七年级数学下一元二次方程
七年级数学一元二次方程及其解法(配方法,公式法)人教实验版五四制知识精讲
七年级数学一元二次方程及其解法（配方法，公式法）人教实验版五四制【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程及其解法（配方法，公式法）二. 基础知识：1. 一元二次方程的概念2. 降次解一元二次方程① 用配方法解一元二次方程（配方法解方程的一般步骤应重点掌握）② 用公式法解一元二次方程（公式的推导方法是应重点掌握）三. 重点和难点：1. 重点：一元二次方程的概念和公式法解一元二次方程2. 难点：配方法解方程【典型例题】[例1] ① 下列关于x 的方程（1）02=++c bx ax（2）0342=-+x x （3）0432=+-x x （4）0352=+-x x中，一元二次方程的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 解：选A根据一元二次方程定义易知（2）（3）不是一元二次方程，而（1）当0=a 时，方程就不是一元二次方程了。
② 下列关于x 的方程（1）02=++c bx ax （2）0652=++k k（3）02142333=--x x （4）023)3(22=-++x x m 中，是一元二次方程的为。
（只填代号）解：应填（4）由（1）可知，（1）不一定为一元二次方程，而（4）中032>+m ，所以应为一元二次方程[例2] 解方程：1422-=x x解法一：（配方法）将方程变形为1422-=-x x方程两边都除以2，得2122-=-x x 配方，得22212112+-=+-x x ，即21)1(2=-x 解得221±=x ∴2211+=x 2212-=x 解法二：（公式法）将方程变形为01422=+-x x∵2=a ，4-=b ，1=c∴8816124)4(422=-=⨯⨯--=-ac b ∴42242284242±=⨯±=-±-=a ac b b x ∴2211+=x 2212-=x[例3] 已知关于x 的方程12)3(-+m x m 01)1(2=--+x m（1）m 为何值时，它是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m 为何值时，它是一元一次方程。
初中数学解一元二次方程的步骤
初中数学解一元二次方程的步骤解一元二次方程的步骤一元二次方程是初中数学中的重要内容之一，掌握解一元二次方程的方法对于学习数学和解决实际问题非常有帮助。
本文将介绍解一元二次方程的步骤，并对每一步进行详细说明。
步骤一：整理方程首先，我们需要将一元二次方程整理成标准形式，即形如ax^2 + bx + c = 0的形式。
其中，a、b、c分别代表方程中的系数，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
如果方程已经处于标准形式，则可以直接进入下一步。
否则，我们需要通过合并同类项或移项的方法将方程整理成标准形式。
步骤二：判断方程的解的性质接下来，我们需要判断方程的解的性质。
一元二次方程的解分为三种情况：两个不相等的实数解、两个相等的实数解、无实数解。
通过计算判别式Δ = b^2 - 4ac的值来判断方程的解的性质。
判别式Δ小于0时，方程无实数解；Δ等于0时，方程有两个相等的实数解；Δ大于0时，方程有两个不相等的实数解。
步骤三：求解方程根据方程的不同解的性质，我们可以按以下步骤求解方程。
如果方程有两个不相等的实数解，我们可以使用求根公式x = (-b ±√Δ) / 2a来求解方程。
其中，±表示两个不同的符号。
将求得的根代入原方程进行验证，确保解是正确的。
如果方程有两个相等的实数解，我们可以使用综合平方差公式(x + p)^2 = m来求解方程。
其中，p为一次项系数b的一半，m为常数项c与p的平方之差。
通过解二次方程(x + p)^2 = m可以求得方程的解。
如果方程无实数解，我们可以说明方程无解即可。
步骤四：检查解的有效性在完成方程的求解后，我们需要检查解的有效性。
验证求得的解是否能够使原方程成立。
将解代入原方程中计算，如果等式两边相等，则证明解是有效的；如果等式两边不等，则说明解无效，需要重新进行求解。
步骤五：总结综上所述，解一元二次方程的步骤包括整理方程、判断方程的解的性质、求解方程和检查解的有效性。
初中数学 如何求解一元二次方程的小数解
初中数学如何求解一元二次方程的小数解要求解一元二次方程的小数解，我们可以使用配方法、求根公式或图像法。
下面将详细介绍这三种方法的步骤和应用。
方法一：配方法配方法是一种通过变换方程的形式来求解一元二次方程的方法。
它的基本思想是将方程转化为完全平方形式，然后求解。
步骤：1. 将方程表示成标准形式：ax² + bx + c = 0，其中a，b和c是已知的实数常数，且a ≠ 0。
2. 如果方程的系数a不为1，则将方程两边都除以a，使得方程的首项系数为1。
3. 将方程的常数项c分解为两个数的乘积，这两个数的和等于方程的一次项系数b。
假设这两个数为m和n。
4. 重新排列方程，将一次项bx拆分为mx + nx。
5. 将方程按照完全平方的形式进行重新组合，即(x + m)(x + n) = 0。
6. 使用零乘法，将方程拆分为两个线性因式，即x + m = 0和x + n = 0。
7. 解这两个方程，得到x的值。
这些值即为方程的小数解。
举例来说，考虑方程2x² + 5x - 3 = 0。
1. 将方程表示成标准形式，得到2x² + 5x - 3 = 0。
2. 系数a为2，不为1，所以我们将方程两边都除以2，得到x² + (5/2)x - 3/2 = 0。
3. 将常数项-3/2分解为两个数的乘积，这两个数的和等于5/2。
我们可以将-3/2分解为1/2和-2，因为1/2 + (-2) = 5/2。
4. 重新排列方程，得到x² + (1/2)x - 2x - 3/2 = 0。
5. 将方程按照完全平方的形式进行重新组合，即(x + 1/2)(x - 2) = 0。
6. 使用零乘法，将方程拆分为两个线性因式，即x + 1/2 = 0和x - 2 = 0。
7. 解这两个方程，得到x = -1/2和x = 2。
这两个值即为方程的小数解。
方法二：求根公式求根公式是一种通过直接计算方程的根的公式来求解一元二次方程的方法。
初一数学一元二次方程试题答案及解析
初一数学一元二次方程试题答案及解析1.解方程：x2﹣4x﹣2=0．【答案】x1=2+，x2=2﹣【解析】利用一元二次方程的求根公式进行求解即可．试题解析：∵a=1，b=﹣4，c=﹣2，∴△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）=4×6，∴x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣．【考点】解一元二次方程-公式法2.（1）9x2–25=0（2）(x+5)3=–27（3）（4）【答案】（1）x1=，x2=–；（2）x =–8；（3）1；（4）原方程组的解为．【解析】（1）先移项，再利用直接开平方法即可；（2）直接开方即可；（3）先去括号，绝对值符号，再按照实数的运算法则计算即可；（4）用加减消元法进行解题．试题解析：（1）9x2=25，x2=x 1=，x2=–；（2）x+5=–3，x =–8；（3）原式=；（4）②×4得：4x-4y=16③，①+③得：x=5，将x=5代入②得：5﹣y=4，解得：y=1．∴原方程组的解为．【考点】1.解一元二次方程2.实数的运算3.解二元一次方程组．3.据媒体报道，我国2010年公民出境旅游总人数约5000万人次，2012年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2011年、2012年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2013年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？【答案】（1）20%；（2）8640万人次【解析】（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x，根据“2010年旅游总人数约5000万人次，2012年旅游总人数约7200万人次”即可列方程求解；（2）根据（1）中求得的年平均增长率求解即可.（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x，由题意得5000（1+x）2 ="7200"解得 x1 =0.2=20%，x2=﹣2.2 （不合题意，舍去）答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200×120%=8640万人次答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．本题涉及了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列方程求解，最后注意解的取舍．4.下列算式能用平方差公式计算的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】平方差公式为；选项A中，不满足平方差公式的结构特点，所以不能用平方差公式来计算；选项B中，其不符合平方差公式的特点，所以不能用平方差公式进行计算；选项C中，所以选C；选项D中，不符合平方差公式的结构特点，所以不能用其进行计算【考点】平方差公式点评：本题考查平方差公式，解答本题需要考生掌握平方差公式，熟悉平方差公式的结构，会灵活运用平方差公式5.若是一个完全平方式，那么的值是（）A．2B．±2C．4D．±4【答案】D【解析】若是一个完全平方式，因为，它要是完全平方式，那么，即，所以M=±4【考点】完全平方式点评：本题考查完全平方式，解答本题需要考生掌握完全平方式，及其完全平方式的结构。
鲁教版七年级下册数学课件8.3用公式法解一元二次方程(2)
3.x1
1; x2
3. 2
2，若两个连续的奇数的积是323，求这两个数
独立
作业
知识的升华
2. 用公式法解下列方程. 参考答案:
(1). 2x2-4x－1＝0； (2). 5x+2＝3x2 ；
1.x1
2 2
6
2.x1 2; x2
; x2
1 3
2
.
