归结推理方法
归结推理方法(三)
归结推理⽅法(三)归结推理⽅法(三)引⼊新课:数理逻辑为知识的推理奠定了基础;基于⼀阶谓词逻辑的推理⽅法,是⼀种机械化的可在计算机上加以实现的推理⽅法。
⼀、命题逻辑命题逻辑和谓词逻辑是两种逻辑;对知识的形式化表⽰,特别是定理的⾃动证明发挥了重要作⽤。
谓词逻辑是在命题逻辑的基础上发展起来的。
命题逻辑可看作是谓词逻辑的⼀种特殊形式。
(⼀)命题定义1能够分辨真假的语句称作命题定义2⼀个语句如果不能再进⼀步分解成更简单的语句,并且⼜是⼀个命题,则称此命题为原⼦命题。
说明:(1)原⼦命题是命题中最基本的单位,⽤P,Q,R,…..⼤写拉丁字母表⽰。
⽽命题的真与假分别⽤“T”与“F”表⽰。
命题代表⼈们进⾏思维时的⼀种判断,或者是真。
或者是假,只有这两种情况。
若命题的意义为真,则记为T。
若命题的意义为假,则记为F。
(2)⼀般情况下,只有陈述句才可能是命题,因为只有陈述句才能分辨真假。
如“太阳从西边升起”、“雪是⽩⾊的”等等都是陈述句,⽽其他的⼀些句⼦如疑问句、祈使句、感叹句等均不能分辨其真假。
象这样的没有真假意义的句⼦就不是命题。
(3)并不是所有的陈述句都是命题;例如,“这个句⼦是假的”。
显然⽆法判断该语句的真假,这个语句不是命题。
(4)在有些情况下,要判断⼀个陈述句的真假,是需要⼀定条件的,即该陈述句在⼀种条件下,其逻辑值为真,但在另⼀种条件下,其逻辑值为假。
⽐如,“1+1=10”。
(5)⽤⼤写字母表⽰的命题既可以是⼀个特定的命题,也可以是⼀个抽象命题。
前者称为命题常量,后者称为命题变量。
对于命题变量,只有把确定的命题代⼊后,它才可能有明确的逻辑值(T或F)。
(⼆)命题公式连接词:在⽇常⽣活中,可以通过连接词将⼀些简单的陈述句组成较为复杂的语句,称为复合句。
较复杂的定义。
~:称为“⾮”或“否定”。
其作⽤是否定位于它后⾯的命题。
当命题P为真时,~P为假;当P 为假时,~P为真。
∨:称为“析取”。
它表⽰被它连接的两个命题具有“或”关系。
第二章归结推理方法
是由非空集合A,若干个定义在A上的运算f1, f2, …, fk所组成的系统,
记作< A, f1, f2, …, fk >
一个代数系统<S, *>,S是非空集合,*是定义在S上的二元
运算,则
若 * 是封闭的,则称代数系统 <S, *> 为广群 若 * 是封闭的,且是可结合的,则称为半群
含有么元的半群称为独异点
y是个体域中任一确定元素 y是个体域中某一确定元素 y是个体域中任一确定元素 y是个体域中某一确定元素
第二章 归结推理方法
定理证明
问题的形式化描述
命题逻辑,谓词逻辑
前提:A1, A2, …,An 求证结论 B
一般描述
形式推理举例:
前提:(1) 凡是大学生都学过计算机,(2) 小王是大学生。 求:小王学过计算机吗?
将原子命题分解为谓词和变元两部分
变元:谓词描述的对象
例 命题“5大于3”用谓词逻辑表示为
Greater(5, 3) 一般化:Greater (x, y) 定义为“x大于y”
第二章 归结推理方法
谓词
一阶谓词:
描述对象属性或属性间的关系
P(t1, t2, …, tn) n元谓词(包含n个变元)
第二章 归结推理方法
常用永真蕴含式(逻辑蕴涵式)
I1 P P Q,Q P Q I 2 P Q P,P Q Q I 3 P,P Q Q I 4 Q,P Q P I 5 P,P Q Q I 6 P Q,Q R P R I 7 P Q (Q R ) ( P R ) I 8 (P Q), ( R S ) P R Q S I 9 P Q,P R,Q R R I10 P,Q P Q 合取式 附加律 简化律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论
消解(归结)原理讲解
(1)取消“→”和“↔”连接词。
(x)(~ (y)P(x, y) ~ (y)(~ Q(x, y) R(x, y)))
(2)把“~”的辖域减少到最多只作用于一 个谓词。
(x)((y) ~ P(x, y) (y)(Q(x, y) ~ R(x, y)))
归结原理
要证明: C1∧C2 => C12,也就是要证明,使C1 和C2为真的解释I,也必使C12为真。
设I是使C1和C2为真的任一解释,若I下的P为真, 从而~P为假。由C2为真的假设可以推出必有 在I下C2’为真,故在I下,由于C12=C1’ ∨C2’ , 所以C12也为真。若在解释I下P为假,从而由 于假设C1为真,必有C1’为真,故在解释I下 C12=C1’ ∨C2’也必为真。于是我们得到如下定 理:
如果将谓词公式G的Skolem标准型前面的全 称量词全部消去,并用逗号(,)代替合 取符号,便可得到谓词公式G的子句集。 例如在上面的例子中已求得谓词公式G的 Skolem标准型,因而G的子句集S为
S {~ P(x, f (x)) Q(x, g(x)), ~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))}
不可满足意义下的一致性
例:设有谓词公式G= (x)P(x),说明G与Skolem标准型 并不等值。
设G的个体域为D={1,2},此时G=P(1) P(2). 设解释I:P(1)=F,P(2)=T,则在这一解释下G为T。 而G时的GSl=kFolem标准型Gl=P(a)(第一种情况),取a=1,这 导致G与其Skolem标准型(进而与子句集S)不等值的原
(5)全称量词移到左边,由于只有一个全称量 词,已在左边,所以不移。
(6)将母式化为合取范式。
(x)((~ P(x, f (x)) Q(x, g(x))) ((~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))))
归结推理方法
A2 : (u)(x)(y)(z)(s)(P(u,x, y,z, s) P(u y, x, y,z, add(b, s))) SA2 :~ P(u,x, y,z, s) P(u y, x, y,z, add(b, s))
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c.
