参数方程形式1. 平面曲线的参数方程a) 直线的参数方程：x = x₀ + at, y = y₀ + bt，其中(x₀, y₀)为直线上一点，a和b为方向向量。
b) 圆的参数方程：x = a + rcos(t), y = b + rsin(t)，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
c) 椭圆的参数方程：x = a cos(t), y = b sin(t)，其中(a, b)分别为椭圆在x和y轴的半径。
d) 抛物线的参数方程：x = at², y = 2at，其中a为常数。
...2. 空间曲面的参数方程a) 球面的参数方程：x = a + rsinθcosφ, y = b + rsinθsinφ, z = c + rcosθ，其中(a, b, c)为球心坐标，r为半径，θ和φ为参数。
b) 椭球面的参数方程：x = a cosθsinφ, y = b sinθsinφ, z = c cosφ，其中(a, b, c)分别为椭球面在x，y和z轴上的半径，θ和φ为参数。
c) 双曲面的参数方程：x = a secθsinφ, y = b secθcosφ, z = c tanφ，其中(a, b, c)分别为双曲面在x，y和z轴上的半径，θ和φ为参数。
椭圆的参数方程 教案
椭圆的参数方程教案教案标题：椭圆的参数方程教学目标：1. 理解椭圆的定义和性质。
2. 掌握椭圆的参数方程的推导和应用。
3. 能够绘制椭圆的参数方程图形。
教学准备：1. 教师准备：教师需要熟悉椭圆的定义和性质，以及参数方程的推导方法。
2. 学生准备：学生需要掌握直角坐标系和基本的代数运算。
教学过程：Step 1：引入椭圆的定义和性质（10分钟）1. 教师简要介绍椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
2. 教师讲解椭圆的性质：椭圆的中心、焦点、长轴、短轴等。
3. 教师通过示意图和实例帮助学生理解椭圆的定义和性质。
Step 2：推导椭圆的参数方程（15分钟）1. 教师引导学生思考如何推导椭圆的参数方程。
2. 教师给出推导过程，并解释每一步的原理和方法。
3. 教师通过示例演示如何根据椭圆的参数方程确定椭圆的位置和形状。
Step 3：应用椭圆的参数方程（15分钟）1. 学生根据教师给出的椭圆参数方程，计算出椭圆上的点的坐标。
2. 学生绘制椭圆的参数方程图形，并标注椭圆的中心、焦点、长轴、短轴等。
3. 学生通过观察图形，总结椭圆的性质和特点。
Step 4：巩固与拓展（10分钟）1. 学生自主完成一些练习题，巩固椭圆的参数方程的应用。
2. 学生尝试推导其他曲线的参数方程，拓展对参数方程的理解和应用。
Step 5：总结与评价（5分钟）1. 教师与学生一起总结椭圆的参数方程的推导和应用。
2. 学生对本节课的学习进行自我评价，并提出问题和困惑。
教学延伸：1. 学生可以进一步研究椭圆的其他性质和方程形式。
2. 学生可以尝试应用参数方程解决实际问题，如椭圆轨道的运动问题等。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和学习态度。
2. 教师布置作业，检查学生对椭圆参数方程的掌握情况。
3. 学生完成练习题和参与课堂讨论，展示对椭圆参数方程的理解和应用能力。
教案直线的参数方程
课题：直线的参数方程（1）教学设计教学目标:(一）知识目标1．了解直线参数方程的建立过程，会与普通方程进行互化；2. 初步掌握运用参数方程解决问题，理解其中参数t 的几何意义. (二)能力目标1.通过思考引入，让学生感受学习直线参数方程的必要性；2.通过学习直线的参数方程探究直线与圆锥曲线的位置关系，培养学生数形结合以及运算求解能力. (三）情感目标1.培养学生的探究,研讨,综合自学应用能力；2.培养学生分析问题，解决问题的能力. 教学重点:1.联系数轴、向量积等知识；2.求出直线的参数方程. 教学难点:通过向量法，建立参数t 与点在直角坐标系中的坐标y x ,之间的联系. 教学过程： 一、学前准备(1)若由a b →→与共线，则存在实数λ，使得 . (2)设e →为a →方向上的 ，则a →=︱a →︱e →.(3)已知=AB y x B y x A 则),,(),,(2211.==y x ),( . (4)经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的普通方程为 .(5)直线0=++C By Ax 的斜率=k ，倾斜角α与斜率k 的关系为 . 二、新课讲授探究新知（预习教材P35～P36，找出疑惑之处）1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M 的坐标,x y 与点0M 的坐标00,x y 和倾斜角α 联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，M 与0M 可以用距离或线段0M M 数量的大小联系，这种“方向”和“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程. 