2
6
.
(3). (x-2)(3x-5) =1;
3.x1
11 6
13
;
x2
11 6
13
.
小结 拓展
回味无穷
v 用公式法解一元二次方程的一般步骤: v 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
课后 作业
1、必做：课本：P65习题8.7第1.2题 2、选做：《配套练习册》
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
∵b2 - 4ac=( 2 3)2 - 4×1×3=0,
x 2
3 21
023 23,即：x1= x2= 3
想一想 在例2中，两个方程的解有什么不同？
我最棒
,用公式法解下列方程
1). 2x2＋x－6＝0； 2). x2＋4x＝2； 3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ; 4). 4x2+4x+10 =1-8x ；
1.x1 2; x2 4.
2.x1 2 6; x2 2 6.
3.x1
2;
x2
6 5
.
4.x1
x2
3 2
.
我最棒
,解题大师——规范正确!
浙教版七年级数学下册第二章一元二次方程测试卷(Word版含答案)
浙教版七下第二章 一元二次方程测试卷（含解析）一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分）1．（3分）方程236ax y x -=+是二元一次方程,a 必须满足( ) A ．0a ≠B ．3a ≠-C ．3a ≠D ．2a ≠2．（3分）关于二元一次方程48x y +=的解,下列说法正确的是( ) A ．任意一对有理数都是它的解 B ．有无数个解 C ．只有一个解D ．只有两个解3．（3分）下列方程组中属于二元一次方程组的有( )（1）211x y y z -=⎧⎨=+⎩（2）03x y =⎧⎨=⎩（3）0235x y x y -=⎧⎨+=⎩（4）212 1.x y x y ⎧+=⎨+=-⎩．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（3分）解方程组①216511y x x y =+⎧⎨+=-⎩；②2310236x y x y +=⎧⎨-=-⎩比较简便的方法是( )A ．均用代入法B ．均用加减法C ．①用代入法,②用加减法D ．①用加减法,②用代入法5．（3分）若2x y m=-⎧⎨=⎩是方程64nx y +=的一个解,则代数式31m n -+的值是( )A ．3B ．2C ．1D ．1-6．（3分）由方程组43x m y m +=⎧⎨-=⎩可得出x 与y 的关系是( )A ．1x y +=B ．1x y +=-C ．7x y +=D ．7x y +=-7．（3分）已知278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩的解为32x y =⎧⎨=-⎩,某同学由于看错了c 的值,得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩,则a b c ++的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．108．（3分）已知x ,y 满足方程组36x m y m +=⎧⎨-=⎩,则无论m 取何值,x ,y 恒有关系式是( )A ．1x y +=B ．1x y +=-C ．9x y +=D ．9x y +=-9．（3分）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23,那么乙也共有钱50．问：甲,乙两人各带了多少钱？设甲,乙两人持钱的数量分别为x ,y ,则可列方程组为()A．2502503x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩B．15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．15022503x yx y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D．2502503x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩10．（3分）文峰超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏,以下是4天的记录：第1天,卖出13支牙刷和7盒牙膏,收入132元；第2天,卖出26支牙刷和14盒牙膏,收入264元；第3天,卖出39支牙刷和21盒牙膏,收入393元；第4天,卖出52支牙刷和28盒牙膏,收入528元；其中记录有误的是()A．第1天B．第2天C．第3天D．第4天二．填空题（共8小题,满分24分,每小题3分）11．（3分）已知95xy=⎧⎨=⎩是关于x、y的方程23x ay-=的一个解,则a的值是．12．（3分）试写出一个关于x、y的的二元一次方程,使它的一个解为12xy=⎧⎨=⎩,这个方程为．13．（3分）已知x、y满足方程组52723x yx y+=⎧⎨-=⎩,则x y+的值为．14．（3分）若22(24)()|4|0x x y z y-+++-=,则x y z++等于．15．（3分）若21xy=⎧⎨=⎩是方程组75ax bybx cy+=⎧⎨+=⎩的解,则a与c的关系是．16．（3分）请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦,鸦树不知数,三只栖一树,五只没去处,五只栖一树,闲了一棵树,请你仔细数,鸦树各几何？”若诗句中谈到的鸦为x只,树为y棵,则可列出方程组为．17．（3分）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题,其题意为：客人一起分银子,若每人7两,还剩4两；若每人9两,则差8两．银子共有两．18．（3分）元旦期间,忠县永辉超市对三种风味的酸奶（原味、果粒味、大红枣味）进行A、B、C三种套餐的促销活动．已知A种套餐由3盒原味、4盒果粒味、5盒大红枣味搭配而成；B种套餐由2盒原味、8盒果粒味、8盒大红枣味搭配而成；C种套餐由5盒原味、4盒果粒味、6盒大红枣味搭配而成,每一种套餐的费用就是搭配该套餐的三种风味酸奶费用的总和．若一个A种套餐需35元,那么小明同学要买2个A种套餐、1个B种套餐和2个C种套餐共需费用元．三．解答题（共6小题,满分53分）19．（6分）已知方程1352x y+=,请你写出一个二元一次方程,使它与已知方程所组成的方程组的解为41xy=⎧⎨=⎩．20．（12分）解下列方程组：（1）124x yx y+=⎧⎨-=-⎩（2）1234()5()38x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎨⎪+--=-⎩21．（7分）已知方程组27431x yx y+=⎧⎨-=-⎩的解也是关于x,y的二元一次方程3x y a=+的解,求(1)(1)7a a+-+的值．22．（8分）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小文分别寄快递到上海和北京,收费标准及实际收费如表：收费标准：目的地起步价（元)超过1千克的部分（元/千克）上海7b北京104b+目的地质量（千克）费用（元)上海26a-北京37a+23．（10分）疫情期间为保护学生和教师的健康,某学校储备“抗疫物资”,用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒,甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒,25元/盒．（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒,25个/盒,按照市教育局要求,学校必须储备足够使用10天的口罩,该校师生共计900人,每人每天2个口罩,问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？24．（10分）为了提倡节约用水,某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过312m时,按一级单价收费；当每户每月用水量超过312m时,超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为310m,缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家,用水量为314m,缴纳水费51.4元．（1）问该市一级水费,二级水费的单价分别是多少？（2）某户某月缴纳水费为64.4元时,用水量为多少？浙教版七下第二章一元二次方程测试卷（含解析）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分）1．（3分）方程236ax y x-=+是二元一次方程,a必须满足() A．0a≠B．3a≠-C．3a≠D．2a≠【解答】解：方程236ax y x-=+变形为(3)260a x y---=,根据二元一次方程的定义,得30a-≠,解得3a≠．故选：C．2．（3分）关于二元一次方程48x y+=的解,下列说法正确的是() A．任意一对有理数都是它的解B．有无数个解C．只有一个解D．只有两个解【解答】解：对于二元一次方程48x y+=,有无数个解,故选：B．3．（3分）下列方程组中属于二元一次方程组的有()（1）211x yy z-=⎧⎨=+⎩（2）3xy=⎧⎨=⎩（3）235x yx y-=⎧⎨+=⎩（4）212 1.x yx y⎧+=⎨+=-⎩．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）本方程组中含有3个未知数；故本选项错误；（2）有两个未知数,方程的次数是1次,所以是二元一次方程组；（3）有两个未知数,方程的次数是1次,所以是二元一次方程组；（4）第一个方程未知项2x的次数为2,故不是二元一次方程组．共2个属于二元一次方程组．故选：B．4．（3分）解方程组①216511y xx y=+⎧⎨+=-⎩；②2310236x yx y+=⎧⎨-=-⎩比较简便的方法是()A．均用代入法B．均用加减法C．①用代入法,②用加减法D．①用加减法,②用代入法【解答】解：解方程组①216511y xx y=+⎧⎨+=-⎩比较简便的方法为代入法；②2310236x yx y+=⎧⎨-=-⎩比较简便的方法加减法,故选：C．5．（3分）若2x y m=-⎧⎨=⎩是方程64nx y +=的一个解,则代数式31m n -+的值是( )A ．3B ．2C ．1D ．1-【解答】解：2x y m =-⎧⎨=⎩是方程64nx y +=的一个解, ∴代入得：264n m -+=,32m n ∴-=, 31213m n ∴-+=+=,故选：A ．6．（3分）由方程组43x m y m+=⎧⎨-=⎩可得出x 与y 的关系是( )A ．1x y +=B ．1x y +=-C ．7x y +=D ．7x y +=-【解答】解：原方程可化为43x m y m +=⎧⎨-=⎩①②,①+②得,7x y +=． 故选：C ．7．（3分）已知278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩的解为32x y =⎧⎨=-⎩,某同学由于看错了c 的值,得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩,则a b c ++的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解答】解：根据题意得：322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩,解得：45a b =⎧⎨=⎩,将3x =,2y =-代入得：3148c +=, 解得：2c =-,则4527a b c ++=+-=． 