((A)C)
A3 : (u)(x)(y)(z)(s)(P(u,x, y,z, s) P(u,x, y,u, st ore(c, s))) SA3 :~ P(u,x, y,z, s) P(u,x, y,u, st ore(c, s))
子句集 S={SA1,SA2,SA3,SA4,S~B}
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3.6 Herbrand定理
虽然公式G与其子句集S并不等值,但它们 在不可满足的意义下又是一致的。亦即,G是 不可满足的当且仅当S是不可满足的。(证明从略, 石纯一《AI原理》P17~20). 由于个体变量论域D的任意性,以及解释 的个数的无限性,对一个谓词公式来说,不可 满足性的证明是困难的。 如果对一个具体的谓词公式能找到一个较 简单的特殊的论域,使得只要在该论域上该公 式是不可满足的,便能保证在任何论域上也是 不可满足的,Herbrand域(简称H域)具有这 样的性质。
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解:
1) 引入谓词
P(x,y,z,s): 表示猴子位于x处,香蕉位于y处,梯子位于z处,状态 为s R(s): 表示s状态下猴子吃到香蕉 ANS(s): 表示形式谓词,只是为求得回答的动作序列而虚设的。
2) 引入状态转移函数
Walk(y, z, s): 表示原状态s下,在walk作用下,猴子从y走到z处 所建立的新状态。 Carry(y,z,s): 表示原状态s下,在Carry作用下,猴子从y搬梯子到 z处所建立的新状态。 Climb(s): 表示原状态s下,在Climb作用下,猴子爬上梯子所建 立的新状态。
命题逻辑归结法
命题逻辑归结法是一种用于判断命题之间是否逻辑等价的推理方法。
具体来说,它是通过将两个命题的否定命题应用于彼此的逻辑项,来判断它们是否可以转化为同一命题。
其基本步骤如下:
1.确定待判断的两个命题P和Q。
2.将命题P和Q转化为合取范式或析取范式。
3.对P和Q的合取范式或析取范式中的逻辑项进行编号,以区分
不同的逻辑项。
4.构造一个包含P和Q的集合S,并将S的否定命题取出,形成
一个新的集合S'。
5.遍历S和S'中的所有逻辑项,如果存在两个逻辑项分别出现在
S和S'中,且它们的逻辑关系相反,则将这两个逻辑项从S和
S'中删除,并加入一个新的逻辑项,该逻辑项是这两个逻辑项
的剩余部分。
6.重复步骤5,直到S和S'中不存在相同的逻辑项或者无法再进
行归结。
7.若最终S和S'中均不包含任何逻辑项,则P和Q是逻辑等价
的;否则,它们不是逻辑等价的。
命题逻辑归结法是一种常用的推理方法,它可以应用于计算机科学、人工智能、自然语言处理等领域。
使用归结演绎推理证明g是f1f2的逻辑结论
使用归结演绎推理证明g是f1f2的逻辑结论
一、引言
在数学中,归结演绎推理是一种绐理推理形式,它可以从一组已知条件来证明一个逻辑结论,比如证明g是f1f2的逻辑结论。
这种推理方式可以从给定的任务开始,把已知的事实以演绎的方式,一步步递进下去来证明要证明的结论,给出一系列反证考虑,最终达到“全部正确”的地步,则认为结论可以得到证明。
因此本文旨在全面阐述归结演绎推理证明g是f1f2的逻辑结论。
二、归结演绎推理的基本原理
1. 定义
归结演绎推理是一种解决问题逻辑处理的重要方法,它从一组已知条件出发,连续推出一个或者多个逻辑结论,从而达到把复杂问题变为简单问题的目的。
2. 演绎法的顺序
演绎法顺序主要有三个:首先说明要证明的结论,然后说明各个具体步骤,再将每一步前后的理由相连起来,最后得出结论。
三、对g是f1f2的逻辑结论证明的演绎步骤
1. 首先,假设f1f2的逻辑结论是g,即:g=f1f2。
2. 接着,将f1f2以逻辑表达式的形式表示出来,形如:g1=f1,g2=f2。
3. 比较g1和g2,易知f1要满足g1的条件,而f2要满足g2的条件,而且两个条件一定会同时成立。
4. 因此,可以知道若f1、f2同时满足自身的要求g1、g2,则g也必定成立,所以已有结论g=f1f2得到证明。
五、结论
本文简要介绍了归结演绎推理的基本原理及其在证明g是f1f2的逻辑结论问题上的应用,即f1,f2同时满足自身的要求g1,g2,则g也必定成立,其应用过程也被简要介绍出来,经过一系列的反证思考,最终达到全部正确的地步,结果得出结论g=f1f2。
可见,归结演绎推理是一种有效明确的方法,可以有效地解决一些复杂的逻辑问题。
人工智能第三章归结推理方法
Y
失败退出
成功退出
逆向推理的流程图
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逆向推理
对上例,采用逆向推理,其推理过程如下: 推理开始前,综合数据库和假设集均为空。 推理开始后,先将初始证据A和目标C分别 放入综合数据库和假设集,然后从假设集中取 出一个假设C,查找C是否为综合数据库中的 已知事实,回答为“N”。 再检查C是否能被知识库中的知识所导出, 发现C可由r1 导出,于是r1 被放入可用知识集。 由于知识库中只有r1可用,故可用知识集中仅 含r1。
