统计学教案(第7章相关与回归分析)
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第7章 相关分析与回归分析(含SPSS)
四、偏相关分析
（一） 偏相关分析和偏相关系数 偏相关分析也称净相关分析，它在控制其他变量 的线性影响的条件下分析两变量间的线性相关性， 所采用的工具是偏相关系数（净相关系数）。
偏相关分析的主要用途是根据观测资料应用偏相 关分析计算偏相关系数，可以判断哪些解释变量对 被解释变量的影响较大，而选择作为必须考虑的解 释变量。这样在计算多元回归分析时，只要保留起 主要作用的解释变量，用较少的解释变量描述被解 释变量的平均变动量。
(7.7)
偏相关系数的取值范围及大小含义与相关系数相 同。
2、对样本来自的两总体是否存在显著的偏相关 进行推断。
（1）提出原假设：两总体的偏相关系数与零无显 著差异。
（2）选择检验统计量。偏相关系数的检验统计量 为 t 统计量。 （3）计算检验统计量的观测值和相伴概率 p 。
（4）给定显著性水平 ，并作出决策。如果相 伴概率值小于或等于给定的显著性水平，则拒绝 原假设；如果相伴概率值大于给定的显著性水平， 则不能拒绝原假设。
（二）偏相关系数在SPSS中的实现
1、建立或打开数据文件后，进入Analyze→ Correlate →Partial主对话框，如图7-6所示。
图7-6 偏相关分析主对话框
2、选择分析变量送入Valiables框，选择控制变
量进入Controlling for框。
3、在Test of Significance 栏中选择输出偏相
图7-7 偏相关分析的选项对话框
（1）Statistics 统计量选择项，有两个选项： ①
Means and standard deviations 复选项，要求
SPSSZero-order correlations 复选项，要求显示零阶
统计学教案第7章相关与回归分析
2.确定相关关系的数学表达式。将两个变量用一个近似的方程来表示，这就是本章第二重点——回归分析。
3.确定因变量估计值误差的程度。既然在（2）中提到，用一个近似方程来定义两变量的关系，这就表明用方程确定出来的数值与实际数值之间仍有一定的差距，只是一个估计值而已，所以我们应该对方程值与实际值计算误差，来检验方程的代表程度。 （请同学们联系第五章的内容。）
=
2.方程参数
表示当自变量数值为0时，因变量的取值。
又称回归系数。表示当x每变动一个单位，因变量平均来说变动多少。 表示增加平均数， 表示减少平均数。
3. （回归系数）与（相关系数）
=
运用数学等量关系式，故有
通过上式可以看出： 因为 均是正值，所以 的符号是一致的，所以我们可以通过回归系数 来确定 的符号，从而来判断相关的方向。
的大小成正比例，所以还可以利用 来说明相关程度。
4.例题：根据某企业产品销售额（万元）和销售利润率（%）资料计算出如下数据：n=7 =1890 =31.1 =535500
=174.15 =9318
要求：（1）确定以利润率为因变量的直线回归方程。
（2）解释式中回归系数的经济含义。
（3）当销售额为500万元时，利润率为多少？
3.函数关系与相关关系的关系
1）区别：定义上的区别。一个是完全的依存关系，一个则是不完全依存关系
2）联系：相关关系是相关分析的研究对象，函数关系是相关分析的工具
二、相关的种类
1.按相关的程度分为完全相关和不完全相关，不相关
2.按相关的方向分为正相关和负相关
3.按相关的形式分为线性相关和非线性相关。
对应数值的图形近似一条直线
解：（1）销售额为自变量 ，利润率为因变量 ，则设 倚 的直线方程为
3.确定因变量估计值误差的程度。既然在（2）中提到，用一个近似方程来定义两变量的关系，这就表明用方程确定出来的数值与实际数值之间仍有一定的差距，只是一个估计值而已，所以我们应该对方程值与实际值计算误差，来检验方程的代表程度。 （请同学们联系第五章的内容。）
=
2.方程参数
表示当自变量数值为0时，因变量的取值。
又称回归系数。表示当x每变动一个单位，因变量平均来说变动多少。 表示增加平均数， 表示减少平均数。
3. （回归系数）与（相关系数）
=
运用数学等量关系式，故有
通过上式可以看出： 因为 均是正值，所以 的符号是一致的，所以我们可以通过回归系数 来确定 的符号，从而来判断相关的方向。
的大小成正比例，所以还可以利用 来说明相关程度。
4.例题：根据某企业产品销售额（万元）和销售利润率（%）资料计算出如下数据：n=7 =1890 =31.1 =535500
=174.15 =9318
要求：（1）确定以利润率为因变量的直线回归方程。
（2）解释式中回归系数的经济含义。
（3）当销售额为500万元时，利润率为多少？
3.函数关系与相关关系的关系
1）区别：定义上的区别。一个是完全的依存关系，一个则是不完全依存关系
2）联系：相关关系是相关分析的研究对象，函数关系是相关分析的工具
二、相关的种类
1.按相关的程度分为完全相关和不完全相关，不相关
2.按相关的方向分为正相关和负相关
3.按相关的形式分为线性相关和非线性相关。
对应数值的图形近似一条直线
解：（1）销售额为自变量 ，利润率为因变量 ，则设 倚 的直线方程为
统计学 第七章 相关回归分析