故选：A ．8．（3分）已知x ,y 满足方程组36x m y m +=⎧⎨-=⎩,则无论m 取何值,x ,y 恒有关系式是( )A ．1x y +=B ．1x y +=-C ．9x y +=D ．9x y +=-【解答】解：36x m y m +=⎧⎨-=⎩①②,把②代入①得,63x y +-=,整理得,9x y+=,故选：C．9．（3分）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23,那么乙也共有钱50．问：甲,乙两人各带了多少钱？设甲,乙两人持钱的数量分别为x,y,则可列方程组为()A．2502503x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩B．15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．15022503x yx y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D．2502503x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩【解答】解：设甲需持钱x,乙持钱y,根据题意,得：15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,故选：B．10．（3分）文峰超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏,以下是4天的记录：第1天,卖出13支牙刷和7盒牙膏,收入132元；第2天,卖出26支牙刷和14盒牙膏,收入264元；第3天,卖出39支牙刷和21盒牙膏,收入393元；第4天,卖出52支牙刷和28盒牙膏,收入528元；其中记录有误的是()A．第1天B．第2天C．第3天D．第4天【解答】解：设每支牙刷x元,每盒牙膏y元．第1天：137132x y+=；第2天：2614264x y+=；第3天：3921393x y+=；第4天：5228528x y+=．假设第1天的记录正确,则第2天、第4天的记录也正确；假设第1天的记录错误,则第2天、第4天的记录也错误．故选：C．二．填空题（共8小题,满分24分,每小题3分）11．（3分）已知95xy=⎧⎨=⎩是关于x、y的方程23x ay-=的一个解,则a的值是3．5y =⎩移项得：5318a -=-, 合并得：515a -=-, 解得：3a =． 故答案为：3．12．（3分）试写出一个关于x 、y 的的二元一次方程,使它的一个解为12x y =⎧⎨=⎩,这个方程为3x y +=（答案不唯一） ．【解答】解：根据题意：3x y +=（答案不唯一）, 故答案为：3x y +=（答案不唯一）13．（3分）已知x 、y 满足方程组52723x y x y +=⎧⎨-=⎩,则x y +的值为 1 ．【解答】解：527(1)23(2)x y x y +=⎧⎨-=⎩,（1）-（2）得：444x y +=, 1x y ∴+=,故答案为：1．14．（3分）若22(24)()|4|0x x y z y -+++-=,则x y z ++等于 12- ．【解答】解：22(24)()|4|0x x y z y -+++-=, ∴240040x x y z y -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩, 解得：2212x y z ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=-⎩,则112222x y z ++=--=-． 故答案为：12-．15．（3分）若21x y =⎧⎨=⎩是方程组75ax by bx cy +=⎧⎨+=⎩的解,则a 与c 的关系是 49a c -= ．1y =⎩5bx cy +=⎩得2725a b b c +=⎧⎨+=⎩①②,①2⨯-②,得49a c -=． 故答案为：49a c -=．16．（3分）请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦,鸦树不知数,三只栖一树,五只没去处,五只栖一树,闲了一棵树,请你仔细数,鸦树各几何？”若诗句中谈到的鸦为x 只,树为y 棵,则可列出方程组为 355(1)x y x y =+⎧⎨=-⎩．【解答】解：设诗句中谈到的鸦为x 只,树为y 棵,则可列出方程组为： 355(1)x y x y =+⎧⎨=-⎩． 故答案为：355(1)x y x y =+⎧⎨=-⎩．17．（3分）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题,其题意为：客人一起分银子,若每人7两,还剩4两；若每人9两,则差8两．银子共有 46 两． 【解答】解：设有x 人,银子y 两, 由题意得：7498y x y x =+⎧⎨=-⎩,解得646x y =⎧⎨=⎩,故答案为46．18．（3分）元旦期间,忠县永辉超市对三种风味的酸奶（原味、果粒味、大红枣味）进行A 、B 、C 三种套餐的促销活动．已知A 种套餐由3盒原味、4盒果粒味、5盒大红枣味搭配而成；B 种套餐由2盒原味、8盒果粒味、8盒大红枣味搭配而成；C 种套餐由5盒原味、4盒果粒味、6盒大红枣味搭配而成,每一种套餐的费用就是搭配该套餐的三种风味酸奶费用的总和．若一个A 种套餐需35元,那么小明同学要买2个A 种套餐、1个B 种套餐和2个C 种套餐共需费用 210 元．【解答】解：设1盒原味的价格为x 元,1盒果粒味的价格为y 元,1盒大红枣味的结果为z 元, 由题意得：34535x y z ++=,则小明同学要买2个A 种套餐、1个B 种套餐和2个C 种套餐共需费用为： 2352882(546)x y z x y z ⨯++++++ 70121620x y z =+++ 704(345)x y z =+++ 70435=+⨯210=（元),故答案为：210．三．解答题（共6小题,满分53分）19．（6分）已知方程1352x y+=,请你写出一个二元一次方程,使它与已知方程所组成的方程组的解为41xy=⎧⎨=⎩．【解答】解：经验算41xy=⎧⎨=⎩是方程1352x y+=的解,再写一个方程,如3x y-=．20．（12分）解下列方程组：（1）124x yx y+=⎧⎨-=-⎩（2）1234()5()38x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎨⎪+--=-⎩【解答】解：（1）在1(1)24(2)x yx y+=⎧⎨-=-⎩中,（1）+（2）得：33x=-,解得：1x=-,把1x=-代入（1）得：2y=．∴方程组的解为12xy=-⎧⎨=⎩．（2）在1(1)234()5()38(2)x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎨⎪+--=-⎩中,由（1）得：56x y+=（3）,由（2）得：938x y-+=-,938x y∴=+,将938x y=+代入（3）得：46184y=-, 4y∴=-．把4y=-代入938x y=+,得2x=．∴方程组的解为24xy=⎧⎨=-⎩．21．（7分）已知方程组27431x yx y+=⎧⎨-=-⎩的解也是关于x,y的二元一次方程3x y a=+的解,求(1)(1)7a a+-+的值．【解答】解：方程组27431x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②, ①3⨯+②得：1020x =,即2x =,把2x =代入①得：3y =,把2x =,3y =代入方程得：63a =+,即3a =,则原式21791715a =-+=-+=．22．（8分）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小文分别寄快递到上海和北京,收费标准及实际收费如表： 收费标准： 目的地起步价（元) 超过1千克的部分（元/千克） 上海7 b 北京10 4b + 目的地质量（千克） 费用（元) 上海2 6a - 北京3 7a +【解答】解：依题意得：7(21)610(31)(4)7b a b a +-=-⎧⎨+-+=+⎩, 解得：152a b =⎧⎨=⎩． 答：a 的值为15,b 的值为2．23．（10分）疫情期间为保护学生和教师的健康,某学校储备“抗疫物资”,用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒,甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒,25元/盒．（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒,25个/盒,按照市教育局要求,学校必须储备足够使用10天的口罩,该校师生共计900人,每人每天2个口罩,问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？【解答】解：（1）设甲种口罩购进了x 盒,乙种口罩购进了y 盒,依题意得：900202519000x y x y +=⎧⎨+=⎩, 解得：700200x y =⎧⎨=⎩,答：甲种口罩购进了700盒,乙种口罩购进了200盒．（2）207002520014000500019000⨯+⨯=+=（个),29001018000⨯⨯=（个), 1900018000>,∴购买的口罩数量能满足市教育局的要求．24．（10分）为了提倡节约用水,某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过312m时,按一级单价收费；当每户每月用水量超过312m时,超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为310m,缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家,用水量为314m,缴纳水费51.4元．（1）问该市一级水费,二级水费的单价分别是多少？（2）某户某月缴纳水费为64.4元时,用水量为多少？【解答】解：（1）设该市一级水费的单价为x元,二级水费的单价为y元,依题意得：103212(1412)51.4xx y=⎧⎨+-=⎩,解得：3.26.5xy=⎧⎨=⎩．答：该市一级水费的单价为3.2元,二级水费的单价为6.5元．（2） 3.21238.4⨯=（元),38.464.4<,∴用水量超过312m．设用水量为a3m,依题意得：38.4 6.5(12)64.4a+-=,解得：16a=．答：当缴纳水费为64.4元时,用水量为316m．。
华育数学七下-一元二次方程的应用(一)
一元二次方程的应用（一）2012．6．1学习目标：1、握手问题与礼物问题；2、体育比赛问题3、数字问题4、增长率问题例1、（握手问题）一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会。
列方程得__________________。
变式（一）（礼物问题）：生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组互赠了182件。
求全组人数变式（二）：中美两个国家代表团举行一次双边会谈，在会谈前双方成员分别与对方成员一一握手，握手次数共88次，己知中国代表团比美国代表团成员少3人，则美国代表团有______人．变式（三）：一个多边形有27条对角线，那么这个多边形的边数是多少？例2、（体育比赛问题）某市举行乒乓球比赛，先经过3轮淘汰赛，剩下选手进行单循环比赛，共进行了34场比赛。
问有多少人参赛？例3、（数字问题）一个三位数，十位上的数字比它个位上的数字大3，百位上的数字等于个位上的数字的平方。
已知这个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202，求这个三位数。
