苏教数学必修一课件：第2章2.22.2.2函数的奇偶性

第2章函数

2. 2 函数的简单性质2. 2. 2 函数的奇偶性

知

1^嘗L

匚適知初探二

1.偶函数

一般地，设函数y二/⑴的定义域为A,如果对于任意的X&A,

都有_________ ,那么称函数丁=/匕)是偶函数.

2.奇函数

一般地，设函数y二/⑴的定义域为A,如果对于任意的x^A,

都有/(-%)=-»,那么称函数y=/[x)是奇函数.

3.奇偶性

如臬函数是奇函数或偶函数，我们就说函数_仏)具有奇偶性.

4.奇、偶函数的图象性质

(1)偶函数的图象关于型对称，图象关于乩对称的函数一定是偶函数.

(2)奇函数的图象关于竺对称，图象关于竺对称的函数

一定

是奇函数.

1 •思考辨析(正确的打7，错误的打“X”

(1)函数»=%的图象关于(0,0)对称.

⑵偶函数的图象-定与y轴相交.

(3)若对函数加)有犬一1)=/(1),则沧)为偶函数.

(4)奇函数的图象一定过(0,())・［答案］(1)7 (2)X (3)X (4)X

~3 ［易知a—2+5=0,

3」

一2,5］上的奇函数，则

3.己知加)“+加一4,其中a, b为常数,若犬―2)=2,则f(2)的值等于____ ・

3」

—10 [/(—2)=2,・：一8Q—2/?—4=2, ・：8a+2b=—6,・\/(2) =8a+2b—4= — 10.]

\类型ly函数奇偶性的判断

F严严护

【例1】⑴若函数加)的图象如图，则f(x)为奇”或“偶”或“非奇非偶”)扫码看微课

0 X

1 .

\类型ly

函数奇偶性的判断

(2)判断下列函数的奇偶性.

2

①加)=0

dXx）二寸4_#+肯_4.

(2)［解］①因为函数的定义域为(一8, 0)U(0, +°°),关于原点对称.

2

=?=»^所以函数/W是偶函数.

A

②定义域要求世:: 所以-1

所以加)的定义域不关于原点对称,

所以是非奇非偶函数.

<4-口,

『—420,

得圧{2, -2},定义域关于原点对称，且胆）=0, 所以他既是奇函数又是偶函数.

规律方法

判断函数奇偶性的方法(1)定义法

非奇非偶函数h―1I奇函软取偶函教

(2)图象法

若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.此法多用于选择题中

•

餌踪训练.

1.判断下列各函数的奇偶性.

/2+x

(1曲)丸-2)冷石

x+2(x<—1),

⑵他)」O(MW1),

r+2(x>l).

［解］(1)由得定义域为［-2,2),关于原点不对称，故

f⑴为非奇非偶函数.

(2)当虫一1时，加)=计2, 一%>1, ・\A_X)=_(_X)+2=X+2=/(X)；

当X>1时，/W=—x+2, -K—1,

f(_x)二_x+2=/U)；

当_1W X W］时，加)=0, _lW~xWl, f(-x)=O=/(i).

・：对定义域内的每个x都有犬一小二/⑴，因此加)

是偶函数・

隅?/'已知函数奇偶性求解析式

【例2】⑴已知妣)是R上的奇函数，当, 0)时,兀0 = -x(l+x),求妣)；

(2)若函数Ax)=x2+(m-l)x+3(xER)是偶函数,求加的值.

思路点拨：(1)己知;K0时的解析式，用奇偶性求兀＞0的解析式, 应通过(一兀)进行过渡，但别忽视兀=0的情况;(2)应用偶函数满足—m -

［解］(1)\»为R上的奇函数, ・・・no),

・/0)=0・

当xE(O, +8)时，一xG( —8, 0),

x)=x(i—%).

为R上的奇函数，

—血)=x(l_x),

・％)=_x(l_x).

_x( 1 +x), 综上可知，几x)=0，

—x(l—x),

x<0, x-O, x>0.

(2) \»为偶函数，

・\Ar)=M

即『一(加一1)兀+3=『+(加一l)x+3, /. 2(m—l)x=O.

VxER, .\m—1=0?得m—\.

［母題探究］

1.（变条件）若将⑴中的“奇函数”改为“偶函数且

加）=0” ,

求加）.

[解]设xG(0, +-),则一%e(-oo, 0), :-x)=-(-x)[l+(-%)] 又为偶函数，・説一x)=/(x),

_x(l+x), x<0, ・\An), %E(O, + 8).・\/w= o, x=o, x(l_x), x>0.

2.(变条件)若(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，求加的值.

［解］＞)=3,加0,无解.

规律方ii

1.本题易忽视定义域为R的条件，漏掉兀=0的情形.若函数恋)的定义域内含0且为奇函数，则必有/(0)=0.

2.利用奇偶性求解析式的思路

⑴在待求解析式的区间内设x,则一兀在已知解析式的

区间内；

(2)利用已知区间的解析式进行代入；

(3)利用/⑴的奇偶性，求待求区间上的解析式.

［探究问题］

1.观察图中的两个图象，说明这两个图象对应的函数具有何种奇偶

性？它们在y轴左右两侧的单调性相同吗？由此，我们可以得岀