r ——直线相关系数；
x ——变量数列 x 的标准差； y ——变量数列 y 的标准差； 2 xy ——变量数列 x 与 y 的协方差。
x
( x x)
n
2
y
( y y)
n
2
xy
2
( x x )( y y ) n
r
x x y y x x y y
2 3 5
1 4 5 3 13
1 6 9 4 20
2 1 14 7
24
27
8
3
二、相关系数的测定
相关系数是在直线相关条件下，表明两个现
象之间相关关系的方向和密切程度的综合性 指标。一般用符号r表示。 类型
直线相关系数 等级相关系数
1.直线相关系数的计算
（1）积差法
2 xy r x y
第二节 相关关系的测度
• 一、相关关系的一般测度
• 二、相关系数的测定 • 三、等级相关系数的测定
一、相关关系的一般判断
1.定性分析——根据一定的经济理论 和实践经验的总结
防止虚假相关或伪相关! 2.相关表和相关图
（1）简单相关表
年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 销售额（万元） 10 16 32 40 74 120 197 246 345 流通费用（万元） 1.8 3.1 5.2 7.7 10.4 13.3 18.8 21.2 28.3
您知道“回归”这个词的本来含义 吗?
“回归”的本来含 义 •19世纪末，英国著名统计学家Francis Galton研究孩
子及他们父母的身高时发现，身材高的父母，他们 的孩子也高，但这些孩子平均起来并不像他们的父 母那样高；对于比较矮的父母，他们的孩子比较矮， 但这些孩子的平均身高要比他们的父母的平均身高 高。Galton把这种孩子的身高向中间值靠近的趋势称 之为一种回归效应。回归这个术语便开始传播开来。 •现在的回归分析已经没有原来的含义，但这种说法 一直沿袭下来，重在表明这是研究数值变量之间关 系的方法。
医学统计学(李琳琳)7相关分析与回归分析-2023年学习资料
【解析】-研究目的：凝血酶浓度和凝血时间两定量-之间是否存在线性关系，其联系程度如何？
一绘制散点图-从整体趋势而言，-1-15-随着凝血酶浓度的-413-增加，凝血时间呈-12-11-降低的趋 ，且二-10-0.7-0.8-0.9-1.1-1.2-1.3-者之间存在线性相-图7-5凝血酶浓度X与凝血 间Y散点图-关关系。
p的假设检验-H0:p=0-H1:P≠0-a=0.05-1查表法-由前面计算得：样本相关系数r=-0.90 ;-对给定a=0.05,自由度n-2=13,有附表11P391-查临界值r0.0513=0.560;-因为 0.907>0.560，则K0.05,拒绝H,即认-为变量X与Y间的线性相关关系有统计学意义。
2t检验-Ho:p=0-H1:p0-a=0.05--0.907-t,=-=-7.765-1-r2-1-0. 0702-n-2-15-2-y=15-2=13-查t界值表，1，>ts.13=2.160P<0.05,按a 0.05水准，拒-绝HO,接受H1,可认为凝血时间的长短与凝血酶浓度呈负粗-关。
相关系数的大小示意图-3.6-活-3.4-r=1-y-3230-0<r<1-L-8-r=0-2.6-2.4 2.2-40-42444648505254565860-体重kg,X
二、相关系数的意义与计算-若双变量X与Y均是来自正态总体的随机变量，散-点图呈线性趋势，且各观察值相互独立 则两变量-之间的相关关系可采用Pearson积矩相关系数表示。-∑X-XY-Y-∑x-X2∑Y-2xm
P391-附表11相关系数r临界值表-样本大小-0.05-0.01-1.000-6-0.88G-7-0T8 -0.929-0,738-0.881-0.700-0.833-10-0.648-0.794-0.618-0 755-12-0.587-0.727-13-0.560-0.703-0.538-0.679-15-0.52 -0.G54
大学统计学原理经典课件第七章 相关与回归分析
y=f(x布在直线周围
x
相关关系与函数关系的联系
（1）都可用函数式加以描述，但表达式不
同； （2）函数有时也可能表现为相关关系； （3）相关分析有时需要利用函数关系数学 表达式来研究； （4）相关关系是相关分析的研究对象，函 数关系是相关分析的工具。
变量之间的关系
学历和收入之间的关系 广告投入与销售额之间的关系
第一节
相关分析的意义和任务
一. 相关关系的概念
二. 相关关系的种类 三. 相关分析的主要内容
一、相关关系的概念
函数关系 （确定性关系） ⒈ 出租汽车费用与行驶里程： 总费用=行驶里程 每公里单价
G KP
相关关系
（非确定性关系）
2 2 2 2 2
13 9145651.19 12827.5 7448 13 16073323.77 12827.5 13 5213898 7448
2
0.9978
人均国民收入与人均消费金额之间的相关系数为 0.9978，说明两者之间是高度线性相关的。
第三节 直线回归分析
2
2
或化简为
r
n x x n y y
2 2 2
n xy x y
2
简单相关系数的方向和程度的决定因素 ( x x )( y y ) 根据公式， r ( x x ) ( y y)
2 2