思考：（1）一个三位数与它各个数位上的数字有何关系？也就是如何用各个数位上的数字表示三位数？（2）由题意知，十位上的数字、百位上的数字都与个位上的数字有关，因此你可以设______上的数字为______，那么______位上的数字为______，______位上的数字为______。
这个三位数可表示为______。
解：练习：有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大6，把这个两位数个位数字与十位数字对调，再与原数相乘，积为3627。
求这个两位数。
例4、（增长率问题）某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月的月平均增长的百分率是多少？分析：设月平均增长的百分率为x注意：（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x．（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系．（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开，注意方程两根的取含问题．变式（一）：某工厂计划两年内把产量翻一番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。
初中数学教案模板一元二次方程(优秀7篇)
初中数学教案模板一元二次方程（优秀7篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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七年级一元二次方程知识点总结
七年级一元二次方程知识点总结
一元二次方程是中学数学中的重要内容之一。
在七年级研究一元二次方程时，主要包括以下几个知识点：
1. 一元二次方程的定义：一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c分别为已知数，而x是未知数。
2. 一元二次方程的解：解一元二次方程可以通过因式分解、配方法、求根公式等方式。
其中最常用的方法是求根公式，即利用二次方程的求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解方程。
3. 一元二次方程的判别式：判别式可以帮助我们判断一元二次方程的解的情况。
判别式Δ = b^2 - 4ac，通过判别式的值可以分为三种情况：当Δ > 0时，方程有两个不同实数解；当Δ = 0时，方程有两个相等实数解；当Δ < 0时，方程没有实数解。
4. 一元二次方程的图像：一元二次方程的图像是一个抛物线。
通过方程中的a的正负和判别式的值可以判断抛物线的开口方向和位置。
5. 一元二次方程的应用：一元二次方程在生活和实际问题中有
许多应用。
例如，可以用一元二次方程求解一个物体的抛射问题、
轨道问题、距离问题等。
以上是七年级研究一元二次方程的主要知识点总结。
通过掌握
这些知识点，可以更好地理解和解决一元二次方程相关的数学问题。
参考资料：
- 《数学七年级上册》教材
- 《中学数学七年级上册》辅导书。
初中数学一元二次方程解法总结
初中数学一元二次方程解法总结一元二次方程解法总结一、引言初中数学中，一元二次方程是一个重要的内容，它的解法涉及了解析几何、代数方程及应用问题的解答等多个领域。
本文将总结一元二次方程的解法，包括求根公式法、配方法、图像法、因式分解法等，以帮助初中学生更好地掌握这一知识点。
二、求根公式法求根公式法是一种通用而简洁的解法，适用于任意一元二次方程。
对于形如ax² + bx + c = 0（其中a≠0）的方程，可以使用求根公式来求解。
求根公式为：x₁ = (-b + √(b²-4ac))/(2a)x₂ = (-b - √(b²-4ac))/(2a)三、配方法配方法是一种常用的解法，适用于一些特殊形式的二次方程。
对于形如ax² +bx + c = 0，其中a≠0且b²-4ac不为完全平方数的方程，可以使用配方法来解决。
具体步骤如下：1. 将方程重新排列，以使得二次项系数为1。
2. 将方程两边加上一个适当的常数使其成为一个完全平方。
3. 通过完全平方公式求解新的二次方程。
4. 将求解得到的值代入原方程，验证是否为正确的解。
四、图像法图像法是一种直观且易于理解的解法，适用于通过图像来解决一元二次方程。
对于形如ax² + bx + c = 0的方程，可以通过作出二次函数的图像来求解。
具体步骤如下：1. 根据二次方程的系数a、b和c，确定二次函数的图像形状。
2. 在坐标系中画出二次函数的图像。
3. 根据图像与x轴的交点，求解方程的根。
五、因式分解法因式分解法是一种巧妙的解法，适用于一些特殊形式的二次方程。
对于形如ax² + bx + c = 0（其中a≠0）的方程，可以尝试通过因式分解来求解。
具体步骤如下：1. 将方程分解成二次因式的乘积形式。
2. 令每个因式等于零，求解得到方程的根。
3. 验证求得的根是否满足原方程。
六、实际应用一元二次方程在生活中有很多实际应用，比如求解质点运动问题、面积和体积最大最小问题等。
初一数学一元二次方程全章精品讲义
当 <0,方程无实数解。
典例分析：
题型1：根据判别式判断根的情况
例1：方程 的根的情况（）
A、该方程有两个相等的实数根B、该方程有两个不相等的实数根
C、该方程没有实数根D、无法确定
例2：不解方程判断下列方程根的情况
（1） （2） （3）
（4） （5）
题型2：利用跟的判别式求方程中某个字母的值或取值范围
d=====(￣▽￣*)b_____________________________________
例2：已知 是完全平方式，则 的值为______。
例3：若 是完全平方公式，则 的值为_______。
例4：根据完全平方式填空
（1） （2）
（3） (4)
题型2：用配方法解一元二次方程
例1：用配方法解下列方程：
例3：已知一元二次方程 的两个根分别为 ，则二次三项式 可分解为_________________。
例4：在实数范围为定义一种运算“*”，其规则为 ，根据这个规矩，方程 的解为______________。
例5：若关于 的方程 与 有相同的实数根，则 的值为_______。
例6：已知 为非负数，方程
（2）如果方程有两个相等的实数根，是判断△ABC的形状，并说明理由。
（3）如果△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根。
例3：已知 的两边AB、AD的长是关于x的方程 的两个实数根。
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长？
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长为多少？
6、求证：关于 的一元二次方程 恒有两个实数根．
7、已知关于 的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求 的值及该方程的另一个根
第5课 一元二次方程根的判别式
第5课 一元二次方程根的判别式【预习参考】《校本教材》七年级（下）P28——P34【学习目标】1.灵活应用△的值判断一元二次方程根的情况；2.能根据一元二次程根的情况反解字母系数的取值。
【学习重点】一元二次方程根的判别式及其应用.【知识储备】1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式为:x =，其中△= 。
2. 对于字母m ，当m >0时，它有 个平方根,它们互为 ,用符号表示为: ; 当m =0时，它的平方根为 ; 当m <0时，它 平方根.【学习过程】第一环节 自主做学——见龙在田一．基础训练1. 一元二次方程：230x x +-=中，a 为 ,b 为 ，c 为 ，△= 。
2. 一元二次方程250y -=中，a 为 ,b 为 ，c 为 ，△= 。
3. 一元二次方程2315x x x -=-中，a 为 ,b 为 ，c 为 ，△= 。
二．解读教材问题1：ax 2+bx+c=0的判别式与根的情况 222404040b ac b ac b ac ⎧∆=-〉⇔⎪∆=-=⇔⎨⎪∆=-〈⇔⎩时方程有两个不相等的实数根时方程有两个相等的实数根时方程没有实数根即时训练：不解方程，利用判别式判断下列一元二次方程根的情况：（1）22340x x +-= （2）216924y y +=（3）25(1)70x x +-= （4）25x +=归纳总结：对于一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）①利用判别式判断一元二次方程根的情况首先应将一元二次方程化为一般式;再利用法则判断; ②技巧:观察:当a 、c 异号时，△一定大于零,即方程一定有两个不相等实数根. 第二环节 合作探究——腾龙在天三．挖掘教材问题1: 求证：不论m 取何值时，关于x 的方程2(3)1x m x --=一定有两个不相等的实数根归纳总结：此类证明题的一般步骤：（1）计算24b ac -；（2）利用配方将24b ac -变形成非负数的和的形式；（3）说理，即说明△的符号；（4）得出所要求证的结论.问题2：已知一元二次方程2410kx x -+=（1）k 为何值时，方程有两个实数根？（2）k 为何值时，方程有实数根？（3）k 为何值时，该方程没有实数根？归纳小结：此类方程中，二次项的系数含有字母,因而要注意在求解过程中需同时满足⎧⎨∆⎩二次项系数不等于零的取值范围即时训练：当k 取什么值时，关于x 的一元二次方程2(21)10kx k x k +++-=有实数根第三环节 总结反思——亢龙有悟四．反思小结1.一元二次方程的根的判别式有三种情况:① ② ③2.对于含字母系数的一元二次方程,应用判别式解决有关问题时,应注意:①常用数学方法:配方法,转化成非负数的数学模型;②问题的完整性:即 .【达标练习】1．一般地，对于一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）（1）当b 2-4ac ≥0时，它的根的情况是 ；（2）当b 2-4ac <0时，它的根的情况是 .2．关于x 方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个相等的实数根，则____ _ ___，•若有两个不相等的实数根，则______ ___，若方程无实数解，则__ __ ________．3．若方程3x 2+bx +1=0无实数解，则b 应满足的条件是__ ______．4．不解方程，判定2x 2-3=4x 的根的情况是 .5．不解方程，判断所给方程：①x 2+3x +7=0；②x 2+4=0；③x 2+x -1=0中，有实数根的方程有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．已知k ≠1，一元二次方程（k -1）x 2+kx +1=0有根，求k 的取值范围。
一元二次方程初中几年级学
一元二次方程初中几年级学一元二次方程是初中数学中的一个重要概念，通常在七年级或八年级开始学习。
它是一个二次方程，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数，且a不等于0。
当我第一次学习一元二次方程时，我对它感到困惑和陌生。
我记得老师用生动的例子来解释它的应用。
我们一起解决了一些实际问题，比如求解抛物线的顶点坐标、找出图像的对称轴等。
通过这些实例，我逐渐理解了一元二次方程的意义和用途。
随后，我们开始学习如何解一元二次方程。
老师告诉我们可以使用配方法、因式分解和求根公式等方法来求解。
我发现每种方法都有其独特的优势和适用范围。
在解题的过程中，我需要仔细观察方程的形式，选择合适的方法进行求解。
这个过程需要我灵活运用数学知识和思维能力。
在学习过程中，我发现一元二次方程与实际生活中的问题紧密相关。