如图，在直线上任取一点(,)M x y ，则0MM = ，而直线l 的单位方向向量e →=（ ， ）因为M 0//e，所以存在实数t R ∈，使得0MM = ，即有()()00,cos ,sin x x y y t αα--=，因此，经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα当堂训练（1）经过点)5,1(0M ,倾斜角为3π的直线l 的参数方程为 . （2）直线)(20cos 20sin 3为参数t s t y t x ⎝⎛=+=︒︒的倾斜角是( )︒20.A ︒70.B ︒110.C ︒160.D2、直线l 的参数方程的几种形式直线的参数方程形式不是唯一的，令ααsin ,cos ==b a ,则直线参数方程的标准形式可以是)1,0,(22200=+≥⎩⎨⎧+=+=b a b t bty y atx x 为参数直线的参数方程的一般式可以写成)(00为参数t dt y y ctx x ⎩⎨⎧+=+=，这里R d c ∈,,其中122=+d c 时，t有明确的几何意义，当122≠+d c 时，t 没有明确的几何意义. 直线的参数方程的一般式化为直线的参数方程的标准式的方法：),,0,,0()()(2222222222222222022220b dc da d c c t t d c db dcd a d c c t t d c d t d c d c d y y t d c d c c x x =+-=+-'=⋅+-≤=+=+'=⋅+≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+++=⋅+++=时，令，时，令其中，3、直线的参数方程中参数的几何意义x参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0t =.由于α为直线的倾斜角,且),0[πα∈，α是第二象限角，0sin ≥α.所以e的方向总是向上的，当M M 0与e (直线的单位方向向量)同向时，0>t ，当M M 0与e反向时，0<t ，当M 与M 0重合时，0=t .4、用直线l 的参数方程求弦长和弦的中点坐标的方法①已知直线l 过),(00y x M ，倾斜角为α，l 与圆锥曲线相交于B A ,两点，则求弦长AB 的方法如下：将直线l 的参数方程)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα代入圆锥曲线的方程，消去y x ,得到关于t 的一元二次方程，由判别式∆和韦达定理得到21t t +，21t t 的值，代入弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙. ②弦的中点坐标对应的参数221t t t +=，先计算221tt t +=，再把t 代入直线l 的参数方程，即得到弦中点的坐标.三、知识应用例．已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到A ，B 两点的距离之积.四、课堂检测直线)(,2333,211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=和圆1622=+y x 交于B A ,两点，则B A ,的中点坐标为（ ）)3,3.(-A )3,3.(--B )3,3.(-C )3,3.(-D五 、课堂小结（1）经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(s i n c o s 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，其中参数t 具有明确的意义. （2）直线的标准方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离，它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但是应用直线的参数方程时，应先判别是否是标准形式，再考虑t 的几何意义.(3)弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，定点M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙.弦的中点坐标对应的参数221t t t +=. 六、高考衔接(2016江苏)在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为)(23211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=，椭圆C 的参数方程为)(sin 2cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.七、作业布置课本p39 习题2.3第3题 八、课后反思。
参数方程的概念》教案(新人教选修
《参数方程的概念》教案（新人教选修）一、教学目标1. 理解参数方程的定义和特点；2. 掌握参数方程的表示方法和求解方法；3. 能够将实际问题转化为参数方程，并解决实际问题。