则说明是正相关； ( x x)( y y ) 0 ，则是负相 关； ( x x)( y y ) 0 ，则是零相关。
x
另一类是变量间不存在完全的确定性关系， 不能用精确的数学公式来表示，虽然这些变 量间存在着十分密切的关系，但不能由一个 或几个变量的值精确地求出另一个变量的值。 这些变量间的关系称为相关关系，把存在相 关关系的变量称为相关变量。
x
相关关系与函数关系的联系
（1）都可用函数式加以描述，但表达式不
同； （2）函数有时也可能表现为相关关系； （3）相关分析有时需要利用函数关系数学 表达式来研究； （4）相关关系是相关分析的研究对象，函 数关系是相关分析的工具。
变量之间的关系
学历和收入之间的关系 广告投入与销售额之间的关系
第一节
相关分析的意义和任务
一. 相关关系的概念
二. 相关关系的种类 三. 相关分析的主要内容
一、相关关系的概念
函数关系 （确定性关系） ⒈ 出租汽车费用与行驶里程： 总费用=行驶里程 每公里单价
G KP
相关关系
（非确定性关系）
2 2 2 2 2
13 9145651.19 12827.5 7448 13 16073323.77 12827.5 13 5213898 7448
2
0.9978
人均国民收入与人均消费金额之间的相关系数为 0.9978，说明两者之间是高度线性相关的。
第三节 直线回归分析
2
2
或化简为
r
n x x n y y
2 2 2
n xy x y
2
简单相关系数的方向和程度的决定因素 ( x x )( y y ) 根据公式， r ( x x ) ( y y)
2 2
则说明是正相关； ( x x)( y y ) 0 ，则是负相 关； ( x x)( y y ) 0 ，则是零相关。
x
另一类是变量间不存在完全的确定性关系， 不能用精确的数学公式来表示，虽然这些变 量间存在着十分密切的关系，但不能由一个 或几个变量的值精确地求出另一个变量的值。 这些变量间的关系称为相关关系，把存在相 关关系的变量称为相关变量。
7统计学相关分析与回归分析
n n yi nb0 b1 xi i 1 i 1 n n n x y b x b x2 i i 0 i 1 i i 1 i 1 i 1
n n n n xi yi xi yi i 1 i 1 i 1 b 1 n n 2 2 n xi ( xi ) i 1 i 1 30 b0 y b1 x
回归分析：应用相关关系进行预测。
相关关系的识别
散点图 相关系数
10
相关系数
相关系数是对变量之间关系密切程度的度量。 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简 单相关系数。 若相关系数是根据总体的全部数据计算的， 称为总体相关系数，记为ρ
若是根据样本数据计算的，则称为样本相关
系数，记为 r
8
相关分析的主要内容
确定现象之间有无相关关系，以及相关关系 的表现形态； 确定相关关系的密切程度（相关系数）； 确定相关关系的数字模型，并进行参数估计 和假设检验；
回归预测，并分析估计标准误差。
9
相关与回归
相关与回归紧密联系。 相关分析：
发现变量之间是否存在相关性，
以及相关的强度和相关的方向。
1
n
1
n
10
10
ˆ b0 b1 x 117 9.74 x y
39
7 相关分析与回归分析
相关分析
回归分析
一元线性回归分析
1
相关分析的概念
社会经济现象中，一些现象与另一些现象之间往 往存在着依存关系，当我们用变量来反映这些现 象的的特征时，便表现为变量之间的依存关系。
统计学第7章 相关与回归分析 (2)
完成量（小时）
20 50 20 30 50 20 50 40 20 80 40 20 50 80 30 单位成本（元/小时） 16 16 18 16 15 18 15 14 16 14 15 16 14 15 15
完成量（小时）
整理后有
20 20 20 20 20 20 20 20 20 30 30 30 30 30 40 单位成本（元/小时） 15 16 16 16 16 18 18 18 18 15 15 15 16 16 14
rXY
样本相关系数
通过X和Y的样本观测值去估计样本相关系 数变量X和Y的样本相关系数通常用 r 表示
r
rXY
( x x )( y y ) (x x) ( y y)
2
2
特点：样本相关系数是根据从总体中抽取的随机样 本的观测值计算出来的，是对总体相关系数 的估计，它是个随机变量。
例：为了研究分析某种劳务产品完成量与其单位 产品成本之间的关系，调查30个同类服务公司得到的 原始数据如表。 相关表：将自变量x的数值按照从小到大的顺序，并 配合因变量y的数值一一对应而平行排列的表。
20 30 20 20 40 30 40 80 80 50 40 30 20 80 50 单位成本（元/小时） 18 16 16 15 16 15 15 14 14 15 15 16 18 14 14
根据相关关系的方向划分
1、正相关。指两个因素（或变量）之间的变化方向 一致，都是呈增长或下降的趋势。即自变量x的值 增加（或减少），因变量y的值也相应地增加（或 减少），这样的关系就是正相关。例如，工业总 产值增加，企业税利总额也随之增加；家庭消费 支出随收入增加而增加等。 2、负相关。指两个因素或变量之间变化方向相反， 即自变量的数值增大（或减小），因变量随之减 小（或增大）。 如劳动生产率提高，产品成本降 低；产品成本降低，企业利润增加等。