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正向推理
正向推理是从已知事实出发、正向使用推理规 则,亦称为数据驱动推理或前向链推理。 算法描述 (1) 把用户提供的初始证据放入综合数据库; (2) 检查综合数据库中是否包含了问题的解, 若已包含,则求解结束,并成功推出;否则执 行下一步; (3) 检查知识库中是否有可用知识,若有,形 成当前可用知识集,执行下一步;否则转(5)。
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推理的控制策略
推理过程不仅依赖于所用的推方法,同时也依 赖于推理的控制策略。 推理的控制策略是指如何使用领域知识使推理 过程尽快达到目标的策略。
控制策略的分类:由于智能系统的推理过程一 般表现为一种搜索过程,因此,推理的控制策 略可分为推理策略和搜索策略。
推理策略:主要解决推理方向、冲突消解等问 题,如推理方向控制策略、求解策略、限制策 略、冲突消解策略等
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正向推理
正向推理的主要优点
比较直观,允许用户主动提供有用的事实信息, 适合于诊断、设计、预测、监控等领域的问题求 解。 正向推理的主要缺点
推理无明确目标,求解问题是可能会执行许多 与解无关的操作,导致推理效率较低。
人工智能第三章归结推理方法
人工智能第三章归结推理方法
第三章主要讨论归结推理方法,归结推理方法是人工智能领域中的一种重要技术。
归结推理是一种推理过程,它从一个给定的知识库出发,将给定的输入推断,得出想要的结果。
归结推理是一种推断过程,它把已有的规则和数据应用到新的数据中,来解决新问题。
归结推理可以从三个层面来分析:
1.处理模型
在归结推理中,首先要建立一个处理模型,这个模型是一种结构,它描述了归结推理的步骤,以及归结推理过程中用到的数据和知识。
2.知识表示
归结推理过程是基于知识库,而知识的表示是归结推理中最重要的环节。
知识的表示是一种在计算机中存储、表示和管理数据的方法,它决定了归结推理过程中的正确性和性能。
3.推理机制
推理机制是归结推理过程中,根据已有的输入,对知识进行推理以及解决问题的一种机制。
它可以把归结推理分为计算环节和决策环节,从而实现和可靠的知识表示,实现更精确的推理过程。
基于上述三个层面,归结推理方法可以有效的解决知识表示、理解和存储问题,实现可靠的推理过程,从而解决复杂的问题。
人工智能原理教案02章 归结推理方法2.4 归结原理
2.4 归结原理本节在上节的基础上,进一步具体介绍谓词逻辑的归结方法。
谓词逻辑的归结法是以命题逻辑的归结法为基础,在Skolem 标准性的子句集上,通过置换和合一进行归结的。
下面先介绍一些本节中用到的必要概念:一阶逻辑:谓词中不再含有谓词的逻辑关系式。
个体词:表示主语的词谓词:刻画个体性质或个体之间关系的词量词:表示数量的词个体常量:a,b,c个体变量:x,y,z谓词符号:P,Q,R量词符号:,归结原理正确性的根本在于,如果在子句集中找到矛盾可以肯定命题是不可满足的。
2.4.1 合一和置换置换:置换可以简单的理解为是在一个谓词公式中用置换项去置换变量。
定义:置换是形如{t1/x1, t2/x2, …, t n/x n}的有限集合。
其中,x1, x2, …, x n是互不相同的变量,t1, t2, …, t n是不同于x i的项(常量、变量、函数);t i/x i表示用t i置换x i,并且要求t i与x i不能相同,而且x i不能循环地出现在另一个t i中。
例如{a/x,c/y,f(b)/z}是一个置换。
{g(y)/x,f(x)/y}不是一个置换,原因是它在x和y之间出现了循环置换现象。
置换的目的是要将某些变量用另外的变量、常量或函数取代,使其不在公式中出现。
但在{g(y)/x,f(x)/y}中,它用g(y)置换x,用f(g(y))置换y,既没有消去x,也没有消去y。
若改为{g(a)/x,f(x)/y}就可以了。
通常,置换用希腊字母θ、σ、α、λ来表示的。
定义:置换的合成设θ={t1/x1, t2/x2, …, t n/x n},λ={u1/y1, u2/y2, …, u n/y n},是两个置换。
则θ与λ的合成也是一个置换,记作θ·λ。
它是从集合{t1·λ/x1, t2·l/x2, …, t n·λ/x n, u1/y1, u2/y2, …, u n/y n}即对ti先做λ置换然后再做θ置换,置换xi中删去以下两种元素:i. 当t iλ=x i时,删去t iλ/x i(i = 1, 2, …, n);ii. 当y i∈{x1,x2, …, x n}时,删去u j/y j(j = 1, 2, …, m)最后剩下的元素所构成的集合。
第四章归结推理方法
第四章归结推理方法
归结推理方法是推断和推理过程中非常重要的一种方法,它可以帮助学习者把已有的知识和经验运用在新的情况中。
简而言之,它就是把总的结论推导出更精确的结论。
归结推理的原理很简单:从一般的结论得出具体的结论。
可以说从一般原理中“抽离”出具体的结论。