二、教学重难点1. 参数方程的定义和表示方法；2. 参数方程的求解方法；3. 将实际问题转化为参数方程。
三、教学准备1. 教师准备PPT，包括参数方程的定义、表示方法和求解方法的讲解；2. 准备一些实际问题，用于引导学生将问题转化为参数方程。
四、教学过程1. 引入：通过讲解PPT，引导学生了解参数方程的定义和表示方法；2. 讲解：通过PPT，详细讲解参数方程的求解方法，包括求解步骤和注意事项；3. 练习：让学生独立完成一些参数方程的求解练习题；4. 应用：引导学生将实际问题转化为参数方程，并解决实际问题。
五、课后作业1. 完成PPT上的练习题；2. 选择一个实际问题，将其转化为参数方程，并解决。
教学反思：在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和应用能力。
根据学生的反馈，及时调整教学方法和策略，提高教学质量。
六、教学评估1. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们对参数方程的理解程度和应用能力；2. 课后作业：检查学生的课后作业，评估他们对参数方程的掌握情况；3. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解他们对本节课的教学内容和教学方法的满意度。
七、教学拓展1. 介绍其他相关的数学概念，如普通方程和函数方程等，让学生了解参数方程在数学中的地位和作用；2. 引导学生探索参数方程在实际问题中的应用，如物理、工程和经济学等领域。
八、教学计划1. 下一节课内容：介绍参数方程的进一步应用，如优化问题和动态系统等；2. 教学方法：采用案例教学法，结合实际问题，引导学生深入理解参数方程的应用；3. 教学目标：使学生能够灵活运用参数方程解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
九、教学资源1. PPT：制作参数方程的进一步应用的PPT，包括案例分析和练习题；2. 实际问题案例：收集一些与参数方程应用相关的实际问题案例，用于课堂讲解和练习。
高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修
高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修一、教学目标：1. 让学生理解参数方程的概念，了解参数方程与普通方程的区别和联系。
2. 让学生掌握参数方程的求解方法，能够将实际问题转化为参数方程进行求解。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 参数方程的定义：引入参数方程的概念，让学生了解参数方程的形式。
2. 参数方程的求解方法：讲解参数方程的求解方法，引导学生掌握求解参数方程的技巧。
3. 实际问题与参数方程：通过实例让学生了解如何将实际问题转化为参数方程，并求解。
三、教学重点与难点：1. 重点：参数方程的概念、参数方程的求解方法。
2. 难点：将实际问题转化为参数方程，求解复杂参数方程。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解参数方程的概念、求解方法及实际应用。
2. 采用案例分析法，让学生通过实例了解参数方程在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高学生的理解能力。
五、教学过程：1. 引入：通过简单的生活实例，引导学生思考如何用数学模型来描述实际问题。
2. 讲解：讲解参数方程的定义，阐述参数方程与普通方程的区别和联系。
3. 案例分析：分析具体实例，引导学生掌握参数方程的求解方法。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调参数方程在实际问题中的应用。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问，了解学生对参数方程概念的理解程度。
2. 练习解答：检查学生练习题的完成情况，评估学生对参数方程求解方法的掌握程度。
3. 课后作业：评估学生课后作业的质量，了解学生对课堂所学知识的巩固情况。
七、教学反思：1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和节奏，以提高教学效果。
2. 针对学生的反馈，补充和调整教学内容，使之更符合学生的需求。
3. 注重培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
《参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的概念与基本形式1.1 参数方程的定义引入参数方程的概念，让学生理解参数方程是一种描述曲线运动的数学工具。
通过实际例子，让学生了解参数方程在现实中的应用。
1.2 参数方程的基本形式介绍参数方程的两种基本形式：圆锥曲线的参数方程和直线的参数方程。