20 50 20 30 50 20 50 40 20 80 40 20 50 80 30 单位成本（元/小时） 16 16 18 16 15 18 15 14 16 14 15 16 14 15 15
完成量（小时）
整理后有
20 20 20 20 20 20 20 20 20 30 30 30 30 30 40 单位成本（元/小时） 15 16 16 16 16 18 18 18 18 15 15 15 16 16 14
rXY
样本相关系数
通过X和Y的样本观测值去估计样本相关系 数变量X和Y的样本相关系数通常用 r 表示
r
rXY
( x x )( y y ) (x x) ( y y)
2
2
特点：样本相关系数是根据从总体中抽取的随机样 本的观测值计算出来的，是对总体相关系数 的估计，它是个随机变量。
例：为了研究分析某种劳务产品完成量与其单位 产品成本之间的关系，调查30个同类服务公司得到的 原始数据如表。 相关表：将自变量x的数值按照从小到大的顺序，并 配合因变量y的数值一一对应而平行排列的表。
20 30 20 20 40 30 40 80 80 50 40 30 20 80 50 单位成本（元/小时） 18 16 16 15 16 15 15 14 14 15 15 16 18 14 14
根据相关关系的方向划分
1、正相关。指两个因素（或变量）之间的变化方向 一致，都是呈增长或下降的趋势。即自变量x的值 增加（或减少），因变量y的值也相应地增加（或 减少），这样的关系就是正相关。例如，工业总 产值增加，企业税利总额也随之增加；家庭消费 支出随收入增加而增加等。 2、负相关。指两个因素或变量之间变化方向相反， 即自变量的数值增大（或减小），因变量随之减 小（或增大）。 如劳动生产率提高，产品成本降 低；产品成本降低，企业利润增加等。
【统计课件】第7章 相关与回归分析.docx
第7章相关与回归分析【学习目标】本章主要介绍了相关分析和冋归分析的基本理论。
包括确定相关关系的判别方法以及配合冋归直线及曲线的条件，掌握建立冋归方程和相关冋归分析需要注意的问题，达到学会预测的日的等。
【基本要求】通过本章的学习，使学习者理解相关分析和冋归分析的概念，明确相关关系的判别方法：定性判断和定量判断；掌握配合冋归直线方程的条件建立回归方程的方法，学会预测，为经济管理服务等。
【学习内容】相关与冋归(Correlation and Regression)是现代统计学屮非常重要的内容，相关与冋归分析是处理变量数据之间相关关系的一种统计方法。
通过相关分析，可以判断两个或两个以上的变量之间是否存在相关关系、相关关系的方向、形态及相关关系的密切程度；冋归分析是对具有相关关系现彖间数量变化的规律性进行测定，确立-•个冋归方程式，即经验公式，并对所建立的冋归方程式的有效性进行分析、判断，以便进一•步进行估计和预测。
现在，相关与回归分析己经广泛应用到企业管理、商业决策、金融分析以及自然科学和补会科学等许多研究领域n7.1相关分析7.1.1.相关分析的概念、种类1.相关分析的概念现实世界屮的各种现象之间相互联系、相互制约、相互依存，某些现彖发生变化吋，另一现彖也随Z发生变化。
如商品价格的变化会刺激或抑制商品销售量的变化；劳动力索质的高低会彩响企业的效益; 直接材料、直接人工的价格变化对产品销售成本有直接的影响，居民收入的高低会影响对该企业产品的需求量筹筹。
研究这些现彖之问的依存关系，找出它们之间的变化规律，是对经搜集、整理过的统计数据进行数据分析，为客观、科学地统计提供依据。
现象间的依存关系大致可以分成两种类型：一类是函数关系，另—•类是相关关系n(1).函数关系。
函数是指现象之间是一种严格的确定性的依存关系。
表现为某一•现彖发生变化另-•现象也随之发生变化，而且有确定的值与之相对应。
例如，银行的1年期存款利率为年息1.98%,存入的本金用x表示，到期本息用y表示，则.y=x+1.98%x (不考虑利息税)；再如，某种股票的成交额Y与该股票的成交jtX、成交价格P之I'可的关系可以用Y=PX來表示，这都是函数关系。
统计学 第七章 相关与回归分析
数 值 说 明
完全负相关
无线性相关
完全正相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
通常：当相关系数的绝对值： 通常：当相关系数的绝对值： 小于0.3 小于0.3时,表示不相关或微弱相关 0.3时 介于0.3 0.5， 介于0.3至0.5，表示低度相关 0.3至 介于0.5 0.8，表示显著（中度） 介于0.5至0.8，表示显著（中度）相 0.5至 关 大于0.8Lxx Lyy
r=
n ∑ xy − ∑ x ⋅ ∑ y n ∑ x 2 − (∑ x ) 2 ⋅ n ∑ y 2 − (∑ y ) 2
r=
∑ ( x − x )( y − y) ∑ ( x − x )2 ∑ ( y − y)
2
( x − x )( y − y) = ∑ xy − 1 ∑ x ∑ y ∑ n
第二节
定性分析
相关分析的方法