那么,归结推理具体指的是什么呢?它指的是从具体的经历、观察和思考的结果推导出一般性的结论,然后再从这些结论推导出新的具体的结论,最后得出最终的结论。
归结推理的步骤主要有三个:首先,从具体的观察或经验中归纳出一般原理;其次,根据这些一般原理,以及其他相关的原理和知识系统,推出一般结论;最后,继续推出新的具体结论。
归结推理的结果总是以一般结论作为起点,以更为具体的结论作为终点。
它可以帮助我们提取出更多的知识,找出更深层的原因,并从中得到更准确的结论。
归结推理的过程很简单,但也需要一定的观察和思考能力,如果可以认知到这一点,就可以更好地利用这一推理方法。
在实践中,归结推理方法可以帮助我们提取出更多的知识,分析问题的原因,提出更有效的解决方案。
第三章 归结推理
谓词归结子句形
G = G1Λ G2Λ G3Λ …Λ Gn 的子句形
G的字句集可以分解成几个单独处理。 有 SG = S1 U S2 U S3 U …U Sn 则SG 与 S1 U S2 U S3 U …U Sn在不可满足得意义上 是一致的。 即SG 不可满足 <=> S1 U S2 U S3 U …U Sn不可满足
命题逻辑的归结法
归结式
消除互补对,求新子句→得到归结式。 如子句:
C1=L∨C1’ C2=(~L) ∨C2’ 则归结式C为: C=C1’ ∨C2’
注意:C1ΛC2 →C , 反之不一定 不一定成立。 定理: 子句集S={C1, C2, …, Cn}与子句集 S1={C, C1, C2, …, Cn}的不可满足性是等价的。其中,C是C1和 C2的归结式。
线性归结完备线性归结策略首先从子句集中选取一个称作顶子句的子立即同另一子句b进行归结得归结式ci1属于s或是已出现的归结式cj完备单元归结策略要求在归结过程中每次归结都有一个子句是单元子句只含一个文字的子句或单元因子
谓词逻辑与归结原理
概述 命题逻辑的归结法 谓词归结子句形 归结原理
概述
归结原理由J.A.Robinson由1965年提出。
命题逻辑基础
基本等值式(1) 摩根率: ~ (p∨q) <=> ~ p Λ ~ q ; ~ (p Λq) <=> ~ p ∨ ~ q 吸收率: p∨(pΛq ) <=> p ; p Λ(p∨q ) <=> p 同一律: p∨0 <=> p ; pΛ1 <=> p 蕴含等值式:p → q <=> ~ p∨q 假言易位式: p → q <=> ~ p → ~ q
归结原理简单概述
归结原理简单概述
归结原理是一种推理规则。
归结原理是一种推理规则。
从谓词公式转化为子句集的过程中看出,在子句集中子句之间是合取关系,其中只要有一个子句不可满足,则子句集就不可满足。
若一个子句集中包含空子句,则这个子句集一定是不可满足的。
归结原理就是基于这一认识提出来的。
他的原理就是:
P->Q,Q->R 则P->R
由于P->Q 就是¬P∨Q
而Q->R 就是¬Q∨R
所以,他相当于将Q 和¬Q合并。
也就是说,
P∨{∑1} 与~P∨{∑2}
可以归结为{∑1}∨{∑2}
其中∑1,∑2是文字的集合
一种归结技术
当外加上完备的查找算法的时候,归结规则生成一个可靠的和完备的算法来决定命题公式的可满足性,并且经过扩展,决定句子在一组公理下的有效性。
这种归结技术使用反证法,并基于在命题逻辑中的任何句子都能转换成等价的合取范式句子的事实。
人工智能原理教案02章 归结推理方法2.5 归结过程控制策略
2.5归结过程控制策略从命题逻辑和谓词逻辑的归结方法中我们可以看出,当使用归结法时,若从子句集S出发做所有可能的归结,并将归结式加入S中,再做第二层这样的归结,…直到产生空子句的这种盲目的全面归结的话,同样会产生组合爆炸问题。
这种无控制的盲目全面归结导致大量的不必要的归结式的产生,严重的是,它们又将产生下一层的更大量的不必要的归结式的产生。
于是,如何给出控制策略,以使系统仅选择合适的子句对其做归结来避免多余不必要的归结式的出现,或者说少做些归结但仍然导出空子句来,这已经成为一个重要的问题。
归纳起来,归结过程策略控制的要点如下:a)要解决的问题:归结方法的知识爆炸。
b)控制策略的目的:归结点尽量少c)控制策略的原则:删除不必要的子句,或对参加归结的子句做限制d)给出控制策略,以使仅选择合适的子句对其做归结。
避免多余的、不必要的归结式出现。
2.5.1删除策略归类:设有两个子句C和D,若有置换σ使得CσD成立,则称子句C把子句D归类。
画外音:可以理解为,由于小的可以代表大的,所以小的吃掉大的了。
若对S使用归结推理过程中,当归结式C j是重言式和Cj j被S中子句和子句集的归结式C i(i<j)所归类时,便将C j 删除。
这样的推理过程便称做使用了删除策略的归结过程。
删除策略的主要想法是:归结过程在寻找可归结子句时,子句集中的子句越多,需要付出的代价就会越大。
如果在归结时能把子句集中无用的子句删除掉,就会缩小搜索范围,减少比较次数,从而提高归结效率。
删除策略对阻止不必要的归结式的产生来缩短归结过程是有效的。
然而要在归结式C j产生后方能判别它是否可被删除,这部分计算量是要花费的,只是节省了被删除的子句又生成的归结式。
尽管使用删除策略的归结,少做了归结但不影响产生空子句,就是说删除策略的归结推理是完备的。