通过图形和实例，让学生理解参数方程与普通方程之间的关系。
第二章：参数方程的图像与性质2.1 参数方程的图像利用图形软件，绘制常见参数方程的图像，让学生直观地了解参数方程的特点。
引导学生观察图像，探讨参数方程与坐标轴之间的关系。
2.2 参数方程的性质引导学生研究参数方程的单调性、周期性和奇偶性等性质。
通过实例，让学生了解参数方程的性质在实际问题中的应用。
第三章：参数方程的变换与化简3.1 参数方程的变换介绍参数方程的基本变换，如平移、旋转和缩放等。
通过实例，让学生学会如何对参数方程进行变换。
3.2 参数方程的化简引导学生利用数学方法对参数方程进行化简，使其形式更加简洁。
通过实例，让学生了解参数方程化简的意义和应用。
第四章：参数方程的应用4.1 参数方程在物理中的应用以机械运动为例，介绍参数方程在描述物体运动中的应用。
引导学生利用参数方程解决实际物理问题。
4.2 参数方程在工程中的应用以电子电路为例，介绍参数方程在描述系统动态行为中的应用。
引导学生利用参数方程解决实际工程问题。
第五章：参数方程的综合练习5.1 参数方程的解题技巧通过实例，让学生学会如何运用不同的技巧解决参数方程问题。
5.2 综合练习题提供一系列与参数方程相关的综合练习题，让学生巩固所学知识。
对练习题进行讲解和解析，帮助学生提高解题能力。
第六章：参数方程在圆锥曲线中的应用6.1 圆锥曲线的参数方程复习圆锥曲线的普通方程，并引入其参数方程。
通过图形和实例，让学生了解圆锥曲线的参数方程表示方法。
6.2 圆锥曲线的参数性质引导学生研究圆锥曲线的参数性质，如渐近线、焦点、顶点等。
参数方程的概念(教案)
参数方程的概念(教案)第一章：参数方程的引入1.1 参数方程的定义与意义解释参数方程的概念强调参数方程在描述曲线上的重要性1.2 参数方程与普通方程的对比举例说明参数方程与普通方程的区别和联系强调参数方程在解决特定问题上的优势第二章：参数方程的基本形式2.1 参数方程的通用形式介绍参数方程的通用形式：\(x = f(t)\), \(y = g(t)\)解释参数\(t\) 的作用和意义2.2 参数方程的简化形式介绍参数方程的简化形式：参数\(t\) 的取值范围、参数\(t\) 的速度和加速度强调简化形式在实际问题中的应用和重要性第三章：参数方程的应用3.1 参数方程在物理问题中的应用以物体运动为例，解释参数方程在描述物体位置和速度上的应用强调参数方程在物理问题中的重要性3.2 参数方程在几何问题中的应用以圆的参数方程为例，解释参数方程在描述几何形状上的应用强调参数方程在几何问题中的优势和灵活性第四章：参数方程的图像与分析4.1 参数方程的图像绘制介绍如何绘制参数方程的图像强调参数方程图像的特点和规律4.2 参数方程的分析与变换介绍如何分析参数方程的图像和性质介绍参数方程的变换方法，如平移、旋转等第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在实际问题中的应用以实际问题为例，综合运用参数方程进行问题解决强调参数方程在实际问题中的应用能力和灵活性5.2 参数方程的进一步探索引导学生在参数方程的基础上进行进一步的探索和创新鼓励学生发现参数方程在更多领域中的应用和价值第六章：参数方程与极坐标方程的转换6.1 极坐标方程的基本概念回顾极坐标方程的定义和基本形式解释极坐标方程与直角坐标系的关系6.2 参数方程与极坐标方程的转换方法介绍如何将参数方程转换为极坐标方程强调转换方法在解决特定问题上的应用和重要性第七章：参数方程与普通方程的转换7.1 普通方程的基本形式回顾普通方程的定义和常见形式强调普通方程在解决问题中的基本作用7.2 参数方程与普通方程的转换方法介绍如何将参数方程转换为普通方程强调转换方法在问题解决中的灵活应用第八章：参数方程的综合应用案例分析8.1 参数方程在工程问题中的应用案例分析一个工程问题，如桥梁设计、电路模拟等，展示参数方程的应用过程强调参数方程在工程问题中的重要作用8.2 参数方程在科学研究中的应用案例分析一个科学研究问题，如天体运动、生物种群动态等，展示参数方程的应用过程强调参数方程在科学研究中的重要性和灵活性第九章：参数方程的教学实践与反思9.1 参数方程的教学实践分享教学参数方程的经验和做法强调教学实践中的重点和难点9.2 参数方程的教学反思反思教学过程中的优点和不足提出改进教学方法和策略的建议第十章：参数方程的扩展与深化10.1 参数方程的扩展介绍参数方程在其他领域的应用，如计算机图形学、控制理论等强调参数方程在不同领域中的广泛应用和潜力10.2 参数方程的深化研究引导学生在参数方程的基础上进行深入研究，如研究更复杂的参数方程、探索参数方程的新性质等鼓励学生发挥创新精神，发现参数方程的更多价值和意义重点和难点解析重点环节一：参数方程的定义与意义重点关注学生对参数方程概念的理解，以及参数方程与普通方程的区别和联系。
《正方形的参数方程》教学案4
《正方形的参数方程》教学案4正方形的参数方程教学案4---教学目标- 了解正方形的定义和特点- 掌握正方形的参数方程表达方式- 能够利用参数方程绘制正方形- 发展学生的分析与解决问题的能力教学内容1. 正方形的定义和特点2. 正方形的参数方程表达方式3. 利用参数方程绘制正方形教学步骤步骤一：引入1. 引入正方形的定义和特点，让学生了解正方形的四个边相等且角为90度的性质。