是依据研究者的理论知识和实践经 验，对客观现象之间是否存在相关 关系，以及何种关系作出判断。 关系，以及何种关系作出判断。 在定性分析的基础上，通过编制相 在定性分析的基础上， 关表、绘制相关图、计算相关系数 等方法， 等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。 形态及密切程度。
xy
( y − y) 2 ∑
σ xσ y
3.相关系数的其他公式 相关系数的其他公式
• （1）积差法公式： ）积差法公式： • • （2）积差法简化式： ）积差法简化式： r= • • （3）简捷公式： ）简捷公式： •
∑ ( x − x)( y − y) r=
nσ xσ y
∑ ( x − x )( y − y ) ∑ (x − x) ⋅ ∑ ( y − y)
第7章 直线回归与相关分析
y y ( x x)
y x
总体资料直线回 归的数学模型
总体回归截踞
总体回归系数 随机误差
y ( x x)
总体回归截踞 总体回归系数 随机误差
α：它是y的本底水平，即x对y没有任何作用时，y的数量 表现。 βx：它描述了因变量y的取值改变中，由y与自变量x的线 性关系所引起的部分，即可以由x直接估计的部分。 误差：它描述了因变量y的取值改变由x以外的可能与y有 关的随机和非随机因素共同引起的部分，即不能由 x直接 估计的部分。
ˆ y) ( y y ˆ) ( y y) ( y
2 2
2
回归平方和 U
离回归平方和 Q
ss
y
U Q
ˆ y ) 2 [ y b ( x x ) y ]2 U (y b 2 ( x x) b 2 ss x bsp ( sp ) 2
2 sy /x
2
sy / x SSx
回归系数的标准误
b 2 b t ( ) 2 sb sb
2
2 2 2
2
sb
sy / x SSx
b SSx b t 2 2 s y / x / SSx sy / x
2
U b
2
ss bsp
x
(sp)
2
ss
x
U t F Q /(n 2)
相关关系
X身高
Y体重
在大量测量各种身高人群的体重时会发现，虽然在同样身高 下，体重并不完全一样。但在每一身高下，都有一个确定的 体重分布与之相对应;
X体重
Y身高
在大量测量各种体重人群的身高时会发现，虽然在同样体重 下，身高并不完全一样。但在每一体重下，都有一个确定的 身高分布与之相对应;
统计学第7章相关与回归分析PPT课件
预测GDP增长
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
统计学导论 科学出版社 第七章 相关与回归分析
•
对于 n 组实际观察数据(yi ; xi1,，xi2 ， ， xip )，(i=1,2,…,n)，多元线性回归模型可 表示为
{
y1 = 0 1 x11 2 x12 px1p 1 y2= 0 1 x21 2 x22 px2p 2 …… yn= 0 1 xn1 2 xn2 pxnp n
x 1766.293
y 1379.13
(x x)
2
4670769.25
( y y ) 2741904.99 ( x x )( y y) 3447388.39
2
要求：(1)计算相关系数r; (2)配合简单线性回归方程
（3）估计人均生活费收入为2000元时的商品支出额
表明Y的期望值是X的线性函数
反映了除 X和 Y之间的线性关系之外的随机因素对Y的 影响 是不能由X和Y之间的线性关系所解释的变异性
• 总体回归直线（回归方程） ：E (Yt ) 1 2 X t
• 方程的图示是一条直线，因此也称为直 线回归方程 • 1是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值 • 2是直线的斜率，称为回归系数，表示 当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动 值
样本回归函数
（概念要点）
样本回归线
ˆ ˆ ˆ Yt 1 2 X t
样本回归函数
ˆ ˆ Yt 1 2 X t et
最小二乘法
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 达到最小来求得回归系数。即
垐 ) ( y y ) 2 e2 最小 Q( 1 , 2 i ˆ i
年份
1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
沈阳理工大学徐静霞版统计学 (12)第7章 相关与回归分析
相关系数的经验解释
1. 2. 3. 4. |r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5|r|<0.8时，可视为中度相关 0.3|r|<0.5时，视为低度相关 |r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度 极弱，可视为不相关 5. 上述解释必须建立在对相关系数的显著性 进行检验的基础之上
7.1.3.1 定性分析 7.1.3.2 相关表
7.1.3.3相关图
散点图
(scatter diagram)
非线性相关
完全正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