删除策略=>完备;但是,完备的归结推理采用删除策略不一定都有效。
删除策略是完备的意思是,采用归结策略进行的归结过程没有破坏归结法的完备性。
人工智能原理教案02章归结推理方法2.3谓词逻辑归结法基础
2.3 谓词逻辑归结法基础由于谓词逻辑与命题逻辑不同,有量词、变量和函数,所以在生成子句集之前要对逻辑公式做处理,具体的说就是要将其转化为Skolem 标准形,然后在子句集的基础上再进行归结,虽然基本的归结的基本方法都相同,但是其过程较之命题公式的归结过程要复杂得多。
过程要复杂得多。
本节针对谓词逻辑归结法介绍了Skolem 标准形、子句集等一些必要的概念和定理。
一些必要的概念和定理。
2.3.1 Skolem 标准形Skolem 标准形的定义:标准形的定义: 前束范式中消去所有的存在量词,则称这种形式的谓词公式为Skolem 标准形,任何一个谓词公式都可以化为与之对应的Skolem 标准形。
但是,Skolem 标准形不唯一。
标准形不唯一。
前束范式:A 是一个前束范式,如果A 中的一切量词都位于该公式的最左边(不含否定词),且这些量词的辖域都延伸到公式的末端。
式的末端。
Skolem 标准形的转化过程为,依据约束变量换名规则,首先把公式变型为前束范式,然后依照量词消去原则消去或者略去所有量词。
具体步骤如下:所有量词。
具体步骤如下:将谓词公式G 转换成为前束范式转换成为前束范式前束范式的形式为:前束范式的形式为:(Q 1x 1)(Q 2x 2)…(Q n x n )M(x 1,x 2,…,x n )即:即: 把所有的量词都提到前面去。
把所有的量词都提到前面去。
注意:由于所有的量词的辖域都延伸到公式的末端,即,最左边量词将约束表达式中的所有同名变量。
所以将量词提到公式最前端时存在约束变量换名问题。
要严守规则。
最前端时存在约束变量换名问题。
要严守规则。
约束变量换名规则:约束变量换名规则:(Qx ) M (x ) (Qy ) M (y )(Qx ) M (x,z ) (Qy )M (y,z ) 量词否定等值式:量词否定等值式:~(x ) M (x ) (y ) ~ M (y )~(x ) M (x ) (y ) ~M (y ) 量词分配等值式:量词分配等值式:(x )( P (x ) ∧Q (x ))(x ) P (x ) ∧ (x ) Q (x ) (x )( P (x ) ∨ Q (x )) (x ) P (x ) ∨ (x ) Q (x )消去量词等值式:设个体域为有穷集合(a1, a2, …an )(x ) P (x ) P (a1) ∧ P (a2) ∧…∧ P (an ) (x ) P (x ) P (a1) ∨ P (a2) ∨… ∨ P (an ) 量词辖域收缩与扩张等值式:量词辖域收缩与扩张等值式:( x )( P (x ) ∨Q) ( x ) P (x ) ∨ Q (x )( P (x ) ∧Q) ( x ) P (x ) ∧ Q (x )( P (x )→ Q) (x ) P (x ) → Q (x )( Q → P (x ) ) Q → (x ) P (x )(x )( P (x ) ∨Q) (x ) P (x ) ∨ Q (x )( P (x ) ∧Q) (x ) P (x ) ∧ Q (x )( P (x )→ Q) (x ) P (x ) → Q (x )( Q → P (x )) Q → (x ) P (x )消去量词量词消去原则: 1) 消去存在量词"",即,将该量词约束的变量用任意常量(a, b 等)、或全称变量的函数(f(x), g(y)等)代替。
人工智能 一般搜索原理---归结原理
第九讲一般搜索原理----归结反演求解
例8 S={p∨q, ∼p∨q, p∨ ∼ q, ∼p∨∼q}
解:选顶子句C0= p∨q (1)p∨q 归结式: (2)∼p∨q (5) q (1)(2) (3) p∨∼q (6) p (3)(5) (4) ∼p∨∼q (7) ∼q (4)(6) (8) nil (6)(7)
第八讲一般搜索原理----归结原理
1.归结推理规则 设有两子句:c1=p∨c1’ c2= ~ p∨c2’ 从中消去互补对p和~ p,所得的新子句: R(c1, c2)= c1’ ∨ c2’ 称为子句c1,c2的归结式.
第八讲一般搜索原理----归结原理
例子: 假言推理:s={p, ~ p∨q} 归结式: q 合并推理 : s={p ∨q, ~ p∨q} 归结式: q 重言式: s={p ∨q, ~ p∨ ~ q} 归结式: p ∨ ~ p q∨~q 空子句: s={p, ~ p} 归结式: nil 三段式: s={~ p ∨q, ~ q∨r} 归结式: ~ p ∨r p→r
归结反演树
第九讲一般搜索原理----归结反演求解
三.归结反演求解
从归结反演中求取对某个问题的解答称反演求解. 若把归结反演过程用一棵反演树表示,答案求取需要将 一棵根部有nil的反演树变换为在根部带有可用作答案 的某一个语句的一棵证明树. 步骤:
(1)把由目标公式的否定产生的每个子句添加到目标公式否定之否 定的子句中. (2)按照反演树,执行和以前相同的归结,直到在根部得到某个子句 为止. (3)用根部的子句作为一个回答语句.