比如，在物理学中，我们可以用一元二次方程来描述自由落体运动的轨迹；在经济学中，我们可以用一元二次方程来分析成本和利润的关系。
这些实际问题的解决需要我们将数学知识与实际情境相结合，培养我们的思维能力和创造力。
通过学习一元二次方程，我不仅掌握了具体的求解方法，还培养了逻辑思维和问题解决能力。
我学会了观察问题的本质，分析问题的特点，并找出合适的解决方案。
这些能力在我日常生活和学习中都能发挥重要作用。
总的来说，学习一元二次方程是初中数学教育中的一个重要环节。
通过学习，我们不仅掌握了具体的知识和技能，还培养了思维能力和创造力。
这些能力在我们的成长和发展中都具有重要意义。
所以，让我们一起努力学好一元二次方程，为未来的学习和生活打下坚实的数学基础。
初中数学一元二次方程教案(5篇)
初中数学一元二次方程教案（5篇）初中数学一元二次方程教案（精选5篇）作为一名优秀的教育工作者，时常会需要准备好教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。
下面是小编为大家整理的初中数学一元二次方程教案，如果大家喜欢可以分享给身边的朋友。
初中数学一元二次方程教案篇1学习目标：1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的应用题;2、进一步培养学生分析问题、解决问题的能力。
学习重点：会列一元二次方程解关于增长率问题的应用题。
学习难点：如何分析题意，找出等量关系，列方程。
学习过程：一、复习提问：列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么二、探索新知1.情境导入问题：“坡耕地退耕还林还草”是国家为了解决西部地区水土流失生态问题、帮助广大农民脱贫致富的一项战略措施，某村村长为带领全村群众自觉投入“坡耕地退耕还林还草”行动，率先示范.2023年将自家的坡耕地全部退耕，并于当年承包了30亩耕地的还林还草及管理任务，而实际完成的亩数比承包数增加的百分率为x，并保持这一增长率不变，2023年村长完成了36.3•亩坡耕地还林还草任务，求①增长率x是多少②该村有50户人家，每户均地村长2023•年完成的亩数为准，国家按每亩耕地500斤粮食给予补助，•则国家将对该村投入补助粮食多少万斤2.合作探究、师生互动教师引导学生分析关于环保的情境导入问题，•这是一个平均增长率问题，它的基数是30亩，平均增长的百分率为x，那么第一次增长后，•即2023年实际完成的亩数是30(1+x)，第二次增长后，即2023年实际完成的亩数是30(1+x)2，而这一年村长完成的亩数正好是36.3亩.教师引导学生运用方程解决问题：①30(1+x)2=36.3;(1+x)2=1.21;1+x=±1.1;x1=0.1=10%，x2=-2.1(舍去)，所以增长的百分率为10%.②全村坡耕地还林还草为50×36.3=1 815(亩)，•国家将补助粮食1815 ×500=907 500(斤)=90.75(万斤).三、例题学习说明：题目中求平均每月增长的百分率，直接设增长的百分率为x，好处在于计算简便且直接得出所求。
一元二次方程的应用教案
2．5 一元二次方程的应用第1课时一元二次方程的应用(1)教学目标【知识与技能】使学生会用列一元二次方程的方法解应用题．【过程与方法】让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值．【情感态度】在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力．【教学重点】建立一元二次方程模型解决一些代数问题．【教学难点】把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题．教学过程一、情景导入，初步认知列方程解应用问题的步骤是什么？①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答．【教学说明】七年级学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用．二、思考探究，获取新知1．某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率，若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率(假设该省每年产生的秸秆总量不变)分析：由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：今年的使用率×(1＋年平均增长率)2＝后年的使用率解：设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列出方程：40%(1＋x)2＝90%解得：x1＝50%，x2＝－2.5根据题意可知：x＝50%答：这两年秸秆使用率的平均年增长率为50%.2．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．求平均每次降价的百分率．分析：问题中涉及的等量关系是：原价×(1－平均每次降价的百分率)2＝现在的售价解：设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系，可列出方程：100(1－x)2＝81解得：x1＝10%，x2＝1.9根据题意可知：x＝10%答：平均每次降价的百分率为10%.3．“议一议”运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？【归纳结论】运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：分析实际问题→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的检验→实际问题的解．【教学说明】使学生感受、明白利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法．三、运用新知，深化理解1．见教材P50例2.2．一件商品的原价是121元，经过两次降价后的价格为100元．如果每次降价的百分率都是x，根据题意列方程得________．【答案】121(1－x)2＝1003．某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．解：设这个增长率是x，根据题意得：2000×(1＋x)2＝2880解得：x1＝20%，x2＝－220%(舍去)故答案为：20%.4．某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要达到2160万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，问2013年预计经营总收入为多少万元？解：设每年经营总收入的年增长率为a.列方程，600÷40%×(1＋a)2＝2160解方程，a1＝0.2，a2＝－2.2，(不符合题意，舍去)∴每年经营总收入的年增长率为0.2，则2013年预计经营总收入为：600÷40%×(1＋0.2)＝600÷40%×1.2＝1800答：2013年预计经营总收入为1800万元．5．将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润．(1)写出x与y之间的关系式；(2)为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？解∶(1)商品的单价为50＋x元，每个的利润是(50＋x)－40元，销售量是500－10x个，则依题意得y ＝[(50＋x)－40](500－10x)，即y＝－10x2＋400x＋5000.(2)依题意，得－10x2＋400x＋5000＝8000.整理，得x2－40x＋300＝0.解得x1＝10，x2＝30.所以商品的单价应定为50＋10＝60(元)或50＋30＝80(元)．当商品的单价为60元时，其进货量只能是500－10×10＝400(个)；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500－10×30＝200(个)．6．“国运兴衰，系于教育”下图中给出了我国从1998─2002年每年教育经费投入的情况．(1)由图可见，1998─2002年的五年内，我国教育经费投入呈现出________趋势；(2)如果我国的教育经费从2002年的5500亿元增加到2004年的7920亿元，那么这两年的教育经费平均年增长率为多少？解：(1)上升或增长．(2)设平均每年增长率为x.依题意，5500(1＋x)2＝7920解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：这两年的教育经费平均年增长率为20%.【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题2.5”中第1、2题．教学反思一元二次方程的应用——增长率及利润问题与我们的生活密切相关，在解决增长率问题时，要弄清关键词语的含义和有关数量间的关系，掌握其规律，还应注意各种数据变化的基础，针对本节课的内容，制作了多媒体教学课件，让学生在探讨、练习中完成所学内容．本节课中，同学们能积极投入到课堂教学中，认真思考、讨论，踊跃发言，课堂气氛活跃，在个别问题的回答上，学生大胆发言，配合默契，达到了积极的教学效果．第2课时一元二次方程的应用(2)教学目标【知识与技能】会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性作出解释．【过程与方法】进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养学生用数学的意识．【情感态度】让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识．【教学重点】应用一元二次方程解决实际问题．【教学难点】从实际问题中建立一元二次方程的模型．教学过程一、情景导入，初步认知复习列方程解应用题的一般步骤：(1)审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；(2)设未知数：用字母(如x)表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x；(3)列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；(4)解方程：求出所给方程的解；(5)检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；(6)作答：根据题意，选择合理的答案．2．说一说，矩形的面积与它的两邻边长有什么关系？【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习作准备．二、思考探究，获取新知1．思考：如图，在一长为40cm，宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子，若已知长方体盒子的底面积为364平方厘米，求截去的四个小正方形的边长．(1)引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；(2)确定本题的等量关系是：盒子的底面积＝盒子的底面长×盒子的底面宽；(3)引导学生根据题意设未知数；(4)引导学生根据等量关系列方程；(5)引导学生求出所列方程的解；(6)检验所求方程的解的合理性；(7)根据题意作答．【教学说明】设未知数和作答时都不要漏写单位，是多项式时要加括号再写单位．2．如图，一长为32m，宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为540m2，求道路的宽．