相关关系
(correlation)
1. 一个变量的取值不能由另一 个变量唯一确定； 2. 当变量 x 取某个值时，变量 y y 的取值对应着一个分布； 3. 各观测点分布在直线周围； 4. 数学形式 : 式中 的为随机误差项 , 反映自变量以外随机因素的影 响。
y f (x)
作为一门统计学的入门读物，本教材以经典的一元线性回归分析为主 来介绍回归分析的基本思想，希望能起到一个抛砖引玉的作用。
回归分析研究什么？
研究某些实际问题时往往涉及到多个变量。在这些变量 中，有一个变量是研究中特别关注的，称为因变量，而其 他变量则看成是影响这一变量的因素，称为自变量。 假定因变量与自变量之间有某种关系，并把这种关系用适 当的数学模型表达出来，那么，就可以利用这一模型根据 给定的自变量来预测因变量，这就是回归要解决的问题。 在回归分析中，只涉及一个自变量时称为一元回归，涉及 多个自变量时则称为多元回归。如果因变量与自变量之间 是线性关系，则称为线性回归(linear regression)；如果 因 变 量 与 自 变 量 之间 是 非线性 关 系则称 为 非线性 回 归 (nonlinear regression)
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统计学
授课题目
第7章相关与回归分析
课次
第10-11次
授课方式
讲授
课时安排
第10教学周-第11教学周，共4课时
教学目的：
通过本章的学习，要求掌握相关的意义，现象相关的主要形式以及相关分析的基本内容相关系数的涉及原理，怎样利用相关系数来判断相关的密切程度回归和相关的区别与联系，建立回归方程的依据，回归方程的参数估计标准误的分析。
解：（1）销售额为自变量 ，利润率为因变量 ，则设 倚 的直线方程为
=a +b
= =0.0365
= = —5.41
则利润率倚销售额的回归方程为： = —5.41+0.0365
（2）回归系数b的经济含义：当销售额每增加一万元，销售利润率增加0.0365%
（3）计算预测值，将已知x=500代入回归方程，则
—5.41+0.0365 500=12.84
即当x=500万元时，利润率为12.84%
5.总结回归分析的特点（同时比较它与相关分析的区别）P286起。
（3） >0 表明两变量成正相关。 <0 成负相关 =0 不相关
（4） 1 存在着一定的线性相关； 绝对值越 ，相关程度越高。
<0.3 微弱相关， 0.3< <0.5 低度相关，
0.5< <0.8 显著相关， 0.8< <1 高度相关。
3.相关系数的简化式：
变形：分子分母同时除以 得
= =
= =
=
第二节 回归分析
第一节 相关分析
一、相关分析的含义
对总体中确实具有联系的标志进行分析，其主体是对总体中具有因果关系标志的分析。有两种类型的分析：
1.函数关系：这是一个典型的数学概念，反映的是一个变量数值随着另一个变量的给定也确定下来（完全依存关系）。
如： 只要知道圆的半径R的值（R=3），则马上可知道该圆周长（C=6π）。
四、相关图表
1.相关表的编制。可以直观地判断现象之间大致呈何种关系形式。
（1）简单相关表：未分组的相关表，把因素标志（x）按照从小到大的顺序并配合结果标志（因变量y）一一对应而平行排列起来。
（2）分组相关表：
2.相关图的编制。将（x， y）实际数值放于指教坐标系中去，结合各有序实数所对应的点形成的大致图象来判断相关密切程度、相关方向。
3.函数关系与相关关系的关系
1）区别：定义上的区别。一个是完全的依存关系，一个则是不完全依存关系
2）联系：相关关系是相关分析的研究对象，函数关系是相关分析的工具
二、相关的种类
1.按相关的程度分为完全相关和不完全相关，不相关
2.按相关的方向分为正相关和负相关
3.按相关的形式分为线性相关和非线性相关。
对应数值的图形近似一条直线
教学重点及难点提示：
相关系数的涉及原理，回归方程的原理，估计标准误差
案例导入：银行不良贷款的成因
新课导入：在前面章节中，我们已经学习了分析总体特征的一些方法，通过指标可以说明总体的具体数量特征，用抽样估计解决了无法进行全面调查统计的难题。但是在一项统计活动中，我们不但要了解某个总体或某些总体的特征，还要了解一些总体之间的联系以及互相影响的程度。如下例：
五、相关系数
1.相关系数的基本公式
表明度量x、y 关系主要是通过两个变量的变异程度来说明的。
此公式中包括这几个方面：结合P271讲。
(1) 协方差 x的标准差 y的标准差
(2) 协方差对相关系数 的影响，决定：
2.相关系数的性质
（1） 取值范围： 1 -1 1
（2） =1 = 1 表明x与y之间存在着确定的函数关系。
4.按影响因素的多少可分为单相关和复相关。
特别强调：关于相关的种类，在考试中出题经常出现，大家一方面要掌握不同种类的名称，另外，还要判断相关的类型。（见指导书判断题2、5题，单选6题）
三、相关分析的主要内容
研究两个变量之间的密切程度，将定性 定量，包括如下几个环节：
1.确定相关关系的存在，相关关系的形态和方向。
二、简单回归方程（线性）
1.作为考纲要求，我们分析的是两变量（x，y）的变化规律呈一条直线，
也就是在画相关图时，将变量实数点（x，y）放在直角坐标系上.
