中心焦点判别与Liapunov 量

中心焦点判别与Liapunov 量

例4.8

⎩⎨⎧++='++-=')

()

(2

222y x ay x y y x ax y x 原点是非双曲奇点，不能通过线性近似方程的奇点类型来判断。这时线性近似方程的原点是

中心，是非双曲奇点。 而当a<0时，原点是稳定焦点；当a>0时，原点是不稳定焦点。可

见，对非双曲奇点的类型还要看高次项的性质。

上例表明线性方程的中心当方程加上高阶扰动项后可能变成焦点（称为细焦点），还有更复杂的情形，还可能变为中心焦点。因此当奇点是线性近似方程中心时，如何判断奇点类型，是一个十分困难的问题，称为中心焦点判别问题，至今仍是常微与动力系统研究中的一个难题。注意如果方程是解析的，则原点不可能是中心焦点。

当方程比较简单时，我们有可能通过Liapunov 函数判断稳定性的方法来判别中心焦点。当我们判断奇点是渐近稳定的，它一定是稳定焦点；我们判断它是不稳定的，则它一定是不稳定焦点。而当Liapunov 函数的等值线是环绕原点的封闭曲线，且沿方程的解的导数恒为零时，该奇点为中心。但当方程比较复杂时，找Liapunov 函数很困难，则判别中心焦点就很难了。读者可以从张芷芬等著“微分方程定性理论”中找到判别方法。我们下面介绍一种稍微容易的判别方法。

假设方程已经化为如下形式

⎩⎨

⎧+='+-=')

,()

,(y x g bx y y x f by x (4.６) 其中b>0, f,g 都是多项式并且它们的最低次项是不低于二次的项。我们可以尝试找形如

222

3

1(,)()(,)2

n

k

k F x y x y F

x y ==

++

∑的Liapunov 函数，其中(,)k F x y 是（x,y ）的k 次齐次

多项式，n 是某个正整数，使得在原点的一个小邻域中，

221

23

4.6(,)

()

(),0k k k k dF x y L x y o r

L dt

++=++≠（）

其中r =

0k L <时，原点是稳定焦点；当0k L >时，原点是不稳定焦点。

这里k L 称为方程（4.6）在原点处的第k 个Liapunov 量。如果所有的Liapunov 量都为零，则原点是方程(4.6)的中心（详见张芷芬等“微分方程定性理论”）。在应用中用第一个Liapunov 量判断稳定焦点或不稳定焦点是最常用的。通过细致的推导可得（见Perko 的书 differential

equations and dynamical systems ） 1L =

])()([161][16

1yy yy xx xx yy xx xy yy xx xy yyy xxy xyy xxx g f g f g g g f f f b

g g f f +-+-++

+++

其中2

2

x

f f xx ∂∂=

，其它类似。这个公式很难记忆。我们下面介绍一个简单的计算方法。令

iy x z += 。 方程(4.６)化为

)|(|4

3

2

z O z

z A biz z k

j k j jk ++

='∑

=+ (4.７)

对上述方程做适当的变换 k

j

k j jk u u B u z ∑

=++

=3

2

，(4.７)可化为

)|(|4221u O u u C biu u ++=' 再令θi re u =，上述方程化为

341

2

()()r L r O r b O r θ⎧'=+⎨'=+⎩

其中121

R e()L C = 。 因此，当10(0)L <> 时，原点是稳定焦点（不稳定焦点）。Wang(1993)给出了直接由（4.7）的系数计算1

L 的公式：当b>0时， 12120112

11R e()Im ()L A A A b

b

=- 。 (4.8) 实际上1~

L 与1L 符号相同，只差一个正的倍数。因此用于判断奇点的类型是一样的。我们都称它们为方程（4。6）在原点处的第一Liapunov 量（也可以称为焦点量）。

例4．9 223

232

'23'42x y x xy x y y y x xy y x xy

⎧=-+-++⎨=+--+⎩ 原点是非双曲奇点，需要做中心焦点判别。令,2x x

y y == ，则原方程化为 223

232

'24224'22(1/2)4x y x xy x y y y x xy y x xy

⎧=-+-++⎨=+--+⎩ 我们把上述方程化为复的形式，令,()/2,()/(2)z x iy x z z y z z i =+=+=-，则复方程为

2

2

3

2

2

3

13123914714949'22

2

2

16

16

16

16

i i i i i i i z iz z zz z z z z zz z +-=+

+

-

+

-

+

-

于是21212011

1/R e()1/Im ()1/160L b A b A A =-=-< ，原点是一个稳定焦点。

当方程的线性部分不是Jordan 标准形时，Wang(90)给出一个公式可以直接计算Liapunov 量。 该公式如下：

设00(,)x y 为方程