步骤二：参数方程的引入1. 引入参数方程的概念和基本表达方式，让学生了解参数方程的思想和意义。
步骤三：正方形的参数方程1. 解释正方形的参数方程表达方式，即利用一个参数t来表示正方形的四个顶点坐标。
2. 给出正方形的参数方程表达式：x = a + t, y = b + t，其中a和b为正方形的一个顶点坐标。
3. 通过演示例子，让学生理解参数方程的作用和意义。
步骤四：绘制正方形1. 引入绘图工具，如Python的matplotlib库。
2. 通过编写代码，利用参数方程绘制正方形。
3. 带领学生一起编写代码并运行，观察绘制出的正方形图形。
步骤五：练与应用1. 提供一些练题，让学生利用参数方程绘制出指定边长的正方形。
2. 引导学生思考如何应用参数方程解决实际问题，如绘制正方形的旋转图形等。
教学评价与反思1. 在教学过程中，通过与学生的互动让他们理解正方形的定义和特点，为后续引入参数方程打下基础。
2. 通过演示例子和实际操作编写代码，激发学生研究兴趣，并培养他们的分析与解决问题的能力。
3. 在练与应用环节中，设置不同难度的题目，逐渐提升学生的实际应用能力。
---以上就是《正方形的参数方程》教学案4的内容。
通过本节课的学习，学生将能够理解正方形的定义和特点，并掌握正方形的参数方程表达方式。
同时，他们还能运用参数方程绘制正方形，并尝试将参数方程应用到解决实际问题中。
希望本节课能够激发学生的兴趣和思考能力，促进他们的全面发展。
参数方程教案(绝对经典)
参数方程1、概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程f (x, y)=0叫做曲线的普通方程. 2、直线的参数方程过P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩()t 为参数。
其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t 1和t 2，则 ○1PA ＝1t ; PB ＝2t ; PB PA ⋅＝2121t t t t ⋅=⋅;○2AB ＝21t t -＝212214)(t t t t ⋅-+． ⎪⎩⎪⎨⎧⋅-+=+==+=+2122121214)(t t t t t t t t PB PA 异号同号③．线段AB 的中点所对应的参数值等于221tt +．3、圆的参数方程圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=，它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数。
4、椭圆的参数方程椭圆12222=+n y m x ，的参数方程为)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==n y m x ，5、双曲线的参数方程双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕtan cos b y a x6、抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22(0)y px p =>的参数方程为22().2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数7、参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
《参数方程的概念》教案(新人教选修)
一、教学目标1. 让学生理解参数方程的概念，掌握参数方程的基本形式和特点。
2. 培养学生运用参数方程解决实际问题的能力。
3. 引导学生感受参数方程在数学和现实世界中的应用价值。
二、教学重点与难点1. 重点：参数方程的概念、基本形式和特点。
2. 难点：参数方程在实际问题中的应用。
三、教学方法与手段1. 采用问题驱动法，引导学生从实际问题中提出参数方程的需求。
2. 利用多媒体课件，展示参数方程的应用场景，增强学生的直观感受。
3. 开展小组讨论，促进学生对参数方程的理解和掌握。
四、教学内容与过程1. 引入：通过展示生活中的实际问题，引导学生发现参数方程的应用价值。
2. 讲解：介绍参数方程的概念、基本形式和特点，解释参数方程与普通方程的区别。
3. 实例分析：分析具体实例，让学生了解参数方程在实际问题中的具体应用。
4. 练习：让学生独立完成练习题，巩固对参数方程的理解。
五、作业布置1. 请学生总结参数方程的概念、基本形式和特点。
2. 选取一个实际问题，尝试用参数方程解决。
3. 预习下一节课内容，了解参数方程在实际问题中的进一步应用。
六、教学拓展与提升1. 引导学生思考：如何将实际问题转化为参数方程？2. 探讨：参数方程在实际应用中可能遇到的困难和解决方法。
3. 引入高级数学知识：如微分方程、偏微分方程等，让学生了解参数方程在更高层次的应用。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结参数方程的概念、基本形式和特点。