为了达到用已知量去估计未知的因变量数值，我们必须将两变量的数学关系式建立起来，用一个近似方程式表示：
推导原理：最小平方法，（最小二乘法）确定待定系数a,b
2.确定相关关系的数学表达式。将两个变量用一个近似的方程来表示，这就是本章第二重点——回归分析。
3.确定因变量估计值误差的程度。既然在（2）中提到，用一个近似方程来定义两变量的关系，这就表明用方程确定出来的数值与实际数值之间仍有一定的差距，只是一个估计值而已，所以我们应该对方程值与实际值计算误差，来检验方程的代表程度。 （请同学们联系第五章的内容。）
的大小成正比例，所以还可以利用 来说明相关程度。
4.例题：根据某企业产品销售额（万元）和销售利润率（%）资料计算出如下数据：n=7 =1890 =31.1 =535500
=174.15 =9318
要求：（1）确定以利润率为因变量的直线回归方程。
（2）解释式中回归系数的经济含义。
（3）当销售额为500万元时，利润率为多少？
=
2.方程参数
表示当自变量数值为0时，因变量少。 表示增加平均数， 表示减少平均数。
3. （回归系数）与（相关系数）
=
运用数学等量关系式，故有
通过上式可以看出： 因为 均是正值，所以 的符号是一致的，所以我们可以通过回归系数 来确定 的符号，从而来判断相关的方向。
设一条毛巾价格为5元/条，则销售5条的销售额为25元。
2.相关关系：是一种不完全确定的随机关系。
如：设一块田的面积，长度是固定的 ，如果每株的间隔是变量x，则一列栽苗的株数则是间隔变量的函数：n=l/x
但是一株苗的粮食产量则不是间隔变量的一个函数，不能随机被确定，但是又受它的影响，这种变量之间的关系则称相关关系。
一、回归分析的含义及与相关分析的联系
1.回归分析：
对具有相关关系的两个或两个以上变量之间的数量变化的一般关系进行测定，确立一个相应的数学表达式，以便从一个已知量来推测另一个未知量，为估算预测值提供一个重要的方法。（一元，多元，……）
2.相关分析与回归分析的联系：
广义的相关分析实际上包括了相关、回归分析两个范畴，具体而言，相关分析是回归分析的基础，而回归分析则是认识变量之间相关程度的具体形式。
授课题目
第7章相关与回归分析
课次
第10-11次
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课时安排
第10教学周-第11教学周，共4课时
教学目的：
通过本章的学习，要求掌握相关的意义，现象相关的主要形式以及相关分析的基本内容相关系数的涉及原理，怎样利用相关系数来判断相关的密切程度回归和相关的区别与联系，建立回归方程的依据，回归方程的参数估计标准误的分析。
解：（1）销售额为自变量 ，利润率为因变量 ，则设 倚 的直线方程为
=a +b
= =0.0365
= = —5.41
则利润率倚销售额的回归方程为： = —5.41+0.0365
（2）回归系数b的经济含义：当销售额每增加一万元，销售利润率增加0.0365%
（3）计算预测值，将已知x=500代入回归方程，则
—5.41+0.0365 500=12.84
即当x=500万元时，利润率为12.84%
5.总结回归分析的特点（同时比较它与相关分析的区别）P286起。
（3） >0 表明两变量成正相关。 <0 成负相关 =0 不相关
（4） 1 存在着一定的线性相关； 绝对值越 ，相关程度越高。
<0.3 微弱相关， 0.3< <0.5 低度相关，
0.5< <0.8 显著相关， 0.8< <1 高度相关。
3.相关系数的简化式：
变形：分子分母同时除以 得
= =
= =
=
第二节 回归分析
第一节 相关分析
一、相关分析的含义
对总体中确实具有联系的标志进行分析，其主体是对总体中具有因果关系标志的分析。有两种类型的分析：
1.函数关系：这是一个典型的数学概念，反映的是一个变量数值随着另一个变量的给定也确定下来（完全依存关系）。
如： 只要知道圆的半径R的值（R=3），则马上可知道该圆周长（C=6π）。
四、相关图表
1.相关表的编制。可以直观地判断现象之间大致呈何种关系形式。
（1）简单相关表：未分组的相关表，把因素标志（x）按照从小到大的顺序并配合结果标志（因变量y）一一对应而平行排列起来。