第九讲一般搜索原理----归结反演求解
例2 如果无论John到哪里去,Fido也就去哪里,那 么如果John在school,Fido在school吗? 解: 前提公式集 ∀(x)[AT(John,x)→AT(Fido,x)] 化为子句:∼ AT(John,x) ∨ AT(Fido,x) AT(John,school) 目标公式∃(x)AT(Fido,x) 否定目标: ∼ AT(Fido,x)
人工智能原理教案02章 归结推理方法2.2 命题逻辑的归结
2.2 命题逻辑的归结2.2.1 命题逻辑基础逻辑可分为经典逻辑和非经典逻辑,其中经典逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑。
归结原理是一种主要基于谓词(逻辑)知识表示的推理方法,而命题逻辑是谓词逻辑的基础。
因此,在讨论谓词逻辑之前,先讨论命题逻辑的归结,便于内容上的理解。
本节中,将主要介绍命题逻辑的归结方法,以及有关的一些基础知识和重要概念,如数理逻辑基本公式变形、前束范式、子句集等。
描述事实、事物的状态、关系等性质的文字串,取值为真或假(表示是否成立)的句子称作命题。
命题:非真即假的简单陈述句在命题逻辑里,单元命题是基本的单元或作为不可再分的原子。
下面所列出的是一些基本的数理逻辑公理公式和一些有用的基本定义,如合取范式、子句集,这些公式和定义在归结法的推理过程中是必不可少的,也是归结法的基础,应该熟练掌握。
-数理逻辑的基本定义下面所列的是一些数理逻辑中重要的定义,在后面的分析中要用到:·合取式:p与q,记做p ∧q·析取式:p或q,记做p ∨q·蕴含式:如果p则q,记做p → q·等价式:p当且仅当q,记做p q·若A无成假赋值,则称A为重言式或永真式;·若A无成真赋值,则称A为矛盾式或永假式;·若A至少有一个成真赋值,则称A为可满足的;·析取范式:仅由有限个简单合取式组成的析取式·合取范式:仅由有限个简单析取式组成的合取式-数理逻辑的基本等值式下面这些基本的等式在归结原理实施之前的公式转化过程中是非常重要的。
只有将逻辑公式正确转换成为归结原理要求的范式,才能够保证归结的正常进行。
·交换律:p∨q q ∨p ;p ∧q q ∧p·结合律:(p∨q) ∨r p∨(q ∨r);(p ∧q) ∧r p ∧(q ∧r)·分配律:p∨(q ∧r) (p∨q)∧(p ∨r) ;p ∧(q ∨r) (p ∧q) ∨(p ∧r)·双重否定律:p ~~p·等幂律:p p∨p;p p∧p·摩根律: ~(p∨q) ~p ∧~q ;~(p ∧q) ~p ∨~q·吸收律: p∨(p∧q ) p ;p ∧(p∨q ) p·同一律: p∨0 p ;p∧1 p·零律:p∨1 1p∧0 0·排中律:p∨~p 1·矛盾律:p∧~p 0·蕴含等值式:p → q ~p∨q·等价等值式:p q (p → q)∧(q → p)·假言易位式: p → q ~p → ~q·等价否定等值式:p q ~p~q·归谬论:(p → q)∧(p → ~q) ~p-合取范式范式:范式是公式的标准形式,公式往往需要变换为同它等价的范式,以便对它们作一般性的处理。
简述归结演绎推理的基本原理
简述归结演绎推理的基本原理
归结演绎推理是一种基于逻辑的推理方法,其基本原理是通过寻找两个假设的矛盾,从而得出一个结论。
具体步骤如下:
1. 归结:首先,将问题的前提和待求解的目标转化为逻辑表达式,且将其转换为逻辑语句的否定形式。
2. 归结规则:根据归结演算的规则,对逻辑语句应用归结规则,将其转化为一个新的逻辑语句。
3. 归结过程:通过不断应用归结规则,将逻辑语句归结为矛盾语句,即找到一个逻辑语句和其否定形式互为矛盾。
4. 得出结论:如果找到了矛盾语句,则说明原始问题是无解的,否则,根据矛盾语句的表达形式,可以得出结论。
归结演绎推理的基本原理是基于逻辑的矛盾,通过不断的应用归结规则,将问题化简为一个矛盾语句,从而得出结论。
这个推理过程类似于数学中的反证法,通过假设的否定形式来推导出矛盾的结果从而证明原假设的不成立。
比较自然演绎推理和归结演绎推理
比较自然演绎推理和归结演绎推理比较自然演绎推理和归结演绎推理自然演绎推理和归结演绎推理是两种常见的逻辑推理方式。
在日常生活中,我们经常需要进行逻辑思考,因此了解这两种推理方式的特点和应用场景对于提高我们的思考能力和解决问题能力非常有帮助。
本文将对自然演绎推理和归结演绎推理进行详细的比较分析。
一、自然演绎推理1.定义自然演绎推理是指根据已知前提,通过逻辑关系进行“顺着想”的过程,从而得出结论的一种逻辑思维方式。
它是人们在日常生活中最为普遍使用的一种逻辑推理方式。
2.特点(1)基于直觉:自然演绎推理是基于个人直觉的,不需要过多地考虑证明或者证据。
(2)顺着想:在自然演绎推理中,人们会根据已知前提进行“顺着想”的过程,从而得出结论。
(3)缺乏严密性:由于没有严格的证明过程,因此自然演绎推理容易受到主观因素的影响,存在一定的不确定性。
3.应用场景自然演绎推理适用于日常生活中一些简单的问题,例如判断某个人是否说谎、判断某个事物是否符合常理等。
二、归结演绎推理1.定义归结演绎推理是指通过将问题转化为一个更加简单的形式,从而得出结论的一种逻辑思维方式。
它是人们在处理复杂问题时经常使用的一种逻辑推理方式。
2.特点(1)基于证明:归结演绎推理需要进行证明过程,因此具有较高的严密性。
(2)转化问题:在归结演绎推理中,人们会将原始问题转化为一个更加简单易懂的形式,并通过证明来得出结论。
(3)较高的可靠性:由于需要进行证明过程,因此归结演绎推理具有较高的可靠性和确定性。
3.应用场景归结演绎推理适用于处理复杂问题,并且需要进行严格证明过程的场景。
例如,在数学、物理等领域中,人们经常使用归结演绎推理来解决复杂问题。