2. 强调参数方程在实际问题中的重要性。
3. 提醒学生课后加强练习，巩固所学知识。
八、课后作业1. 请学生完成课后练习题，巩固参数方程的基本概念和应用。
2. 鼓励学生自主寻找生活中的实际问题，尝试用参数方程解决。
3. 建议学生阅读相关数学资料，了解参数方程在其他领域的应用。
九、教学反思1. 教师在课后对自己的教学进行反思，总结教学过程中的优点和不足。
2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，以提高教学效果。
参数方程的概念(教案)
参数方程的概念教学目标:①掌握参数方程的概念;②理解参数在方程中的意义;③理解参数方程与普通方程的区别.重点:参数方程的概念及对参数的理解.难点:由参数方程解有关的量.教学过程:一.教学回顾1、什么是曲线方程?2、P．21．探究如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。
为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？二、新课1、由上问题引出：什么是参数方程？一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数x=f(t),y=g(t), 并且对于t的每一个允许值,由此所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么此方程就叫做这条曲线的参数方程.t为参数.2、参数方程与普通方程①参数方程有一个参变量；普通方程给出两个变量直接的关系；②参数有一定的几何或物理意义，也可以没有；③参数方程可以转化为普通方程。
3、变式教学一架救援飞机以100m/s 的速度作水平直线飞行。
在离灾区指定目标1000m 时投放救援物资（不计空气阻力，重力加速 g=10m/s ）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m ）4、例题例1: 已知曲线C 的参数方程是（1）判断点M1（0，1），M2（5，4）与曲线C 的位置关系； （2）已知点M3（6，a ）在曲线C 上，求a 的值。
练习： （1）曲线 与x 轴交点坐标是 ；（2）方程 表示的曲线是 。
例2已知曲线C 的参数方程是 点M(5,4)在该曲线上. （1）求常数a; （2）求曲线C 的普通方程.5、思考题：动点M 作等速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的速度分别为5和12，运动开始时位于点P （1，2），求点M 的轨迹参数方程。
三、小结1、学习了参数方程，学生谈学习的意义2、参数方程与普通方程的区别与联系四、作业布置：作业本P.54~P.5523,()2 1.x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数21,(43x t t y t ⎧=+⎨=-⎩为参数）sin ,(cos x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）212,().x t t y at =+⎧∈⎨=⎩为参数,a R。
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参数方程教案第一节 曲线的参数方程【教学目标】1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路．2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力．3．从弹道曲线的方程的建立，对学生进行数学的返璞归真教育，使学生体会数学来源于实践的真谛，帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点． 【教学重点与难点】重点：曲线参数方程的探求及其有关概念； 难点：是弹道曲线参数方程的建立． 【教学过程】一． 复习：1．满足什么条件时，一个方程才能称作曲线的方程，而这条曲线才能够称作方程的曲线？曲线方程的概念：(1)曲线C 上任一点的坐标（x,y ）都是方程f(x,y)=0的解；(2)同时以这个方程F(x,y)=0的每一组解(x,y)作为坐标的点都在曲线C 上．那么，这个方程f(x,y)=0就称作曲线C 的方程，而这条曲线C 就称作这个方程f(x,y)=0的曲线．2．写出圆心在原点，半径为r 的圆O 的方程，并说明求解方法． ⊙O 的普通方程是：x 2+y 2=r 2；⊙O 的参数方程是： ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x 、y 联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式．二．新课：1．参数方程的定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x,y ，都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x )(*，并且对于t 的每个允许值，由方程组)(*所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组)(*就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y 之间关系的变量t 叫做参变数，简称参数。