（2）分组相关表：
2.相关图的编制。将（x， y）实际数值放于指教坐标系中去，结合各有序实数所对应的点形成的大致图象来判断相关密切程度、相关方向。
3.函数关系与相关关系的关系
1）区别：定义上的区别。一个是完全的依存关系，一个则是不完全依存关系
2）联系：相关关系是相关分析的研究对象，函数关系是相关分析的工具
二、相关的种类
1.按相关的程度分为完全相关和不完全相关，不相关
2.按相关的方向分为正相关和负相关
3.按相关的形式分为线性相关和非线性相关。
对应数值的图形近似一条直线
教学重点及难点提示：
相关系数的涉及原理，回归方程的原理，估计标准误差
案例导入：银行不良贷款的成因
新课导入：在前面章节中，我们已经学习了分析总体特征的一些方法，通过指标可以说明总体的具体数量特征，用抽样估计解决了无法进行全面调查统计的难题。但是在一项统计活动中，我们不但要了解某个总体或某些总体的特征，还要了解一些总体之间的联系以及互相影响的程度。如下例：
五、相关系数
1.相关系数的基本公式
表明度量x、y 关系主要是通过两个变量的变异程度来说明的。
此公式中包括这几个方面：结合P271讲。
(1) 协方差 x的标准差 y的标准差
(2) 协方差对相关系数 的影响，决定：
2.相关系数的性质
（1） 取值范围： 1 -1 1
（2） =1 = 1 表明x与y之间存在着确定的函数关系。
4.按影响因素的多少可分为单相关和复相关。
特别强调：关于相关的种类，在考试中出题经常出现，大家一方面要掌握不同种类的名称，另外，还要判断相关的类型。（见指导书判断题2、5题，单选6题）
三、相关分析的主要内容
研究两个变量之间的密切程度，将定性 定量，包括如下几个环节：
1.确定相关关系的存在，相关关系的形态和方向。
二、简单回归方程（线性）
1.作为考纲要求，我们分析的是两变量（x，y）的变化规律呈一条直线，
也就是在画相关图时，将变量实数点（x，y）放在直角坐标系上.
为了达到用已知量去估计未知的因变量数值，我们必须将两变量的数学关系式建立起来，用一个近似方程式表示：
推导原理：最小平方法，（最小二乘法）确定待定系数a,b
2.确定相关关系的数学表达式。将两个变量用一个近似的方程来表示，这就是本章第二重点——回归分析。
3.确定因变量估计值误差的程度。既然在（2）中提到，用一个近似方程来定义两变量的关系，这就表明用方程确定出来的数值与实际数值之间仍有一定的差距，只是一个估计值而已，所以我们应该对方程值与实际值计算误差，来检验方程的代表程度。 （请同学们联系第五章的内容。）
的大小成正比例，所以还可以利用 来说明相关程度。
4.例题：根据某企业产品销售额（万元）和销售利润率（%）资料计算出如下数据：n=7 =1890 =31.1 =535500
=174.15 =9318
要求：（1）确定以利润率为因变量的直线回归方程。
（2）解释式中回归系数的经济含义。
（3）当销售额为500万元时，利润率为多少？
=
2.方程参数
表示当自变量数值为0时，因变量少。 表示增加平均数， 表示减少平均数。
3. （回归系数）与（相关系数）
=
运用数学等量关系式，故有
通过上式可以看出： 因为 均是正值，所以 的符号是一致的，所以我们可以通过回归系数 来确定 的符号，从而来判断相关的方向。
设一条毛巾价格为5元/条，则销售5条的销售额为25元。
2.相关关系：是一种不完全确定的随机关系。
如：设一块田的面积，长度是固定的 ，如果每株的间隔是变量x，则一列栽苗的株数则是间隔变量的函数：n=l/x
但是一株苗的粮食产量则不是间隔变量的一个函数，不能随机被确定，但是又受它的影响，这种变量之间的关系则称相关关系。
一、回归分析的含义及与相关分析的联系
1.回归分析：
对具有相关关系的两个或两个以上变量之间的数量变化的一般关系进行测定，确立一个相应的数学表达式，以便从一个已知量来推测另一个未知量，为估算预测值提供一个重要的方法。（一元，多元，……）
2.相关分析与回归分析的联系：
广义的相关分析实际上包括了相关、回归分析两个范畴，具体而言，相关分析是回归分析的基础，而回归分析则是认识变量之间相关程度的具体形式。