分析：本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，如图，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．还要注意根据题意考虑根的合理性，从而确定根的取舍．本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了(32－x)(20－x)平方米2，进而即可列出方程，求出答案．解：设道路宽为x 米 (32－x)(20－x)＝540解得：x 1＝2，x 2＝50(不合题意，舍去) ∴x＝2答：道路宽为2米．3．如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝6cm .BC ＝8cm ，点P 沿AC 边从点A 向终点C 以1cm /s 的速度移动，同时点Q 沿CB 边从C 向终点B 以2cm /s 的速度移动，且当其中一点达到终点时，另一点也随之停止移动，问点P 、Q 出发几秒后，可使△PCQ 的面积为9cm 2?解：设x s 后，可使△PCQ 的面积为9cm 2.由题意得，AP ＝x cm ，PC ＝(6－x)cm ，CQ ＝2x cm 则12·(6－x)·2x＝9.整理，得x 2－6x ＋9＝0，解得x 1＝x 2＝3.所以P 、Q 同时出发，3s 后可使△PCQ 的面积为9cm 2.【教学说明】使学生感受、明白在几何图形中利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法． 三、运用新知，深化理解1．如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m ，宽20m 的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，若横路宽为3x cm ，则可列方程为________．分析：若设小路的横路宽为3x m ，则纵路宽为2x m ，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下(目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路)，则余下的草坪面积可用含x 的代数式表示为(30－4x)(20－6x)m 2，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，可列方程．则可列方程：(30－4x)(20－6x)＝34×30×20【答案】(30－4x)(20－6x)＝34×30×202．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是( )A ．x 2＋130x －1400＝0 B ．x 2＋65x －350＝0 C ．x 2－130x －1400＝0 D ．x 2－65x －350＝0 【答案】B3．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m )，用80m 长的篱笆围一个矩形场地．(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2?(2)能否使所围矩形场地的面积为810m 2，为什么？解：(1)设所围矩形ABCD 的长AB 为x 米，则宽AD 为12(80－x)米．依题意，得x·12(80－x)＝750.即，x 2－80x ＋1500＝0，解此方程，得x 1＝30，x 2＝50. ∵墙的长度不超过45m ，∴x 2＝50不合题意，应舍去．当x ＝30时，12(80－x)＝12×(80－30)＝25，所以，当所围矩形的长为30m 、宽为25m 时，能使矩形的面积为750m 2. (2)不能．因为由x·12(80－x)＝810得x 2－80x ＋1620＝0.又∵b 2－4ac ＝(－80)2－4×1×1620＝－80＜0， ∴上述方程没有实数根．因此，不能使所围矩形场地的面积为810m 2.4．如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．分析：本题可根据地毯的面积为40平方米来列方程，其等量关系式可表示为： (矩形图案的长＋两个花边的宽)×(矩形图案的宽＋两个花边的宽)＝地毯的面积． 解：设花边的宽为x 米，根据题意得(2x ＋6)(2x ＋3)＝40，解得x 1＝1，x 2＝－112，x 2＝－112不合题意，舍去．答：花边的宽为1米． 5．我校原有一块正方形空地，后来在这块空地上划出部分区域栽种花草(如图)，原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，使剩余的空地面积为12m 2，求原正方形的边长．分析：本题可设原正方形的边长为x m ，则剩余的空地长为(x －1)m ，宽为(x －2)m .根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．解：设原正方形的边长为x m ，依题意有(x －1)(x －2)＝12整理，得x 2－3x －10＝0. ∴(x－5)(x ＋2)＝0，∴x 1＝5，x 2＝－2(不合题意，舍去) 答：原正方形的边长5m .6．小明家有一块长8m ，宽6m 的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园(图中阴影部分)，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，求图中的x 值．解：据题意，得(8－x)(6－x)＝12×8×6.解得x 1＝12，x 2＝2.x 1不合题意，舍去． ∴x＝2.【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充． 课后作业布置作业：教材“习题2.5”中第3、4、7题． 教学反思本节课以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题．这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运．既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用．复习与提升教学目标【知识与技能】1．一元二次方程的相关概念．2．灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．3．能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况．4．能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题．5．构造一元二次方程解决简单的实际问题．【过程与方法】通过灵活运用解方程的方法，体会几种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法．【情感态度】通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用．【教学重点】运用知识、技能解决问题．【教学难点】解题分析能力的提高．教学过程一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识及之间的关系．二、释疑解惑，加深理解1．一元二次方程的概念：如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax 2＋bx ＋c ＝0，(a ，b ，c 是已知数且a≠0)，其中a ，b ，c 分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项．2．直接开平方法：对于形如(x ＋n)2＝d(d≥0)的方程，可用直接开平方法解．直接开平方法的步骤是：把方程变形成(x ＋n)2＝d(d≥0)，然后直接开平方得x ＋n ＝d 和x ＋n ＝－d ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解．3．配方法：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种方法称为配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：(1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．4．公式法：求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0) 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．用公式法解一元二次方程的一般步骤：首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a ，b ，c 的值；其次要计算b 2－4ac 的值，当b 2－4ac≥0时，再用求根公式求解．5．因式分解法：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．6．一元二次方程的根的判别式：我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示．即：Δ＝b 2－4ac (1)当Δ＝b 2－4ac>0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有两个不相等实数根即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a. (2)当Δ＝b 2－4ac ＝0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有两个相等实数根．(3)当Δ＝b 2－4ac<0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)没有实数根．7．一元二次方程的根与系数的关系：当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有以下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．即：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a8．运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：实际问题→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的检验→实际问题的解．【教学说明】通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做好铺垫．三、典例精析，复习新知1．(1)方程(m ＋1)xm 2－2m －1＋7x －m ＝0是一元二次方程，则m 是多少？分析：首先根据一元二次方程的定义得，m 2－2m －1＝2；再由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得m ＋1≠0来求m 的值．【答案】m ＝3.(2)若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0，则m 等于( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0分析：首先得出m 2－3m ＋2＝0；再由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得m－1≠0来求m 的值．【答案】B【教学说明】此时要注意二次项系数不为0，在讨论含字母系数的一元二次方程问题时，命题者常利用a≠0设计陷阱．2．