2．例：炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等．现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为α，发射的初速度为v 0，求出弹道曲线的方程．(不计空气阻力)。
我们知道弹道曲线是抛物线的一段．现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程(即点的轨迹方程)，那么，怎样来求点的轨迹方程？（1）建系：建立适当的直角坐标系；以炮口为原点，水平方向为x 轴，建立直角坐标系。
（2）设标，设炮弹发射后t 秒时的位置为M(x ，y)． (3)列式：即找出x 与y 之间的关系。
怎样把x 、y 之间的关系联系起来呢。
这里，炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动．炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向上作竖直上抛运动．显然在x 、y 分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移(竖直高度)。
x 、y 都与时间t 有关．在水平方向的初速度是v 0cos α，在竖直方向的初速度是v 0sin α. 水平方向的位移，因为水平方向是作匀速直线运动，所以x=v 0cos α;在竖直方向上，炮弹作竖直上抛运动，即炮弹受重力的作用作初速度不为零的匀减速直线运动．所以y=v 0sin α·t-21gt2这里我们把水平位移和竖直位移都用时间t 表示出来了，即把x 、y 都表示成了t 的函数，t 应该有一个确定的范围？令y=0，得t=0或t =gv αsin 20， ∴0≤t ≤gv αsin 20。
当t=g v αsin 20时炮弹刚落地。
记gv αsin 20为T 。
则)0(21sin cos 200T t gt t v y tv x ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα 这个方程组表示的是弹道曲线的方程。
前面我们举的圆和弹道曲线这两个例子中，这两个方程组有一个共同的特点，就是曲线上的点的坐标x,y之间的关系不是直接的，而是通过第三个变量间接地联系起来的．在圆的参数方程中旋转角θ参与了方程组的建立，且x 、y 都是θ的函数；在弹道曲线的参数方程中时间t 参与了方程组的建立，且x 、y 都是t 的函数。
参数方程的定义：在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x 、y 都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ※，且对于的t 每一个允许值，由※所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，则※就叫做曲线的参数方程，叫参变数，简称参数。
相对于参数方程来说，以前的方程是有所不同的。
为了区别起见，我们把以前学过的方程称作曲线的普通方程。
参数可以有明确的几何意义(旋转角θ——几何的)，也可以有明显的物理意义(时间t ——物理的)．事实上，除此之外，还可以是没有明显意义的变数．即使是同一条曲线，也可以用不同的变数作参数． 曲线参数方程的建立，不但能使曲线上点的坐标较容易通过参数联系起来，同时某些情况下还可较好地反映变数的实际意义，如弹道曲线中，x 表示炮弹飞行的水平位移，y 表示炮弹飞行的竖直高度．求出炮弹的最大水平射程和相应的最大竖直高度？ ∵当t=gv αsin 20时炮弹刚落地∴x=v 0cos αg v αsin 20=g v α2sin 20，2α=2π，即α=4π，得x 最大=g v 20当4πα=,t=g v αsin 0,y 最大=v 0sin g v αsin 0-222sin 21g v g o α=g v 2sin 220α=g v 420。
【练习】1． 动点M 作等速直线运动，它在x 轴、y 轴方向的速度分别为9和12，运动开始时点M 位于A （1，1），求M 点轨迹的参数方程。
2． 求半径为5，圆心在点（2，-5）的圆的参数方程。
3．求经过两个不同的N（x1，y1）,M(x2,y2)的直线的参数方程。
4．物体从H米的高处以初速度v米/秒沿水平方向抛出，写出物体所经过路径的参数方程。
5．作水平飞行的飞机速度为150米/秒，飞行高度为H=720米，若飞机从这个高度进行投弹。
求：（1）炮弹离开飞机后的轨迹的参数方程。
（2）飞机与目标的水平距离多少时，投弹才能命中目标？（3）从抛出炮弹到命中的时间？【小结】（1）曲线的参数方程的概念。
