2高斯定理

静电场的 基本方程
基本方程的解 基本方程的解
§1.8 电容和部分电容 §1.9 静电能量与力
§1.2 高斯定理
1.2.1 静电场中的导体 1.2.2 静电场中的电介质 1.2.3 高斯定理
2
1.2.1 静电场中的导体 导体的特点： 导体的特点：
E’
静电
有大量自由电子。 有大量自由电子。
E 平衡后
D线
E线 D、E与 P 三者之间的关系 与
P线
D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷； 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷； E 线由正电荷出发，终止于负电荷； 线由正电荷出发，终止于负电荷； P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。
S
1
qP = ∫ =∫ =∫
V V1 V2 V3
ρPdV +∫S+S +S +S σ PdS
0
2 3 1 2 3
S1
q1 S3 q3 S2
q2
V V1 V2 V3
ρPdV +∫S σ PdS + ∫S +S +S σ PdS
S1 + S2 + S3
电介质
= ∫ PdV +∫
V V1 V2 V3
S1 + S2 + S3
S
③ n个点电荷、闭合面为任意形状： 个点电荷、 个点电荷 闭合面为任意形状：
n
n
ε0
1
E dS =∫ (∑Ek ) dS = ∑∫S Ek dS = ∫
S S k=1
k=1
ε0
∑q
k=1
n
k
电荷连续分布、闭合面为任意形状： ④ 电荷连续分布、闭合面为任意形状： E dS = 1 dq ∫S ε0 ∫ 结论： 结论： 在真空中，由任意闭合面穿出的 通量 通量， 在真空中，由任意闭合面穿出的E通量，等于该闭合面内所有 10 电荷的代数和除以真空的介电常数
9
1.2.3 高斯定理 1、真空中的高斯定理： 、真空中的高斯定理：
点电荷q、闭合面为以点电荷所在处为球心的球面： ① 点电荷 、闭合面为以点电荷所在处为球心的球面： q q qer ∫SE dS =∫S 4πε0r2 dS = 4πε0r2 ∫S er erdS= ε0 点电荷q、闭合面为任意形状： ② 点电荷 、闭合面为任意形状： E dS = q ∫
2、介质中的高斯定律 、
表面S为电介质中一假想闭合面，不包含介质的表面； 表面 为电介质中一假想闭合面，不包含介质的表面； 为电介质中一假想闭合面 自由电荷q 分布在导体表面S 自由电荷 1 、 q2 、 q3分布在导体表面 1 、 S2 、 S3上：
∫ E dS = ε
S
1
0
(q + qP )
P endS
S1 + S2 + S3
P endS + ∫ P endS + ∫
S
P endS
q ∫ P dS
S
= ∫ P endS= ∫ P dS
S S
∫ E dS =
S
ε0
11
∫ E dS =
S
q ∫ P dS
S
定义：电通量密度， 定义：电通量密度，电位移矢量 D = ε0 E + P
D = ρ
高斯通量定理 高斯通量定理的微分形式
的散度等于该点的自由电荷体密度 在静电场中，任意一点的D的散度等于该点的自由电荷体密度。 静电场中 任意一点的 的散度等于该点的自由电荷体密度。 12
理解： 理解：
∫ D dS = q
S
D = ρ
的散度只与该点的自由电荷有关； ①在静电场中，D的散度只与该点的自由电荷有关； 静电场中 的散度只与该点的自由电荷有关 D线从正自由电荷出发，终止于负自由电荷； 线从正自由电荷出发，终止于负自由电荷； 线从正自由电荷出发 自由电荷 E线从正电荷出发，终止于负电荷； 线从正电荷出发，终止于负电荷； 线从正电荷出发 通量仅与该闭合面内包含的自由电荷有关， ②穿出闭合面的D通量仅与该闭合面内包含的自由电荷有关， 穿出闭合面的 通量仅与该闭合面内包含的自由电荷有关 但闭合面上的D是由整个系统的电荷共同作用的结果。 但闭合面上的 是由整个系统的电荷共同作用的结果。 是由整个系统的电荷共同作用的结果 电位移D与场强 的关系： 与场强E的关系 ③ 电位移 与场强 的关系： 一般情况： 一般情况：D=ε0E+P 线性、各向同性： 线性、各向同性： P= ε0χE