三、自然演绎推理和归结演绎推理的比较1.思维方式不同自然演绎推理是基于个人直觉的思考方式,而归结演绎推理则是基于严谨证明的思考方式。
因此,两者的思维方式存在很大的差异。
2.适用场景不同自然演绎推理适用于日常生活中一些简单的问题,例如判断某个人是否说谎、判断某个事物是否符合常理等。
逻辑推理中的归结原理和归纳推理方法
逻辑推理中的归结原理和归纳推理方法逻辑是一门研究思维规律和推理方式的学科,它在科学研究、哲学思考以及日常生活中都扮演着重要的角色。
在逻辑推理中,归结原理和归纳推理方法是两个重要的概念,它们分别从不同的角度帮助我们理解和运用逻辑。
归结原理是一种逻辑推理方法,它通过将问题化简为更简单的形式来解决复杂的问题。
这个方法的核心思想是将问题中的各个元素进行归纳总结,然后通过推理和演绎得出结论。
例如,在解决一个复杂的数学问题时,我们可以将问题分解为一系列更简单的子问题,然后逐步解决这些子问题,最终得出整体的解答。
这种归纳和推理的过程可以帮助我们理清思路,找到解决问题的关键。
与归结原理相对应的是归纳推理方法。
归纳是一种从特殊到一般的推理方式,它通过观察和总结个别事实或现象,得出一般性的结论。
归纳推理是一种常见的思维方式,我们在日常生活中经常使用。
例如,当我们看到一只鸟是黑色的,然后看到另一只鸟也是黑色的,我们就可以推断出所有鸟都是黑色的。
这种从个别到一般的推理方式,帮助我们在面对复杂的信息时,快速总结和归纳出一般性的规律。
归结原理和归纳推理方法在逻辑推理中都起到了重要的作用,但它们又有着不同的应用场景和方法。
归结原理主要用于解决复杂的问题,通过将问题化简为更简单的形式来进行推理。
而归纳推理方法则更适用于总结和归纳一般性的规律,通过观察和总结个别事实或现象来得出结论。
在实际应用中,我们可以根据问题的性质和需求来选择合适的推理方法。
如果我们面临的是一个复杂的问题,可以尝试使用归结原理将问题化简为更简单的形式,然后逐步解决。
而如果我们需要总结和归纳一般性的规律,可以使用归纳推理方法来观察和总结个别事实或现象。
总之,逻辑推理中的归结原理和归纳推理方法是两个重要的概念,它们帮助我们理清思路,解决问题。
归结原理通过将问题化简为更简单的形式来进行推理,而归纳推理方法则通过观察和总结个别事实或现象来得出一般性的结论。
在实际应用中,我们可以根据问题的性质和需求来选择合适的推理方法,以便更好地解决问题和理解逻辑。
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谓词归结原理基础
量词辖域收缩与扩张等值式:
–( x )( P(x) ∨ Q) <=> ( x ) P(x) ∨ Q
–( x )( P(x) ∧ Q) <=> ( x ) P(x) ∧ Q
–( x )( P(x) → Q) <=> ( x ) P(x) → Q –( x )(Q → P(x) ) <=>Q → ( x ) P(x) –( x )( P(x) ∨ Q) <=> ( x ) P(x) ∨ Q
归结式:R(C1, C2) = C1ΛC2
注意:C1ΛC2 → R(C1, C2) , 反之不一 定成立。
命题逻辑的归结法
• 归结过程
– 将命题写成合取范式 – 求出子句集 – 对子句集使用归结推理规则 – 归结式作为新子句参加归结 – 归结式为空子句□ ,S是不可满足的(矛盾),原
命题成立。
•(证明完毕) • 谓词的归结:除了有量词和函数以外,其余和
(1)x(R(x) → P(x)),
其中,R(x)表示x是人;P(x)表示x是要死的。
(2)x(R(x) ∧ Q(x)),
其中,R(x)表示x是人;Q(x)表示x活到一百岁以上。
谓词归结原理基础
量词否定等值式:
–~( x ) M(x) <=> ( y ) ~ M(y) –~( x ) M(x) <=> ( y ) ~ M(y)
第三章 归结推理方法
• 概述 • 命题逻辑的归结法 • 谓词归结子句形 • 归结原理 • 归结过程的策略控制 • Herbrand定理
命题逻辑的归结法
• 命题逻辑基础: 定义: – 合取式:p与q,记做p ∧ q – 析取式: p或q,记做p ∨ q – 蕴含式: 如果p则q,记做p → q
– 等价式:p当且仅当q,记做p <=> q
量词分配等值式:
– ( x )( P(x) ∧ Q(x)) <=> ( x ) P(x) ∧ ( x ) Q(x) – ( x )( P(x) ∨ Q(x)) <=> ( x ) P(x) ∨ ( x ) Q(x)
消去量词等值式:设个体域为有穷集合(a1, a2, …an)
– ( x ) P(x) <=> P( a1 ) ∧ P( a2 ) ∧ … ∧ P( an ) – ( x )P(x) <=> P( a1 ) ∨ P( a2 ) ∨ … ∨ P( an )
– 量词符号: ,
谓词归结原理基础
• 例如:(1)所有的人都是要死的。
•
(2) 有的人活到一百岁以上。
在个体域D为人类集合时,可符号化为:
(1)xP(x),其中P(x)表示x是要死的。
(2)x Q(x), 其中Q(x)表示x活到一百岁以上。
在个体域D是全总个体域时,
引入特殊谓词R(x)表示x是人,可符号化为:
例如: • 1. “如果我进城我就去看你,除非我很累。”
设:p,我进城,q,去看你,r,我很累。 则有命题公式:~r → (p → q)。 • 2.“应届高中生,得过数学或物理竞赛的一等 奖, 保送上北京大学。” 设:p,应届高中生,q,保送上北京大学上学, r,是得过数学一等奖。t,是得过物理一等奖。
命题例
• 命题:能判断真假(不是既真又假)的陈述句。
简单陈述句描述事实、事物的状态、关系等性质。 例如:1. 1+1=2