用适当的方法解一元二次方程(1)x 2＝3x (2)(x －1)2＝3(3)x 2－2x －99＝0 (4)2x 2＋5x －3＝0分析：方程(1)选用因式分解法；方程(2)选用直接开平方法；方程(3)选用配方法；方程(4)选用公式法．解：(1)x 1＝0，x 2＝3；(2)x 1＝1＋3，x 2＝1－3；(3)x 1＝11，x 2＝－9；(4)x 1＝12，x 2＝－3. 3．若(x 2＋y 2)2－4(x 2＋y 2)－5＝0，则x 2＋y 2＝________．分析：用换元法设x 2＋y 2＝m 得m 2－4m －5＝0，解得m 1＝5，m 2＝－1.对所求结果，还要结合“x 2＋y 2”进行取舍，从而得到最后结果．【答案】54．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两不个相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k>－1B ．k>－1且k≠0C ．k<1D ．k<1且k≠0分析：b 2－4ac ＝(－2)2－4×(－1)k ＝4k ＋4＞0得k ＞－1，再由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得k≠0.【答案】B5．某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个．市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个．若销售利润率不得高于100%，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？分析：如果这种台灯售价上涨x 元，那么每个台灯获利(40＋x －30)元，每月平均销售数量为(600－10x)个，销售利润为(40＋x －30)和(600－10x)的积．用一元二次方程解决实际问题时，所求得的结果往往有两个，而实际问题的答案常常是一个，这就需要我们仔细审题，看清题目的要求，进而作出正确的选择．解：设这种台灯的售价上涨x 元，根据题意，得(40＋x －30)(600－10x)＝10000.即x 2－50x ＋400＝0.解得x 1＝10，x 2＝40.所以每个台灯的售价应定为50元或80元．当台灯售价定为80元时，销售利润率为53，不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率为23，符合要求．答：每个台灯售价应是50元．6．如图，要设计一个矩形的花坛，花坛长60m ，宽40m ，有两条纵向甬道和一条横向甬道，横向甬道的两侧有两个半圆环形甬道，半圆环形甬道的内半圆的半径为10m ，横向甬道的宽度是其它各甬道宽度的2倍．设横向甬道的宽为2x m .(π的值取3)(1)用含x 的式子表示两个半圆环形甬道的面积之和；(2)当所有甬道的面积之和比矩形面积的15多36m 2时，求x 的值． 解：(1)两个半圆环形甬道的面积＝π(10＋x)2－π×102＝3x 2＋60x(m 2)；(2)依题意，得40×x×2＋60×2x－2x 2×2＋3x 2＋60x ＝15×60×40＋36， 整理，得x 2－260x ＋516＝0，解得x 1＝2，x 2＝258(不符合题意，舍去)，∴x＝2；答：x 的值为2.【教学说明】列方程解应用题注重考查了能力问题，表面文字比较复杂，但认真阅读，抓住实质，问题就迎刃而解了．四、复习训练，巩固提高1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况为( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根分析：b 2－4ac ＝(－2)2－4×(－1)＝8【答案】B2．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根为0，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1分析：把x ＝0代入方程得：|a|－1＝0，∴a＝±1.∵a－1≠0，∴a＝－1.故选A .【答案】A3．已知关于x 的方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两实根的平方和等于11，则k 的值为________．分析：设方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根为x 1，x 2，得∵Δ＝(2k ＋1)2－4×(k 2－2)＝4k ＋9＞0，∴k＞－94. ∵x 1＋x 2＝－(2k ＋1)，x 1·x 2＝k 2－2，又∵x 21＋x 22＝11，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝11.∴(2k＋1)2－2(k 2－2)＝11，解得k ＝1或－3. ∵k＞－94，∴k＝1. 【答案】14．若关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数根，则a 的取值范围是________．分析：∵关于x 的一元二次方程有实根，∴Δ＝42－4a≥0，解之得a≤1.【答案】a≤15．若关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋k －3＝0的两个实数根为x 1、x 2，且满足x 1＝3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值．分析：根据根与系数的关系列出等式，再由已知条件x 1＝3x 2联立组成方程组，解方程组即可． 解：由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝4①，x 1·x 2＝k －3②又∵x 1＝3x 2③，联立①、③，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x 2＝1.∴k＝x 1x 2＋3＝3×1＋3＝6. 方程两根为x 1＝3，x 2＝1；k ＝6.6．某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内(含10辆)，每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万．(1)若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为________万元；(2)如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？(盈利＝销售利润＋返利)分析：用销售数量表示出每辆的进价、返利等，再表示出盈利，列出方程，求解．解：(1)27－(3－1)×0.1＝26.8.(2)设销售汽车x 辆，则汽车的进价为27－(x －1)×0.1＝(27.1－0.1x)万元，若x≤10，则(28－27.1＋0.1x)x ＋0.5x ＝12解得x 1＝6，x 2＝－20(不合题意，舍去)若x>10，则(28－27.1＋0.1x)x ＋x ＝12解得x 3＝5(与x>10矛盾，舍去)，x 4＝－24(不合题意，舍去)答：公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车．7．如图①，要设计一幅宽20cm ，长60cm 的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为4∶3，如果要使所有彩条所占面积为原长方形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 分析：由横、竖彩条的宽度比为4∶3，可设每个横彩条的宽为4x ，则每个竖彩条的宽为3x.为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到长方形ABCD.(1)结合以上分析完成填空：如图②，用含x 的代数式表示：AB ＝________cm ；AD ＝________cm ；长方形ABCD 的面积为________cm 2；(2)列出方程并完成本题解答．分析：(1)一条竖纹宽度为3x ，长方形宽减去两条竖纹宽度，即为AB 长度，同理，长方形长减去两条横纹宽度，即为AD 长度；长方形面积为20×60×(1－13)＝800； (2)在(1)的基础上，根据所有彩条所占面积为原长方形图案面积的三分之一列方程求解即可．解：(1)由题意得，AB ＝(20－6x)cm ，AD ＝(60－8x)cm ，长方形面积为60×20×(1－13)＝800cm 2. (2)由题意列方程得(20－6x)(60－8x)＝23×1200， 解得，x ＝56，x ＝10(舍去)． 答：每个横彩条的宽度为103cm ，每个竖彩条的宽度为52cm . 五、师生互动，课堂小结1．回顾整理今日收获．2．你还有哪些困惑和疑问？课后作业布置作业：教材“复习题2”中第3、4、5、11、12题．教学反思通过画知识框图，完成对一元二次方程的知识点的梳理，建构知识体系；让学生对典型例题、自身错题进行整理，从而使学生抓住本章的重点、突破学习的难点．。
初中数学练习题解一元二次方程
初中数学练习题解一元二次方程一元二次方程是初中数学中的重要内容之一，下面将对一些典型的初中数学练习题进行解析。
1. 解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0我们可以使用因式分解法或求根公式来解这个方程。
首先，我们尝试因式分解法：将方程分解为两个括号：(x - 2)(x - 3) = 0根据零乘法，要使积为零，必须有一个或两个括号中的因式为零。
因此，我们有两个解：x = 2 或 x = 3。
接下来，我们使用求根公式来解该方程：根据求根公式，一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的解为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)对于本题，a = 1，b = -5，c = 6。
代入公式计算可以得到：x = (5 ± √(25 - 24)) / 2= (5 ± √1) / 2因此，我们得到同样的解：x = 2 或 x = 3。
2. 求一元二次方程的根的和与乘积：已知一元二次方程的两个实数根为 x1 和 x2，我们需要求解它们的和与乘积。
设方程为 ax^2 + bx + c = 0，根据求根公式，我们可以得到：x1 + x2 = -b / ax1 * x2 = c / a例如，对于方程 x^2 + 4x + 3 = 0，我们可以得到：x1 + x2 = -4 / 1 = -4x1 * x2 = 3 / 1 = 33. 求一元二次方程的解的判别式：一元二次方程的判别式用来判断方程的解的情况。
设方程为 ax^2 + bx + c = 0，判别式的表达式为Δ = b^2 - 4ac。
判别式Δ 的值表示了方程的根的情况：- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根；- 当Δ < 0 时，方程没有实根，而是有两个虚根。
4. 利用一元二次方程解决实际问题：一元二次方程在解决实际问题中有着广泛的应用。
初中数学 什么是一元二次方程的近似解
初中数学什么是一元二次方程的近似解一元二次方程的近似解是指对于无法精确求解的一元二次方程，我们可以使用近似方法来获得一个接近于真实解的估计值。
在这里，我将详细解释一元二次方程的近似解的概念，并提供一些实例和解题技巧。
希望这能帮助你更好地理解和应用一元二次方程的近似解。
首先，让我们回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是实数，且a不等于0。
对于某些一元二次方程，我们可能无法通过精确求解得到方程的根。
这时，我们可以使用近似方法来获得一个接近于真实解的估计值。
一元二次方程的近似解可以通过以下方法来获得：方法1：图像法通过绘制方程的图像，我们可以观察到方程的根在哪个区间内，并获得一个近似解的估计值。