E是电场强度，其物理意义是从力的角度描述静电场 是电场强度， 是电场强度 特性物理量。 特性物理量。其定义为静电场中任一点单位正电荷所 受到的电场力。 受到的电场力。 P是电极化强度，其物理意义是描述电介质中任一点 是电极化强度， 是电极化强度 电极化强弱的物理量。 电极化强弱的物理量。 D是电位移矢量，是一个辅助物理量，其本身并没有 是电位移矢量，是一个辅助物理量， 是电位移矢量 辅助物理量 明确的物理意义，然而引入它可以方便 方便地表达出任一 明确的物理意义，然而引入它可以方便地表达出任一 点的场量与场源之间的关系， 点的场量与场源之间的关系，即电位移矢量的散度等 于该点分布的自由电荷体密度。 于该点分布的自由电荷体密度。 E和D的分布都与介质有关。但是穿过闭合曲面的D通 和 的分布都与介质有关。但是穿过闭合曲面的 通 的分布都与介质有关 量仅与该闭合面所包围的自由电荷有关， 量仅与该闭合面所包围的自由电荷有关，而与介质中 的束缚电荷无关。 的束缚电荷无关。
导体→自由电荷 自由移动 导体 自由电荷→自由移动 静电感应 自由电荷 自由移动→静电感应
电介质→束缚电荷 不能自由移动 电偶极子→极化 电介质 束缚电荷→不能自由移动 电偶极子 极化 束缚电荷 不能自由移动→ 附加电场
电荷重新分布 →附加电场 附加电场
导体表面静电感应电荷 在导体内部与外电场处处抵消 导体表面静电感应电荷→在导体内部与外电场处处抵消→E＝0 表面静电感应电荷 在导体内部与外电场处处 ＝ 电介质束缚电荷极化 在电介质内部削弱外电场 电介质束缚电荷极化→在电介质内部削弱外电场→合电场不为零 束缚电荷极化 在电介质内部削弱
16
∫
S1
D1 dS =(
q )
∫
点电荷的电场中置入任意一块介质
S2
D2 dS =( q
)
q D1 = D2 = D3 = 2 eR ( 4πr
)
D 通量只取决于高斯面内 的自由电荷， 的自由电荷，而高斯面上的 D 是由高斯面内、外的系统 是由高斯面内、 所有电荷共同产生的。 所有电荷共同产生的。
D=ε0 ( 1+ χ) E= ε0εrE= εE
εr——电介质的相对介电常数，无量纲 电介质的相对介电常数， 电介质的相对介电常数
ε——电介质的介电常数；（ 电介质的介电常数；（ 电介质的介电常数；（F/m） ）
13
4、 D 线、E 线和 线： 、 线和P
图示平行板电容器中放入一块介质后， 线和P 线的分布。 图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和 线的分布。
3
接地导体都不带电。（ 接地导体都不带电。（
） ）
一导体的电位为零，则该导体不带电。 一导体的电位为零，则该导体不带电。 （
任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。 任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。 （ ）
静电场中的导体
4
1.2.2 静电场中的电介质 1、电介质的特点： 、电介质的特点： 电子被原子核束缚，不能自由活动； 电子被原子核束缚，不能自由活动； 分子旋转或拉伸， 在电场作用下：电介质分子旋转或拉伸 在电场作用下：电介质分子旋转或拉伸， 正负电荷中心不再重合，形成电偶极子。 正负电荷中心不再重合，形成电偶极子。 电偶极子 取向极化（分子极化）： 取向极化（分子极化）
E + + + +
E
-
1. 导体内部场强处处为 ； 导体内部场强处处为0； 内部场强处处为 2. 导体为一个等位体，导体表面为一个等位面 导体为一个等位体，导体表面为一个等位面; 等位体 等位面 垂直; 3. 导体表面任意一点的场强方向与表面垂直 导体表面任意一点的场强方向与表面垂直 4. 电荷分布在导体表面. 电荷分布在导体表面 分布在导体表面
14
1、电场强度在电介质内部是增加了，还是 电场强度在电介质内部是增加了， 减少了？ 减少了？ 三矢量的物理意义。 2、说明E、P与D三矢量的物理意义。 说明 、 与 三矢量的物理意义 E与介质有关，D与介质无关的说法对吗？ 与介质有关， 与介质无关的说法对吗 与介质无关的说法对吗？ 与介质有关