• 2. 雪是黑色的。 • 3. 北京是中国的首都。 • 4. 到冥王星去渡假。 判断一个句子是否是命题,有先要看它是否是陈述句,而后看它的真值是 否唯一。以上的例子都是陈述句,第4句的真值现在是假,随着人类科 学的发展,有可能变成真,但不管怎样,真值是唯一的。因此,以上4 个例子都是命题。 而例如:1. 快点走吧! 2. 到那去? 3. x+y>10 等等句子,都不是命题。
则有命题公式公式:p ∧ ( r ∨t ) → q。
命题逻辑的归结法
• 基本单元:简单命题(陈述句) 例:
命题: A1、A2、A3 和 B 求证: A1ΛA2ΛA3成立,则B成立, 即:A1ΛA2ΛA3 → B 反证法:证明A1ΛA2ΛA3Λ~B 是矛盾式
(永假式)
命题逻辑的归结法
• 建立子句集
1. 合取范式:命题、命题和的与, 如: P ∧ ( P∨Q) ∧ ( ~P∨Q)
2.子句集S:合取范式形式下的子命题(元 素)的集合
例:命题公式:P ∧ ( P∨Q) ∧ ( ~ P∨Q) 子句集 S:S = {P, P∨Q, ~P∨Q}
命题逻辑的归结法
3. 归结式
消除互补对,求新子句→得到归结式。 如子句:C1, C2,
~(~Q → ~P)= ~(Q∨~P) = ~Q ∧ P 两项合并后化为合取范式: (~P ∨ Q)∧~Q ∧ P (3)则子句集为:
{ ~P∨Q,~Q,P}
命题逻辑归结例题(2)
子句集为: { ~P∨Q,~Q,P}
(4)对子句集中的子句进行归结可得:
• 1. ~P∨Q
• 2. ~Q
• 3. P
• 4. Q,
(x)(y)P(a, x, y) ∨(x) ((y)Q(y, b)∨R(x)) – 第三步,变元易名,得
(x)((y)P(a, x, y) ∨(u) ( v)(Q(v, b) ∨R(u)) – 第四步,存在量词左移,直至所有的量词移到前面,得:
(x) (y) (u) ( v)P(a, x, y) ∨(Q(v, b) ∨R(u)) 由此得到前述范式
谓词归结子句形( Skolem 标准形)
即: 把所有的量词都提到前面去,然 后消掉所有量词 (Q1x1)(Q2x2)…(Qnxn)M(x1,x2,…,xn)
约束变项换名规则:
–(Qx ) M(x) <=> (Qy ) M(y) –(Qx ) M(x,z) <=> (Qy ) M
(y,z)
谓词归结子句形( Skolem 标准形)
• 概述 • 命题逻辑的归结法 • 谓词归结子句形 • 归结原理 • 归结过程的策略控制
概述
• 归结原理由J.A.Robinson由1965年提出。
– 与演绎法(deductive inference)完全不同,新的逻辑 演算(inductive inference)算法。
– 一阶逻辑中,至今为止的最有效的半可判定的算法。 即,一阶逻辑中任意恒真公式,使用归结原理,总 可以在有限步内给以判定。
谓词归结原理基础
一阶逻辑
• 基本概念
– 个体词:表示主语的词 – 谓词:刻画个体性质或个体之间关系
的词 – 量词:表示数量的词
谓词归结原理基础
•
小王是个工程师。
•
8是个自然数。
•
我去买花。
•
小丽和小华是朋友。
其中,“小王”、“工程师”、“我”、“花”、“8”、
“小丽”、“小华”都是个体词,而“是个工程师”、
“是个自然数”、“去买”、“是朋友”都是谓词。
显然前两个谓词表示的是事物的性质,第三个谓词
“去买”表示的一个动作也表示了主、宾两个个体词
的关系,最后一个谓词“是朋友”表示两个个体词之
间的关系。
谓词归结原理基础
一阶逻辑 • 公式及其解释
– 个体常量:a,b,c – 个体变量:x,y,z – 谓词符号:P,Q,R
。。。。。。
命题逻辑基础
• 定义:
– 若A无成假赋值,则称A为重言式或永真式; – 若A无成真赋值,则称A为矛盾式或永假式; – 若A至少有一个成真赋值,则称A为可满足的; – 析取范式:仅由有限个简单合取式组成的析取式。 – 合取范式:仅由有限个简单析取式组成的合取式。
命题逻辑基础
• 基本等值式24个(1) – 交换率:p∨q <=> q ∨p ; p ∧ q <=> q ∧ p – 结合率: (p∨q) ∨ r<=> p∨(q ∨r); (p ∧ q) ∧ r<=> p ∧(q ∧ r) – 分配率: p∨(q ∧ r) <=> (p∨q) ∧(p ∨r) ; p ∧(q ∨ r) <=> (p ∧ q) ∨(p ∧ r)
(1,3归结)
• 5. ,
(2,4归结)
由上可得原公式成立。
第三章 归结推理方法
• 概述 • 命题逻辑的归结法 • 谓词归结子句形 • 归结原理 • 归结过程的策略控制 • Herbrand定理
第三章 归结推理方法
• 概述 • 命题逻辑的归结法 • 谓词归结子句形 • 归结原理 • 归结过程的策略控制 • Herbrand定理
命题逻辑基础
• 基本等值式(1) – 摩根率: ~ (p∨q) <=> ~ p ∧ ~ q ; ~ (p ∧ q) <=> ~ p ∨ ~ q – 吸收率: p∨(p ∧ q ) <=> p ; p ∧(p∨q ) <=> p – 同一律: p∨0 <=> p ; p ∧ 1 <=> p – 蕴含等值式:p → q <=> ~ p∨q – 假言易位式: p → q <=> ~ p → ~ q
–SKOLEM标准形定义: 消去量词后的谓词公式。
注意:谓词公式G的SKOLEM标准形同G 并不等值。
谓词归结子句形( Skolem 标 x, y) →(x)(~(y)Q(y, b)→R(x)) – 解:第一步,消去→号,得:
~ ( ~ (x)(y)P(a, x, y)) ∨(x) ( ~ ~ (y)Q(y, b)∨R(x)) – 第二步,~深入到量词内部,得:
谓词归结子句形( Skolem 标准形)