我们可以使用计算机或手绘图像来帮助我们更准确地确定方程的根所在的位置。
例如，考虑方程x^2 - 4x + 3 = 0。
我们可以绘制方程的图像，并观察到方程的根位于x=1和x=3之间。
因此，我们可以估计方程的近似解为x ≈ 2。
方法2：二分法二分法是一种常用的近似求解方法，适用于对于一个在某个区间内连续的函数进行求解。
我们可以通过迭代的方式逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择一个初始的区间[a, b]，确保方程在这个区间内连续。
2. 计算区间中点c = (a + b) / 2。
3. 计算方程在中点c处的函数值f(c)。
4. 如果f(c)接近于0，我们可以认为c是方程的近似解。
如果不是，则根据f(c)与0的关系，更新区间[a, b]。
5. 重复步骤2至4，直到我们获得一个满足要求的近似解。
例如，考虑方程x^2 - 4x + 3 = 0。
我们可以选择初始的区间[a, b]为[1, 3]。
计算中点c = (1 + 3) / 2 = 2，然后计算f(c) = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1。
由于f(c)不接近于0，我们可以更新区间为[a, b] = [2, 3]，然后重复上述步骤，直到获得一个满足要求的近似解。
初中数学 什么是一元二次方程的实数解和虚数解
初中数学什么是一元二次方程的实数解和虚数解在初中数学中，一元二次方程的实数解和虚数解是我们在求解方程时经常遇到的两种情况。
本文将详细介绍一元二次方程的实数解和虚数解的定义、区别和求解方法。
1. 一元二次方程的定义和形式一元二次方程是指一个未知数的二次方程，一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，且a ≠ 0。
方程的解即为方程的根。
2. 实数解的定义和性质一元二次方程的实数解是指能够在实数范围内找到的方程的解。
如果一元二次方程存在实数解，那么实数解的性质如下：a) 当判别式Δ = b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数解。
这种情况下，方程的图像与x轴有两个交点，表示方程有两个解。
b) 当判别式Δ = b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数解。
这种情况下，方程的图像与x轴有一个交点，表示方程有一个解。
实数解是我们在数学问题中最常见的解形式，可以直接用来表示问题的答案。
3. 虚数解的定义和性质一元二次方程的虚数解是指方程的解不属于实数范围，而是属于复数范围。
如果一元二次方程没有实数解，那么方程的解为虚数解。
具体而言：当判别式Δ = b^2 - 4ac < 0时，方程没有实数解，而是有两个共轭复数解。
这种情况下，方程的图像与x轴没有交点，表示方程没有实数解。
虚数解通常以i来表示，其中i是虚数单位，定义为i^2 = -1。
方程的复数解可以表示为a + bi的形式，其中a和b分别表示实部和虚部。
虚数解在数学中也具有重要的应用，特别是在复数、电路理论和物理问题中。
4. 求解一元二次方程的实数解和虚数解的方法a) 实数解的求解：当判别式Δ = b^2 - 4ac ≥ 0时，方程有实数解。
实数解可以通过求解公式来计算。
给定方程ax^2 + bx + c = 0，方程的两个实数解可以分别表示为：x1 = (-b + √Δ) / 2ax2 = (-b - √Δ) / 2a其中，√Δ表示判别式的平方根。
初中数学 如何通过一元二次方程的系数判断其解的情况
初中数学如何通过一元二次方程的系数判断其解的情况通过一元二次方程的系数可以判断方程的解的情况。
在一元二次方程ax^2 + bx + c = 0中，系数a、b、c的值可以提供关于方程根的重要信息。
接下来，我们将详细讨论通过一元二次方程的系数判断其解的情况的方法。
1. 判别式的计算：一元二次方程的判别式是通过方程的系数a、b、c计算得出的。
判别式的表达式为Δ = b^2 -4ac。
判别式的值可以提供方程根的性质和个数的信息。
2. 判别式大于0的情况（Δ > 0）：当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根。
这意味着方程对应的抛物线与x轴相交于两个不同的点。
具体而言，如果Δ > 0，则方程有两个实根x1和x2，其中x1 = (-b + √Δ) / (2a)，x2 = (-b - √Δ) / (2a)。
例如，考虑方程x^2 - 4x + 3 = 0，判别式Δ = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 > 0。
因此，方程有两个不相等的实根。
3. 判别式等于0的情况（Δ = 0）：当判别式等于0时，方程有两个相等的实根。
这意味着方程对应的抛物线与x轴相切于一个点。
具体而言，如果Δ = 0，则方程有两个相等的实根x1 = x2 = -b / (2a)。
例如，考虑方程x^2 - 4x + 4 = 0，判别式Δ = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0。
因此，方程有两个相等的实根。
4. 判别式小于0的情况（Δ < 0）：当判别式小于0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
这意味着方程对应的抛物线与x 轴没有交点。
具体而言，如果Δ < 0，则方程没有实根，但有两个共轭复根，可以表示为x1 = (-b + i√(-Δ)) / (2a)，x2 = (-b - i√(-Δ)) / (2a)，其中i是虚数单位。
例如，考虑方程x^2 + 2x + 2 = 0，判别式Δ = (2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0。
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二元一次方程组复习学案
一、知识回顾
1.1 建立二元一次方程组
（1）二元一次方程： 叫二元一次方程。
（2）二元一次方程组： 叫做二元一次方程组。
（3）方程组的解： 叫方程组的一个解。
例题：
1、下列各方程哪个是二元一次方程（ ）
A 、8x －y ＝y
B 、xy ＝3
C 、2x2－y ＝9
D 、
2、已知是方程2x ＋ay ＝5的解，则a ＝ 。
同类练习：
1、下列方程组：（1）（2）（3）（4）中，属于二元一次方程组的是（ ）
（A ）只有一个 （B ）只有两个 （C ）只有三个 （D ）四个都是 2、是二元一次方程ax －2＝－by 的一个解，则2a －b －6的值等于 。
1.2 二元一次方程组的解法
（1）解二元一次方程的基本思想： 。
（2）代入消元法： 这种解方程组的方法叫做代入消元法。
（3）加减消元法： 这种解方程组的方法叫做加减消元法。
例题：
1、由2x －3y －4＝0，可以得到用x 表示y 的式子y ＝ 。
2．以下方程，与⎩⎨⎧=+=+75252y x y x 不同解的是 （ ）
A ．⎩⎨⎧=+=+104252y x y x
B ．⎩⎨⎧=+=+7
5214104y x y x C ．⎩⎨⎧=+=+2352y x y x D ．⎩⎨⎧=+=+7523y x y x 3、已知方程组的解是，则2m+n 的值为 。
21=-y x ⎩⎨⎧==12y x ⎩⎨⎧-==-1253y x y x ⎩⎨⎧==+y x xy 01⎩
⎨⎧+=+=+416z y y x ⎩⎨⎧=+=326x y x ⎩⎨⎧-==12y x ⎩⎨⎧=+=+30ny x y mx ⎩⎨⎧-==21y x
4、选择恰当的方法解下列方程组
⎩⎨⎧=-=+52243y x y x ⎩⎨⎧=+=-92573y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+34
31332n m n m
5、已知方程组
与有相同的解，求m 和n 的值。
同类练习：
1、已知二元一次方程3x – 5y=8，用含x 的代数式表示y ，则y= ，若y 的值为2，则 x 的值为 。
2、若方程组⎩⎨⎧=+=+5
231y x y x 的解也是方程3x+ay=10的一个解，则a= 。
3、已知⎩⎨⎧==13y x 和⎩⎨⎧=-=11
2y x 都是ax+by=7的解，则a= ，b= 。
4、已知3a
b 与－3a b 可以合并同类项，则x= ，y ＝ 。
5、已知⎩⎨⎧+=+=+6
24332k y x k y x 的解满足x+y=3，求k 的值。
6、解下列二元一次方程组
⎩⎨⎧=-=-175032y x y x 4+y 13-x 22-x y 21-⎩⎨⎧+=--=-）（）（）（）（53154413x y y x
1.3 二元一次方程组的应用
建立二元一次方程组解决实际问题的步骤有：
（1）；（2）；（3）；（4）。
练习：
1、已知甲、乙两数之和为43，甲数的3倍比乙数的4倍大3，若设甲数为a，乙数为b，由
题意可列出方程组。
2、某车间有660名工人，生产某种由一个螺栓两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺
栓14个或螺母20个，应配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能生产出的螺栓和螺
母刚好配套？
3、某中学组织一批学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。
试问：这批学生人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
二、自主检测
一、填空题
1、在x－y＝6中，有含x的代数式表示y则y=_______，当y＝0时，x＝____。
2、已知{x=3y=2是二元一次方程3x－ay＝6的一个解，则a＝__________。
3、已知方程组{2x+y=7
x+2y=8，则x－y＝_________，x＋y＝___________。
4、写出一个以{x=0y=7为解的二元一次方程组是___________________。
5、若x－y＝5，则14－2x＋2y＝__________。
6、若二元一次方程组{2x+3y=5
2x-y=1的解是方程8x－2y＝k的解，则k＝______。
7、足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。
一队打了14场比赛，负5场，共19分，那么这个队胜了（）
A ．3场
B ．4场
C ．5场
D ．6场
8、如果⎩⎨⎧=--=+6)1(4y m x y x 中的解x 、y 相同，则m 的值是
（ ） A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2 9、解方程组x+y=8
y+z=6z+x=4
⎧⎪⎨⎪⎩可得代数式x ＋y+z 的值( )。
A 、9
B 、8
C 、7
D 、 6
10、解下列方程组
5,3-=-=+y
x y x 823,02=+=-y x y x {
9s 13t 20s=23t －＋＝－
11、已知0)132(22=--+++y x y x ，求的值。
12、解方程组
时，一学生把看错而得，而正确的解是那么、、的
值是多少？
13、某城市规定：出租车起步价允许行使的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了35元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？
14、老师布置了一个探究活动作业：仅用一架天平和一个10克的砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量．（注：同种类的每枚硬币质量相同）
y x +。