15
7
整个介质产生的电位： 整个介质产生的电位：
P en ′ P [∫ dS′ + ∫ dV′] = V′ 4πε0 S′ R R ρP σP 1
结论： 结论：
1.在有介质存在的空间中，任意点的电场是由自由电 在有介质存在的空间中，任意点的电场是由自由电 在有介质存在的空间中 极化电荷共同在真空中产生的电场的叠加； 共同在真空中产生的电场的叠加 荷、极化电荷共同在真空中产生的电场的叠加； 2. 极化电荷的体密度为ρP、面密度为σP
p eR 单个电偶极子产生的电位为： 单个电偶极子产生的电位为： = 4πε0 R2 介质中体积元 产生的电位为： 介质中体积元V’ 产生的电位为： 1
=
1 4πε0
∑ pe
R2
R
P eR V′ = 2 4πε0 R 1
e 整个介质产生的电位为： = 1 ∫ P 2 R dV′ 整个介质产生的电位为： 4πε0 V′ R
ε0
∫ (ε E + P) dS = q
S 0
∫ D dwenku.baidu.com = q
S
高斯通量定理 高斯通量定理的积分形式
在静电场中（无论在真空还是介质中，不管介质 静电场中 无论在真空还是介质中， 均匀与否），由任意闭合面穿出的D通量，等于该闭 均匀与否），由任意闭合面穿出的 通量， ），由任意闭合面穿出的 通量 合面内所有自由电荷 代数和， 自由电荷的 合面内所有自由电荷的代数和，与所有极化电荷及闭 合面外的自由电荷无关。 合面外的自由电荷无关。
第一章 静电场
电场强度， §1.1 电场强度，电位 §1.2 高斯定律 静电场的基本方程， §1.3 静电场的基本方程， 分界面上的衔接条件 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7 静电场边值问题，唯一性定理 静电场边值问题， 分离变量法 有限差分法 镜像法和电轴法 应用
1
实验基础与理论基础 实验基础与理论基础 基础与理论
无极性分子
有极性分子
5
例：电偶极子的电场
思路：由电位求场强。 思路：由电位求场强。 z r1 r r2 P
q r2 r1 +q q 解： P = 4πε r + 4πε r = 4πε r r 0 1 0 2 0 1 2 d 当d<<r时： 时 0 r2 - r1≈dcosθ r2 r1 ≈ r2 -q q d cosθ P = z 4πε0 r 2 +q 定义：矢量电偶极矩 电偶极矩p=qd， 定义：矢量电偶极矩 ， 方向由负电荷指向正电荷。 方向由负电荷指向正电荷。 θ 1 p er d P = 0 4πε0 r 2 q
18
19
电力电缆
220K伏XLPE交链聚乙烯高压电力电缆
20
6K伏三相矿用橡套电缆（中间地线、右侧测量线）
21
P r1 r r2
E = -
-q
6
2、电介质的极化 、
外加电场后，介质发生极化，形成附加电场，破坏原电场分布。 附加电场 外加电场后，介质发生极化，形成附加电场，破坏原电场分布。 定义：极化强度 为 定义：极化强度P为
∑p P = lim
V ′→0
P = ε0χE
V′
χ : 极化率，无量纲 极化率，
点电荷±q分别置于金属球壳的内外
17
5、高斯定律的应用： 、高斯定律的应用：
∫ D dS = q
S
D = ρ
当带电体的电荷分布具有一定的对称性时， 当带电体的电荷分布具有一定的对称性时， 电荷分布具有一定的对称性时 电场的分布也具有某种对称性 的分布也具有某种对称 电场的分布也具有某种对称性， 应用高斯通量定律可很简捷地求解场分布
σ P = P en
3. 极化电荷的总和为 极化电荷的总和为0
ρP = ′ P
∫
S′
σ PdS′ + ∫V′ ρPdV′ = ∫SP dS′ + ∫V′ (′ P)dV′ = 0 ′
8
1、自由电荷与束缚电荷的区别是什么？ 自由电荷与束缚电荷的区别是什么？ 2、电介质的极化和导体的静电感应有何不同？ 电介质的极化和导体的静电感应有何不同？ 3、如何考虑电介质和导体在静电场中的效应？ 如何考虑电介质和导体在静电场中的效应？