（2）参数方程的优越性：①当建立两个变量之间的直接联系比较困难，可以利用参数建立两个变量之间的间接的联系。
②参数一般带有物理意义和几何意义，可以利用它们的物理意义和几何意义来解决实际问题。
【课程后反思】1．未来社会对人才素质的要求越来越高．高素质人才的培养对学校教育提出了更高的要求．由于人的素质是多方面的，因此课堂教学的目的不但要向学生传授科学知识，而且还要努力发展学生的思维，提高学生的能力，培养学生的个性品质．显然这种多元化的教学目标对于全面提高学生的素质有着重要的作用．本节课的3个教学目标正是据于这样的思考而制定的．2．这节课按如下步骤逐渐展开：(1)圆的参数方程；(2)弹道曲线的参数方程；相对于弹道曲线来说，学生对圆感到既熟悉，又简单．从简单而又熟悉的圆开始研究，符合循序渐进的原则，缩短了学生思维的“跨度”，加快了学生思维的步伐，为学生利用类比的方法，进一步研究弹道曲线的方程(参数方程)，提供了可参照的“样本”．这对于发展学生的思维品质，培养学生的合情推理能力都是十分有益的．在探求弹道曲线的参数方程中，如果按教材中直接取炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，并直接由物理学中的匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式得参数方程通过圆及弹道曲线的参数方程的特点分析，让学生自行给这类方程命名，这种把命名权交给学生的做法极大地尊重了学生的主体地位，强化了学生的主体意识．在此基础上，引导学生给出曲线参数方程的一般定义．旨在培养学生由具体到抽象的推理能力．将两个例子作了进一步研究．通过对圆的参数方程的不同表述，使学生体会到对同一个问题，可以选取不同的变数作参数．既培养了学生发散思维的能力，又培养了学生优化选择的意识．而对炮弹最大水平射程和相应的最大竖直高度的求解，一方面可使学生明了本题中通过参数t 联系起来的x 、y 的最大值，有着鲜明的实际意义(几何的)，另一方面又与前面提出的炮弹射击目标的例子中需要考虑的射程问题前后呼应，使学生领略到数学源于实践又服务于实践的真谛．第二节 求曲线的参数方程一。
复习：1． 什么是曲线的参数方程？2． 样求曲线的参数方程：①建立坐标系，②选好适当的参数，与时间有关的运动物体，可以选择时间作为参数；旋转的物体，可以选择旋转角作为参数。
直线运动的物体可以把位移作为参数。
③把x,y 分别表示为参数t 的函数，并且联立。
二．几种常用曲线的参数方程1． 直线：是参数）t t y y tx x (sin cos 00⎩⎨⎧•+=•+=αα α为倾斜角，t 为动点M 离开定点M 0的位移，当t>0时，M 点在M 0的上方。
当t< 0时，M 点在M 0的下方。
当t=0时，M 点与M 0点重合。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ，表示过P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2)点的直线的参数方程，（但不包括P 2点）； {00(x x mt t y y nt =+=+为参数），是表示过P 0（x 0,y 0），mn tg k ==α的直线的参数方程； 当m 2+n 2=1,参数|t|表示动点M 离开定点M 0的距离。
m 2+n 2≠1，参数t 没有明确的几何意义。
2．圆：{00cos sin x x r y y r αα=+=+，（θ是参数）3.椭圆：为参数，表示离心角）θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x4．双曲线：为参数）θθθ(sec ⎩⎨⎧==btg y a x 例1：OA 是圆的直径，长是2a ，直线OB 与⊙交于M 1，与经过A 点的圆的切线交于B ，MM 1⊥OA ，MB ‖OA ，以O为原点，OA 方向为轴的正方向建立直角坐标系，求M 点的轨迹方程。
分析：点M 是随OM 1的变化而变化，∴设∠xoM 1=θ，θ为参数。
解：M 点的坐标为（x,y ）, 设∠xoM 1=θ，θ为参数。
x=OC=|OM 1|cos θ=|OA|cos θcos θ=2acos 2θ; y=AB=|OA|tg θ=2atg θ;M 点的参数方程是{22cos 2x a y atg θθ== 例2．求抛物线x 2=4y 的过焦点弦的中点的轨迹方程。
分析：过焦点弦的中点是与过焦点的直线的斜率k 有关，∴选过焦点的直线的斜率k 作为参数。
解：设过焦点的弦的中点M （x,y ）, 焦点坐标是（0，1），所在直线的斜率为k ，那么直线方程为y-1=kx,{214y kx x y =+=→x 2-4kx-4=0，由违达定理x 1+x 2=4k ，∴x=122x x +=2k ，代入y=kx+1中得y=2k 2+1∴过焦点的弦的中点的轨迹方程是{2221x k y k ==+例3．过M 点（2，-1），倾斜角为135°的直线与圆x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，求：① AB 的中点坐标；②|AM||BM|；③|AB|。