导数学案(有答案)

3.1.1平均变化率

课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．

1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________．

2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy

Δx＝

f(x2)－f(x1)

x2－x1

的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象

上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________．

一、填空题

1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号)

①在[x0，x1]上的平均变化率；

②在x0处的变化率；

③在x1处的变化率；

④以上都不对．

2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________.

3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝

________.

4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________．

5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．

6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．

7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．

8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________．

二、解答题

9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．

能力提升

11.

甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？

12．函数f(x)＝x2＋2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x－3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值．

3.1.2 瞬时变化率——导数(二)

课时目标 1.知道导数的几何意义.2.用导数的定义求曲线的切线方程．

1．导数的几何意义

函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是：________________________________.

2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)；

(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．

一、填空题

1．曲线y ＝1

x

在点P(1,1)处的切线方程是________．

2．已知曲线y ＝2x 3上一点A(1,2)，则A 处的切线斜率为________． 3．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是____________． 4．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为______________．

5．曲线y ＝2x －x 3

在点(1,1)处的切线方程为________．

6．设函数y ＝f(x)在点x 0处可导，且f ′(x 0)>0，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处切线的倾斜角的范围是________．

7．曲线f(x)＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 点的坐标为______________．

8．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 二、解答题

9．已知曲线y ＝4

x

在点P(1,4)处的切线与直线l 平行且距离为17，求直线l 的方程．

10．求过点(2,0)且与曲线y ＝1

x

相切的直线方程．

能力提升

11．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．

1．利用导数可以解决一些与切线方程或切线斜率有关的问题．

2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0) (x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．

3.1.2 瞬时变化率——导数(一)

课时目标 1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．

1．瞬时速度的概念

作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫____________．

用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时，函

数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)

Δt

趋近于常数，我们这个常数称为

______________． 2．导数的概念

设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值Δy

Δx

＝

____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为______________________________，记作f ′(x 0)． 3．函数的导数

若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f ′(x)． 4．瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t 的导数，即v(t)＝________. 5．瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数，即a(t)＝________.

一、填空题

1．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．

2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)

Δx

的值为________．

3．一物体的运动方程是s ＝1

2

at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是________．

4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝3

2

处的瞬时变化率是________．

5．函数y ＝x ＋1

x

在x ＝1处的导数是________．

6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________. 7．曲线f(x)＝x 在点(4,2)处的瞬时变化率是________．

8．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________． 二、解答题

9．用导数的定义，求函数y ＝f(x)＝1

x

在x ＝1处的导数．